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1998年第 8期数学通报46 数学问题解答 1998年 7月号问题解答 (解答由问题提供人给出 ) 11411已知 ABC的三个内角 A、B、C满足 A 11+C=2B,k= + cosA cosC, ( )试求 k的取值范围 ; 解. ( )命 A =60-,C = 60+(0 60),此时 111 1k=+= + cos A cos C cos(60-) cos(60+ ) cos 1 = .23 3 cos -cos44 cos 很容易证明函数 f(x) =x-3)在 (0 , + )或 (-,0)为严4x格递增函数 .故当 0 1 2.从而有 31 -1 cos 4cos 4即 k (-,-1) 4 , + ) ( )由 ( )知 cos A-2 C= cos,再由 k= cos-13 ,得 4 cos 24 kcos -4cos -3 k= 0A-C 1-1+3k2 解得 cos= cos 2= 2k (k -1)或 cos = cos A-C=1+ 1+3k2(k2 2k 4) 11421在 ABC中 , BAC = 80, ABC = 60,D为三角形内一点 ,且 DAB =10, DBA =20.求 ACD的度数 .= BC上截取 BF =BA ,连 AF ,则 ABF为等边三角形 .在 AC上截取 AG = AB,连 BG、DG、EF、F G.易知等腰 AFG等腰 BAE.在 BEF中 ,因 BE = BF , EBF =40,则 BEF =70,易得 FEG = 30= ADE , FEG ADE (AAS) ,EG= DE.又 EBC = 40= ECB , EC= EB. EDC EGB (SAS) , ACD = EB G.在 AB G中 ,因 AB =AG, BAG = 80,则 AB G = 50,从而 EBG = 30.故 ACD =30. 11431设函数 f (x) ,x N,满足 f(x+1) = si n 2 f (x),f (1) = 21.求证 :1-f(x) f (1). f (3) = si n 2 f (2)= si n 4 sin 4= f (2) . 1998年第 8期数学通报由此猜想 : 21 f(x) f (x+1) 1.用数学归纳法证明 : 1当 x=1时 ,显然成立 . 2假设 x=k时命题成立 ,即 1 f(k) f(k+ 1) 12 则 4 2f(k) 2f(k+1) 2. si n 4 sin 1) sin 2. 2 f(k+1) f (k+2) 1 21 f(k+1) f (k+2) 1即 x=k+1时 ,命题成立 . x N时命题成立 .于是当 x 2时 ,有 1 f(x-1) 12 31+f (x-1) 8421+f (x-1) 3 0 cos 4 cos 8 cos 1 = 2.3 02 cos 1+f (x-1) 1.4 据 (1)得 1-f(x) si n 1-f4(x-1) .而 01-f(x-1) 8.4 sin 1-f4(x-1) 41-f(x1). 1-f(x) 1,则粒子可继续从 A1 ,n出发 ,行至 A2,n-1;A1,n-2; ;A1 ,1 ;A2.又给出 m=2对粒子的一种行走路线 .假设 m=k时粒子已有 m =1 ,m =2时的一种行走路线 ,那 1998年第 8期数学通报48 么当 m=k+1时 :若 k为奇数 ,粒子在长为 k,宽为 n矩形上的 k n个小正方形的一种行走路线终止于 Ak ,n处 ,再沿下述行走路线即可 : Ak,n ;Ak+1,n-1;Ak,n-2; ;Ak +1 .若 k为偶数 ,粒子在长为 k、宽为 n的矩形上的 k n个小正方形的一种行走路线终止于 Ak ,再沿下述行走路线即可 :Ak ,Ak +1 ,1 ;Ak ,2 ; ;Ak +1 ,n.至此 ,已A m ,n 给出 m=k+1时粒子的一种行走路线 .由数学归纳法原理 ,当 m N时 ,均可设计出粒子的一种行走路线 . A 0,n A 0 ,1 A m, 1 A 1 ,1A 0 A 1 A 2 . . A m -1 A m 图 2 2若 m、n都是偶数 .如图 2,粒子从 A1开始行走至 A0 ,1 ,然后在线段 A0 ,1 Am ,1上方长为 m、宽为 (n-1)矩形的 m (n-1)个小正方形中行走 .由 1可知粒子有一种行走路线 ,终止于 Am ,1 .此粒子再沿以下路线行走即可 : Am,1 ;Am-1;Am-2,1 ;Am-3; ;A2 ,1 ;A1. 1998年 8月号问题 n 11461设 xi R+ ,1 i n ,n 2, xi =S,试i=1 证 : xi n S. i=1 n-1S-xi (李建潮提供 ) rbrc rcra rarb 3R 3 + h2 h2 h22r . a bc (邹明提供 ) 11481设 ABC的三边长为 a ,b ,c ,傍切圆的半径为 ra ,rb ,rc ,求证 : 222 rarbrc 9 + 4.bc ca ab (张斌提供 ) 11491设 ABC的三边长为 a ,b ,c ,傍切圆的半径为 ra ,rb ,rc ,求证 : rbrc rcra rarb 9 2+b2+ 2 4. ac (张斌提供 ) 11501平行四边形 OABC中 ,以 OB为弦的任一圆交两条边 OA、OC或其延长线于点 D、E,求证 : OAOD +OCOE = OB2. (黎民君提供 ) (上接封三 )从获奖选手的教学设计 (包括说明 )和讲课中可以看出 ,要当一名优秀的中学数学教师 ,必须认真学习数学教育学、心理学的理论 ,深刻领会教学大纲的精神和各项具体规定 ,同时也要提高自己的数学素养 .评委们指出了在选手中偶尔发生的一些科学性错误 ,知识和应用安排不当 ,以及课堂上注意后发做得不够等问题 ,这是有待广大青年数学