（应用数学专业论文）过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解.pdf

过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 中文摘要 中文摘要 本文由两部分组成 第一部分讨论了变阻尼摆型方程 西 z 净 p z 0 其中e o 和p 是光滑函数 而且关于z 是1 周期 关于 是弘周 期 且p z 1 z z 1 t p z t p z t t 对任意 的z t 乏 另外还假设 阻尼项 z 是正的 即存在实数 y o 使得 z y o j 矿 z t j i 锷笋i 仇 我们主要得到了如下结果 当系统满足过阻尼条件 即o e 杀时 系统是强单调的 此时p o i n c 盯百 映射 存在不变限制水平曲线 且是整体吸引子 在不变限制水平曲 线上是保向同胚 因此系统的旋转数p 和平均速度面存在 且面 p t 此 时 如 是偶函数 且p z 满足p z t 叫2 p 一z t 则系统的旋转数 p o 进一步 当o e o 是阻尼系数 9 为周期函数 满足9 0 2 7 r 夕 z 詹霄9 z 如 o 且1 9 z i 夕 m o o 是整数 q o 为位置耦合系数 卢 o 为速度耦合系数 f o 是驱动外力 所谓系 统的行波解 即是 巧 t j 等t j z 其中 是波形函数 r r 满足存在最小的t o 使得 t t t 2 7 r i 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 中文摘要 t 称为波形函数的周期 我们得到的结果有 对任意的t o 都存在某个f o 使得系统存在一个行波解 对任意 的f 1 系统存在一个行波解 任意固定户 o a o 存在r 0 o 使得 o r r 0 时 对所有的f 户 o 口 卢 9 p a 则系统是强单调的 进一步 此时系统的行波解全局稳定 关键词 摆型方程 单调性 不变曲线 旋转数 行波解 i i 作者 张佩林 指导老师 秦文新 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解a b s t r c t a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft w op a r t s w 色f i r s t l yd i s c u s st h ed a m p e dp e n d u l u m t y p ee q u a t i o n e 岔 z 圣 p z t o w h e r ee 0 a n dpa r es m o o t hf u n c t i o n s 1 一p e r i o d i co nza n dp p e r i o 出co n i e z 1 z p z 1 p z p z t t m o r e r e r 啊r ea s s u i n et h en o n l i n e a r d a m p i n gc o e 伍c i e n t z i sp o s i t i v e i e z y o i 矿0 i l 曼 笋l m t h e m a i nc o n d u s j o n sa r ea sf b o 矾唱 a s s u m eo e 暑 i e t h ec i e r d a p e dc o n d i t i o ni ss a t i s 矗e d t h e nt h e8 y 8 t e m i ss t r o n g l ym o n o t o n ea n dt h ep o i n a 玎6m a p 尸2 h a si n a r i a n tc u n e w h i d hi sa l s ot h e 舀o b 出a t t r a 础o r p 1 i sa c t r u a l l y 锄o r i e n t a t i o np i 镪e r 访n gc i r d eh o m e 0 忸o r p h i s mo nt h e 捌a n t c l l r v e s ot h er o t a t i o n 删曲e rpa n dt h ea v e r a g ev e l o c i t y 矛e d s ti n d e p e n d e n t l y o ft h ei 1 1 i t i a lp o i n t s n 吡e r m o r e w eh a e 西 p t i na d d i t i o n i f i se v e nf u n c t i o n a n dp z t 7 2 p 一z t t h e np o t h ei n v a r i a l l te u r v ei sc 1s m o o t hi ft h e a s s u m p t i o no e 0 龇l dj 缸ei n t e g e r 8 9i 8p e r i o d i cf u n c t i o n s a t i s 母i n g9 z 2 7 r 9 z 詹 夕 z 如 o 衄di 夕 z i 夕 f oi n d i c a t 笛t h ee t e r n a l 血啊n gf o r c e r 0i sd a 皿p i l l gc o e 伍c i e n t q oa n d 0m e 嬲u r et h ec o u