博士论文-槽道湍流的直接数值模拟.pdf

分类号 密级 UDC 编号 中中 国国 科科 学学 院院 博士学位研究生学位论文博士学位研究生学位论文 槽道湍流的直接数值模拟槽道湍流的直接数值模拟 博士研究生 李新亮 指 导 教 师 马延文 研究员 中国科学院力学研究所 LHD 实验室 申请学位级别 理学博士 学科专业名称 流体力学 论文提交日期 2000 年 6 月 7 日 论文答辩日期 2000 年 7 月 5 日 学位授予单位 中国科学院 力学研究所 答辩委员会主席 庄逢甘 院士 目目 录录 第一章 绪论 1 1 1 1 研究的问题和意义 1 1 2 槽道湍流直接数值模拟及湍流机理研究的进展 2 1 3 本文所开展的工作 7 第二章 基于非等距网格的迎风紧致格式及湍流 DNS 误差分析 11 2 1 前言 11 2 2 基于非等距网格的迎风紧致格式 13 2 3 直接数值模拟的空间精度分析 15 2 4 数值计算的混淆误差分析 20 第三章 不可压 N S 方程的高效算法及槽道湍流的直接数值模拟 28 3 1 前言 28 3 2 不可压槽道湍流DNS的高效算法 29 3 3 算例 41 3 4 充分发展的不可压槽道湍流的 DNS 43 第四章 三维可压缩槽道湍流的直接数值模拟及流场特征分析 48 4 1 前言 48 4 2 数值计算 50 4 3 结果分析和结论 54 第五章 二维槽道湍流的非线性行为分析 61 5 1 前言 61 5 2 数值计算 61 5 3 数值计算结果和结论 61 第六章 槽道湍流的标度律分析 64 6 1 前言 64 6 2 可压缩槽道湍流的标度律分析 66 6 3 二维槽道湍流 的标度律分析 68 第七章 总结 71 论文附图 73 参考文献 94 在学期间撰写的论文 99 致谢 100 摘要摘要 通过直接数值模拟 DNS 研究槽道湍流的性质和机理 包含五个部分 1 湍流直接数 值模拟的差分方法研究 2 求解不可压 N S 方程的高效算法和不可压槽道湍流的直接数值模 拟 3 可压缩槽道湍流的直接数值模拟和压缩性机理分析 4 二维湍流 的机理分析 5 槽 道湍流的标度律分析 1 针对壁湍流计算网格变化剧烈的特点 构造了基于非等距网格的迎风紧致格式 该 方法直接针对计算网格构造格式中的系数 克服了传统方法采用 Jacobian 变换因网格变化剧 烈而带来的误差 针对湍流场的多尺度特性分析了差分格式的精度 网格尺度与数值模拟能 分辨的最小尺度的关系 给出不同差分格式对计算网格步长的限制 同时分析了计算中混淆 误差的来源和控制方法 指出了迎风型紧致格式能很好地控制混淆误差 2 将上述格式与三阶精度的 Adams 半隐格式相结合 构造了不可压槽道湍流直接数值模 拟的高效算法 该算法利用基于交错网格的离散形式的压力 Poisson 方程求解压力项 避免 了压力边界条件处理的困难 利用 FFT 对方程中的隐式部分进行解耦 解耦后的方程采用 追赶法 LU 分解法 求解 大大减少了计算量 为了检验该方法 进行了三维不可压槽道 湍流的直接数值模拟 得到了 Re 2800 的充分发展不可压槽道湍流 并对该湍流场进行了 统计分析 包括脉动速度偏斜因子在内的各阶统计量与实验结果及 Kim 等人的计算结果吻 合十分理想 说明本方法是行之有效的 3 进行了三维充分发展的可压缩槽道湍流的直接数值模拟 得到了 Re 3300 Ma 0 8 的充 分发展可压槽道湍流的数据库 流场的统计特征 如等效平均速度分布 半局部 尺度无 量纲化的脉动速度均方根 和他人的数值计算结果吻合 得到了可压槽道湍流的各阶统计量 其中脉动速度的偏斜因子和平坦因子等高阶统计量尚未见其他文献报道 同时还分析了压缩 性效应对壁湍流影响的机理 指出近壁处的压力 膨胀项将部分湍流脉动的动能转换成内能 使得可压湍流近壁速度条带结构更加平整 4 模拟了二维不可压槽道流动的饱和态 所谓 二维湍流 分析了 二维槽道湍流 的 非线性行为特征 分析了流场中的上抛 下扫和间歇现象 研究了 二维湍流 与三维湍流 的区别 指出 二维湍流 反映了三维湍流的部分特征 同时指出了展向扰动对于湍流核心 区发展的重要性 5 首次对可压缩槽道湍流及 二维槽道湍流 的标度律进行了分析 得出了以下结论 a 槽道湍流中 在槽道中心线附近较宽的区域 存在标度律 b 该区域流场存在扩展自相似性 ESS c 在 Mach 数不是很高时 压缩性对标度指数影响不大 本文结果同 SL 标度律的理 论值吻合较好 有效支持了该理论 对 二维槽道湍流 也有相似的结论 但与三维湍流不同的是 二维槽道湍流 存在 标度律的区域更宽 近壁处的标度指数比中心处有所升高 关键词 关键词 槽道湍流 直接数值模拟 基于非等距网格的紧致差分格式 压缩性效应 二维 湍流 标度律 Direct Numerical Simulations of Turbulent Channel Flow Li Xinliang Fluid Mechanics Directed by Prof Ma Yanwen Direct numerical simulation DNS is applied to study channel turbulence There are five parts in this paper a Finite difference