（应用数学专业论文）若干偏微分方程的基于自然边界归化的区域分解算法.pdf

北方工业大学硕士学位论文 摘要 有限元法 边界元法以及广义差分法是求解许多工程问题的常用的数值方法 边界 元方法适于求解线性 均凄淘题笼界区域蠡题 但是受翔题及区域蘸复杂性熬限制 有 限元及有限体积法臻l 适用于有界区域 可以求解嚣线性酶 嚣均质的润题 自然边赛元 法是中国学者首次提出的一种边界元方法 该方法不但有 般边界元方法所共有的优 点 褥盈还有许多独特数健点 无界区域上谪微分方程边值阀题酶求解一誊餐受天韶关注 入衍尝试着嗣各种数值 方法来克服由区域无限性所带来的困难 另一方面区域分解算法已成为近年来计算数学 研究的热门领域 本文基于耋然边界鹰纯方法 研究无界区域芝对予各向异性常系数椭嚣型镳徽分方 程河题的一种重叠型区域分解算法 本文还将c c 型对偶剖分的广义差分法与自然边界元方法相结合 解决 类半线性 各南羿性椭圆型乡 边值翘题 第一章奔缀本文的研究蠢容 该课题的研究意义 研究现状 发展趋势以及有关 有限党 自然边界丽 广义差分法的基本理论 第二章 提出对于各项异性常系数椭 圆型偏微分方程问趣的一种重叠型区域分解算法即s c h w a r z 交替算法 证明了在连续情 形下最大模意义下鲢凡鹰迭我收敛性并逶过f o u r i e r 分桥墩及共焦糕匿边界的性质获得 了不依赖各项异性程度的最优的迭代收敛因予 利用极值原理证明了离散情形下得几 何收敛性 得到了迭代收敛解的误差估计 进一步精细的分析了压缩因予并与数值例 子一致 最后 数值结果证实了理论分耨憋正确性 也迸一步证骥了在无界区域上解 各项异性椭圆鍪偏微分方程的优越性 第三章 将c c 型对偶测分的广义差分法与自然 边界元方法相结合 解决一类半线性各向异性椭圆型方程外边值问题 利用广义差分 法进行离散纯 得劐差分格式 形成菲线性方程组 根据有限元与妻然边界元误差估 诗理论和广义差分法黼值理论 获得一酚的误差估计 关键谣 偏微分方程数值解法 燹界区域 半线性各向异性闯题 有限体积元 奁然 边界归化 北方工业大学硕士学位论文 o nt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o df o rs o m ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sb a s e do n t h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n a b s t r a c t b o t ht h eb o u n d a r yd e m e n tm e t h o d b e m a n dt h ef i n i t ed e m e n tm e t h o d f e m a r e r c c o g n i z e dn o w a sg e n e r a ln u m e r i c a lm e t h o d sw h i c ha r ea p p l i c a b l et oaw i d ev a r i e t yo f e n g i n e c d n gp r o b l e m s i ng e n e r a l 雠b e mi sm o r es u i t a b l ef o rp r o b l e m so v e ru n b o u n d e d d o m a i n s w h i l ei ti su s u a l l yc o n f i n e dt ot h er e g i o nw i t hh o m o g e n e o u sm a t c 纛武w h e r et h e g o v e r n i n ge q u a t i o n sa r cl i n e a r 0 n 曲o t h e rh a n d 骶f e m i sr e s t r i c t e dt oab o u n d e dr e g i o n w h e r e a si ti sa p p l i c a b l et op r o b l e m sw h e r et h em a t e r i a lp r o p e r t i e sa r en o tn e c e s s a r i l y h o m o g e n e o u sa n dn o n l i n e a r i t i e sm a y 蝴芯低n a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d 删b e 的 n o to n l yh a st h o s ea d v a n t a g e st h a to t h e rb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d sp o s s e s s b u ta l s oh a ss o m e d i s t i n c t i v ea d v a n t a g e s i ti sa l w a y sp a i dc l o s ea t t e n t i o nt os o l v i n gt h eb o u n d a r yp r o b l e m so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n p d e o v e ru n b o u n d e dd o m a i n s l o t so fn u m e r i c a lm e t h o d sw e r et r i e dt od e a lw i t h d i f f i c u l t ya r i s e df r o mt h ei n f i n i t yo ft h ed o m a i n s o nt h eo t h e rh a n d d o m a i nd e c o m p o s i t i o n m e t h o d d d m h a sb e e na si m p o r t a n tf o c u si nt h ef i e l dc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s w es t u d y a k i n do fn u m e r i c a lm e t h o dt os o l v et h ee l l i p t i cp r o b l e m so v e ru n b o u n d e dd o m a i n sb ym e a n so f o v e r l a p p i n ga r i dn o n o v e r l a p p i n gd d m f i r s tw oi n v e s t i g a t ea r to v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o db a s e d0 1 3 t h en a t u r a l b o u n d a r yr e d u c t i o n0 1 1e l l i p t i cb o u n d a r y 缅 a n i s o t r o p i ee l l i p t i c p d ew i t hc o n s t a n t c o e f f i c i e n t si na nu n b o u n d e dd o m a i n s e c o n dw ec o m b i n et h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d so nc cd u a ls u b d