p l i n gs t r e n 酵1 1 st l l r o u g h p o s i t i o na n dv e l o c i t yr 鹤p e c t i v e l y w h a t 硼 盯ec o n c e r n e dw i t hi 8t h ee 妇s t e n c e 衄d g l o b a l8 t a b i l i t yo ft r a e l l i n gw a v 姻o f t h ef o r m 吼 筹t 尔z w h e r e i 8t h ew a e f o 衄f u n c t i o n r r s a t i s 移i i l gf o rs o m et 0 t t 2 7 r i i i 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解a b s t r c t ti st h ep e r i o d i c i t yo ft h ew a v e f o r mf u n c t i o n o u rm 撕nc o n c l u s i o n sa r ea u sf o l l r s f o r 粕y 丁 0 t h e r e 喇s t sat r a v e l l i n g 啪耽s o l u t i o nf o ra na p p r o p r i a t ef 0 f o ra n yf 1 t h e r ee i s t sat r a v e l l i n gw a 帆s o l u t i o n f 硒n ga n yf 0 a 0 t h e r e i sar o 0 s u c ht h a ti f0 r r o t h e8 y s t e mh a sat r a e 1 1 i n gw a v es o l u t i o n f o ra u f f o n 夕p 口 t h e nt h es y 8 t e mi ss t r o n g l ym o n o t o n e f u r t h e r m o r e t h et r a e l l i n g a v eo ft h es y s t e mi sg l o b a l l ys t a b l e k e y w o r d s p e d u l u mb 甲ee q u a t i o n m o n o t o n i c i t y i i a r i a n tc u r v e r d t a t i o nn u m b e r n a v e l l i n gw 批 i v w m t e nb yz h a n gp e i l i n s u p e r v i s e db yp r o f q i nw e 1 1 d n 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明 所提交的学位论文是本人在导师的指导下 独立 进行研究工作所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文 不含其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果 也不含为获得苏 州大学或其它教育机构的学位证书而使用过的材料 对本文的研究作 出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本人承担本 声明的法律责任 研究生签名 蛰塾坠日期 三 堡 丛 学位论文使用授权声明 苏州大学 中国科学技术信息研究所 国家图书馆 清华大学论 文合作部 中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论 文 本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致 除在保密期内的 保密论文外 允许论文被查阅和借阅 可以公布 包括刊登 论文的 全部或部分内容 论文的公布 包括刊登 授权苏州大学学位办办理 研究垂签名 型垂盐日期 塑 丛 导师签名 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 一 引言 第一章引言 1 1 阻尼摆型方程的研究现状 摆型方程已经有一百多年的历史了 最早的模型就是物理中最典型的单摆 方程 随着科学的发展 数学被逐渐应用到其它学科 摆型方程也随之在物 理 化学 生物等学科有了广泛的应用 尤其在物理中的应用更为广泛 如 n 朗捌 k o n t o r 舰模型 5 1 2 约瑟夫森结 j 0 8 印h s o nj u n c t i o 璐 的动力学 9 1 0 1 1 2 9 4 0 4 3 4 4 4 5 4 6 等 由于摆型方程有如此多的应用 所以受到 了学者们的广泛关注 摆型方程分单个振子和多个振子耦合的两种类型 对于单个振子的摆型 方程 已经有很多的研究结果了 最典型的是阻尼单摆方程 即 岔 y s i i l z f t 1 1 其中7 o 是阻尼系数 f t 是周期函数 称为驱动外力 l 嘶在 2 8 中讨论了f t 三f o 为常外力时 1 1 的动力学行为 得到当f 1 时 1 1 无平衡点 存在一个第二类型的周期解 并且该解 在相平面上吸引其余任意轨道 当f 1 时 存在伽 o 使得当o y 加时 存在平衡点 且任意解趋于 平衡点 