methods for DNS of turbulence b High efficient method for the incompressible N S equations and DNS of incompressible turbulent channel flow c DNS of compressible turbulent channel flow and analysis of compressibility effects d Two dimensional turbulence e Analysis of the scaling law of turbulent channel flow 1 Upwind compact difference schemes on non uniform meshes are developed to suit rapidly varying of grid spacing near the channel wall In these schemes the coefficients in those schemes are varying with meshes which eliminate large errors of Jacobian transformation near the wall The errors of approximation and aliasing error are also studied 2 A high efficient method for incompressible N S equations is developed Non linear terms of the N S equations are approximated by using upwind compact difference schemes on non uniform meshes and the discrete pressure equation on staggered grid is used to approximate the pressure equation then difficulties of pressure boundary treatments can be avoided Finally Fourier transformation is used to decouple the implicit terms and LU method is used to solve the decoupled equations The method has very high efficiency To test method a fully developed channel flow is simulated The turbulence statistics include mean velocity mean square root and skewness factor of velocity fluctuations Reynolds shear stress energy spectrums agree well with the experiment data or computational data of Kim et al 1987 3 Fully developed compressible turbulent channel flow Ma 0 8 Re 3300 is simulated The data base of compressible turbulent channel flow is developed Density weighted mean stream velocity by using Van Driest transformation and RMS velocity fluctuation in semi local coordinates are very close to those of computed data for incompressible flow Kim et al 1987 and compressible flow Ma 1 5 Ma 3 Coleman et al 1995 The skewness and flatness factors of velocity fluctuation in compressible turbulence are given which are not seen in other literatures Compressibility effects are also studied According to analysis a part of kinetic energy are absorbed by pressure dilatation and turned into inner energy which makes streamwise velocity streaks more smooth 4 Fully developed two dimensional turbulent