素材：2012高中数学备课参考数学教学从一个问题开始以一个问题结束.doc

29年第12期数学教学 12-35从一个问题开始，以一个问题结束 7371甘肃省金昌市第一中学董安林数学教学29年第6期数学问题与解答第768题：已知a、b、c是满足a2+6。+c。=1的正数，求证：十 + 兰(一 1)笔者证明如下：因为3(a十b2+C)(a+ b+c)且a +b2+52=1(a、b、cR+)，所以a+b+c ( + + )【(+ b)+(b+c)+(c+n)】= +(1)2(罔 2+(闻 【(一 一 = 9(柯西不等式)所以 + +，!一 (a0+b)+(b2+c)+(c+a) 一+兰一一4-)(+)：(51l1abC1 2 当且仅当0=b=c=时等号成立问题到此证毕但是很明显，这是一个很有趣的问题，我们有必要再做进一步的探究那么从哪里开始呢?对了，我们可以尝试着加一个小参数试试!已知a、b、c是满足a2+b2+C2=1的正数， 0，考虑： a2+LAb+十南 ?我们用同样的方法，有 (n+入+1+=(2入)216_)【。+6+(2c+(2a】6+A)c+A)_)+)+ 2222+1 = 9 所以 + (a2+ 6)+(6+Ac)+(c+Aa) 9 l+A(a+b+c) ：，Q俪一1)丽 ：32-1( 一A、即丽1 +1十 (俪一1)一(1)看来加一个小参数可以得到一个更为一般的结论那么，我们能不能作进一步的探究呢?问题中前一个字母的指数为2，后一个为1，前者比后者大一点我们可不可以在这方面做做文章呢?也就是在指数上下下功夫已知a、b、c是满足a +b“+Cn=1的正数， 0，nm1且几、mZ，考虑： 1 an+Abm + + ?依然用前面的方法， (+ +) 【(珏+Amb+Ac+Am】nb)+(nc)+(a)2(Am+( +c)(Icla)nAm 2一筘数学数学 29年第12期 ( + + 1州 = 9所以 +1十1可丽 =+l(两m)Il21am+6 +c-(、)又因为a +b +C=(am) +(bm) + (c)，令t厂()=，(0 m1且礼、mz)，则f(x)为下凸函数，所以 a+mc(Tmb+)n 即 a+mc(Tmb+m)丽a -“-n4b4a一，3 所以m6+m3(百3一。+mc)=1罟因此(2)式可化为 an Ab一+ Am+A + 6+cm 。cn+am 再 (3) 特别地，当n=2T=1上式为，tt时，(上接第1234页)地面移动的速度也是口吗?为什么? PP图12图13【答案及提示】由题意设小明由点走到一 L一9n+Abb2-4-Ac C2-4-Aa 1+一 (、3入一1)，即为(1)式如此我们得到了一个更为一般的结论：定理如果a、b、c是满足a“+b“+Cn=1的正数， 0，Ttm1且n、TnZ，那么一 一一 一I一 11anm。6 cna13一鲁+Ab“+Ama十A m，+入问题到此似乎可以说已经解决得令人较为满意了，但是我记着张景中院士曾经说过：“问题解决前要进一步想，问题解决后则要退一步想”那么怎么退呢?我们把限制条件退一下，改成1次的已知a、b、c是满足a+b+c：1的正数考虑：南+ +赤?我们有理由猜测当a=b=c=1时，就是最小值如此我们得到问题：已知a、b、c是满足a+b+c=1的正数，求、一让11 1、27：+ 我们的探究是从数学教学29年第6期的数学问题与解答第768题开始的，那么我们还是以上面的问题作为结束吧!希望有兴趣的读者能从这里开始，作出更漂亮的结果参考文献 最新版)M】北京：1张景中新概念几何(中国少年儿童出版社，2002【2】宋庆数学问题与解答【J数学教学，29(6)：48 点，AC代表其影长(如图13)，连结BB，并延长BB交PO于点H根据原题的另解2的方法可得 AA= BB= PH =设小明行