（应用数学专业论文）几类椭圆型方程和方程组的定性研究.pdf

东南大学学位论文独创性声明 i i j j f j f l i 川f i i f f f i l j y 17 5 4 5 8 8 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果 也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 研究生签名日期 2 望么 尹 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学 中国科学技术信息研究所 国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致 除在保密期内的保密论文外 允许论文被查阅和借阅 可以公布 包 括刊登 论文的全部或部分内容 论文的公布 包括刊登 授权东南大学研究生院办理 研究生签名 导师签名 巡日期 兰乒卫j l 几类椭圆型方程和方程组的定性研究 研究生 魏雷 东南大学数学系 南京 2 1 0 0 1 8 关键词 拟线性椭圆型方程 拟线性椭圆型方程组 拓扑度 多解性 临界点 下降流 不变集 基态解 边界爆破 摘要 本文讨论了几类椭圆型方程和方程组的解的存在性 多解性 先验估计以及其 他相关性质 在第一章中 介绍研究工作的背景以及本文的主要工作 在第二章中 主要研究一类矿l a p l a u c i a n 方程的多解性 本章主要利用上下解方法和变 分方法 证明了方程有五个解 其中两个正解 两个负解和一个变号解 在第三章中 主要研究含有参数a 且带有齐次d i r i d l l e t 边界条件的椭圆型方程的多解 性 从总体上看 我们所研究的问题的非线性项在零和无穷远处均是次线性的 这种情况 在以往的研究中出现较少 本章利用下降流不变集方法去寻找欧拉泛函的非平凡临界点 进而得到了八个非平凡的解 其中三个正解 三个负解和两个变号解 在第四章中 主要研究含有参数a 且带有齐次d i r i c 边界条件的拟线性椭圆型方程 组正解的存在性 先考虑在球上且指数满足q p 一1 g 一1 的情形下 随着入在正方 向上变化时 径向对称解个数的改变 在这种情形下 先利用b l o w u p 方法给出径向对称 解的先验估计 再利用拓扑度给出解的分支 随后 在有界光滑区域上且指数满足q p 一1 口一1 a l i l dt h ed o m a i ni 8as p h e r e w es h a wc h a n g e0 f t h em m l b e ro fr a d i 以 l u t i o 璐鹊入v a r i 鹤 i nt h i sc a s e w ee s t a b l i s hap r i o r i 鹤t i m a t e0 fr a d i a l ls 0 1 u t i o l l sb yb l 弧h l p 耐h o d a n dp r 0 et h e 耐s t e n c e0 fb r a n c h0 fs 0 1 u t i o n si n 讥r t u e0 ft o p o l o 舀c a ld e 日e e a tl a s t w ee s t a b l i s hap r i o r ie s t i m a t eo fs o l u t i o n sa n dp r o v et h ee i s t e n c eo fp o s i t i v es 0 1 u t i o n s w h e n t h e i o m a j ni sb o l l i l d e da n ds 皿l o o t h 龃dt h ee x p o n e n t ss a 七i s f yq p p 一1 g 一1 情形 4 3 口 o 使得对任给的入 o 天 都有细 a a 入2 且 在q 上满足 帅 a 2 时 上面的问题有三 个非平凡解 在本世纪初 z l l i u z q w 堍 s j l i j x s u n z t z h a n g t b a u r t s c h 等人开始 利用下降流不变集方法研究椭圆方程的多解性 并得到了丰富的结果 2 0 0 0 年 s j l i 和z q w 缸g 在 5 6 中运用序区间上的山路引理 研究了如下方程 竺乙 入l u r 一2 t t l 二茎曼 其中1 g 0 使得 s 一o 同时 要求 在无穷远处是次临界超线性增长的 2 0 0 1 年 z l l i u 和j x s 在文献 6 3 中系统地介 绍了下降流不变集的方法 他们给出了不变集的相关定义 判定和多个临界点存在的判定 定理 同时成功的把多个临界点存在的定理运用到研究方程的多解性上 他们在文献中研 究的椭圆型方程的非线性项是超线性次临界的 随后 下降流不变集方法得到了广泛地应 用 具体的可以参见文献 1 5 1 6 6 0 6 1 6 2 6 4 5 6 6 5 6 6 8 7 8 8 特别地 在文献 8 7 8 8 他 们运用下降流不变集的思想研究了矿l 印1 a u c i a n 方程的多解性和变号解 其中的非线性项是 带跳的 在文献f 1 5 1 中 t b a r t s c h 