channel flow is simulated The difference and similarity between two dimensional turbulence and three dimensional turbulence are also discussed in this paper 5 Scaling laws of 3 D channel turbulence and 2 D channel turbulence are studied and the conclusions are a Scaling law is found in the center area of the channel b In this area ESS is also found c When Mach number is not very high compressibility has little effect on scaling exponents Key Words Turbulent channel flow Direct numerical simulation Upwind compact difference schemes on non uniform meshes Compressibility effect two dimensional turbulence Scaling law 中国科学院博士研究生学位论文 1 第一章第一章 绪论 绪论 1 1 研究的问题和意义研究的问题和意义 湍流是自然界最复杂的物理现象之一 自 1883 年 Reynolds 的著名湍流实 验以来 人类对湍流研究已有了上百年的历史 经过上百年的研究 人们对湍流 逐渐形成了许多系统的认识并将其应用于解决工程实际问题中 对湍流的研究不 但有重大的理论意义 而且有巨大的实用价值 飞行器的减阻 散热 复杂的化 学反应流动 河流 海洋以及大气流动无不与湍流密切相关 一旦湍流问题得到 解决 必然会带来极大的经济价值 对湍流的研究方法主要有理论 实验和数值模拟三种 这三种方法各有优 缺点 互相补充 各自发挥着不可替代的作用 理论研究对认清湍流本质有着巨大贡献 每一个新理论的提出都意味着湍 流问题的巨大突破 但由于受数学工具的限制 目前在湍流的理论研究上还没有 根本性的突破 湍流实验是人们认识湍流的基本方法 但由于受实验条件的限制 目前的湍流实验只能给出流场中孤立点上的部分信息 数值模拟是近期发展起来 的同理论 实验并列的一种新方法 湍流的数值模拟可提供湍流场的全部信息 是人类认识和研究湍流的重要工具 当然 数值模拟也要受到计算机条件及数值 计算方法的限制 随着目前计算机技术的飞速提高和数值计算方法的改进 数值 模拟在湍流的研究中发挥着越来越重要的作用 目前湍流的数值计算主要有三种方法 雷诺平均方法 RANDS 大涡模拟 方法 LES 直接数值模拟方法 DNS 所谓雷诺平均方法是通过对湍流场进行平 均 包括时间平均 空间平均和系综平均 得到关于平均量的控制方程 雷诺 平均方程 与控制流场的 N S 方程相比 雷诺平均方程多出了反映脉动量对平均 量影响的雷诺应力项 湍应力项 雷诺方程无法自然封闭 需要另外提出湍流 模型 该方法的计算量较小 但其精确性和普适性较差 湍流模型及模型系数还 部分依赖经验 该方法目前主要应有于工程湍流的计算中 大涡模拟方法是通过滤波的方法将流场分为大尺度量 大涡 和小尺度量 小涡 对大涡直接求解 小涡对大涡的影响反映在方程中的亚格子雷诺应力 项中 对亚格子雷诺应力同样要提模型 由于大涡模拟方法保留了原湍流场的大 第一章 绪论 2 尺度信息 因而能够更加准确的反映原流场的性质 亚格子应力模型也较为简单 与雷诺平均理论相比 大涡模拟的计算量较大 但准确性与普适性有了较大提高 大涡模拟可应用于湍流的机理研究中 目前在工程湍流的计算中也有应用 直接数值模拟 DNS 是通过直接求解控制流动的 N S 方程 利用所得到 的数值解来研究湍流的方法 近三十年的研究认为 N S 方程完全可以描述包括湍 流在内的复杂流动 直接求解 N S 方程可以得到整个湍流场的全部信息 无需任 何模式 相对前两种方法 该方法的精度最高 普适性最好 但该方法的计算量 最大 目前的计算机只能进行低雷诺数下具有简单边界的湍流场的直接数值模 拟 还无法应用到工程实际湍流的计算中去 直接数值模拟是研究湍流机理的最有效的方法之一 本文的研究内容就是 针对一种典型的湍流 槽道湍流 寻求一种行之有效的直接数值方法 并通过 直接数值模拟来研究槽道湍流的性质和机理 本文的研究内容包括不可压槽道湍 流 可压槽道湍流及 二维槽道湍流 涉及这些湍流的统计特性及湍流机理 1 2 湍流直接数值模拟及湍流机理研究的进展湍流直接数值模拟及湍流机理研究的进展 1 2 1 国际及国内已经开展的国际及国内已经开展的 DNS 结果研究简介结果研究简介 最早开展湍流 DNS 的是 Orszag 和 Patterson 1972 他们尝试在 3 32的网格 点上进行了 Re 35 基于 Taylor 微尺度 的均匀各向同性湍流的直接数值模拟 Orszag 等人的开创性工作证实了用谱方法进行湍流 DNS 的可能性 Rogallo 1981 改进了 Orszag 等人的算法并计算了由平均速度梯度驱动的均 