第8章-二次型.pdf

8 8 0 1 3 V cos 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 1 3 3 2 3 2 1 2 3 R x 1 y 2 z 3 V 0 x 1 y 2 z 3 x 1 y 2 z 3 x2 1 1 y2 2 2 z2 3 3 2xy 1 2 2xz 1 3 2yz 2 3 x2 y2 z2 4xy 6xz 4yz 0 x y z x2 y2 z2 4xy 6xz 4yz x x y x2 y2 z2 4xy 6xz 4yz x2 2x 2y 3z y2 z2 4yz x 2y 3z 2 2y 3z 2 y2 z2 4yz x 2y 3z 2 3y2 8yz 8z2 x 2y 3z 2 3 y 4 3z 2 8 3z 2 8 0 1 z 0 y 1 x 2 x 2y 3z 0 8 0 1 3 0 1 2 3 2 0 x2 y2 z2 4xy 6xz 4yz 0 0 0183607 0 d a b 0 0206821 b 4 8125 k 0 255738b 0 184309 1 04643 d a b 0 0206821 y 1 04643x 4 8125 8 2 2 1 d k b 7 i 1 kxi b yi 2 Ak2 2Bkb Cb2 2Dk 2Eb F d k b 0 k b k0 b0 0 k b d k b k 2Ak 2Bb 2D 0 d k b b 2Bk 2Cb 2E 0 k b 1 04643 4 8125 y 1 04643x 4 8125 2 y kx b n xi yi k b d k b n i 1 kxi b yi 2 1 d k b k b R n a11x1 a12x2 a1nxn b1 a21x1 a22x2 a2nxn b2 am1x1 am2x2 amnxn bm x1 x2 xn x1 x2 xn f x1 x2 xn m i 1 ai1x1 ai2x2 ainxn bi 2 n f x1 x2 xn 2 d k b 2 0 k0 b0 0 k0 b0 d k b Taylor k k k0 b b b0 427 d k b d k0 b0 A1 k 2 B1 k b C1 b 2 0 f x1 xn 0 1 n Taylor xi xi i 1 i n n 1 i j n aij xi xj x1 xn 0 0 8 1 8 1 1 n x1 xn Q x1 xn 1 i j n aijxixj n quadratic form 2 x1 x2 xn F Q x1 xn 1 i j n aijxixj aij F Q x1 xn F F Fn F Q F n F x1 xn Q x1 xn R 0 0 0 0 1 1 Q x y z x2 y2 z2 4xy 6xz 4yz 2 Q x y z 2x2 3y2 5z2 4xy 6xz 4yz 1 Q x y z x2 y2 z2 4xy 6xz 4yz x 2y 3z 2 3 y 4 3z 2 8 3 z2 8 1 1 428 x x 2y 3z y y 4 3z z x x y z 12 3 01 4 3 001 x y z 8 1 2 8 1 1 x y z Q x y z x y z Q1 x y z x 2 3y 2 8 3 z 2 8 1 3 12 3 01 4 3 001 8 1 2 x y z x y z R3 1 1 x y z R3 x y z R3 Q x y z Q1 x y z R3 8 1 3 y z 0 x Q1 x 0 0 x 2 x z 0 y Q1 0 y 0 3y 2 Q1 x y z R Q x y z R 2 Q x y z 2x2 3y2 5z2 4xy 6xz 4yz 2 x y 3 2z 2 y 1 2z 2 1 4z 2 8 1 4 x x y 3 2z y y 1 2z z z 8 1 5 8 1 4 Q x y z Q x y z 2x 2 y 2 1 4 z 2 8 1 6 Q x y z 0 Q x y z 0 x y z 0 0 0 x y z 0 0 0 Q x y z 0 2 F n V V M 1 n V X x1 xn V F n M V F n x1 xn 429 Fn Q V Q Q X 1 i j n aijxixj Q X Q M V M1 1 n M M1 P 1 n 1 n P P M X M1 Y X PY P V Q Q X 1 i j n aijxixj 8 1 7 Q Y a1y2 1 a2y 2 2 any 2 n 8 1 8 F n Q x1 xn y1 yn P x1 xn 8 1 9 8 1 8 Q y1 yn 8 1 8 Q Y canonical form 8 1 9 1 2 1 Q x y z x y 2 y z 2 z x 2 2 Q x1 x2 x3 x1x2 x2x3 x3x1 1 x x y y y z z z 430 Q x y z x 2 y 2 x y 2 2x 2 2x y 2y 2 2 x 1 2y 2 3 2y 2 u x 1 2y x y 1 2 y z x 1 2y 1 2z v y y z w z z Q x y z Q1 u v w 2u2 3 2v 2 2 x1 z1 z2 x2 z1 