和z l l i u 系统地给出利用下降流方法研究p l 印l 撕觚方 程多解性的框架 并在超线性次临界条件下 给出了四个非平凡解存在的结果 对于很大一部分拟线性椭圆型方程组来说 它们是没有变分结构的 必须选择适当的 工具进行研究 因此拓扑度便成为研究它们的有力工具 于是 解的先验估计在解的存在性 证明过程中起到非常重要的作用 对于先验估计来说 在1 9 8 1 年 b g i d a u s 和j s p r u c k 在文 献f 4 9 1 提出了b l o w u p 方法 即通过反设 把先验估计的反设结论转化为与已知的l i o u 试l e 定 理相矛盾的结论 对于没有变分结构的拟线性方程组解的先验估计和解的存在性的研究 在过去的十多年时间里 已经出现了一些经典的结果 2 0 0 0 年 p c 1 6 m e n t j f l e c l i n g e r e m i t i d i e r i 和f d et h 6 h n 在文献 2 4 1 中研究了如下的方程组 一 p u 铲护 z q 一 口t 矿 z q t 0 口 0 z q t 0 z 勰 其中q 如 o 并且要求全局超齐次条件 即 所 0 1 一q 口一1 6 第一章前言3 同时对指数也提出了另外的一些限制性条件 他们先用b k 一u p 方法给出了解的先验估计 然后用拓扑度给出了解的存在性 2 0 0 2 年 c a z i z i e h p c 1 6 n l e n t 和e m i t i 1 i 甜在 12 中研究 了下面的问题 屠霉 z q z q z 锄 其中l 饥 耽 p 1 1 慨一1 他们巧妙的引进参数 依然运用了b 1 0 w u p 方法给出解的先验估计 2 0 0 5 年 j f l e d d n g e r 和w 鼬i d l e l 在文献 4 0 中利用拓扑度方法研究了如下拟线性方程的解随着参数变化时的存在情 况 三薹2 入 1 t 口l 三重曼 其中g 一l p 一1 1 o 使得当a 时 问题没有解 当入 o 入 时 问题至少有两个解 当入 时 问题至少有一个解 对于全空间上椭圆型方程 特别是s c l l r 甜i n g e r 方程已经成为研究的热点 可以参阅文 献 2 2 1 5 8 7 4 2 9 7 7 8 3 近几年 对于全空间上椭圆型方程组的研究也得到了一些类似 于单个方程的结果 2 0 0 5 年 a i a v n 铘j f l g 在文献 10 中讨论了如下椭圆型系统 z r z r z r 的多个正解的存在性 2 0 0 7 年 c o a 1 髑在文献 1 中研究了如下椭圆型系统 z r z 酞 l z l z r 功 p p m 甜砖对 缸姒 l i u 移 让 移 蚺蚺扎 孑 口 吖 叩 j 巾吣 m l卸娟 p 功 肌叽一 妨k 卧如咄 乱血小 0 0 d 叫 叫以 4东南大学博士学位论文 的正解的存在性和解列的集中性 其思想类似于 2 9 7 7 8 3 2 0 0 8 年 g m f i g u e i r e d o 和m f f u r t a d o 在文献 3 9 中研究了如下的拟线性椭圆型系统 q 仳 缸 移 q t u 口 0 z 酞 z 一 z r 并给出了多个解存在的结论 前面提到的都是齐次边界条件或全空间上的椭圆型方程和方程组的相关问题 而带 有边界爆破条件的椭圆型方程最近十多年已经得到了相当多人的关注 可以参见文献 3 1 3 4 3 5 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 5 1 6 7 6 8 6 9 7 0 5 5 8 5 8 6 最初人们大都借助上下解方法研究 如下的边界爆破问题 嚣掣 二茎三 特别地 当 z 牡 口 u 一6 z 妒 其中p 1 6 0 为非负函数 并且研究的结果涉及到解 的存在性 唯一性和边界附近的爆破率 2 0 0 3 年 j g 缸a u c 江m e l i 缸和a s u 缸e z 在文献 4 7 中 首先研究了如下带有边界爆破条件的互助系统正解的存在性和唯一性 z q z q z 勰 随后 2 0 0 4 年 在文献 4 5 中j g 盯a c f a 广m e l i 钿和j d 取襁i 研究了如下带有边界爆破条件的 竞争系统 矿 口 z q 矿矿 z q o z 鲫 其中p s 1 q r o 2 0 0 7 年 h l l i 和m x w n g 在文献 5 5 讨论了如下问题 z q z q z 锄 其中毗 o 玩 c i 1 2 是正常数 且m 口 o 佗 p o 并给出了解的存在性和不存在性 以及唯一性的充分条件 茅一 儿 i 事 地 咖w 一 掣 掣 邺 一 加 抛 瞎情 一 一 u 口 孔 砉 蚴 i i i l l u 移 一 一 u lj lil 移 移 u ili 1i 1 l 呐 叩 q 一 一 抑 驴 舻 加 阮 一 一 m 山咖如鸭 u u 一 一 u i j 1 第一章前言 1 2 本文的主要工作 第二章讨论如下带有齐次d i r i c h l e t 边界条件的p l a p l a u c i a n 方程的多解性 笺吖 一l 嚣 5 对于非线性项 文中提出了局部超线性和局部次线性的条件 受到文献 3 