匀各向同性湍流 并同实验结果进行了比较 其结果被用于湍流模式的研究 对壁面湍流 早期由于受计算机条件的限制 无法进行直接数值模拟 Moin 和 Kim 1982 对充分发展的槽道湍流进行了大涡模拟 其结果被用来研究湍流的 近壁结构 Ragallo et al 1984 Spalart 1986 1988 发展了边界层湍流的计算方法并 对其进行了数值模拟 其结果被广泛应用于边界层湍流的研究 直到 1987 年 Kim et al 1987 等才首先实现了充分发展槽道湍流的直接数值模拟 Kim et al 1987 得到了槽道湍流的平均速度 脉动速度的均方根 脉动速度的偏斜与平坦因子 中国科学院博士研究生学位论文 3 剪切应力 两点相关量和能谱等统计量 其结果和实验吻合很好 该结果是目前 湍流 DNS 比较经典的结果 已被用来验证数值方法及校准湍流实验 此后湍流直接数值模拟有了很大发展 对各种相对复杂的流动进行了数值模 拟研究 如弯曲槽道中的湍流 Neves et al 1994 后台阶湍流 Le et al 1991 平板边界层的分离 Na et al 1996 旋转槽道流 Kristoffasen et al 1993 这些 结果给湍流的机理研究提供了重要的数据 在国内 由于受计算条件的限制 湍流 DNS 开展得相对较晚 许春晓 1995 在国内首次实现了充分发展槽道湍流的 DNS 傅德薰 马延文 2000 完成了 三维可压平面混合层转捩到湍流的直接数值模拟 得到了流场从涡卷起形成 涡 到形成马蹄涡再到涡破碎的全部过程 并指出了可压缩混合层和不可压混合层转 捩过程中的区别 1 2 2 湍流直接数值模拟方法的进展湍流直接数值模拟方法的进展 由于湍流场是多尺度 非定常 非稳定流场 对该流场进行直接数值模拟不 但对计算机的性能要求苛刻 而且对计算方法也提出了严格的要求 由于湍流中 包含从积分尺度到耗散尺度在内的全部尺度 而不同尺度之间相差极为悬殊 这 就要求计算方法有相当高的空间分辨率 同时 由于湍流是一个强非线性流动 因而计算方法必须具有抑制由于非线性作用而产生的混淆误差的能力 早期湍流直接数值模拟采用谱方法 谱方法具有理论上的无穷阶精度 非常 适合于湍流的 DNS 但谱方法对计算区域和边界条件要求极为苛刻 只能适用 于具有简单几何边界的流动计算 从而限制了该方法的推广 90 年代以来 高 精度差分方法在湍流 DNS 中逐渐得到应用 Rai et al 1991 首次实现了用差分 法对充分发展的槽道湍流进行直接数值模拟并取得了较好的效果 与谱方法相 比 差分法具有格式简单 计算量小 对边界条件处理灵活等优点 Lele 1991 对一类 Pad 格式进行了总结 提出了紧致型差分格式 和普通 差分格式相比 紧致格式能够在相同的基架点上可以构造出更高精度的格式 更 适于湍流的直接数值模拟 Fu Ma 1989 1993 将迎风机制引入紧致型差分格 第一章 绪论 4 式 构造了迎风紧致格式 该格式除具有很高精度以外还能对高频非物理振荡进 行衰减 抑制计算中的混淆误差 Fu Ma 将迎风紧致格式应用于可压平面混 合层转捩到湍流的直接数值模拟 并取得很好的效果 Fu Ma 1997 傅德薰 马延文 2000 Gamet et al 1999 提出了基于非等距网格的对称紧致格式 该格 式可以在物理空间网格变化剧烈的情况仍保持较高的精度 适用于壁湍流等需要 在壁面附近高度加密计算网格的情况 Gamet et al 运用该格式对 Ma 0 2 的可压 微型槽道湍流 进行了直接数值模拟 得到的低阶统计量与 Kim et al 1987 的 不可压槽道湍流相近 验证了该方法的正确性 在计算的时间推进上 早期 DNS 采用精度较低的方法 如 Kim et al 1987 采用二阶精度的 Crank Nicolson 和 Adams Bashforth 相结合的时间推进格式 Rai et al 1991 采用了三阶精度的半隐三步 R K 方法进行时间推进 该格式是一个三 步格式 每推进一个时间步须完成三个独立的子步 每个子步都须计算 N S 方程 中的全部空间导数项 因此该方法的计算量很大 Karniadakis et al 1991 提出了 求解不可压 N S 方程的高精度时间分裂格式 该格式是一种半隐的 Adams 格式 虽然该格式也分三个子步计算 但每个子步分别计算对流项 压力项和粘性项中 的一项 因此该格式实际上是一个单步格式 计算量很小 具有很高效率 湍流是非线性的 在湍流 DNS 的数值方法中 如何抑制非线性作用产生的 混淆误差是很重要的 Kim et al 1987 指出 在该湍流的数值计算中 如果不 采取措施抑制混淆误差将会导致计算衰减为层流 另外还有大量的数值实验表明 混淆误差将导致计算的发散 Moin et al 1998 Zang 1991 Kravchenko 1997 Blaisdell et al 1996 发现如在计算中对 N S 方程的对流项采用等价的的旋度型 V 或旋度 对称型形式 2 jjijii uuuu 则能有效得减小混淆 误差的影响 最新的研究结果表明旋度 对称型效果更好些 Morinishi et al 1999 1 2 3 可压缩湍流直接数值模拟研究的进展可压缩湍流直接数值模拟研究的进展 