z2 x3 z3 z1 1 2x1 1 2x2 z2 1 2x1 1 2x2 z3 x3 Q x1 x2 x3 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z3 z3 z1 z2 z2 1 z2 2 2z1z3 z1 z3 2 z2 2 z2 3 y1 z1 z3 1 2x1 1 2x2 x3 y2 z2 1 2x1 1 2x2 y3 z3 z3 Q x1 x2 x3 Q1 y1 y2 y3 y2 1 y 2 2 y 2 3 2 1 2 1 Q1 u v w 2u2 3 2v 2 w w2 0 Q1 u v w 2u2 3 2v 2 0w2 2 2 1 u 2u v 3 2v w w Q2 u v w u 2 v 2 3 2 2 x1 z1 z2 x2 z1 z2 x1x2 z2 1 z2 2 431 4 2 1 x x y y y z z z x 8 1 10 Q x y z Q x y z x 2 y 2 z 2 8 1 10 x y z 1 10 01 1 101 x y z 8 1 10 8 1 10 x y z x y z x y y z z x 0 x y z 3 8 1 1 F Q x1 xn 1 i j n aijxixj Y PX Q x1 xn Q1 y1 yn b1y2 1 bny 2 n n n 1 Q x1 a11x2 1 F R a11 0 y1 a11 x1 Q1 y1 y2 1 a11 0 Q1 y1 y2 1 a11 0 i i1 ip bi 0 i ip 1 ip q bi 0 i ip q 1 in uk bikyik 1 k p uk bikyik p 1 k p q us yik p q k n Q2 y1 yn Q1 u1 un u2 1 u 2 p u 2 p 1 u 2 p q 2 8 1 1 Q1 u1 un u2 1 u 2 p u 2 p 1 u 2 p q normal form 8 1 1 1 Q x1 x2 x3 x2 2 x 2 2 2x 2 3 2x1x2 4x2x3 2 Q x1 x2 x3 4x1x2 2x1x3 2x2x3 3 Q x1 x2 x3 x2 1 5x 2 2 4x 2 3 2x1x3 4x2x3 4 Q x1 x2 x3 x4 x1x2 x2x3 x3x4 x4x1 5 Q x1 xn 1 i j nxixj 6 Q x1 xn 1 i n 1xixi 1 434 2 x y z A B C x2 y2 z2 2xy cosA 2xz cosB 2yzcosC 3 n 2 x1 x2 xn n i 1 x2 i n 1 i 1 xixi 1 1 k k N 1 k n xk 8 2 1 1 A aij n n F n X x1 xn F n 1 Q X X AX F n 2 Q X Q X X SX S Q X 1 Q X x1 xn a11 a1n an1 ann x1 xn 1 i j n xiaijxj 8 2 1 n i 1 aiix2 i 1 i j n aij aji xixj 8 2 2 2 Q x1 xn 1 i j n aijxixj 8 2 2 F n B bij n n bii aii 1 i n bij bji aij 1 i j n Q X X BX S sij n n sii aii 1 i n sij sji 1 2aij 1 i j n 435 Q X X SX S S Q 2 1 1 8 2 2 8 2 1 aijxixj i j ajixjxi 1 2 B Q X B1 b ij n n b ii aii 1 i n b ij b ji aij 1 i j n Q X X BX X B1X B B1 B B bii b ii 1 i n b ij b ji bij bji bij b ji bij b ij 1 i j n B B1 B B1 B B1 B B1 B B1 8 2 1 Q x1 xn 1 i j n aijxixj F Q X X SX X x1 xn F n 1 S Q matrix of quadratic form S sij n n sii aii 1 i n sij sji 1 2aij 1 i 0 1 i p q ai 0 p i p q n p q ai 0 p q i n S D1 p q rankD1 rankS n P2 diag b1 bn 444 bi 1 a i 1 i p 1 a i p i p q 1 p q i n P P1P2 D P SP P 2D1P2 diag I p I q O n p q 2 diag I p I q O n p q S S 8 2 1 1 24 2 45 1 2 10 2 123 234 346 3 O n I n I n I n 4 1 1 1 n n 5 21 12 1 12 n n 2 8 1 1 3 4 n 0I m I m 0 n 2m 0I m I m 0 1 n 2m 1 5 r r 1 6 A n detA 0 n X 0 X AX 0 Q positive defi nite 0 X Rn Q X 0 X SX 0 S 0 S 0 S 0 2 Q Q Q Q S 0 S 0 S 0 8 3 1 S S1 P SP P S n 0 