7 加时相平面分成两部分 边界是连接两个不同平衡点的异宿 轨 上半部分的轨道趋于该边界 下面的轨道趋于平衡点 当f 2 时 1 1 的p 0 i n c a r 各映射在相平面内有一不变曲线 且该不变曲线是p o i n c 村百 映射的整体吸引子 而且当7 9 2 时此不变曲线是g 光滑的 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解一引言 l 撕在 冽中讨论了系统 e 岔 1 y c o s z s i n z f t 1 2 的动力学 得到当e q 时 1 2 的p o i n c a u r g 映射在相平面内有一不变 曲线 且该不变曲线是p o i n c a r 百映射的整体吸引子 同时p o i n c 盯g 映射在此 不变曲线上的作用可视为圆周上的保向同胚 从而存在旋转数 当旋转数是 有理数时 1 2 存在周期解 当旋转数是无理数时 1 2 存在拟周期解 注意到 我们可以对 1 2 作一尺度变换 江西 则 1 2 变为 p 1 y c o s z 净 s i n z f t 1 3 其中卢 1 诉 善 上面的条件e 南 当7 o 时与钱 敏等人在 1 1 中的条件一致 对于耦合振子系统 研究结果也已经很多 钱敏等在 4 2 中讨论了两个 耦合振子的动力形态 方程如下 蕾l y s i n z l k 现 f 艮s i n u t 1 4 奶 r 勋 s i i l 勋 k 勉一z 1 o 文中证明了当 o k 1 时 存在加 o 使得当 y 伽 o 时 系统有 一整体吸引子 且p 0 i n 哪芭映射在此吸引子上是保向同胚的 对于多个振子的耦合系统 最典型的是n e n k e l k o n t o 咖模型 e 奶 奶 8 i n 吻 q 勺 1 2 巧一1 ej z 1 5 其中e o 为阻尼系数 口 o 为位置耦合系数 f o 是驱动外力 注意 到 若q o 则 1 5 即为单个振子的摆型方程 若 1 5 中 一o 系统称为超阻尼 叭p e 卜d 锄p e d f h n k e l k o n t o r o v a 模型 b 删和m 涨a y 在 5 中证明了此系统的单调性 并且得到了在无 平衡点的条件下 系统存在行波解且是整体吸引子 对系统 1 5 作尺度变换t 扣 则系统变为 奶 r 奶 s i n 巧 口 巧 1 2 吻一1 只歹 z 1 6 2 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 一 引言 其中r 1 诉 b 溅i l s 和m a u c k a y 在 6 中对系统 1 6 满足周期边界条件 吻 z 吻 2 7 r 尬歹 z 1 7 的情形做了研究 其中m o o 是整数 证明了在满足过阻尼条件 a v e r d 锄p e d r 2 眨可1 时 系统具有单调性 系统存在行波解当且仅当 系统没有平衡点 k a t r i e l 在 2 3 中也对系统 1 6 1 7 做了研究 得到当 f 1 时系统存在行波解 此时不需要过阻尼条件 但没有关于稳定性的结 论 近年来 强阻尼耦合振子系统也引起学者们的关注 即 匆 r 奶 夕 巧 q 巧 l 一2 巧 勺一1 卢 奶 1 2 奶 与一1 f j z 1 8 其中r o 是阻尼系数 9 为周期函数 满足9 z 2 7 r 9 z 户夕 z 如 o 且1 9 z l 9 口 o 为位置耦合系数 卢 o 为速度耦合系数 f o 是驱动 外力 到目前为止 对于强阻尼耦合振子系统研究结果还很少 系统 1 8 的 大部分研究结果主要局限在满足d i r i c h l e t 条件 z o o 知 l o 或n 明l m 锄n 条件下 l 幻 t z 1 t z t z 1 t 整体吸引子的存在性 如 1 9 1 5 3 0 关于行波解的研究也主要局限在一阶 格点系统 1 4 1 和二阶系统 2 1 的存在性方面 1 2 本文的主要工作 本文中我们在第二章讨论了变阻尼摆型方程 e 蕾 z 圣 p z t o 1 9 其中e o 和p 是光滑函数 而且关于2 是1 周期 关于 是b 周 期 即 z 1 z p z 1 p z p z t t 对任京宝的z t r 3 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解一 引言 另外还假设 阻尼项 z 是正的 即存在实数 y o 使得 z 7 o i 矿 z l l 锷笋i m 我们主要得到了如下结果 当系统满足过阻尼条件 即o e 杀时 系统是强单调的 此时p o i n c a r 百 映射严存在不变限制水平曲线 且是整体吸引子 在不变限制水平曲 线上是保向同胚 因此系统的旋转数p 和平均速度面存在 且面 p t 此 时 如 是偶函数 且p z t 满足p z t 叫2 p 一z t 则系统的旋转数 p o 进一步 当o e o 是阻尼系数 9 为周期函数 满足 夕扛 2 7 r 9 z 詹 9 z 出 o 且1 9 z i 夕 m o o 是整数 a o 为位置耦合系数 卢 o 为速度耦合系数 f o 是驱动外力 所谓系统 1 1 0 1 n 的行波解 即是 种 t j i 芳丁 歹 z 1 1 2 其中 是波形函数 r r 满足存在最小的t o 使得 t 2 7 r 1 1 3 t 称为波形函数的周期 我们得到了如下结论 对任意的t o 都存在某个f o 使得系统存在 个行波解 对任意的 f 1 系统 1 1 0 1 