由于自然界相当多的湍流属于可压缩湍流 因而对可压缩湍流的直接数值模 中国科学院博士研究生学位论文 5 拟是很有意义的 与不可压湍流的直接数值模拟相比 可压缩湍流的研究开展较 晚 结果也少得多 1981 年 Feiereisen 最早开始了可压缩均匀湍流的直接数值模 拟研究 Feiereisen et al 1981 但直到 90 年代三维可压缩均匀湍流的研究采真 正开展起来 Erlebacher et al 1990 Blaisdell et al 1993 Lee et al 1991 Sarkar et al 1991 近几年来可压湍流的直接数值模拟研究有了较大进展 Rai et al 1995 进 行了可压边界层的直接数值模拟 Vreman et al 1996 进行了可压平面混合层的 直接数值模拟 Lee et al 1993 Mahesh et al 1997 研究了可压湍流场中激波的 影响 可压湍流中的声场研究也开展了起来 Tam 1995 Lele 1997 由于可压壁湍流的复杂性 直到 1995 年 Coleman et al 1995 才首次进行了 可压槽道湍流的 DNS 研究了 Ma 1 5 和 Ma 3 的充分发展的槽道湍流 并分析了 压缩性效应对湍流的影响 该文认为压缩性效应对湍流的影响主要反映在对平均 量的影响上 该文也同时发现可压湍流的近壁速度条带结构更加平整 并推测该 现象反映了压缩性对湍流脉动量的影响 关于压缩性效应对湍流小尺度结构影响 的机理 目前国际上尚没有明确的认识 1 2 4 二维湍流 的研究 二维湍流 的研究 湍流从本质上说是三维的 在从层流到湍流的转捩过程中 二维扰动很快变 得不稳定并形成三维扰动 Herbert 1963 Orszag Pattera 1983 在物理流动中 二维扰动是不可能达到饱和状态的 但通过数值模拟确能得到二维扰动的饱和态 流场 该流场有许多和三维流动相似的特点 有时也被称为 二维湍流 二维 湍流 对三维湍流的研究有借鉴意义 同时 二维湍流 的获得又比较经济 因 而 二维湍流 有一定研究价值 Kaichana 1967 Saffman 1971 Jim nez 1987 Benzi et al 1987 Brachet 1986 Gilbert 1988 Benzi et al 1987 Brachet et al 1986 Gilbert 1988 对二维衰减湍流的能谱及流场结构进行了研究 Jim nez 1990 对二维槽道湍流进行了研究 发现了该流动有许多现象与三维槽道湍流 相似 都存在上抛 下扫结构和间歇现象 1 2 5 湍流标度律研究的进展湍流标度律研究的进展 在一百多年的研究中人们一直试图弄清湍流的本质 找到一种复杂湍流现 第一章 绪论 6 象的一种本质的 普适的东西 标度律是人们对湍流认识的重大进展 对标度律 的研究可最早开始于前苏联数学大师 Kolmogorov 他从随机场理论出发 运用 量纲分析的方法得出了关于充分发展湍流场的一系列结论 以下称其为 K41 理论 Kolmogorov 1941a c 该理论对半个多世纪以来的湍流研究产生了深远影响 K41 理论的精华是预言了充分发展湍流场中标度律的存在 K41 认为 湍流是由不同尺度的涡构成的 大尺度涡从平均流动获取能量 并将能量传递给较小尺度的涡 而小尺度的涡又把能量传递给更小能量的涡 直 至在耗散尺度被耗散 远小于积分尺度而又远大于耗散尺度的区域称为惯性区 K41 理论认为在惯性区内能量可以几乎无耗散地传递 在这个区域内 速度结构 函数 两点间速度差的统计矩 是距离的幂次函数 这就是标度律 其幂次就是 标度指数 标度律是对多尺度复杂流动临界自组织状态的定量刻画 对其进行研究有 着重要意义 标度律问题已经成为人们对湍流研究成果的试金石 佘振苏 1999 近几年来标度律的研究取得了很大进展 Benzi et al 1993a 1993b 提出了 湍流的扩展自相似性 ESS 指出湍流场速度结构函数之间存在幂次关系 其 幂次称为相对标度指数 或扩展标度指数 Benzi et al 1993a b Stolovitzky et al 1993 ESS 具有更广泛的适用范围 ESS 的发现大大提高了标度指数的实验测 量及数值计算的准确度 Benzi et al 1994 Benzi et al 1995 Benzi et al 1996 后来又提出了适用范围更广的广义扩展自相似性 GESS ESS 和 GESS 反映了 湍流中不同尺度直接的内在的 本质的关系 K41 理论认为湍流是一个能量级串传递过程 反映为标度指数与统计阶次 之间呈线性关系 p 3 律 而最新的研究发现 湍流问题并不完全象 K41 理论 描述得那样简单 能量级串之间关系非常复杂 能量级串的多极相关反映为反常 标度律 即标度指数与统计阶次之间呈非线性关系 Belin et al 1996 Benzi et al 1994 Anselmet et al 1984 Noullez 1997 反常标度律的发现构成了对 K41 理论的最大挑战 也说明了 K41 理论的局 限性 如何提出更准确刻画湍流的模型成为了重要问题 我国著名学者佘振苏提出了一个刻画湍流脉动结构的模型 湍流层次结 构模型 又称 SL 模型 She et al 1995 