（江苏专用）高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第22练 平面向量中的线性问题 理.doc

第22练平面向量中的线性问题题型一平面向量的线性运算例1如图，正方形abcd中，点e是dc的中点，点f是bc的一个三等分点，那么_.(用和表示)破题切入点顺次连结，选好基底答案解析在cef中，有.因为点e为dc的中点，所以.因为点f为bc的一个三等分点，所以.所以.题型二平面向量基本定理及其应用例2如图，在平行四边形abcd中，m，n分别为dc，bc的中点，已知c，d，试用c，d表示，.破题切入点利用平面向量基本定理，用基底表示其余向量解在adm中，c.在abn中，d.由得(2dc)，(2cd)题型三平面向量的坐标运算例3平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.破题切入点向量坐标表示下的线性运算解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，所以得(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(3)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，ab(2,4)由题意得得或d(3，1)或(5,3)总结提高(1)平面向量的性线运算主要包括加减运算和数乘运算，正确把握三角形法则和多边形法则，准确理解数与向量乘法的定义，这是解决向量共线问题的基础(2)对于平面向量的线性运算问题，要注意其与数的运算法则的共性与不同，两者不能混淆，如向量的加法与减法要注意向量的起点和终点的确定，灵活利用三角形法则、平行四边形法则同时抓住两条主线：一是基于“形”，通过作出向量，结合图形分析；二是基于“数”，借助坐标运算来实现1已知点a(1,3)，b(4，1)，则与向量同方向的单位向量为_答案(，)解析由题意知(3，4)，所以与同方向的单位向量为(，)2(2014课标全国改编)设d，e，f分别为abc的三边bc，ca，ab的中点，则化简：_.答案解析如图，()2.3(2014北京)已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(r)，则|_.答案解析ab0，ab，|a|b|b|，|a|.又|a|1，|.4(2014福建改编)设m为平行四边形abcd对角线的交点，o为平行四边形abcd所在平面内任意一点，则化简：_.答案4解析因为点m为平行四边形abcd对角线的交点，所以点m是ac和bd的中点，由平行四边形法则知2，2，故4.5.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|2，|，|2，若(，r)，则和的值分别为_答案2，解析设与，同方向的单位向量分别为a，b，依题意有4a2b，又2a，b，则2，所以2，.6(2013四川)在平行四边形abcd中，对角线ac与bd交于点o，则_.答案2解析由于abcd为平行四边形，对角线ac与bd交于点o，2，2.7(2013江苏)设d，e分别是abc的边ab，bc上的点，adab，bebc.若12(1，2为实数)，则12的值为_答案解析如图，()，则1，2，12.8如图所示，在abc中，点o是bc的中点，过点o的直线分别交直线ab，ac于不同的两点m，n，若m，n (m，n0)，则的最小值为_答案解析.同理，m，o，n三点共线，故，即0，由于，不共线，根据平面向量基本定理得0且0，消掉即得mn2，故(mn)(54).9(2014天津改编)已知菱形abcd的边长为2，bad120，点e，f分别在边bc，dc上，bebc，dfdc.若1，则_.答案解析，()()22()4422()24()21.2().(1)(1)(1)22()(1)2()1，()1，即().由解得.10在平面内，已知|1，|，0，aoc30，设mn(m，nr)，则_.答案3解析因为aoc30，所以，30.因为mn，0，所以|2(mn)2m2|2n2|2m23n2，即|.又(mn)m2m，则|cos 30m，即1m，平方得m29n2，即9，所以3.11已知非零向量e1，e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：a、b、d三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值(1)证明e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，与共线，且有公共点b，a、b、d三点共线(2)解ke1e2与e1ke2共线，存在，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.由于e1与e2不共线，只能有k1.12已知点o为坐标原点，a(0,2)，b(4,6)，t1t2.(1)求点m在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t11时，不论t2为何实数，a、b、m三点都共线；(3)若t1a2，求当且abm的面积为12时a的值(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2)当点m在第二或第三象限时，有故所求的充要条件为t20且t12t20.(2)证明当t11时，由(1)知(4t2,4t22)(4,4)，(4t2,4t2)t2(4,4)t2，不论t2为何实数，a、b、m三点共线(3)解当t1a2时，(4t