第十四届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题及参考解答.pdf

中学生数学 2011 年 9 月上 第 425 期 高中 网址 zxss chinajournal net cn 电子邮箱 zx ss chinajournal net cn 应 用 与 建 模 第十四届北京高中数学知识应用竞赛 决赛试题及参考解答 试 题 1 满分 16 分 如图 1 要得到底部不能到达的一 个建筑物 AB 的高h 可以先选定与该建筑底部在同一 水平直线上的 C D 两处 通过分别测量这两处该建筑 物的仰角 和 以及 CD 的距离 便可计算出 h 小王 小李自己选定了 C D 用高度为 1m 的测角仪器分别 测得 和 具体数据如下 在点 C 处 测得的 在点 D 处 测得的 CD 之间 的距离 小王测 的数据 21 5 23 10m 小李测 的数据 15 23 100m 图 1 1 若将 CD 之间的距离记作 a 测角仪器的高度 记作 b 求用 a b 表示 h 的公式 2 根据小王 小李的测量数据 分别计算出相应 的 h小王和 h小李 3 根据经验和分析 判断小王 小李的测量方案 及其结果哪个更精确一些 为什么 2 满分 16 分 2011 年 3 月 11 日 日本发生了强 烈地震并引起巨大海啸 美国地震勘探局测得震级为 里氏 8 9级 称这是日本历史上 近 1200 年一遇 的地 震 该局知名地质学家布莱恩 阿特沃特说 这次地震 释放的能量 将近美国全国一个月的能量消耗 3 月 13 日 日本将这次地震的级别修正为里氏 9级 而每一 级地震释放的能量都是次一级地震的 31 7 倍 若按照 日本修正后的震级计算 这次地震释放的能量相当于 美国全国多长时间的能量消耗 图 2 3 满分 16 分 中华老 字号传统小吃周村烧饼的包 装纸为图 2 的正方形 其包 装方式是 先将几个烧饼摞 成圆柱形 围在圆柱侧面的 恰是包装纸对角线上的条形 图案 上下底面则是包装纸 上的圆形图案 熟练师傅的 包装既保证包装纸不破损 又能将包装纸的大部分空 白地儿都通过折叠后掖藏在图案下面 使包装表面较 平整 已知圆柱的高为 7cm 底面直径为 12cm 请你计算 出包装纸的边长 精确到 1cm 4 满分 16分 以下是某省电视台卫星频道 2007 年广告价格表 广告时段播出时间 广告费用 5 秒10秒15 秒20 秒25 秒30 秒 早 7 20 档07 20 08 00380063009000126001530018000 阳光剧场一 插播08 00 08 50380063009000126001530018000 阳光剧场二 插播08 55 09 504900810011500162001980023000 阳光剧场三 插播09 50 10 504900810011500162001960023000 阳光剧场四 插播10 50 12 205300880012500176002130025000 播报多看点 插播12 20 12 505300880012500176002130025000 独播偶像剧场一 插播12 50 14 005300880012500176002130025000 独播偶像剧场二 插播14 00 15 004900810011500162001960023000 独播偶像剧场三 插播15 00 16 004900810011500162001960023000 超级剧场一 插播16 00 17 004900810011500162001960023000 41 中学生数学 2011 年 9 月上 第 425 期 高中 网址 zxss chinajournal net cn 电子邮箱 zx ss chinajournal net cn 应 用 与 建 模 广告时段播出时间 广告费用 5 秒10秒15 秒20 秒25 秒30 秒 超级剧场二 插播17 00 17 404900810011500162001960023000 B117 40 17 455300880012500176002130025000 娱乐无极限 插播17 45 18 1061001020014500204002470029000 音乐不断 插播18 10 18 2061001020014500204002470029000 A618 25 18 