1998 佘振苏等 1999 这个模型利用 湍流最强激发的间歇结构 也称最高激发态 的性质 在承认充分发展湍流极端复 中国科学院博士研究生学位论文 7 杂性的同时揭示了一种新的简单性 即不同长度尺度和脉动幅度之间的层次相似 性 该模型预测的标度指数与目前的实验结果及各向同性湍流数值模拟结果吻合 较好 充分说明了该理论的正确性 对于开放边界的均匀湍流场 许多实验表明 标度律是普适的 但同时许 多实验表明 许多封闭流动表现出比均匀各向同性湍流更小的标度指数 因而即 使对充分发展湍流 标度律也不是完全普适的 Belin et al 1996 Lewis et al 1999 佘振苏 1999 指出 标度指数中包含了一系列湍流动力学状态的信息 系统地研 究多级相关函数的标度指数 将成为描述湍流自组织状态的重要线索 1 3 本文所开展的工作本文所开展的工作 1 3 1 基于非等距网格的迎风紧致格式基于非等距网格的迎风紧致格式 在湍流 DNS 中 差分法的应用越来越广泛 差分方法本身也有了很大发展 正如前文所综述的那样 差分格式由普通型差分格式发展为紧致型差分格式 并 包含了迎风机制 Gamet et al 1999 还发展了基于非等距网格的对称紧致格式 使紧致格式能应用于变化剧烈的网格上不致于产生大的误差 作者从 Gamet et al 1999 的思想及 Fu Ma 1989 1993 的迎风机制中受 到启发 建立了基于非等距网格的迎风紧致格式 该格式同时具有 Gamet et al 1999 和 Fu Ma 1989 1993 格式的优点 该格式中的系数直接通过空间 网格信息获得 而不是通过 Jocabian 变换达到计算空间的均匀网格 对任意分 布的非均匀网格都能保持较高的精度 在槽道湍流的计算中 为了捕捉壁面附近 的小尺度 计算网格必须在壁面附近高度密集 壁面附近网格变化非常剧烈 对 于这种变化剧烈的网格 如采用传统的处理方法进行 Jocabian 变换 就会产生很 大的计算误差 而本文构造的基于非等距网格的迎风紧致格式无需 Jocabian 变 换 在网格尺度变化剧烈的区域仍能保持较高精度 使数值计算能达到较好的效 果 同时由于该格式包含了迎风机制 能有效抑制计算中的混淆误差 使得计算 能够顺利进行 特别是在可压缩湍流的数值模拟中 由于可压 N S 方程中包含了 函数的三次项 三个未知物理量的乘积项 使得混淆误差的影响更加严重 通过 第一章 绪论 8 数值计算表明本文构造的基于非等距网格的迎风紧致格式能有效处理混淆误差 使计算顺利进行 通过本文进行的不可压槽道湍流及可压槽道湍流直接数值模拟 证明了本文 构造的格式是行之有效的 本文还从差分格式的数值误差特征出发 定性及定量地讨论了直接数值模拟 所需要的空间分辨率 指出采用高精度的紧致差分格式可以适当放大计算的空间 网格间距 从而减小总体计算量 同时本文还对谱方法及差分法的混淆误差进行 了分析 1 3 2 求解不可压求解不可压 N S 方程的高效算法及不可压槽道湍流的方程的高效算法及不可压槽道湍流的 DNS 湍流 DNS 的弱点在于其计算量极其巨大 因此如何减少其计算量 构造一 个行之有效的高精度高效计算方法是很有意义的 作者发现 DNS 的计算量主 要集中在方程中的隐式部分 减少计算量的关键在于针对隐式部分提出一个高效 算法 本文将基于非等距网格的迎风紧致格式与三阶精度的 Adams 半隐格式相结 合 构造了求解不可压 N S 方程的半隐格式 该格式利用基于交错网格的离散形 式的压力 Poisson 方程求解压力项 解决了压力边界条件问题 本文利用快速 Fourier 变换对方程中的隐式部分进行解耦并利用追赶法 即 LU 分解法 求解 LU 分解可在计算之前完成 并不占用额外的计算量 该方 法在保持隐格式优点的同时大大减少了计算量 提高了计算效率 为了检验方法 本文进行了三维不可压槽道湍流的直接数值模拟 得到了充 分发展的湍流场 分析了该湍流场的平均速度分布 脉动速度的均方根 偏斜因 子 脉动速度的两点关联量 能谱及剪切应力分布 其结果和实验及 Kim et al 1987 使用谱方法的数值计算结果吻合十分理想 充分说明了本方法的正确性 本文的计算网格少于 Kim 1 3 3 可压缩槽道湍流的直接数值模拟及压缩性效应分析可压缩槽道湍流的直接数值模拟及压缩性效应分析 可压槽道湍流作为一种可压壁湍流 包含了压缩性效应和壁面效应的影响 中国科学院博士研究生学位论文 9 是一种具有代表性的典型的流动 由于可压 N S 方程的复杂性 可压槽道湍流的 DNS 结果目前国际上还十分稀少 本文运用作者构造的基于非等距网格的迎风紧致格式和基于非等距网格的 对称紧致格式对 Ma 0 8 Re 3300 的具有等温壁面的槽道湍流进行了直接数值模 拟 得到了充分发展的可压槽道湍流数据库 流场的统计特征 如等效平均速度 分布 半局部 尺度无量纲化的脉动速度均方根 和他人的数值结果吻合较好 验证了数值计算的正确性 本文首次得到了可压缩槽道湍流的高阶统计量 本文在该湍流数据库的基础上着重分析了压缩性对流场脉动量的影响 分析 了流场中不同位置的速度条带结构并与不可压的情况对比 认为可压湍流的近壁 速度条带结构的相干性更好 并通过展向脉动速度关联量定量地反映出可压槽道 湍流与不可压槽道湍流之间的差别 