X Rn 1 X SX 0 0 Y Rn 1 X PY 0 Y S1Y Y P SPY X SX 0 S1 S S1 2 S 8 2 n S D diag I p I q O n p q S 0 D 0 Q X X DX x2 1 x 2 p x 2 p 1 x 2 p q 8 3 1 S 0 8 3 1 Q X 8 3 1 Q X q 0 X ep 1 p 1 1 0 n Q ep 1 1 r en 0 0 1 Rn 1 en 0 Q en 0 Q S 0 n r p D I n Q X x2 1 x 2 n Q X x2 1 x 2 n 0 0 X Rn 1 S 0 S I n P S P IP P P 8 3 2 S P S P P 2 S 8 3 3 n S A Rm n S A A m rankS S A A 0 X Rn 1 X SX X A AX Y Y y2 1 y 2 m 0 Y AX y1 ym Rm 1 S S S D diag I r O n r r rankD rankS n P S P DP P I r O n r P P I r O I r O P A A A I r O P Rr n rankA r rankS 2 8 3 2 S S S S 0 8 3 1 S S S 0 S 0 P S P P S P P P P P 2 0 2 1 S 0 k Sk 0 447 k 2m Sk P P P Sm Sk 0 k 2m 1 P Sm Sk P SP S 2 1 k Sk 0 S S 0 S sij n n 0 k k Sk sij 1 i j k Sk 0 A aij n n k n A k k aij 1 i j k A 8 3 4 S sij n n S 0 s11 s1k sk1 skk 0 1 k n S sij n n 1 k n Sk sij 1 i j k S k k k S x1 xk x1 xk Sk x1 xk x1 xk 0 0 S x1 xk 0 0 0 Sk Sk 0 Sk 0 1 k n n S 0 n 1 S1 s11 0 s11x2 1 0 x1 0 S s11 n 2 n 1 Sn 1 Sk 0 1 k n 1 Sn 1 n 1 P1 Sn 1 P 1P1 S S Sn 1 snn R n 1 1 Sn 1 0 Sn 1 n T I n 1 S 1 n 1 01 D T ST I n 1 0 S 1 n 1 1 Sn 1 snn I n 1 S 1 n 1 01 Sn 10 0dn 448 dn snn Sn 1 T 1 S D Sn 1 dn dn S Sn 1 S Sn 0 Sn 1 0 dn 0 D P 1P1 0 0 d n d n P P P P10 0 d n D S n 2 S S S sij n n 1 i1 i2 0 X x1 xn Rn 1 i1 i2 ik xj j i1 i2 ik 0 Q1 xi1 xik X SX xi1 xik Sk xi1 xik xi1 xi2 xik k Sk sij i j i1 ik S i1 i2 ik i1 i2 ik k xi1 xi2 xik 0 X x1 xn 0 Q1 xi1 xik X SX 0 Q1 Sk k det Sk S i1i2 ik i1i2 ik 0 2 2 Q x y z x2 y2 z2 2xy 2xz 2yz 1 Q x y z 2 Q x y z 3 Q x y z ax by cz 2 449 Q x y z S 1 1 1 1 11 1 Q S 0 S Sk 0 k 1 2 3 S1 0 S2 2 1 0 S3 1 2 2 0 1 Q 1 2 Q S 0 S S k 0 S 1 0 S 2 2 1 0 S 3 1 2 2 0 2 Q 0 e1 1 0 0 Rn 1 e1 0 S 0 s11 e1 Se1 0 diag 1 s 11 1 1 S1 S bij n n 0 b11 1 T1 1 b12 b1n 1 1 450 S2 T 1S1T1 10 0S22 0 0 R n 1 1 0 X 0 S22 X S2X 0 S22 n 1 n 1 T22 T 22S22T22 I n 1 T2 diag 1 T22 T2 n T 2S2T2 I n T T1T2 T1 T2 n T n T ST T 2T 1 ST1T2 I n n 2 8 3 1 Q ax2 1 bx 2 2 ax 2 3 2cx1x3 a b c Q 2 Q x1 xn X AX A 3 Q x y z x2 y2 z2 3y2 4xy 2xz 4yz 1 Q 2 Q 3 Q 4 A n A 1 5 Q X AX A aij n n a11 a1k ak1 akk 0 k 1 2 n 1 detA 0 Q 6 f x xSx 2 x b S n b1 b2 bn x x1 x2 xn n b 451 7 S rankS 1 S 8 S T S T T 9 n S r r n A S A A r rankS 10 A B n A B B 1 A 1 11 A B n A t tA B 8 4 F S D diag a1 an S S S D F 8 4 1 F D diag a1 an diag c2 1a1 c 2 nan c1 cn F P diag c1 cn P DP