磁场最小面积的确定方法.docVIP

2011-2012年高二培优（9）磁场最小面积的确定方法电磁场内容历来是高考中的重点和难点。近年来求磁场的问题屡屡成为高考中的热点，而这类问题单纯从物理的角度又比较难求解，下面介绍几种数学方法。【教你一手】一、几何法例1. 一质量为m、电荷量为+q的粒子以速度，从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30，同时进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方的c点，如图所示，粒子的重力不计，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）c点到b点的距离。解析：（1）先找圆心，过b点逆着速度v的方向作直线bd，交y轴于d，由于粒子在磁场中偏转的半径一定，且圆心位于Ob连线上，距O点距离为圆的半径，据牛顿第二定律有：解得过圆心作bd的垂线，粒子在磁场中运动的轨迹如图所示：要使磁场的区域有最小面积，则Oa应为磁场区域的直径，由几何关系知：由得所以圆形匀强磁场的最小面积为：（2）带电粒子进入电场后，由于速度方向与电场力方向垂直，故做类平抛运动，由运动的合成知识有：而联立解得二、参数方法例2在xOy平面内有许多电子（质量为m、电荷量为e），从坐标原点O不断地以相同的速率沿不同方向射入第一象限，如图所示。现加一个垂直于平面向里，磁感应强度为B的匀强磁场，要使这些电子穿过磁场区域后都能平行于x轴向x轴正向运动。求符合该条件磁场的最小面积。 解析：由题意可知，电子是以一定速度从原点O沿任意方向射入第一象限时，先考察速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心在x轴上的A1点、半径为的圆。该电子沿圆弧OCP运动至最高点P时即朝x轴的正向，可见这段圆弧就是符合条件磁场的上边界，见图5。当电子速度方向与x轴正向成角度时，作出轨迹图，当电子达到磁场边界时，速度方向必须平行于x轴方向，设边界任一点的坐标为，由图可知：，消去参数得：可以看出随着的变化，S的轨迹是圆心为（0，R），半径为R的圆，即是磁场区域的下边界。上下边界就构成一个叶片形磁场区域。如图所示。则符合条件的磁场最小面积为扇形面积减去等腰直角三角形面积的2倍。三、带电粒子在磁场中的运动例题例3在如图所示的平面直角坐标系xoy中，有一个圆形区域的匀强磁场（图中未画出），磁场方向垂直于xoy平面，O点为该圆形区域边界上的一点。现有一质量为m，带电量为+q的带电粒子（重力不计）从O点为以初速度vo沿+x方向进入磁场，已知粒子经过y轴上p点时速度方向与+y方向夹角为30，OP=L 求：磁感应强度的大小和方向； 该圆形磁场区域的最小面积。解：（1）由左手定则得磁场方向垂直xOy平面向里粒子在磁场中做弧长为圆周的匀速圆周运动，如图所示，粒子在Q点飞出磁场设其圆心为，半径为R由几何关系有（LR）sin30R，所以RL由牛顿第二定律有，故由以上各式得磁感应强度（2）设磁场区的最小面积为S由几何关系得直径，所以S四、穿越有界场的轨迹分析V0XYA O例4如图所示，在y0区域内存在匀强磁场，方向垂直于XY平面并指向纸外，磁感应强度为B，一带正电的粒子从Y轴上的A点，以速度v0与Y轴负半轴成夹角射出，进入磁场后，经磁场的偏转最终又恰能通过A点，A点的坐标为（0，a）试问该粒子的比荷为多少？从A点射出到再次经过A点共要多少时间？解析： 几何关系 在磁场中偏转时间 匀速运动的时间 联立 及分别可得 粒子的比荷 总时间 【小试身手】1.一个负离子，质量为m，电量大小为q，以速率v垂直于屏S经过小孔O射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示，磁感强度B的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于纸面向里(1)求离子进入磁场后到达屏S上时的位置与O点的距离(2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置P，试证明：直线0P与离子入射方向之间的夹角跟t关系是解析：（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动。设圆半径为r，则据牛顿第二定律可得： ，解得如图所示，离了回到屏S上的位置A与O点的距离为：AO=2r所以（2）当离子到位置P时，圆心角：因为，所以。2.一匀磁场，磁场方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为v，方向沿x正方向。后来，粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强度B的大小和xy平面上磁场区域的半径R。解：粒子在磁场中受各仑兹力作用，作匀速圆周运动，设其半径为r， 据此并由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，且P点在磁场区之外。过P沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点。作圆弧过O点与x轴相切，并且与PQ相切，切点A即粒子离开磁场区的地点。这样也求得圆弧轨迹的圆心C，如图所示。由图中几何关系得：L=3r 由、求得 图中OA的长度即圆形磁场区的半径R，由图中几何关系可得 3. 设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场.已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的,电场强度的大小E=4.0V/m,磁感应强度的大小B=0.15T.今有一个带负电的质点以v=20m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动,求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函数表示).解：根据带电质点做匀速直线运动的条件,得知此带电质点所受的重力、电场力和洛仑兹力的合力必定为零.由此推知此三个力在同一竖直平面内,如右图所示,质点的速度垂直纸面向外.解法一:由合力为零的条件,可得求得带电质点的电量与质量之比因质点带负电,电场方向与电场力方向相反,因而磁场方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向之间夹角为,则有qEsin=qvBcos,解得即磁场是沿着与重力方向夹角=arctg0.75,且斜向下方的一切方向.解法二:因质点带负电,电场方向与电场力方向相反,因而磁砀方向也与电场力方向相反.设磁场方向与重力方向间夹角为,由合力为零的条件,可得qEsin=qvBcos, qEcos+qvBsin=mg, 解得 即磁场是沿着与重力方向成夹角=arctg0.75,且斜向下方的一切方向4. 如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E。一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出。射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L。求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s（重力不计）。解：粒子运动路线如图示有L4R 粒子初速度为v，则有:qvB=mv2/R 由、式可算得:v=qBL/4m 设粒子进入电场作减速运动的最大路程为l，加速度为a，v2=2al qE=ma 粒子运动的总路程 s=2R+2l 由、式，得s=L/2+qB2L2/(16mE) 5.如图所示，在y0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y0的空间中，存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外。一电量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上yh处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后，经过x轴上x2h处的 P2点进入磁场，并经过y轴上y2h处的P3点。不计重力。求（l）电场强度的大小。yxP1P2P302hh2hvC（2）粒子到达P2时速度的大小和方向。（3）磁感应强度的大小。解：（1）粒子在电场、磁场中运动的轨迹如图所示。设粒子从P1到P2的时间为t，电场强度的大小为E，粒子在电场中的加速度为a，由牛顿第二定律及运动学公式有qE ma v0t 2h 由、式解得 （2）粒子到达P2时速度沿x方向的分量仍为v0，以v1