山东省聊城市2019届高三数学三模试题理（含解析）.docx

山东省聊城市2019届高三数学三模试题 理（含解析）第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出复数z,再求复数即得解.【详解】由题得，所以，所以在复平面上对应的点为，故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算和共轭复数的求法，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数中真数大于0求出集合A，根据指数函数的图像和性质得出集合B，进而求出详解】解得：故选D【点睛】此题重点考查交集及其运算，易错题在于集合A、B分别代表对数函数的定义域和指数函数的值域。3.若命题：，命题：，.则下列命题中是真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先判断命题p和q的真假，再判断选项得解.【详解】对于命题p,所以命题p是假命题，所以是真命题；对于命题q, ，,是真命题.所以真命题.故选：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假的判断，考查全称命题和特称命题的真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.设，（其中是自然对数的底数），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】判断a,b,c的范围即得a,b,c的大小关系.【详解】由题得，且b0.，所以.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5.函数的图像在处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定函数的定义域，求出导函数，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，进而求出切线方程。【详解】函数在处的斜率为-1又切点坐标为切线方程为故选D【点睛】本题主要考查了导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了函数导数的几何意义、直线方程的求解等基本知识。本题中求出切线斜率是关键。6.已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用，确定A，B的坐标，即可求得【详解】解：依题意可得： 设，则：，故选：A。【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量的运用，解题的关键是结合抛物线的表达式和向量求出A，B两点的坐标。7.已知两圆和恰有三条公切线，若，且，则的最小值为（ ）A. 3B. 1C. D. 【答案】B【解析】【分析】由两圆恰有三条公切线可得两圆相外切，根据两圆的标准方程求出圆心和半径，可得，然后用“1”的代换，使用基本不等式求得的最小值。【详解】解：由题意得两圆相外切，两圆的标准方程分别为，圆心分别为，半径分别为2和1当且仅当时，等号成立，故选：B【点睛】本题考查两圆的位置关系，两圆相外切的性质，圆的标准方程的特性，基本不等式的运用，本题中得到两圆相外切，再利用其性质得到是解题的关键点和难点。对于正实数a、b，存在，当且仅当时，取等号。8.函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用图像可得A值，由周期性可得，代点可得值，可得函数解析式，代值计算可求。【详解】解：由题意和图像可得，解得，代入点可得结合可得，故函数的解析式为故选：C【点睛】本题主要考查了由的部分图像确定其解析式，考查了正弦函数的图像和性质，考查了数形结合思想。9.我国古代的洛书中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，9填入的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地，将连续的正整数填入个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为，如图三阶幻方的，那么 的值为（ ）A. 369B. 321C. 45D. 41【答案】A【解析】【分析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线上的两个数相加正好等于，进而根据等差数列的求和公式得出答案。【详解】解：根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于根据等差数列的求和公式：故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n项和公式，本题解题的关键是应用等差数列的性质进行解题。10.将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题可以先计算出6人平均分成3个小组一共有多少种可能，在计算出每个小组恰好有1名教师和1名学生有多少种可能，然后得出结果。【详解】将名教师和名学生共人平均分成个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数，每个小组恰好有名教师和名学生包含的基本事件个数，所以每个小组恰好有名教师和名学生的概率为，故选B。【点睛】在计算概率题的时候，可以先算出一共有多少种可能性，再算出满足题目所给条件的有多少种可能性，两数相除，即可得出结果。11.已知定义在上的偶函数满足，且当时，（其中是自然对数的底数）.若关于的方程在上恰有四个解，则实数的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，可以得到是一个周期为4的偶函数，将在上恰有四个解，转化为函数与直线的图像恰有4个交点，结合函数的单调性，即可求得实数a的取值范围。【详解】解：由是定义在上的偶函数,且可得，为周期为4的函数当时，当时， , 单调递减当时， , 单调递增当时，取得最小值当时， 当时， 是偶函数，关于的方程在上恰有四个解可以看成是在上恰有四个解的取值范围是故选：C【点睛】本题是一道关于函数的题目，总体方法是利用函数的奇偶性和周期性进行求解，也考查了学生转化与化归思想，将零点问题转化两图像的交点问题。12.已知双曲线的两条渐近线分别为直线，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，若，成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的性质可得：|AF|b，|OA|a，tanAOF，tanAOBtan2AOF，在直角三角形OAB中求出|AB|和|OB|，再根据等差中项列等式可得 a2b，可得离心率【详解】由双曲线的性质可得：|AF|b，|OA|a，tanAOF，tanAOBtan2AOF在RtOAB中，tanAOB|OB|，又|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，2|AB|OA|+|OB|，化简得：2a23ab2b20，即（2a+b）（a2b）0，a2b0，即a2b，a24b24（c2a2），5a24c2，e2故选：A【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，考查等差数列的性质，此题得出b和a的数量关系是关键,属于中档题.第卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数满足，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得到的取值范围.【详解】作出不等式组对应的可行域，如图所示，联立直线方程联立直线方程表示可行域内的点（x,y）和点P(-3,1)连线的斜率，由图得，当动点在点A时，最小为，当动点在点B时，最大为.故答案为：【点睛】本题主要考查线性规划求最值，考查直线斜率的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.若，则的展开式中的系数为_【答案】1104【解析】【分析】根据求出的值，写出二项展开式的通项，求出中含有的系数，即可得出答案。