本文分析了瞬时流场中与压缩性有关的能量 项 认为瞬时压力在脉动的压缩 膨胀项上的作功部分吸收了湍流脉动动能 造 成了速度条带结构的改变 1 3 4 二维槽道湍流 的非线性行为分析及统计分析 二维槽道湍流 的非线性行为分析及统计分析 本文在数值模拟的基础上对不可压 二维槽道湍流 进行了分析 得到对 应不同 Re 数的周期解和拟周期解 同时还分析了特定 Reynolds 数流场中的上抛 下扫结构和间歇现象 同时本文还对比了 二维湍流 与三维湍流的各阶统计 量 指出了展向扰动对应湍流核心区形成的重要性 1 3 5 槽道湍流标度律研究槽道湍流标度律研究 目前国际上已经成功运用直接数值模拟对均匀各向同性湍流进行了标度律 研究 但对于壁湍流 目前尚无相关方面的研究结果 对于可压缩壁湍流结果更 少 本文首次运用 DNS 结果进行了可压槽道湍流的标度律研究 通过分析得出 以下结论 1 在充分发展的可压槽道湍流场中 在槽道中心线附近较宽的区域 存在标度律 2 在该区域存在扩展自相似性 ESS 3 当 Mach 数不是很高时 压缩性效应对标度指数的影响不大 第一章 绪论 10 本文结果与 SL 标度律及实验结果吻合较好 支持了 SL 理论 对 二维槽道湍流 也有相似的结论 但与三维湍流不同的是 二维槽道 湍流 的标度律范围更广 近壁处的标度指数比槽道中心处明显升高 11 第二章第二章 基于非等距网格的迎风紧致格式及湍流基于非等距网格的迎风紧致格式及湍流 DNS 误差分析误差分析 2 1 前言前言 早期的湍流直接数值模拟使用谱方法 谱方法具有理论上的无穷精度 非常 适合于对小尺度的捕捉 同时由于各种快速正交变换 如快速 Fourier 变换 FFT 快速 Chebshev 变换 快速 Legendre 变换等 算法的成熟 使得谱方法在算法实 现上有较高的效率 谱方法直到目前仍是进行湍流直接数值模拟的主要方法之 一 但谱方法适用范围却非常有限 经典的 Fourier 谱方法只能适用于具有周期 边界的矩形 或长方体 区域 虽然采用其它正交函数谱 Chebshev 谱 Legendre 谱等 可以适当放宽边界条件的限制 但总体来说 谱方法仍只能适用于简单几 何形状的区域 这就使得谱方法的推广受到了很大的限制 采用谱元方法虽可以 适用于较复杂的边界条件 但过大的计算量限制了该方法的推广 另外 谱方法 所处理的流场必须是光滑的 对有间断的流场 如有激波存在的可压流场 用谱方 法计算时则会产生震荡 Gibs 现象 这也是谱方法的一个弱点 另外 运用拟谱 方法时 混淆误差会影响到数值计算的稳定性 因而在用谱方法计算时往往需采 取措施抑制混淆误差 这也会增加计算的复杂性 和谱方法相比 差分方法对边界条件和几何形状处理则灵活得多 高精度 的差分方法已经逐渐被用于湍流 DNS 的计算中 Rai et al 1991 首次运用高精度 差分方法实现了槽道湍流的 DNS 该文对不可压 N S 方程的对流项和扩散项分 别采用了迎风偏斜的五阶精度差分及中心型的六阶精度差分 其计算结果与 Kim et al 1987 的谱方法结果吻合较好 充分说明了运用差分法进行湍流 DNS 是可行 的 九十年代以来 差分方法本身有了较大发展 Lele 1991 对一类 Pad 格式进 行了总结 提出了紧致型的差分方法 该方法构造的差分格式不但用到了函数值 本身 而且用到了网格点上导数值的信息 与传统差分法相比 该方法能够在相 同基架点上构造出更高精度的差分格式 Fu Ma 1989 提出了三阶精度的迎风 紧致格式 UCD3 在紧致格式中引入了迎风机制 能够有效抑制高频非物理 12 振荡 有利于计算的稳定 此后 Fu Ma 1993 针对多尺度复杂流场的数值 模拟构造了五阶迎风紧致格式 UCD5 Ma Fu 1995 还发展了具有任意 阶精度的超紧致格式 目前 紧致型格式已经得到了广泛应用 在湍流的直接数值模拟中 混淆误差是计算误差的一个重要来源 混淆误差 是由非线性项产生的 主要集中在高波数部分 混淆误差对数值计算有很大的影 响 如不对其进行控制则可能导致数值计算发散或者衰减到层流状态 Moin et al 1998 控制混淆误差的方法很多 在谱方法中可采用 3 2 规则来消除混淆误差 Canto et al 1998 对 N S 方程对流项采用等价的旋度或旋度一对称形式 Morinishi et al 1999 也能有效抑制混淆误差 采用差分格式逼近 N S 方程时 对方程的对流项采用迎风型格式可以有效 地控制混淆误差 迎风格式通常是耗散型的 对高频非物理振荡有较好的抑制作 用 能有效抑制因非线性作用而产生的高波数成分 减小混淆误差 有利于计算 的稳定 Rai et al 1991 采用差分法进行槽道湍流的 DNS 中 对于对流项采用的 就是迎风型差分 Fu Ma 1989 1993 提出的迎风紧致格式兼具紧致型格式和迎风型格式的优 点 已被用于多种复杂流场的直接数值模拟 Fu Ma 1997 2000 传统的紧致型 差分格式是针对等距网格的 对于非均匀网格 通常采用 Jocabian 变换 使计算 域内为均匀网格 当物理空间网格间距变化骤烈时这种方法会带来很大误差 在 壁湍流的 DNS 中 为了捕捉壁面附近的微尺度 计算网格在壁面附近高度密集 网格尺度变化十分骤烈 这就给传统紧致型格式的应用带来一定困难 