1 1 存在 个行波解 任意固定庐 o a o 存在r 0 o 使得o r r o 时 对所有的f 户 o a 伊 夕p a 则系统是强单调的 进一步 此时系统的行波解全局稳定 4 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解一引言 我们讨论的系统 1 9 比钱敏等在 4 3 中讨论的 1 1 和l e i 在 2 9 中 讨论的 1 2 更具有一般性 且如果系统 1 9 中的 z y 为常数时 得到 的结果和 4 3 中的结果一致 z 1 y c 0 8 z 时 和 2 9 中的结果一致 系 统 1 1 0 1 1 1 中 如卢 o 我们的结果与b a 瞍l 璐和m a u c k a y 在 6 中的结 果一致 如q p o 则系统 1 1 0 变为单个振子 我们的结果和 4 3 中的 结果一致 关于系统 1 9 我们首先讨论的是其单调性 采用的方法是 首先将 1 9 转换成一阶系统 然后定义 个锥 使得 1 9 满足过阻尼条件时 e 为 1 9 相应线性化方程的不变锥 接下来由 定义一个偏序 使得 1 9 在过阻 尼条件下是保偏序的 即满足单调性 接下来在单调性的基础上由s c h a u d 盱 不动点定理得到了p o i i l c a r z 映射 的不变限制水平曲线的存在性 又利用 尤建功在 5 1 中的方法得到了不变限制水平曲线的稳定性 旋转数和平均速 度方面的结果也是在单调性的基础上得到的 最后关于不变曲线的光滑性 是利用钱敏等在 4 3 1 中的方法 系统 1 1 0 1 1 1 的行波解的存在性的证明采用的方法是k a t r i e l 在 2 3 中的方法 即先将行波解的存在性问题转化为一维系统的不动点的存在性问 题 然后利用s c h a u d e r 不动点定理得到不动点的存在性 即系统 1 1 0 1 1 1 的行波解的存在性 接下来讨论了系统的单调性 方法类似于系统 1 9 中 单调性的讨论 最后利用钱敏等在 4 1 中的方法证明了行波解的稳定性 5 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 二 过阻尼摆型方程的不变曲线 第二章过阻尼摆型方程的不变曲线 在本章中我们的主要目的是讨论具有非线性阻尼的摆型方程 e 岔 z 圣 p z t 0 2 1 其中e o 和p 是光滑函数 而且关于z 是1 周期 关于t 是口周期 即 z 1 z p z l t p z t p z t t 对任意的z r 另外还假设 阻 尼项 z 是正的 即存在实数7 o 使得 z y o i z t i i 掣l m 我们主要研究了系统的p 0 i n c a r 百映射p 的不变限制水平曲线的存在性及光 滑性 不变限制水平曲线的存在性及光滑性都是建立在系统单调性的基础 之上 所以我们首先讨论系统的单调性 然后得到了不变限制水平曲线的存 在性 而且不变限制水平曲线是整体吸引子 我们还讨论了关于旋转数的一 些结论 最后讨论了不变限制水平曲线的c 光滑性 在光滑性的基础上得 到p o i n c 甜g 映射一的遍历性 我们不妨假设詹 z 出 1 事实上 若片 z 如 c 1 则 2 1 两边 同除以c 得 e 1 蕾 z n z t o 其中e l i z 华 p z 掣 满足詹 z 如 1 2 1 过阻尼条件下的单调性 在本节我们主要讨论 2 1 的单调性 我们的方法是 首先将 2 1 转换成 一阶系统 然后定义一个锥 使得 2 1 满足过阻尼条件时 为 2 1 相 应线性化方程的不变锥 接下来由 定义 个偏序 使得 2 1 在过阻尼条 件下是保偏序的 即满足单调性 为了将 2 1 转换成一阶系统 首先做一个变换如下 丢寰 仁2 1 7 r z e 圣 p 其中r 石 岳 s d s z 是周期为1 的周期函数 z f 一7 7 主 生旦幽 6 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 二 过阻尼摆型方程的不变曲线 于是 2 1 可以写成如下形式 e 竺奠 t 7 一r f 一7 7 2 3 我们很容易可以验证 2 3 的解对 一叩平面上的任意初始点唯一存在 而 且全局有定义 注意到 2 3 的向量场是周期的且周期为e 1 o t 所以如 果三 t 7 t 是 2 3 的 个解 则互 t 七e 七 z 也是 方程 2 3 沿着一个解三 t 的线性化方程为 i 乒 一 f 一 7 一妒 1 妒 一p 一 7 t 一妒 一鱼二二旦篷 掣 2 4 接下来我们将构造 个锥e 使得 为方程 2 4 在过阻尼条件 e o 令 伽 一舢2 2 m 一苫 孚一m 2 5 则当且仅当e 杀 存在两个根p o 因此 如果e 杀 则危 叫 有两个负实根 令p 表示大根 即 p 舰 1 一卓 o 设 咖 妒 t i o 脚 妒 引理2 1 假设o e o 成立 7 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 二 过阻尼摆型方程的不变曲线 证明 假设皿 o a o 因为咖 o o 所以存在o o 对所有 o 成立 令t t 妒 t 肺 o 知 则 t i 警一叫善一非飞吼1 刊2 掣 1 刊一 2 6 因为t i 7 i 怛l 一1 e o 所以有叫 t 1 o 乩故妒 t z o o 事 实上如 否则有l i m t 石 t o 同时存在o t 1 o 使得t i t 6 t t 1 如 故由 2 4 