3061001020014500204002470029000 新闻 XT 段18 52 18 5576001260018000252003060036000 黄金时刻18 58 19 0076001260018000252003060036000 A119 30 19 3512200203002900040600a58000 快乐中国 730 节目插播 周一至周四 19 35 21 00134002230031800446005410063600 A221 00 21 10125002090029800418005070059600 晚间 插播21 10 21 50134002230031800446005410063600 A321 50 21 55125002090029800418005070059600 金鹰剧场 一片头插播21 55 22 05141002350033500470005700067000 金鹰剧场 一中插播22 05 22 401490024900b498006040071000 金鹰剧场 一片尾 二片头插播22 40 23 08113001890027000378004590054000 金鹰剧场 二中 片尾插播23 08 00 05101001680024000336004080048000 A400 05 00 1088001460020800292003540041600 纪实剧场上 插播00 10 00 5588001460020800292003540041600 纪实剧场下 插播00 58 01 405000c12000168002040024000 C02 10 07 20380063009000126001530018000 1 当广告播放时间长度 n 一定 电视广告费 y 是 广告起播时刻 t 的函数 请画出当 n 5 时 从 17 00 至 22 00 y 与起播时刻 t 的函数图像 为了简便 粗略地 将表中的广告时段中任意时刻都可以作为广告起播时 刻 2 当广告起播时刻 t 一定 电视广告费 y 是广告 播放时间长度 n 的函数 若将 t 19 32 时的 y 记作 y f n 请观察并写出对于以下的 n 10 15 20 25 30 函数 y f n 之间的关系 3 试求表内阴影格中 a b c的值 图 3 5 满分 18 分 在除夕 辞旧迎新张贴福字 现有九张 同样的正方 形福字 边长为 16cm 想摆成图 3 的 九福临 门 样式贴在墙壁上 将它们 排上号 正上方的福字记作 1 号 按顺时针顺序记其它福字 分别为 2 8 号 中间的福字为 9 号 现在手头并没有 尺子和圆规 只有一张 A4 纸 21cm 29 7cm 作为辅 助工具 且不能在福字上 墙上做标记 不能折叠福字 不准撕开 A4 纸 请问 若最先固定了 1 号福字 采用什么方法 能 使图案 九福临门 摆得端正 具体写出 2 号福字和 9 号福字的摆放方法 6 满分 18 分 一个上山的旅客知道沿途有四个 旅馆 他只知道旅馆的档次各不相同 但不知哪家最 好 而他想住最好的那一个 又不想走回头路 下面有 三种选择办法 1 选择第一个遇到的旅馆 2 不选第一个遇到的旅馆 继续向前 如果遇到 比前面的旅馆都好 则选择它 3 不选第一个遇到的旅馆 继续向前 如果遇到 比前面都好的旅馆 仍不选 之后再遇到比前面都好的 旅馆 则选它 42 中学生数学 2011 年 9 月上 第 425 期 高中 网址 zxss chinajournal net cn 电子邮箱 zx ss chinajournal net cn 应 用 与 建 模 请问哪种办法找到最好旅馆的概率最大 由于旅 客的目标是住最好的旅馆 而只有碰见一个比前面见 到的旅馆都好时 这个旅馆才可能是最好的 旅客只应 在这时决定是否选择 参考答案 1 解 1 h a cot cot b 2 和 h小王 57m h小李 74m 3 小王测量时 由于数值 a 较小 和 过于接 近 对测量和计算的误差影响比较大 因此判断小李测 得的数据及其结果相对精确一些 2 解 根据 每一级地震释放的能量都是次一级 地震的 31 7 倍 用 E m 表示 m 震级释放的能量 对 于正整数 k E m k E m 31 7k 显见 这是自变量为正 整数的指数函数变化规律 若考虑任意级差 即取实数 x 则E m x E m 31 7x 所以 