6 3 7 2 2 的启发 借助上下解方法和变分方法给出了五个非平凡解存在的结果 其中两个正解 两个负解 和一个变号解 为了给出变号解 文中用到了一 口的第二特征值的极大极小表示形式 形 变引理和山路引理 从一定程度上说 本章把文献 3 6 3 7 中关于l 印l a c e 方程的结果推广到 了p l a p l a u c i a n 方程 而单就变号解的存在性来说 我们的条件是弱于 2 2 中的条件 关于最 小正解和最大负解存在性的证明 本章的证明方法比 2 2 更简单 第三章讨论了一类带有齐次d i r i c h l e t 边界条件的非线性椭圆型方程的多解性 在 3 2 中 研究了如下半线性的方程 三 入l u r 一2 仳 z u l 二茎三 其中qcr 是有界光滑区域 1 2 且方程中的非线性项 在 和o 处均是次线性增长 的 对于上面方程的多解性 我们运用下降流不变集的方法进行研究 在对欧拉泛函提出 适当的条件下 证明了上述问题至少有八个非平凡的解存在 其中三个正解 三个负解和 两个变号解 同时 从证明中可以看到各个解大概的位置情况 在 3 3 中 把半线性椭圆型 方程的多解性结果推广到如下的p l a p l a u c i a n 方程 f 一 p t 正 入l t 正 口 2 t 正 9 z t z q 1u o z 勰 其中1 口 p p 一1 g 一1 先 利用b l a w u p 方法给出径向对称解的先验估计 然后借助拓扑度理论给出当参数入变化时径 向对称解的存在情况 即存在 o 使得当o 入 a 时 方程没有径向对称解 在 4 3 中 要 6东南大学博士学位论文 求q 为有界光滑区域 且口卢 p 口 2 e o 并给出了该方程组基态解的存在性 记为 u 魄 在 5 4 中 证明了 当e 趋向 时 基态解列 镟 仇 具有一定的集中性质 全空间的p l 印l a c i a n 方程组的研究 仅发啦 g 的情况的文献 当p 口时 其相应的n e h 撕流形和相应的纤维丛映射之间有 一个特别的好的结果 从而可以运用局部山路引理的思想去考虑 但是当p g 时 其相应 的n e h 撕流形与相应的纤维丛映射之间的关系使得不能直接运用局部山路引理的思想去 讨论 第六章研究了如下带有边界爆破条件的椭圆型方程组 z q z q z 御 其中q 是有界光滑区域 n l 口2 印 豆 6 1 6 2 伊 q m m 1 o p p 1 0 竹 q 0 c 1 c 2 o 我们利用上下解方法给出了正解的存在性 同时也给出此正解在边界附近的爆 破率 p u 口 以叫 笪 刮 m 训 d 圳 脚峨 u 训 k k u 口 一 一 l 掣川 一 q m u p 妒曲幻 l 一 缈缈 如如鸭 l u 一 一 第二章一类拟线性椭圆型方程的多解性 2 1 引言 在这一章中 将研究如下带有齐次d i r i c l l l e t 边界条件的拟线性椭圆型方程的多解性 一 p u p u z q 2 1 1 t o z a q 其中qcr 是有界光滑区域 p u v i v u i p 2 v u 是著名的p l 印l a u c i a n 算子 显然 p 耐巾 q w 1 q 其中 表示p 的共轭指数 关于p l 印l a c i a n 算子的性质 可以参见文 献 3 0 如果对任给的妒 蝣 p q 有 i v u r 2 v u v 妒如 z u z 妒如 2 n 则称u 附 p q 是问题 2 1 1 的解 近年来 非线性分析在数学对实际问题的应用中起到越来越重要的作用 越来越多 的人正关注非线性椭圆型方程的研究 其中含p l 印l a u c i a n 算子的拟线性方程是非线性椭圆 方程中的重要一类 少l a p l 撕a n 方程产生于如下一些问题 n o n n e 毗o i l i a n 流0 2 对应的 是d i l a t a n t 流 1 p 0 是一个参数且指数口 r 满足o g 1 r 2 一1 在本章中 其主要结果也可以 直接用到如下的方程上 进而说明下面方程的多解性 r p u a 口 洲p 1 t i 蚓 h z 化 2 1 2 札 o z 锄 7 8东南大学博士学位论文 另外 在 1 3 中 j a z o r e r o i p e r a l j m a n 丘e d i 也研究了问题 2 1 2 但他们要求o z 和6 z 是 常数 本章把标准的上下解方法和变分方法相结合来研究问题 2 1 1 的多解性 我们要求非 线性项满足局部的次线性和局部的超线性条件 这从一定程度上说 是对 3 6 中结果的推 广 同时 给出的解多于 3 6 中的结果 并且在证明最小正解和最大负解的存在性上 本章 的方法要相对文献 2 2 6 0 中的证明简单 另外 仅仅从变号解的存在结果来说 本章的条 件要弱于文献f 2 2 1 中的条件 2 2 预备知识和主要结果 本章总假设l p 记盯7 为盯的h 6 l d e r 共轭指数 即吾 刍 1 并记矿 鹊 用 峙表示l 盯 q 中的范数 用 l i 表示耐 p q 中通常的范数 即 上i v 卵如 m 显然附 p q 嵌入到妒 q 并且用q 表示嚼巾 q 嵌入到口 q 的最佳嵌入常数 用诺 表示铝 中的自然序正锥 即 c 吾 瓦 t 上 础 孬 t z