知参 t 一6 m t t 如 由g r o n w a u 不等式可得 1 e 6 m t l 一 t 1 e h l 一幻 o t p 1 o 这与l i m t 石 o 矛盾 所以妒 t p 即肼 t o 证毕 口 注2 2 其实 只要p 取 p 化l 中的任意值 引理2 都成立 我们之所以选 择p 是为了在2 彳节对不变限制水平曲线光滑性的条件进行更好的估 计 现在我们在f 一 7 平面上定义偏序 令弓 白 仍 t j 1 2 定义2 3 我们定义三l 三2 如果6 已且p 巳一专1 7 2 一m 6 一 l j 量1 三2 如果三1 巨2 且巨1 三2 三1 三2 如果6 已且p 临一6 2 一 7 1 已一 1 注2 4 三l 冬巨2 当且仅当三2 一三1 j 三1 一2 当且仅当三2 一巨1 o i 巨l 互2 当且仅当三2 一e 1 t n 龙 令三1 t f 1 t 7 1 t t 邑 z 池 t 啦 t t 为 2 3 的两个解 初始值分 另i j 为三1 o 三l o 巨2 o 三加 定义2 5 系统偿 剀称为强单调 如果 三1 0 三2 t t o 8 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 二 过阻尼摆型方程的不变曲线 我们定义系统 2 3 的p o i n c a r 6 映射p t 巨 o h 三 t 定义2 6 系统仁 砂的n 饥 形映射 称为强单调 如果 三1 0 三 伽号p t 皇1 0 尸t 互2 0 定理2 7 假设o e 杀 则系统俾 圳强单调 证明 假设三1 0 三加 且令e o a 1 一a 互1 0 a 三加 其中a o 1 假设 巨 屯a 是 2 3 的一个解 初始值为三 o 入 令 邮 掣娟似u 蝴 t 则皿 a 满足 2 4 我们有 州 掣 勘也且踟m m z 1 咐m 因为三1 0 o 且p 咖 a 妒 t a 0 故 工 工 7 2 t 一 7 1 t 妒 t a d a t a 烈 已 t 一f 1 t 0 0 且 肥 咱 z 1 似u d 入 z 1 帅 砌a 邮 唧 p 已 t 一 l t p o a d 入 妒 t 入 d a 啦 一t 7 1 t 0 o 所以我们有 p 已 t 一f 1 t 7 2 t 一m t o 口 推论2 8 假设o e 杀 则系统俾 剀的p 0 饥 佗映射矽强单调 令q 7 t i i t 7 l b 其中日 e p r r n 瞰 i r z i z r p m a x i p z z i z t r 定理2 9 q 是偿 砂的正不变吸引集 9 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 二 过阻尼摆型方程的不变曲线 证明 在 2 3 中有 而 刊 力一掣 由p z t r z 的有界性及g r o n w a d l 不等式有 i 7 t i l 7 o i e 一 e e p r 1 一e 一 c i 7 o i e 一班 b 1 一e 一2 则如果i 7 o i b 有i 刀 i 日 即q 是 2 3 的正不变集 且吸引所有的解 口 2 2 不变限制水平曲线的存在性及吸引性 在这一节我们总是假设在 2 3 中o e 杀 故p o i n c 碰映射 在吸引集 q 上是强单调的 我们将证明p t 的整体吸引子在q 中存在 且整体吸引子 实际上是一条限制水平曲线 定义2 1 0 一条曲线量 s 称为水平曲线 日c 如果量 s 三 s 2 对所有的 s s 2 r 且s o 使得三 s r 三 s e 成立 由矽的强单调性 以及p q cq 和矽 一 e p t e e 我们有如 下的结论 引理2 1 1 p t 映q 中的一条限制水平曲线为q 中的一条限制水平曲线 对任意的限制水平曲线三 s f s 7 5 t q 我们有f s s 2 对所 有s t s 成立 因此f 关于s 是严格递增的 所以我们可以将s s 看 作f 的反函数 故一条限制水平曲线在 7 l 坐标系统中可以表示成f t 7 h 满足 1 7 l f 接下来我们证明p t 在q 中存在一条不变限制 水平曲线 定义b a n a c h 空间 国 1 7 l r r 连续且 健 1 九 配上模俐i 8 u p 妊 i i 留是一个b a n a c h 空间 令靠表示 的图 即 z l i t i 留 r 佥 留i 如cq 且如是限制水平曲线 俐l b 1 0 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解二 过阻尼摆型方程的不变曲线 由限制水平曲线及q 的定义 对任意的九 q 等价于 i b 且 正 s 2 一s 1 s 2 一 s 1 s 2 一s 1 v s l s 2 2 7 由 q cq 和引理2 1 1 我们可以在q 上定义诱导映射妒 纺 如 从 而有户 壳 cq 引理2 1 2 集合矗 留j 靠cq 且靠是限制水平曲线 i b 是非 空 闭 且凸的 证明 o q 所以矗非空 下证q 是闭集 假设k q 且k 7 l 关于s 一致 则由 2 7 知 i f k 0 b 故 i j e i 对任意的s 1 s 2 有 p s 2 一s 1 k s 2 一k s 1 s 2 一s 1 所以p s 2 一s 1 危 s 2 一 l s 1 s 2 一s 1 故 q 即q 是闭集 最后证明q 是凸集 令 7 1 1 k q a o 1 五 a 1 1 一入 k 贝 ji i 