【详解】解：由可得 二项展开式含有，则展开式中含有和则二次项展开式分别为和含有的系数为故答案为：1104【点睛】本题考查的是定积分和二项式定理的运用，本题中根据定积分求出的值是关键。本题应注意展开式中含有的式子有两种情况，属于简单题.15.已知的角的对边分别为，且，将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，则的值为_【答案】1【解析】【分析】根据正弦定理求得C的值，再根据函数图像的平移求出的表达式，从而求出。【详解】解：根据正弦定理可得：由，则由平移个单位以后得到的函数【点睛】本题考查正弦定理和函数图像的平移规律：“左加右减“。本题难点在于根据正弦定理转化求出C的值，易错点在于图像的平移得出函数的表达式。16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的三棱锥，正方体的棱长为2，利用球的几何性质求解即可。【详解】解：根据几何体的三视图得出：该空间几何体是镶嵌在正方体中的三棱锥，正方体的棱长为2，三棱锥的底面是等腰三角形，设球心投影到底面的点到底面三角形顶点的距离为,则有，解得，则外接球的半径该外接球的表面积为【点睛】本题综合考查了空间几何体的性质，空间思维能力，构造思想，本题的关键是镶嵌在常用的几何体中解决，找出线段之间的关系求得即可。三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.设数列的前项和为，若.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过与做差可得，进而得出数列的通项公式。（2）通过（1）可知，进而利用错位相减法计算即可得结论。【详解】（1）因为，当时，所以.当时，-得，即.因为，所以，所以（，且），所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）得，所以，-得，所以.【点睛】本题考查数列的通项和前n项和，考查错位相减法。错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。18.如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（）取的中点为，连结，易证四边形为平行四边形，即，由于，为的中点，可得到，从而得到，即可证明平面，从而得到；（）易证，两两垂直，以，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，即可得到答案。【详解】解：（）取的中点为，连结.由是三棱台得，平面平面，从而.，四边形为平行四边形，.，为的中点，.平面平面，且交线为，平面，平面，而平面，.（）连结由是正三角形，且为中点，则.由（）知，平面，两两垂直.以，分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，.设平面的一个法向量为.由可得，.令，则，.设与平面所成角为，则.【点睛】本题考查了空间几何中，面面垂直的性质，线线垂直的证明，及线面角的求法，考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力，属于中档题。19.已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆的离心率为，过椭圆的左焦点，且斜率为1的直线，与以右焦点为圆心，半径为的圆相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）线段是椭圆过右焦点的弦，且，求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.【答案】（1）；（2）3，1.【解析】【分析】（1）由圆与直线相切可得圆心到直线的距离等于半径，求出，根据椭圆离心率，求出a，进而求出b，得到椭圆得方程。（2）分类讨论思想，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理，结合二次函数得最值，确定当直线MN与x轴垂直时的面积最大。【详解】（1）设，则直线的方程为：，即.直线与圆相切，圆心到直线的距离为，解之得.椭圆的离心率为，即，所以，所以，椭圆的方程为.（2）由（1）得，由题意得直线的斜率不为0，故设直线的方程为：，代入椭圆方程化简可得，恒成立，设，则，是上述方程的两个不等根，.的面积设，则，则，.令，则恒成立，则函数在上为减函数，故的最大值为，所以的面积的最大值为，当且仅当，即时取最大值，此时直线的方程为，即直线垂直于轴，此时，即.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系，考查分类讨论的思想。圆与直线的位置关系有三种，可用代数法和几何法进行判断。20.某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下表：每分钟跳绳个数得分1617181920年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正态分布模型，解决以下问题：（i）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；（ii）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为，求随机变量的分布列和数学期望与方差.附：若随机变量服从正态分布，则，.【答案】（1）；（2）（i）1683；（ii）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图得到16分，17分，18分的人数，再根据古典概率的计算公式求解。（2）根据离散型随机变量的分布列和数学期望与方差的公式进行求解。【详解】（1）设“两人得分之和小于35分”为事件，则事件包括以下四种情况：两人得分均为16分；两人中一人16分，一人17分；两人中一人16分，一人18分；两人均17分.由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得.所以两人得分之和小于35的概率为.（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：（个）.又由，得标准差，所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.（i）因为，所以，故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为（人）.（ii）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为，所以，所有可能的取值为0，1，2，3.所以，故的分布列为：0123所以，.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题、正态分布的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算问题。21.已知函数.（1）证明：当时，不等式恒成立；（2）当时，若方程有两个不等实根，求实数的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）将代入得到的表达式，根据不等式两边的式子，通过构造新函数，对新函数进行求导得到单调区间，进而得出结论。（2）方程有两个不等实根，等价于有两个不等实根，结合导数研究函数单调性的知识，从而求出a的取值范围。【详解】（1）的定义域为，当时，等价于.设，令，得，在上单调递增，令，得，在上单调递减，所以，即（当且仅当时取等号）所以当时，不等式恒成立.（2）方程有两个不等实根，即方程有两个不等实根，令，则.若，则在上有且只有一个零点，不符合题意；若，由可得.令，得，所以在上单调递减，令，得，所以在上单调递增.所以.（i）若，即时，无零点，不符合题意；（ii）若，即时，有且只有一个零点，不符合题意；（iii）若，即时，又，所以在上有一个零点.当时，由（1）得，所以，令，得，取，因为，所以，且，所以，在上有一个零点.即在上有两个不同的零点.所以实数的取值范围为.【点睛】这是一道关于函数恒成立和零点的题目，需要结合导数研究函数的知识以及函数零点的相关知识进行求解。（二）选考题：共10分.请考生在22