Gamet et al 1999 建立了基于非等距网格的对称紧致格式 直接针对物理空间网格来确定 格式中的系数 甚至在随机网格上都能保持较高精度 本文从 Gamet et al 1999 Fu Ma 1989 1993 的思想中受到启发 建立了 基于非等距网格的迎风紧致格式 该格式既具有传统的迎风紧致型格式优点 又 能适应计算网格的骤烈变化 适合于湍流的 DNS 湍流中包含了各种不同尺度的涡 而湍流的 DNS 要求不但能捕捉到大尺度 涡 而且能捕捉到各种尺度直到最小尺度的涡 也就是网格尺度要达到 Kolmogorov 耗散尺度 在实际计算中具体的网格尺度除了和 有关外 也和 13 采用的计算方法有一定的关系 一般说来 采用高精度的计算方法可以适当放宽 网格尺度 在本章的第二部分 作者对不同精度差分格式的耗散与色散误差进行 了分析 针对槽道湍流指出 DNS 需采用的计算网格尺度 本文还分析了采用谱方法及迎风紧致格式进行数值计算的混淆误差来源及 对计算的影响 并通过算例指出了迎风紧致格式在处理混淆误差时的优势 2 2 基于非等距网格的迎风紧致格式基于非等距网格的迎风紧致格式 下面建立基于非等距网格的迎风紧致格式 设网格为 k x k 1 2 3 N 网 格间距 1 kkk xxh 考虑如下模型方程 1 2 0 x u c t u 设 u 是 x u 的差分近似 当 c 0 时令 u 满足 2 2 22111iiiiiiiiiiiii uEuDuCuBuAuu 其中 iiiiii EDCBA 与网格间距 1 kkk xxh有关 原先的迎风紧致格式要求网格间距h为一常数 而本文中的 k h可以任意变化 对 于不同的网格点 空间步长可以是不同的 将 2 2 式中的 12211 iiiii uuuuu在i点做 Taylor 展开 比较两端 Taylor 展式 中同阶的系数可得如下关系式 i i iiiiiii i i i i i iiiiiii i i i i i iiiiiii i i i iiiiiiiii i i i iiiiiiiiiii iiiii ahDhhChhBhAh ahDhhChhBhAh ahDhhChhBhAh ahDhhChhBhAh aDhhChhBhAh EDCBA 45 1 5 12 5 1 5 34 1 4 12 4 1 4 23 1 3 12 3 1 3 2 1 2 12 2 1 2 1121 5 4 3 2 1 0 2 3 若 2 2 中的系数 iiiiii EDCBA 满足 2 3 式 则分析等式两端 Taylor 展式 14 余项的系数可知 u 以五阶精度逼近于 x u 2 2 2 3 为针对内点构造的基于非等距网格的迎风紧致格式 同样 当0 c时 u 满足 4 2 22111iiiiiiiiiiiii uEuDuCuBuAuu 其系数满足 i i iiiiiii i i i i i iiiiiii i i i i i iiiiiii i i i iiiiiiiii i i i iiiiiiiiiii iiiii ahDhhChhBhAh hDhhChhBhAh hDhhChhBhAh hDhhChhBhAh DhhChhBhAh EDCBA 1 45 1 5 12 5 1 5 1 34 1 4 12 4 1 4 1 23 1 3 12 3 1 3 1 2 1 2 12 2 1 2 1121 5 4 3 2 1 0 2 5 以上构造的差分格式适用与网格的内点 对于边界点 可采用降低精度的 普通型的差分逼近格式 Rai et al 1991 由 2 4 2 5 可以看出 本文构造的基于非等距网格的迎风紧致格式中的 系数只与网格有关 一旦网格给定 这些系数就固定下来 在数值计算中 如果 计算网格不随时间变化 则这些系数只需计算一次 因此该格式并不比传统的紧 致格式增加计算量 为了说明该格式的优点 给出如下算例 令 sin xxu 1 1 x 用本文构造的基于非等距网格的迎风紧致格式 及普通的五阶迎风紧致格式 用到 Jacobian 变换 求 x u 的近似值 计算网格为 tanh tanh 1 jg g j b b x 2 6 其中 3 g b 1 N H j j 2 H 160 N 该计算网格变化比较剧烈 表 1 为采用不同方法的计算结果在临近边界的几个内点上的误差对比 其中 数值误差定义为 cos jjj xuerr 其中 j u 为用数值方法求得的第 j 个 15 点上的导数逼近值 从表中可以看出本文构造的方法具有比较明显的优势 数值误差 通过 Jocabi 变换的方法 本文构造的方法 j 2 1 107547 2 5 100792 1 j 3 3 105259 1 11 107191 9 j 4 6 107957 7 14 103521 4 j 5 6 109841 1 15 101054 7 表 1 本文构造的格式与传统格式的误差比较 2 3 直接数值模拟的空间精度分析直接数值模拟的空间精度分析 湍流的最小尺度是 Komogorov 耗散尺度 只有在这个尺度下观察 各物理 量 包括速度 压力 密度 温度等 的变化才是光滑的 因此直接数值模拟的 网格分辨尺度应能够达到 Komogorov 尺度 实际的湍流 DNS 中 采用的网格尺 度除了和流动本身的尺度特征有关外 和采用