0s0 入 1 0 i i 1 一a k 0 a b 1 一a 曰 b 对任意的s 1 s 2 有 p s 2 一s 1 7 1 1 5 2 一i 1 1 s 1 s 2 一s l p s 2 一s 1 s 2 一 s 1 s 2 一s l 所以 弘 现一s 1 无 观 一无 5 1 眈一s 1 故五 而 即壶是凸集 口 命题2 1 3 讹d e r 不动点定理 设c 是赋范空间 i i c 中的一个闭凸子 集 t c c 连续且t c 列紧 则t 在c 上必有一个不动点 定理2 1 4 假设仁 砂满足o e o 使得对每一个水平带日有 x 0 日0 鼬 1 1 日i i 口 证明 鼬 0 驯i 是显然的 下证左边不等式 令日 叼 刁九 叩 圯 1 k 则存在岛 0 1 使得1 1 日j i k 一7 l l 考虑直线 z 1 0 7 危1 如 七l f 一如 7 2 岛 乜 专一岛 1 0 叼 1 岛 乜 一岛 7 k 岛 七1 一如 1 2 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 二 过阻尼摆型方程的不变曲线 令 7 1 为z o 和 的交点 已 7 2 为 和k 的交点 我们选取h l 乜 p 且使6 已满足 i 已一6 i 1 令x i 已一6 l 则由水平带宽度及其面积的定义 有x 0 日0 岛 证毕 口 我们定义一个点e 0 岛 7 0 r r 2 和一条限制水平曲线z f r 垮 r q 之间的距离为 成s 姬 2 留出s t 昂 f 定理2 1 9 尸d 讥 形映射 的不变限制水平曲线z r 陲 r l q 是整体吸引子 即对任意的巨o 渤 珈 t r z 有出酣 p 叮三0 o 当 n 证明 对任意的三o 愉 伽 t r 2 由定理2 9 存在7 1 0 n 使得三6 尸 i o t 三0 q 令厶 f 1 1 f r i r h q cq 满足昌 z 1 1 九 f 则 日 7 t i 1 s 7 7 i 1 1 k 盎 为一水平带 则由引理2 1 7 我们有 跏t 日 o 当n 一 o o 又由引理2 1 8 有 出或 z 1 矿d 出s t z 1 d o 当n o o 故击观 p t 岛 一o 当r i o o 口 1 3 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 二 过阻尼摆型方程的不变曲线 2 3 旋转数和平均速度 因为 2 3 的向量场是周期的 所以相空间可以看作柱面r e 故不变限 制水平曲线z 可以看作柱面上的圆周 假设历中对应于z 的函数是危 即 z t i r 留 l b 现在我们定义映射g 如下 令丌表示投射算子丌三 专 其中三 f 7 r 定义 g f 丌p t f t 则映射g 严格递增且满足g 1 g 1 事实上 如果6 已 因 为z 是r h c 所以互1 f 1 7 l 豫 t 巨2 池 九临 t t 的强单调性意味着 p t 巨1 邑 故g 婚 g 心 另外 g 1 丌户r 1 健 1 r 丌 r f 7 l t e 7 r r 传 t e g f 1 所以g 是保向圆周同胚的提升 旋转数p l i r 吣 华有定义且不依赖于 f r 因此我们可以将p t 看作z 上的保向圆周同胚 定义2 2 0 我们称面 一华为 定理2 2 1 假设o o 必定存在整数n n 使得灯 t n 1 t 所以 z t z 一z n q z l t z t 一z 礼t z n t 二 一 一 一 1 4 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 二 过阻尼摆型方程的不变曲线 由足理2 9 口j 碍 阪旷如非i e 的 打卜小 邮却 动t b 删互 且 z n r z n 砷 z n 即 n 1 t t n t 故我们有 雷 熙半 熙华 熙警 芋 n cn zn t i f 如果初始点 f o 7 o tg 因为q 是吸引集 不失一般性 我们可以假设 f o 7 7 o t q 则存在点 亭 j t 和正整数七使得 害一七 而 t o 7 o t 专 七 而 r 所以由 的强单调性可得 p 盯 善一七 f t n 7 灯 尸 尸n t 善 七 而 t n n 故g t l 自一七 孔t g n 白 七 因此 面 舰学 恕警 熙警 恕华 晏 n n n r n i i n 礼7 注2 2 2 如旋转数p o 则存在f r 使得g 即存在三 满足 矽三 e 因此存在t 一周期解 如果p p g 是有理数 则存在 r 使 得g 口 p 即存在一个 g 型的第二类周期解三 t 满足三 归 e p e 如果p 是无理数 则对任意的e z 严的u 极限集u e 不依 赖于三 且或者是圆周z 或者是在z 中无处稠密的完全集 每一种情况都存 在仁剀的拟周期解 如果u 三 是圆周z 则称 在z 上是遍历的 定理2 2 3 假设o e o p t s e t 曲 t 满足方程 i 扫 矿偿一 7 t 一妒 2 一矿 f 一 7 t 口一e 亡 矿 f 一叩 t 一妒 2 一矿健一 7 t 口一e 2 9 i p 一 一 7 一妒 2 一 一刀 口一e e 初始条件口 o s o o s 粥 s 令 入 t is 咖 t s e t s 一妒 厶s p t s 2 1 0 引理2 2 4 存在常数口 o 使得对所有的s r 成立 i a t s l i 名 s l e 一 t 口 证明 对 2 1 0 两边关于t 求导可得 又 一 