池水含盐问题分析.doc

池水含盐问题分析数师1202罗时婷391. 问题重述池中有一定体积的盐水，从池的上部向池中注入一定浓度的盐水。混合后的盐水将从池的下部流出。建模描述池中盐水浓度的动态。2. 模型的假设假设： 盐水注入池中后迅速混合, 使得盐水浓度均匀。3. 符号说明V(t)：池中盐水体积；p(t)：池中盐水浓度；V0：池中原有盐水体积；p0：原有盐水浓度；rI(t)：流入盐水速度； pI(t)：流入盐水浓度；rO(t)：流出盐水速度；p(t)：流出盐水浓度；4. 问题分析池水浓度变化过程中一定受到某种平衡关系的支配。平衡关系：在时间段t+rt内, 池中(纯)盐的改变量=这段时间内流入的(纯)盐的量与流出的(纯)盐的量之差。在自变量的微小的区间内以简单的形式描述有关变量之间的平衡关系,再利用微分学的思想进一步处理它,得到以微分方程的形式描述的数学模型。5. 模型的建立与求解池中盐的改变量： p(t+rt)V(t+rt)-p(t)V(t) 流入盐量： 流出盐量： 利用积分中值定理可得在时间段t+rt内, 池中盐水体积的改变量=这段时间内流入盐水的体积与流出盐水体积之差；令rt0得模型进一步问题：池中有水 2000 m3，含盐 2 kg，以 6m3 / 分 的速率向池中注入浓度为 0.5 kg / m3 的盐水，又以 4 m3 / 分的速率从池中流出混合后的盐水。问：（1）求池中盐水浓度随时间变化的关系。（2）如果池中盐水浓度达到0.2kg/m3时将注入池水中的盐水改变为清水，问何时池中盐水的浓度被稀释到这个浓度的50%，即到达0.1kg / m3变量、参量 时间 t，体积 V(t), 盐量 S(t), 浓度 p(t); 流入流速 rI=6, 流入浓度 pI=0.5, 流出流速 rO=4, 改变时候的盐水浓度 p*=0.2，改变的时刻t*， 终止时候的盐水浓度 p*=0.1，终止的时刻t*。 时间步长 t , 打印步长 T. 在时间间隔t, t+t 内将有如下的转换关系 考虑到系统运行过程中输入参数的变化，设置指标ind来标志输入条件的转换， 令ind=1表示输入池中盐水的浓度为pI（0） ind=0表示流入池中的水为清水（pI=0） 在仿真的过程，可以每运行m个时间步长打印输出一次计算的结果。 5 实验结果分析与讨论:P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804Columns 10 through 11 0.1964 0.2003P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 12 0.1964 0.2003 0.1964P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 13 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 14 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 15 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 16 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 17 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666 0.1589P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 18 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666 0.1589 0.1516P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 18 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666 0.1589 0.1516 Column 19 0.1449P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 18 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666 0.1589 0.1516 Columns 19 through 20 0.1449 0.1385P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 18 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666 0.1589 0.1516 Columns 19 through 21 0.1449 0.1385 0.1324P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 18 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666 0.1589 0.1516 Columns 19 through 22 0.1449 0.1385 0.1324 0.1268P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 18 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666 0.1589 0.1516 Columns 19 through 23 0.1449 0.1385 0.1324 0.1268 0.1214P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 18 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666 0.1589 0.1516 Columns 19 through 24 0.1449 0.1385 0.1324 0.1268 0.1214 0.1163P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 18 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666 0.1589 0.1516 Columns 19 through 25 0.1449 0.1385 0.1324 0.1268 0.1214 0.1163 0.1116P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 18 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666 0.1589 0.1516 Columns 19 through 26 0.1449 0.1385 0.1324 0.1268 0.1214 0.1163 0.1116 0.1070P = Columns 1 through 9 0.0010 0.0298 0.0564 0.0811 0.1040 0.1252 0.1449 0.1633 0.1804 Columns 10 through 18 0.1964 0.2003 0.1964 0.1928 0.1835 0.1748 0.1666 0.1589 0.1516 Columns 19 through 27 0.1449 0.1385 0.1324 0.1268 0.1214 0.1163 0.1116 0.1070 0.1027a = 0 2.0000 2.0000 0.1000 20.0000 2.0400 60.8101 2.9809 40.0000 2.0800 117.3995 5.6442 60.0000 2.1200 171.9346 8.1101 80.0000 2.1600 224.5663 10.3966 100.0000 2.2000 275.4319 12.5196 120.0000 2.2400 324.6566 14.4936 140.0000 2.2800 372.3547 16.3313 160.0000 2.3200 418.6307 18.0444 180.0000 2.3600 463.5804 19.6432 185.0000 2.3700 474.6210 20.0262 180.0000 2.3600 463.5804 19.6432 200.0000 2.4000 462.8150 19.2840 220.0000 2.4400 447.7467 18.3503 240.0000 2.4800 433.4025 17.4759 260.0000 2.5200 419.7368 16.6562 280.0000 2.5600 406.7073 15.8870 300.0000 2.6000 394.2753 15.1644 320.0000 2.6400 382.4047 14.4850 340.0000 2.6800 371.0622 13.8456 360.0000 2.7200 360.2170 13.2433 380.0000 2.7600 349.8404 12.6754 400.0000 2.8000 339.9057 12.1395 420.0000 2.8400 330.3884 11.6334 440.0000 2.8800 321.2652 11.1550 460.0000 2.9200 312.5148 10.7026 480.0000 2.9600 304.1171 10.2742 494.0000 2.9880 298.4384 9.9879 盐水浓度变化曲线：结论：需要t1=186分将水池中盐水浓度从0.001提高到0.2。又需要t2-t1=312分水将池中盐水浓度从0.2恢复到0.1。6 实验程序（Matlab陈述）：t=1; v=2000;s=2;p=1/1000;% 初始状态ri=6;ro=4;po=0.5;p1=0.2;p2=0.1;% 参数V=v(end); S=s(end); P=p(end); x=0;% 打印记录while p(end)p1;%调整输入前动态 t=t+1; %时钟步进 v=v, 1; s=s, 1; p=p, 0; %变量步进 v(t)=v(t-1)+ri-ro; s(t)=s(t-1)+ri*po-ro*p(t-1); p(end)=s(end)/v(end); %仿真计算end; t1=t-1; %调整输入时间for k=1:floor(t1/20);% 打印结果 x=x,20*k;V=V,v(20*k+1);S=S,s(20*k+1);P=P,p(20*k+1);end if floor(t1/20)=p2;%调整后动态 t=t+1; %时钟步进 v=v, 1; s=s, 1; p=p, 0; %变量