o v z q 我们知道锑 孬 有非空的内部 即 n t 础 孬 o 比 q 且雾 o 比 鲫 其中z 表示勰上的单位外法向量 对于p l 印l a c i a n 算子来说 一 p 有最小特征值 记为入l 则入1 q 是简单的 且其对 应的特征函数妒 咏 p q 在q 上是正的 不妨设妒满足正规化条件如i 妒l p 如 1 由正则性 结果知妒 铝 孬 同时入1 q 有如下的表示形式 入 q m i n a l q 在 2 5 中 m c u 船t a d g d ef i g i l e i r e d o 和j g 0 8 z 给出了关于算子一 p 的第二特征值的极 大极小的表示形式 入2 q 2 魁u 踹 p 其中r o 9 c o 1 s 夕 o 一妒 9 1 妒 s w 0 p q na b l j 夕 q b 1 j 夕 q t 妒 q l p 1 第二章一类拟线性椭圆型方程的多解性 定义2 2 1 如果面 1 p q 且在御上面 o 同时对任给的非负函数妒 耐 p q 有 i v 面i p 一2 v 面v q h d z z 面 z 咖d z n 2 则称面是问题 2 1 1 的上解 类似地 如果型 w 1 p q 且在a q 上型 o 同时对任给的非负 函数 咏巾 q 有 l v 笪i p 一2 v 笪v q 垴z z 笪 z 咖d z i z s l 则称笪是问题 2 1 1 的下解 设x 是实b a n a c h 空间 对任给的c r 我们记 雪c z x 圣 z c 配 z x 圣 z c v 圣 z o 现在回顾一下著名的形变引理 假设西 c 1 口 r n 6 圣满足p s 条件 西在 n 6 内没有临界点 同时设圣一1 口 内有至多有限个圣的临界点 则存在关于西 递减的 同伦映射 o 1 矿 凰 一妒 使得 1 矿 凰 c 圣口 o j l 妒 并对所有的 亡 z o 1 圣口 有危 t z z 关于圣 递减的意思是 如果o s t 1 则 雪 九 z 亚 s z z x 现在介绍一个强比较原理 在后面的证明中会用到 参见 2 6 设qcr 是有界的区 域且御是c 2 口类连通的流形 其中n o 1 1 p 设 9 l o o q 且满足o 吼 夕 如果u 秒 埘 p q 分别是如下问题的弱解 一 p 札 在q 内 u 0 在锄上 一 9 在q 内 钞 o 在锄上 则在q 上有o t 口 u 口 且券 赛 o 在a q 上成立 其中 表示关于a q 的单位外法 向量 在本章中 证明过程会经常用到关于p l 印l a c i a n 算子的最大值原理和强最大值原理 可参见 4 6 8 2 假设 z s 是q r r 的c a u r a t h 6 0 d o r y 函数 为了得到本章的主要结果 对于非线性 项 我们提出如下的一些条件 凰 对任给的z 瓦和s r 有 z s s 0 日1 存在1s 仃 o 使得对任意的z q 和s r 有 i z s i d 1 z d 2 i s l 盯一1 9 1 0东南大学博士学位论文 日2 存在口 p 1 7 o 及非负函数d l 譬 7 q 使得对任给的z q 和满 足i s i s o 的s 都有 o 口f z s s z s d z 1 8 i r 其中f 表示为 难 s 小州皿 日3 存在o g p 一1 r o 使得对任给 的z q 1 和i s i s 1 有 i z s l a 1 q 1 l s i p 一1 其中入1 q 1 表示一 p 在q l 上带有齐次的d i r i c h l e t 边界条件的第一特征值 风 存在非空的子区域q 2cq 且铀2 是俨 口流形 同时存在口1 0 s 2 0 使得对 任给的z q 2 和f s i s 2 有 f s p 1 矿 凰 7 存在q 1cq 且a q l 是c 2 q 流形 同时存在s 1 o 天 入2 q 1 使得对任给的z q 1 和j s i s 1 有 i z s i 天i s r l 其中入2 q 1 表示一 p 在q 1 上带有齐次的d i r i c h l e t 边界条件的第二特征值 注2 2 1 条件 日4 日4 是局部的次线性条件 而 日5 是局部的超线性条件 很清楚 如果 溉黜 o 8 一oi s l p 一2 s 关于z q l 一致成立 则 日4 和 凰 成立j 如果 i 概删 关于z q 2 一致成立 则 风 成立 另外 条件 日3 也隐含着 z 0 0 定理2 2 1 假设 凰 凰 日4 成立 则存在6 o 使得当知 o 川时 2 1 1 在l q 中 有最小的正解和最大的负解 分别记为t l 和缸一 进一步地 有t i 衲 础 和一u 一 衲 q 豆 第二章一类拟线性椭圆型方程的多解性 为了方便 记 风 希眵1 m e s q 学 尾 高眵1 m e s q 学 其中m e s 表示测度 在定理2 2 2 中 将强加如下的条件 矿1 1 普 卜州 普 刖 即 n 一卅1 瑶一口 1 0 使得当o 0 0 6 时 问题 2 1 1 有五个解 其中两个正解 两个负解和一个变号解 如下是定理2 2 2 对具体问题 2 1 2 的应用 定理2 2 3 设0 口 p 一1 r o 使得对任给的入 0 a o 问题 2 1 2 至少有五个解 其中两个正解 两个负 