一次函数定义

19.2.2一次函数1、 教学目标：知识与技能：1.结合具体情境理解一次函数的意义,能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系. 3.初步体会用待定系数法求一次函数解析式的方法.过程与方法1.经历观察猜想归纳应用的数学发现过程.2.发展学生的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想,掌握数形结合思想、分类讨论思想.情感态度与价值观学会从实际问题中建立一次函数的模型,体会一次函数在实际生活中的应用价值.二、教学重难点【重点】一次函数的概念及其解析式.【难点】一次函数与正比例函数关系及从实际中建立一次函数的模型.三、教学准备【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.【学生准备】预习本节内容. 四、教学过程（1） 、复习旧知：复习正比例函数的概念、性质及图像的特征。导入:某登山队大本营所在地的气温为5 ,海拔每升高1 km气温下降6 .登山队员由大本营向上登高x km时,他们所在位置的气温是y .试用函数解析式表示y与x的关系.教师引导学生分析:从大本营向上当海拔每升高1 km时,气温就减少6 ,那么海拔增加x km时,气温减少6x .因此y与x的函数关系式为y=5-6x(x0).当然,这个函数也可表示为:y=-6x+5(x0).当登山队员由大本营向上登高0.5 km时,他们所在位置气温就是x=0.5时函数y=-6x+5的值,即y=-60.5+5=2().这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同?它的图象又具备什么特征?我们这节课将学习这些问题.设计意图让学生再次感知实际问题中蕴涵的函数关系,体会并运用函数建模思想,提高将实际问题抽象为函数模型的能力,以实例引入,激发学生的学习兴趣.下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数解析式,这些函数解析式有哪些共同特征?(1)有人发现,在2025 时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t()有关,即c的值约是t的7倍与35的差.(2)一种计算成年人标准体重G(kg)的方法是:以厘米为单位量出身高值h,再减常数105,所得差是G的值.(3)某城市的市内电话的月收费额y(元)包括月租费22元和拨打电话x min的计时费(按0.1元/ min收取).(4)把一个长10 cm、宽5 cm的长方形的长减少x cm,宽不变,长方形的面积y(cm2)随x的值而变化.学生先独立思考,然后小组交流,得到这些问题的函数解析式分别为:(1)c=7t-35(20t25).(2)G=h-105.(3)y=0.1x+22.(4)y=-5x+50(0x10).进一步追问:(1)上面的四个函数解析式,有什么共同特点?(2)这种函数解析式的一般形式如何表达?它叫什么函数?与正比例函数有何关系?我们这节课将研究这些问题.设计意图以生活实例导入,增强了趣味性,拉近了数学与生活的距离,激发了学生的学习热情与兴趣.2、新知构建(1)c=7t-35(20t25).(2)G=h-105.(3)y=0.1x+22.(4)y=-5x+50(0x10).提问:以上函数解析式有什么共同特点?引导学生从解析式的形式上找共同点.师生共同归纳其特点:它们的形式都是自变量的k倍与一个常数的和.教师出示一次函数的定义: 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k0)的函数,叫做一次函数.教师提醒:(1)k,b的取值范围;(2)自变量的取值范围为全体实数;(3)b可以为零.追问:当b=0 时,y=kx+b是什么函数?学生思考后回答:当b=0时,y=kx+b,即y=kx.所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.设计意图由学生已有的学习经验和生活经验出发,拉近了数学与生活的距离,激发学生的学习热情.通过探索活动,让学生认识一次函数解析式的特征,掌握一次函数的概念,理解一次函数与正比例函数的关系.2.例题讲解(补充) 下列函数中是一次函数的有哪些?并说出k和b的值.(1)y=-x;(2)y=+2;(3)y=5x2-3;(4)m=2.5n-0.3;(5)y=3x+3(1-x);(6)l=r-.引导学生分析:根据一次函数y=kx+b的特征去判断,注意(1)是正比例函数,当然也是一次函数;(5)化简得y=3,不符合k0的要求,故不是一次函数.解:是一次函数的有(1),其中k=-,b=0;有(4),其中k=2.5,b=-0.3;有(6),其中k=,b=-.归纳总结:(1)一次函数成立的条件:自变量的指数为1;一次项系数k0.(2)一次函数与正比例函数的关系:正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.一次函数y=kx+b中,当b=0时,一次函数就变成了正比例函数,所以正比例函数是特殊的一次函数.(补充)已知y+b与x+a(a,b是常数)成正比例.(1)试说明y是x的一次函数;(2)如果x=3时y=5,x=2时y=2,求y与x的函数关系式.引导分析:(1)根据正比例函数的定义,把y+b与x+a分别看作一个整体,分别作为一个变量,可得y+b=k(x+a),所以y=kx+ka-b.根据一次函数的定义可知y是x的一次函数;(2)设y与x的一次函数解析式为y=mx+n,分别把x=3,y=5和x=2,y=2代入解析式中,得到关于m,n的方程组,解方程组即可.解:(1)设y+b与x+a的函数解析式为y+b=k(x+a),得y=kx+ka-b.根据一次函数的概念可知y是x的一次函数.(2)设y与x的函数解析式为y=mx+n.把x=3,y=5和x=2,y=2分别代入,得:解得则y=3x-4.归纳总结:判断一次函数,利用一次函数的定义判断即可. 通常是利用待定系数法求一次函数的解析式.(补充)已知关于x的函数y=(k+2)x+k2-4,(1)当k满足什么条件时,它是正比例函数?(2)当k满足什么条件时,它是一次函数?解析(1)根据正比例函数的定义可知:k2-4=0且k+20确定k的值.(2)根据一次函数的定义可知:k+20确定k的值即可.解:(1)当k2-4=0且k+20时,即k=2时,它是正比例函数.(2)当k+20,即k-2时,它是一次函数.归纳总结:注意一次函数的定义,并且正确理解它和正比例函数的关系,一次函数y=kx+b中必须满足的条件是k0.当b=0时,一次函数也为正比例函数.3、课堂小结师生共同回顾本节课所学的主要内容:1.一般地,形如 y=kx+b (k,b是常数,k0)的函数,叫做一次函数.2.一次函数解析式y=kx+b(k0)的条件k0千万不能忽略,如果k=0,y=b就不是一次函数了.3.正比例函数是特殊的一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.4、检测反馈1.下列说法中不正确的是()A.正比例函数一定是一次函数B.一次函数不一定是正比例函数C.不是一次函数就不是正比例函数D.正比例函数不是一次函数解析:利用一次函数和正比例函数的关系解决本题即可.故选D.2.已知方程3x-2y=1,把它化成y=kx+b的形式是;这时k=,b=;当x=-2时,y=,当y=0时,x=.解析:利用一次函数的概念即可确定k,b的值,把x=-2代入解析式即可求出y的值,把y=0代入解析式即可求出x的值. 答案:y=x-3.关于x的一次函数y=(m-2)xn-1+n中,m,n应满足的条件分别是.解析:根据一次函数的概念,可知m-20,n-1=1,求出m,n符合的条件即可.故填m2,n=2.4.已知y=(m+1)x2-|m|+n+4.(1)当m,n取何值时,y是x的一次函数?(2)当m,n取何值时,y是x的正比例函数?解析:一次函数y=kx+b的解析式中k0,自变量的次数为1,常数项b可以为任意实数;正比例函数的解析式中,比例系数k是常数,k0,自变量的次数为1.解:(1)根据一次函数的定义,得2-|m|=1,解得m=1.又m+10,即m-1,当m=1,n为任意实数时,这个函数是一次函