E 9 E 8 9 31 70 1 1 413 也就是 这次日本大地震 释放的能量相当于美国全国近一个半月的能量消耗 3 解 设计方案如图所示 图 4 如图 4 正方形包装纸 ABCD 边长 32cm 印刷图案 关于正方形对角 线 DB 对 称 圆 O1与 O2的圆心在对 角线 AC 上 直径均为 12cm O1与 EF 的距离及 O2 与 GH 的距离均在 6mm 至 8mm 之间 4 解 1 图略 2 f 20 2f 10 f 25 f 10 f 15 f 30 2f 15 3 a 49300 b 35500 c 8400 5 解 利用 A4 纸的矩形性质 边是直线段 角是 直角 由 于福 字 的对 角 线长 度 约为 16 1 414 22 63cm A4纸的长边 29 7cm 它大于 22 63cm 于是 即把 A4 纸当作直尺 又把 A4纸作为直角板 为了减少累进误差 1 号福字摆好后 采用两边对 称方法进行粘贴 摆放过程 1 例用 A4纸的一个直角 一边对齐 1 号福字的 对角线 另一边就确定了 2 号福字的顶点 A 和边 AB 2 号福字也就摆放妥当 同理摆放 8 号福字 图5 图 6 2 进而再用同样的方法粘贴 3 4 5 6 7号福字 3 下面考虑摆放 9 号福字 经计算知道 7 3 号福 字近端点 点 C 和点 D 的连线长度为 32cm 而 A4 纸 的长边为 29 7cm 小于 32cm 但 A4 纸的对角线长约 为 36 37cm 于是沿对角线折叠形成长度为 36 37cm 的 直尺 然后实施如下操作 1 比对着福字对角线 在 直尺 中间部分折出这 个长度印记 M N 2 折叠出 MN 的中点折痕O 3 在点 O 两侧分别折出福字边长印记 P Q 4 利用 直尺 摆放 9 号福字 使 直尺 上的点 P Q 分别与点C 和点 D 重合 福字的横向的对角线两端 分别与点 M N 重合 图 7 6 解 我们用 1 2 3 4 来表示旅馆的好坏 其中 1 最好 2 次之 3再次之 4 最差 旅客碰到的所有可能情 形相当于 1 2 3 4 的全排列 共 24 种 例如 排列 4 2 1 3 表示旅客最早见到的是 4 即最差的旅馆 然后 见到 2 这是第二好的旅馆 再往前走 见到 1 即最好 的旅馆 最后见到 3 第一种方法能找到最好旅馆的充分必要条件是 1 排在最前面 显然其概率为 1 4 1 排在最前面的排法 有 6 钟 如果 2 排在最前面 这种排法也有 6 种 此时第 二种方法一定能选到最好的旅馆 但还有其它排列方 法也能使第二种方法找到最好的旅馆 例如 1 排在第 二位的情形 下转第 34 页 43 中学生数学 2011 年 9 月上 第 425 期 高中 网址 zxss chinajournal net cn 电子邮箱 zx ss chinajournal net cn 数 学 竞 赛 之 窗 即f 0 1 2 2 0 由于 f 0 是一个实数 所以 f 0 1 2 再令 x y z 1 有 1 2 f 1 1 2 f 1 f 1 2 1 4 即f 1 1 2 2 0 由于 f 1 是一个实数 所以 f 1 1 2 又令 y z 0 有 1 2 f 0 1 2 f 0 f x f 0 1 4 代入 f 0 1 2 得 对任意实数 x 都有 f x 1 2 又令 y z 1 有 1 2 f x 1 2 f x f x f 1 1 4 代入 f 1 1 2 得 对任意实数 x 都有 f x 1 2 综合 可得 对任意实数 x 都有 f x 1 2 验证 函数 f x 1 2 满足题设条件 取的是等 号 所以满足题设条件的函数的唯一解为 f x 1 2 于是 1 f 1 2 f 2 3 f 3 2011 f 2011 1 2 2 2 3 2 4 2 2011 2 0 1 1 2 2 3 3 1005 1005 2 1 2 3 1005 1 1005 1005 1011030 北京数学会普及委员会提供 上接第 43 页 为此 我们用穷举的方法 把各种排列写出来 前 面已讨论过 1 2排在最前面的情形 这里可以略去 3 1 2 4 3 1 4 2 3 2 1 4 3 2 4 1 3 4 1 2 3 4 2 1 4 1 2 3 4 1 3 2 4 2 1 3 4 2 3 1 4 3 1 2 4 3 2 1 不难看出用第二种方法能找到最好旅馆的排列 除了前面所说 2