diag c2 1a1 c 2 nan 2 8 4 2 C S I r O OO 8 4 1 r rankS S D diag a1 an ai 0 1 i r aj 0 r 1 j n D diag a1 ar 0 0 ai 0 1 i r r rankD rankS 1 i r ci c2 i a 1 i c2 iai 1 D diag c2 1a1 c 2 rar 0 0 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1 r 1 yn n j P j r 1 j n Q X 0 n r j r 1 j n n r n r 1 r n 1 Q X Q1 Y y2 1 y 2 n 1 2 8 4 1 S n V0 X SX 0 V0 Rn 1 S 0 S 0 S 0 S 0 dimV0 n rankS 454 2 Q x1 xn 0 Q x1 xn n i 1 x s 2 s 1 n x1 xn 3 Q x y z x2 y2 z2 xy xz yz 4 S S 0I r 0 I r 00 00 I n 2r 1 r S 5 S X1 X2 X 1AX1 0 X 2AX2 X0 0 X 0AX0 0 6 Q f1 f2 Q 2 0 Q 1 7 n A aij n n Aij aij Q1 n i 1 n j 1 Aij A xixj Q X AX 8 5 1 x 0 y 0 x y 2 u sinx siny sin x y u f x y 0 u x cosx cos x y 0 u y cosy cos x y 0 x y 2 3 2 3 2 3 u u 2 3 2 3 Taylor u 2 3 2 3 2u x2 sinx sin x y 2 3 2 3 3 2u y2 siny sin x y 2 3 2 3 3 2u x y sin x y 2 3 2 3 3 2 455 x 2 3 y 2 3 u 3 3 2 3 2 2 2 R2 8 5 1 R2 2 2 x y 3 2 0 u 3 3 2 u 2 2 8 5 1 Q 3 2 2 2 0 0 Q Q 3 2 2 2 3 2 1 2 2 3 3 8 2 0 Q 0 2 2 R2 Q Q R2 0 f c1 cn Q f c1 cn Q f c1 cn Q f 2 n S 0 n X Y Rn 1 X SX Y S 1Y 2X Y 8 5 2 S X S 1Y S X S 1Y 0 8 5 3 X SX Y S 1SX X SS 1Y Y S 1SS 1Y X SX Y S 1Y Y X X Y 0 Y X 1 Y X Y X X Y X SX Y S 1Y Y X X Y 2X Y 8 5 2 8 5 3 X S 1Y 0 Y SX 2 3 0 X x1 xn Rn f X n i 1 x2 i n 1 i 1 xixi 1 0 f X xn 1 f X f X x2 1 x1x2 x 2 2 x 2 n x1 1 2x2 2 3 4 x 2 2 4 3x2x3 x 2 3 x 2 n x1 1 2x2 2 3 4 x2 2 3x3 2 2 3 x 2 3 3 2x3x4 x 2 4 x 2 n 457 f X n 1 k 1 k 1 2k xk k k 1xk 1 2 n 1 2n x2 n 8 5 4 8 5 4 x2 1 1 1 2 1x 2 1 x2 1 x2 k 2 k n k 2 k 1 k 1 k 2 x2 k k 1 2k x2 k x2 k xkxk 1 1 k n 1 k 1 2k 2 k k 1 xkxk 1 xkxk 1 8 5 4 8 5 4 k 1 2k 1 k n 1 0 f X 0 X x1 xn Rn f X 0 xk k k 1xk 1 0 1 k n 1 xn 0 X x1 x2 xn 0 0 0 f X 0 X 0 xn 1 f X n 2 k 1 k 1 2k xk k k 1xk 1 2 n 2 n 1 xn 1 n 1 n 2 n 1 2n n 1 2n x1 xn 1 R x1 1 2x2 x2 2 3x3 xk k k 1xk 1 xn 1 n 1 n 0 x1 xn 1 1 n 2 n n 1 n f X n 1 2n 2 3 xn 1 f X f X 1 2x 2 1 1 2 x1 x2 2 1 2 x2 x3 2 1 2 xn 1 xn 2 1 2x 2 n 458 f X 0 X x1 xn Rn f X 0 x1 x1 x2 x2 x3 xn 1 xn xn 0 x1 xn 0 0 f X 0 X 0 4 A Rm n rankA rank A A VA VA A AX 0 A AX 0 dimVA n rankA dimVA A n rank A A VA VA A rankA rank A A X Rn 1 A A X 0 X A A X 0 AX AX 0 Y AX y1 yn Rn 1 Y Y y2 1 y 2 n 0 y1 yn 0 Y 0 A A X 0 AX AX 0 AX 0 A AX 0 A A X 0 AX 0 VA VA A dimVA n rankA dimVA A n rank A A rankA 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