堡 二尘a 一矿 一t 7 t 一妒 3 掣 一妒 2 2 1 1 初始条件a o s 粥 s 因为 妒 t i n t 所以 t s o 且 一妒 1 一p 对t o 和s r 成立 同时 由 2 4 有 一仇 1 一p 参 m 1 一p 1 6 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 二 过阻尼摆型方程的不变曲线 由g r o n w a n 不等式可得 e m 1 一曲 e 一竹 1 一曲 o s s e m 1 一p 妒 o s e m 1 一p t o s r 2 1 2 因为p 妒 所以 o 一妒 1 一p 1 一p e m 1 一曲 1 一p e m 1 一p t t o 明 又因为 z y 且矿和 是周期函数 所以由式 2 1 1 易得 存在不依赖 于s r 的常数n 使得 i 入 t s i i a o s i e 一 r d i 危 s i e 一詈t 口 其中a e m 1 一e 一 t 7 m m a x 矿健一 7 t 一妒 3 掣 一妒 2 r 口 引理2 2 5 假设o e 蒜 则e 一汐 矿 s 1 证明 由 2 1 2 式可得 e 一 t 扩 s e 一詈t e 一轨 1 一p t e 一 詈一拥 1 一p 弦 其中 詈一3 m 1 一p 一兰王二譬 二2 1 l 譬 令o e o 故如果o e 蒜 则 e 一詈t 扩 s 1 口 定理2 2 6 假设o e 蒜 则矽的不变限制水平曲线z f r 垮 r q 是c 1 光滑 即危 c 1 另外 在 o 1 上是有界变差函数 证明 令如 f 0 f tls r q 为q 中的限制水平曲线 t s t 7 t s t 是 2 3 的解 初始值f o s s 7 o s s 厶 k f tlf f n 正s k 7 竹 s s r k q 竹 1 2 则厶 胪岛对n 1 2 都是q 中的限制水平曲线 警 矧 掣南 矧 掣 罕 吐 一 一 一一 一 一 口l 必必 正s d s 武 t s t 5 诞2扩 r p 1 7 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 二 过阻尼摆型方程的不变曲线 由引理2 2 4 和引理2 2 5 可得对任意的s r 有 i 警i 訾纠删怕 其中七 e 一詈r 3 s 1 口1 口e 咖 1 一胪 令l 0 1 1 一七 则对所有的 r 有 l 堡篓笋i l 醚 钏 厶如i 端 s i 厶s r 类似的 对7 i 2 有l 蟛 f i 厶对所有的f r 成立 故 蟛 专 一 致有界 因为p k f 矽 n 正s n 正s 1 且l 蟛 f i 厶所以 等 度连续且一致有界 k 必定存在子列 f 一致收敛到扩 f 因为 k 一 专 所以 f 矿 f 另外 l f 1 一 已 i l i ml 碥 f 一 已 i l 陪z 一已1 一 1 一 所以 f 一致l i p s c b j t z 连续 从而在 o 1 上是有界变差函数 口 命题2 2 7 d e 咖3 定理 设函数 s 1 卜 s 1 是圆周保向同胚 p 是 无理数 如果 具有不取零值的有界变差的微商 即 的任意提升f 具有 不取零值的有界变差的微商p 那么 是遍历的 定理2 2 8 假设o e o 是整数 r o 是阻尼系数 9 为周期函数 满足 9 2 7 r 9 z 9 z 如 o 且l 夕 z i 9 口 o 为位置耦合系数 p o 为速度耦合系数 f o 是驱动外力 我们重点讨论行波解的存在性及稳定 性 所谓系统 3 1 3 2 的行波解 即是 吼 hj 等t 歹 z 3 3 其中 是波形函数 r r 满足存在最小的t o 使得 0 卵 t 2 7 r 3 4 t 称为波形函数的周期 我们首先证明了行波解的存在性 然后讨论了系统 的单调性 最后在单调性的基础上推出了行波解的稳定性 3 1 行波解的存在性 本节我们来证明行波解的存在性 我们采用的方法是k a t r i e l 在 2 3 中的方 法 即先将行波解的存在性问题转化为一维系统的不动点的存在性问题 然 后利用s c h a u d e r 不动点定理得到不动点的存在性 即系统 3 1 3 2 的行波 解的存在性 定理3 1 对任意的t o 都存在某个f o 使得系统p 砂p 剀存在一 个p 砂p 类型的行波解 1 9 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 三 强阻尼耦合振子的行波解 证明 一个函数 为系统 3 1 3 2 周期为t 的行波解的波形函数 当 且仅当它满足 3 4 和 r t 夕 t a t m 州 一m 叫 一2 口e 卢 0 m 叫 t m 叫 一2 t p 1 6 aj 令 牡 力 t z 一2 7 f z 3 6 则有 u 2 1 t l z 名 r 3 7 从而 3 5 可以被写作 名 z i r z 铲9 t 正 z 2 7 r z 严a u z 删 t z 一叫 一2 t 上 z 邓 z 删 z 一驯 一2 z 铲f 一2 7 r r r 3 8 注意到如果u 满足 3 7 3 8 则面 z u 0 c 2 7 r c 对任意的c r 也满 足 因此我们可以确定一个c 使得u 满足 z 1 u s 灿 0 3 9 对 3 8 在 o 1 上两边积分得 f 等 小小 2 缸 3 1 0 所以 3 8 可以被写成 z t r z p 9 t z 2 7 r 力 铲口 u z m 让 