解和一个变号解 2 3 定理的证明 定理2 2 1 的证明记e 为如下问题的唯一解 一 p e 1 z q te o z a q 利用p l 印l a u c i a n 算子的性质知e c 吾 西 由强最大值原理 参见 8 2 在a q 上器 o 这也 显示出e i n t 础 因为osg p 一1 o 和6 o 使得对任给 的0 0 o 川 有 扩1 o o m 口f e i 冬十6 0 i i e 0 进而得 一 p m e m p 1 口0 m g i 6 0 m 7 i 毛 z m e 所以m e 是问题 2 1 1 的上解 现设妒1 蝣 p q 1 nl o o q 1 是一 p 在区域q 1 上带有齐次 的d i r i 砌e t 边界条件的第一特征函数 于是有妒1 i n t 诺 1 在q q 1 上 延拓妒1 不妨把 1 1 1 2东南大学博士学位论文 被延拓得到的函数仍然记为妒1 现在选择适当小的e o 使得e 妒1 z s 1 和e 妒1 z m e 成 立 于是 对任意非负的妒 嚼 p q 有 i v e 妒1 i p 一2 v e 妒1 v q b i v e 妒1 l p 一2 v e 妒1 v q 如 上 一 p e 妒 妒如 厶 e l 矾妒 i p 2 等如 一 p 妒1 d z c 妒1 p 一1 a 1 q 1 q 出 z e 妒1 q h 如 z e 妒1 d z n 1 n 上面的不等式隐含着e 妒1 是问题 2 1 1 的下解 由标准的上下解方法 参见 3 1 知 问题 2 1 1 在 c 妒1 m e 中存在序区间 c 妒1 m e 中的最小解 并记为陇 由于毗 l o o q 所以 z 毗 l o o q 借助正则性理论 参见 57 8 1 可得u 锘抽 瓦 现证明 在空间l q 中 问题 2 1 1 存在最小的正解 类似上面的证明 对于充分大 的n 可以把击妒作为问题 2 1 1 的下解 且满足击妒 m e 于是 2 1 1 存在区间睦妒1 m e 上 的最小正解 不妨把它记为 容易看到 当n o 时 上t 逐点成立 可以断言u 是 2 1 1 的解 事实上 因为 在l q 中是有界的 结合条件 凰 容 易看到 z 在l o o q 中也是有界的 又因为 一 p 一1 l q 础十口匝 为全连续 的算子 所以 在础 有收敛的子列 不失一般性可以假设在铝 豆 中 u 更 有当n o 时 让 在耐 p q 中成立 因为u n 是问题 2 1 1 的解 所以对任给的 孵伊 q 一 p t l n z t n z z c b 2 3 1 借助控制收敛定理 在 2 3 1 中关于礼取极限知 u 是 2 1 1 的解 断言缸 o 即让 是 2 1 1 的非平凡的解 假设缸 o 由于 t 在础而 上成立 所以存在充分大的伽 o 使得对任给的n 伽和任意的z q 都有o a 1 q 1 町1 l l o z q 1 2 3 2 z 砌1 借助第一特征值的性质 参见 4 6 知 2 3 2 式隐含着算子一 在q 1 上带有齐次的d i r i c h l e t 边 界条件的第一特征值大于a 1 q 1 从而产生矛盾 因此 t 是问题 2 1 1 的非负解且u o 利用强最大值原理 可以看到t 是问题 2 1 1 的正解 下面证明u 是三 q 中的最 小正解 事实上 假设秽 l q 是问题 2 1 1 的任一正解 由上下解理论 参见 3 1 知 曲 移 m e 是问题 2 1 1 的上解 又口 l o o q 所以 z 钉 z 俨 又因为 一 p 一1 l q 础 n 豆 所以移 诺托 一 利用强比较原理或强最大值原理知 在御上嘉 s 1 l l u i i s 1 事实上 假设0 牡 i o o s l 则由条件 日4 得 z t z 入1 q 1 心 z p 一1 v z q 1 因此 f 一 p t 正 z 让 入1 q 1 哼1 z q 1 t 正 o z a q l 这是不可能的 参见 4 6 类似地 也可说明i i u i l s 1 为了去寻找更多的解 下面将利用变分方法 m o u n t 2 l i n p 獬引理 为此 首先给出与 问题 2 1 1 对应的欧拉泛函 西 u 刍上i v 钍i p 如一上f z u z 如 其中f z s 片 z t 疵 命题2 3 1 如果 凰 日1 日2 凰 日4 日5 及 2 2 1 成立 则问题 2 1 1 存在一个正解 和一个负解 分别记为 和v 一 同时满足 圣 q 0 圣 u 一 0 证明在这里 仅去证明问题 2 1 1 存在一个正解t 并满足西 钉 o 对于负解的情 况证明是完全类似的 在q r 上引进舍位函数 c z t o 使得 口圣1 一圣i c c 0 0 罢一1 l i 酽一上口f 1 z u n z 如 上 z 如sc c o i 所以有 三一1 i l i i p c c o i i r 口f 1 z 一 z t 正竹 如 d z l u n i 如 y f u n z i 8 0 n 一 训 加圳c 和 和 m 圳p 如 尹 因为1 r p 所以可以看到 在附廖 中是有界的 不失一般性 可以假 设 一钍在略 p q 中成立 且在l 盯 q 中 u 显然 有 一 p 一让 圣 乱n 一心 上 z 一u 如 又由条件 