z m 一2 t 上 z t 卢 z 州 z 一 一2 彳 1 严 9 t i s 2 7 r s d s 1 0 3 1 1 反之 如果 满足 3 1 0 和 3 1 1 则满足 3 8 定义b a n 础空间 x u 卅0 1 1 m 0 u 1 川0 邶 z 1u s d s y 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 三 强阻尼耦合振子的行波解 分别配置日z 空间和驴空间的模 定义x 到y 的线性映射幻 xh y 西 u z 炸 蜊一 2 a 删 u 名一删 地 z 如 一t p 名 朋r z 一朋r 一2 z 对x 的基 e 2 州硝 l o 的每个元素 有 幻 e 2 霄 硝 肌e 2 丌 其中 肌一砘2 砌严0 警 一 砌卟铆 c 0 8 警 一1 卜 川 忡2 砌严 c o s 警 一1 2 2 捌卟铆 c o s 警 一1 孵 3 1 3 注意到 只要r o 则i 肌i 2 丌丌 对任意的z o 即幻存在逆映射 满 足 写1 e 2 州硝 2 玄e 2 州甜 容易证明幻的逆映射有界且 懈l l i 搿南 赤 3 因为写1 映y 到x x 又紧嵌入到y 因此我们可以将写1 看作由y 到自身 的紧映射 定义非线性映射 yhy t z 一夕 t 上 z 2 7 r 名 9 u s 2 丌s d s 容易验证 是连续的 且值域有界 事实上 2 酬y z 1 咖 s 2 2 d s 互卸 其中p m 弧伽 z i z r 因为 u 和一9 u 名 2 丌z 在y 中正交 我们有 0 t i i y p 讹 y 3 1 5 现在可以将 3 7 3 9 3 1 1 看作不动点问题 u p 坛1o 牡 3 1 6 2 1 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 三 强阻尼耦合振子的行波解 由坛1 的紧性和 的有界性 右边可以看作紧算子 且由 3 1 4 3 1 5 可 得右边有界 所以由s c h a u d e r 不动点定理得 3 1 6 在y 中存在不动点 事 实上右边的算子是 y y x 所以不动点u xqc 1 o 1 c 伊 o 1 且 因为 关于u 连续 可得 u 伊 o 1 另一方面 3 1 6 可以写成 幻 t t 严 缸 故b t i 伊 o 1 由岛 u 的定义 我们有 伊 o 1 所以u 俨 0 1 口 定理3 2 对任意的f 1 系统何砂似砂存在一个p 砂似 类型的行 波解 证明 我们现在重写 3 1 0 将其看作定义在 o o o y 上关于 z 让 的 函数 f 叫叫 等 小小 2 d s 3 1 7 显然 f 关于t 和u 连续 鲰西 正t 3 1 8 r o 7 7 且 u 平s u p 面 u 1 3 1 9 n 7 因此 只要 f i n f 圣 t t zt 为 3 1 6 的解 3 2 0 系统 3 1 3 2 就存在一个 3 3 3 4 类型的行波解 由 3 1 9 知 1 所以当f 1 存在t o 和t l 满足 3 7 3 9 3 1 1 使得 等 小小 2 删瓠 所以当f 1 系统 3 1 3 2 存在 3 3 3 4 类型的行波解 口 定理3 3 任意固定卢 o a o 存在r o o 使得o r r 0 时 对所有 的f 户 o 口 a 系统p 砂p 矽存在一个p 砂何纠类型的行波解 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 三 强阻尼耦合振子的行波解 证明 由 3 1 3 口j 知 卜2 恤铲 c o s 警 一1 1 i i 因此 如果我们假设o t 死 舞 急 则当2 1 时 i 肌i 2 7 r 2 所以 0 坛1 i l 由 与r 无关 由 3 1 6 知 如果o t 晶 则删y 嚣 现在选 取o 乃 而 使得筝 户 则如果 n u 为 3 1 6 的解 就意味着 l 19 札 s 2 丌s d s i i z l 9 u s 2 万s 一9 2 丌s d s i 夕小 s j d s 绅i i y 簪 争 最后我们选取r o 使得鲁 户 所以当o r 圣仍 u 即庐 由定理3 2 中的 3 2 0 知系统 3 1 3 2 存在一个 3 3 3 4 类型的行波解 口 3 2 系统的单调性 在这一节我们证明系统的强单调性 首先我们做一个变换 笔三 芸 1 奶歹 1 2 c 3 2 1 令f 婚 已 妇 t 7 t 7 1 7 2 狮 r e 刀 t 则系统 3 1 3 2 变成 l 一r 一1 9 6 一m r 一1 口 已一t 7 2 知一 7 一2 6 一仇 p t 2 伽一2 叩1 一2 7 r r 1 q m i 白 一r 一1 夕 臼一聊 r 1 q 1 一吼 知一1 一伽一l 一2 臼一聊 m 二黔荔篡 矗 臼一一婚呻 3 忽 h 一r 7 1 一r 一1 9 l t 7 1 r 一1 q 已一 7 2 臼一 7 一2 f 1 一 7 1 7 p t 7 2 7 一2 7 1 一2 7 r r 一1 q m 抽 一r 伽一r 一1 9 臼一狮 r 1 口随一仉 知一1 一伽一1 2 知一伽 p h 肿一1 2 聊 2 7 r r 1 乜m 过阻尼摆型方程的不变曲线及强阻尼耦合振子系的行波解 三 强阻尼耦合振子的行波解 沿着一个解量 t 的线性方程为 f 锄 一r 一1 矿 白一仍 仍 r 一1 夕 白一仍 吻 r 1 q 仍 1 一奶 1 j 叻一1 一吻一1 2