蜀 知 上 z t 1 一u 出i z 恢 z u n z 一乱 z l 如 d 2 上i r 1 i 一训出 加 r 如 v 一 加 州l 盯哟 加 d 2 i 州矿心妒出 少7 所以 上 z t l t l 一乱 如 n o 结合科 o 得 一 p 一u 一0 机一o o 借助一 p 的 性质 故 在嚼 p q 收敛 从而证明了垂1 满足p s 条件 显然垂l 0 0 成立 由 日3 知 酬 如卜上 筹 紫 如 扣u i i p 一希 i i 1 m e s q 学一南 i l 1 m e s q 学 扣u 酽一嚣 o 矿1 m e s q 学一高与 i i 1 僦s q 学 第二章一类拟线性椭圆型方程的多解性 兵中u m a x o u 所以由嵌入定理知 酬 扣i p 南眵1 m e s q 学忆 i 口 1 一是眵1 唧 学 l r 1 记 份 器眵1 僦s q 学 侥 等眵1 岫 q 学 因此 有 圣1 u 圳u 卜刚训 口 1 一驯u l i r 1 引理2 3 1 设 t 垆一卢1 垆 1 一仍t r 1 0 q p 一1 0 如果 1 圹1 o 证明因为 t t g 1 矿一口一1 一风一阮矿一g 所以对于t 0 时 t 0 当且仅当 扩口 一历一仍t 卜口 0 令垆一口 一历一侥矿一g 关于t 的导数在t 亡0 时为o 计算得 如 东写 南 因此 有 亡o 瑶 1 一风塌一p 1 一仍t 一舛1 进而有 幻 o 营1 一历瑶一p 1 一侥t 一p 1 o 通过计算知 l 卅矿1 嘲 斜l 营 1 矿 o 为了能够运用m o 眦t a i n p 嬲s 引理 只需要寻找函数妒2 耐 p q 使得当t o 时 西1 妒2 一 o 成立 由条件 日5 知 可以选取充分大的s 3 m a x s o s 2 和一正数口3 o 使 得 日 z s 如矿 1 比 q 2 s s 3 1 5 1 6东南大学博士学位论文 由条件 日2 知 当s s o 时 有 口端冬揣删z 南 从s 3 到s 积分得 只 z s 兰 口f 1 z s 3 e 一d z 乓着呙捌 子3 所以再借助条件 日5 知 存在c 0 使得对z q 2 和s s 3 时 有 f z s 毋 2 s c s p 用妒2 表不一 p 在q 2 上帝有齐次的d i r i c b l e t 边界条件的第一特征函数 不妨令l l 妒20 l 然 后在q q 2 上 延拓妒2 并把延拓后的函数仍然记为妒2 于是计算知 圣l 妒2 2 舌一以局 z 忱 z 如 参一z 洲枇 f 霸印2 0 如 罢一 似z p t i p 2 z 3 这隐含着当t o 时 圣 t 妒2 一o o 由m o u n t 缸p 够s 引理知 存在西1 的临界点口 并满足 西1 婢 2 磐 器简圣1 7 其中 r 7 c o 1 v 唁 p q 7 o o 7 1 t 妒2 且t 满足 圣1 t 妒2 t o 因此 知西1 q o 这也说明弭 o 用u 的负部 即晖 m a x o 一q 作为检验函数 则 有 一 铒 钉 z z z 如 o 这隐含着q 0 作为结果 铆 是 2 1 1 的非平凡的非负解 且满足圣 秒 圣1 弭 0 类似地 可证 2 1 1 有一个非平凡的非正解秒一 且满足圣 一 0 由正则性理论知 t 一和铒都属于诺 口 进一步地 由强最大值原理知 一是负解 u 是正解 证毕 为了说明牡 q 且u 一 口一 我们需要下面的一个命题 首先介绍几个舍位函数和相 应的泛函 记 fu z t 之t l z 7 1 z 亡 2 t 三三 让 z 第二章一类拟线性椭圆型方程的多解性 记 u u u t 0 u 一扛 t 0 z tsu 一 z t t 0 t 正一 z t o 使得对任给的z q 有e 妒l z 血n 让 0 s 1 于是可得 皿1 e 妒1 等l i 妒1 i i 一 f z e 妒1 d z 皿1 嘞 2 训妒1 i i 厶f 妒1 如 鲁l i 妒 l i 一吾上 a q 荫如 1 7 仉厶让 如 如 阳 蚶厶u 一 一 d 毛 d 拴 z i 驰 1 8东南大学博士学位论文 从而知霍1 o 在q 内成立 又由于u 的最小性知 t 所以 有圣 u 皿1 u 0 进而t 弭 类似地 可以证明圣 u 一 皿2 u 一 o 进而有u 一 t 一 证毕 注2 3 2 由命题2 3 2 知 2 1 1 有四个解 其中两个正解为u 和口 两个负解为u 一和t 一 同时皿1 札 和皿2 t 一 分别是皿1 和皿2 在附 p q 中的全局最小值 定理2 2 2 的证明类似于命题2 3 2 的证明知 对任给的霍 的临界点钉 则有 容易看到 皿 在咏巾 q 上是弱下半连续且强制的 因此皿 有全局最小值点e 进而有u 一 e u 于是 是问题 2 1 1 的解 因为皿o t 皿1 u 0 所以皿o o 使得当0 让一u i l 球 6 时 有一让 诺 孬 从而说明了u 一是 在皤 豆 上的局部最小值 点 利用文献 2 0 知 u 一是皿 在嘲 q 上局部最小值点 这时 假设让一是皿 在螺 p q 上的 严格局部最小值点 若不然 总可以找到皿 的临界点e 1 满足q 是不同于o t l 一 t 显然这 隐含着 1 是变号的 即白是 2 1 1 的变号解 由上面的假设 可以选取p o 0 u 一t 一i 使 得 霍 t 皿 u 一 伽酷u 一 霍 u 2 3 3 其中耳 u 一 让 蝣 p q 一u i i p 类似于命题2 3 1 的证明知 皿 满足p s 条件 这允许我们用m o u n t 缸p a 鼹引理去寻找另外的临界点 由m o u n t a i n p a 鹪引理知 皿 存在临 界点咖 蝣 p q 满足 皿 咖 2 瓣置躏皿 9 其中 r 9 c o l w 7 p q 9 o t 夕 1 t 一 显然 m o 蜘 的形式隐含着皿o 咖 弹 皿o t 又由 2 3 3 知 t 0 t 一和如 牡 u d 日 u 一 为了去显示t 1 0 o 只要能够说明皿o 蜘 o 即可 为此 只需去找一条路径 y r 使 得 皿o y t 0 耽 o 1 箜三宴一类拟线性椭圆型方程的多解性 记岛 嚼炉m 1 n 阳1 汐 q 1 其中马 妒 q 1 u 护 q 1 i p 1 也记毋 岛n 锚 1 并对岛和研分别赋予蝣 p q 1 和锚 1 诱导的拓扑 记 r 1 夕 c 0 1 研 夕 o 一妒1 夕 1 妒1 其中妒1 表示一 p 在q l 上带有齐次d i r i c 边界条件的第一特征函数 正规化如 l 妒1 z l p 1 选取p 0 天一a 2 q 1 由于 a 2 q 2 蒜u 踹 川i p 其中 r o 夕 c o 1 s b 夕 o 一妒l 夕 1 妒1 所以可以找到某个9 0 r o 使得 u 黝1 p 入2 q 1 呈 选取0 o 入2 q 1 p 1 p 一 入2 q 1 p 2 m 由研在岛中的稠密性知 存在夕1 r 1 满足 置剐卯 t 一夕1 恪e 0 进一步地 有 揣 卵 0 使得 0 e 夕1 t 0 0 0 s l t i 一 z e 9 1 0 u z v z q 1 t 0 1 1 e 0 e 1 1 于是 在铝 豆1 中找到了一路径c 9 1 并且对任给的t o 1 在叭q 1 上 延拓夕1 t 不妨把 新的路径仍记为叼1 t 于是有e 夕1 o 1 c 附 p q 结合 凰 知 雪o e 夕1 t 记i 皿1 e 妒1 i 霍1 让 和 0 z 伽 z s d s 如 z z s d s 如 皿i 牡 咏 p q 皿1 u i 1 9 m 吼 厂厶厂厶i 厂厶厂厶旷 一 一 2 仇 肌 k 矿一p矿一p矿一p 东南大学博士学位论文 显然 皿1 在 互 司内没有临界点 类似前面的证明知 皿1 满足p s 条件 借助著名的形变引理 知 存在一连续的映射九 c o 1 霍 皿 使得 下面定义一连续的曲线 o u t 九 1 t t v t 正 m l 皿l t 正 皿1 仳 v t 0 l t 皿i 饥 t 0 p 1 m a x 妒1 o 因此可得 一y l 0 e 妒1 7 l 1 t 正 和 皿o l t 皿1 一 l 田1 e 妒1 霍l e 妒1 皿o e 妒1 0 类似地 也可以建立一连续的曲线能 满足 1 2 0 t 一 2 1 一e 妒l 霍o 一y 2 t 0 把三段曲线饥 c 夕1 和能依次连结起来得到一个路径7 t 即 f7 1 1 3 t t o y t 叼1 2 3 t t 2 3 4 7 2 3 3 t t l 于是 对任给的t o 1 都有皿o 7 t o 使 得 刈n 怯 卜舛1 培一什1 高备筹m 鲫 学r 1 吊筹m 郴 学p 因此对任给的a o 卅 有 2 2 1 成立 剩余的条件也都是容易验证的 证毕 注2 3 3 当然 如下两个非线性项都满足定理2 2 2 中对非线性项所提出的所有条件 第二章一类拟线性椭圆型方程的多解性 例1 s 0 s 0 其中o 9 1 q 2 p l n 您 矿一1 口1 口2 6 1 6 2 为c 上的非负函数 为满足定理 的条件 对于口l 口2 来说 存在俨 a 型非空开区域q 1cq 使得d l a 2 在q 1 上有正的下界 对 于6 1 6 2 来说 存在俨扣型非空开区域q 2cq 使得6 1 6 2 在q 2 上有正的下界 例2 fa r c t 锄 0 1 s 9 1 6 l s 九 s o z 2 ta r c t a n n i s i 二一 s 二2i s l r 一 s s o ia r c t a n n 2 l s i y z1 s l o 哆l s l z 一 s s 0 其中0 9 1 q 2 p 一1 r 1 您 o 2 1 您 p 所妇 卅旷 z z l fll一 幻 j 第三章一类带有参数的非线性椭圆型方程的多解性 3 1 引言 本章中将研究如下两个方程 一 t 入i u i r 一2 t o t z q 3 1 1 u o z 绷 和 一 p t 入i u i 口一2 t 正 夕 z 让 z q 3 1 2 u o z 勰 其中qcr 是有界光滑区域 1 r 2 1 p 1 g p 在本章中 主要是利用下降 流不变集的方法来研究上述两个问题的多解性 在文献 5 6 中 s j l i 和z q 研究了问题 3 1 1 的多解性 他们利用础 西 中序区 间上的m o 眦t a i n p a s s 引理证明了所研究问题的多解性 其方法的实质就是下降流方法 文 献 5 6 所考虑的问题的非线性项中的 是自治的 且要求 在o 和无穷远处都是超线性的 在 6 3 中 z l l i u 和j x s u n 系统地介绍了下降流不变集方法 并给出了关于下降流不变 集的一些相关的定义 同时给出不变集的构造和判定方法 在文中他们给出四个临界点存 在的定理 并且把此定理运用到证明半线性椭圆方程的多解性 自此 下降流不变集方法 被越来越多的人用来寻找多个临界点或多个解 具体地可参见文献 1 5 1 6 1 7 6 3 6 4 8 7 8 8 特别地 在 1 5 中 t b a r t s c h 和z l l i u 用下降流不变集方法研究了p l a p l a u c i a n 方程的多个 解的存在性 在文中他们为使用此方法建立了具体的框架 在 8 7 中 z t z h a n g 和s j l i 用下降流不变集方法研究了p l 印l a u c i 趿方程的变号解 其中要求p 但在查阅到的文献中 所研究的问题的非线性项大都在无穷远处是超线性且次临界 的 而在本章中 我们要求非线性项中的 和9 在无穷远处是次线性的 在 3 2 中 重点研究 问题 3 1 1 的多解性 在 3 3 中 主要讨论问题 3 1 2 的多解性 3 2半线性椭圆方程 3 1 1 的多解性 假设 q r r 是连续函数 且对任给的z q 和s r 有 z s s o 本节里 用入1 q 表示算子一 在q 上带有齐次d i r i c l l l e t 边界条件的第一特征值 并用妒l 表示相应的 第一特征函数 关于 我们给出如下的条件 f 1 下面的极限在q 中一致成立 h m 丛型 o 8 o s 2 2 第三章一类带有参数的非线性椭圆型方程的多解性 2 3 f 2 在q 上一致有 h m 丛型 o 使得 z t 舰关于t 是单调不减的 首先定义如下的舍位函数和欧拉泛函 脚 铲l 墨 撕 三上附一拿上坩一上脚 如 其中f z t 后 z s d s u 表示u 的正部 用e 表示如下问题的唯一正解 三 1 二茎 由强最大值原理知 e i n t 础 豆 其中 n t 罐 孬 乱 础 豆 u z o 比 q 且 字 o 总存 在适当小的e o 使得e 妒1 m e 成立 记厶为问题 3 1 1 的欧拉泛函 即 厶 u 三上i v u l 2 一拿上i u i r 一上f z 缸 d z 其中f z t 后 z s d s 关于泛函厶 强加如下条件 存在天 o 和占 o 使得对任给的a o 孔存在a o 满足 厶 士乃e o 使得对任给入 o 入o 问 题 3 1 1 至少有三个正解 定理3 2 2 假设条件 f 1 f 2 f 3 和 j 成立 则存在入o o 使得对任给入 o 入o 问 题 3 1 1 至少有八个非平凡的解 其中三个正解 三个负解及两个变号解 东南大学博士学位论文 在本节中 用i i i i p 表示妒 q 中的范数 记e 础 q 定义e 中的范数为 陋i i 上i v 砰伽2 互 容易看到 和厶是e 上的c 1 泛函 并且有 五 t 正 u 一 一 凫 一1 入t 正 r 一1 七让 z u 只 u t 一 后 一1 a i u i r 一2 u 七t z 缸 令p 是础 功上的自然序正锥 即p u 础 q u z 2o 比 q 显然地 p o i n t 础 一 其中p o 表示p 的内部 设u 口 础 记u t 当且仅当u 口且u 记u t 当且仅当u 一 p o 记戥 t t 一肌 以 u u 一肌u 则 叭 e e 是紧的 因 为 z 8 b 和 z s b 是不减的 所以 和肌在锘 孬 上都是强保序的 即如果u 口 则肌 肌和衅u 肌钉成立 记x 础 功 并记 和厶的临界点集分别为珥和k 由 正则性知 k 4cx 又借助强最大值原理知缉 0 p 记局 x 甄和硒 x k 用y 表示泛函 的满足局部l i p s c h i t z 条件的负伪梯度 因此对u 墨 如下的抽象常微 分方程有唯一解 岸洲 姐 3 2 1 仃 o t 1 t 正 此时把唯一解记为盯 t u 通常的称其为负的伪梯度流 引理3 2 1 假设面 笪 p 面 塑是问题 3 1 1 的严格上下解 则在础 中存在负的伪 梯度流盯 使得也 叫在该流下是正不变集 同时口 t 在a 也 剜上指向内部 证明这个引理的证明是标准的 可以参见 5 6 为了方便阅读 这里仅给出证明的简 要描述 因为面 笪 p 面 笪是 3 1 1 的严格上下解 所以由肌的强保序性知 肌面 云 肌笪 笪 于是 对任给的缸 匦 词 有 u 一以 u 肌t 肌笪 笪 t 一以 t 正 肌u 肌豇 面 3 2 2 这隐含着让一五 牡 型 司 其中也 刎 表示序区间也 司关于础 硒的内部 因为 3 2 2 所 以对任给的t 0 也 剐 总可以选取适当的如 x 使得 t 0 如 匦 司 l l 如0 i i 以 咖 2 因为 c 1 及锚 孬 嵌入到础 q 所以存在蛳在础 孬 中的小邻域 满足 对任给的u 有 如0 0 以 1 1 2 第三章一类带有参数的非线性椭圆型方程的多解性 2 5 同时不妨选取 适当的小 使得当u 时 有伽 让 喳 剐 现在定义开集族玩 并 要求满足 如果u 也 司 则取巩 巩 如果u 噩 匦 叫 则取巩 巩n x 1 恒 司 因 为噩是仿紧的 所以存在局部有限c 1 一 的单位分解 l p a 其中a 为指标集 记 y u o u l a