i v i s i o nw i t ht h e n a t u r a lb o u n d a r yd e m e n tm e t h o dt os o l v eak i n do fa n i s o t r o p i ea n ds e m i l 证e s re l l i p t i cp d e 舔 a nu n b o u n d e dd o m a i n i nc h a p t e r1 w om a i n l yi n t r o d u c et h ec o n t e n t so fr e s e a r c h t h em e a n i n go fr e s e a r c h t h e s t a t u so fr e c e n tr e s e a r c h e s t h et e n d e n c yo fd e v e l o p m e n ta n ds o m eb a s i cl m o w l e d g eo ff i n i t e e l e m e n t b o u n d a r ye l e m e n ta n dt h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d s 髓ec o n t e n t sa r ei m p o r t a n t t h e o r e t i c a lb a s e so ft h i sp a p e ra n dw i l lb er e f f e r e di nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s i nc h a p t e r2 w o i n v e s t i g a ma no v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o db a s e do nt h en a t u r a lb o u n d a r y r e d u c t i o no i le l l i p t i cb o u n d a r yf o rt h ea n i s o t r o 丞ee l l i p t i c 蹴w i t hc o n s t a n tc c d j 5 l c i 键蜒i na n u n b o u n d e dd o m a i n w ep r o v ei t sg e o m e t r i ci t e r a t i v ec o n v e r g e n c ew i t hm a x i m u mn o r mi nt h e c o n t i n u o u sc a s ea n do b t a i na no p t i m a li t e r a t i o nc o n v e r g e n c ef a c t o r w h i c hi si n d e p e n d e n to f t h ea n i s o t r o p i ed e g r e e b yu s i n gf o u r i e ra n a l y s i sw i t hc o n f o c a le l l i p t i cb o u n d a r i e s w ea l s o p r o v ei t sg e o m e l r i cc o n v e r g e n c ei n t h ed 主s 站静醣ec a s ea n do b t a i nt h ee r l d re s t i m a t oo f t h e i t e r a t i v e 2 北方工业大学硕士学位论文 c o n v e r g e n ts o l u t i o nb yu s i n gt h em a x i m m np r i n c i p l e f i n a l l y o u rn u m e r i c a lr e s u l t sc o n f i r mt h e t h e 0 9 2 t i c a lc o n v e r g e n c e 缸l a i y s i sa n ds h o wt h ea d v a n t a g ef o rs o l v i n gt h ea n i s o t r o p i ce l l i p t i c p d ei nu n b o u n d e dd o m a i n s i nc h a p t e r3 w oc o m b i n et h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d sw i t h t h en a t u r a lb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o dt os o l v eak i n do f a n i s o t r o p i ca n ds e m i l m e a re l l i p t i cp d e i na l lu n b o u n d e dd o m a 虹w ec a r r yo u td i 删i m f i o nt oo b t a i nt h ed i f f e r e n c es c h e m ea n dt h e n o n l i n e a rc q t l a t i o l l sb yt h eg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o b y 龇e r r o re s t i m a t et h e o r yo ft h e f i n i t ee l e m e n ta n dt h en a m r a lb o u n d a ye l e m e n t w oo b t a i n e dt h ee 愀e s t i m a t ea n dt h e a s y m p t o t i cr a t eo f0 1 1c o n v 靴a 啦t h ei n t e r p o l a t i o nt h e o r yo ft h eg e n e r a l i z 甜 d i f f e r e a o 苣趱e 睦湖 k e y w o r d s p d fn u m e r i c a ls o l u t i o n u n b o u n d e dd o m a i ms e m i l i n e a ra n i s o t r o p i ce l l i p t i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m g e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d s 碰删b 煅姗 r e d u c t i o n 3 一 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果 据我所懿 除了文中特别加以标注藉致谢的地方外 论文中不包含其缝入已经发表 或撰写过的研究成果 也不包含为获得韭友王迎太堂或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 赞并表示谢意 靴敝燃名 勺般签字躁期 解 胛e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解韭友王些揩关保留 使用学位论文的规定 有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许论文被查阅和借阅 本人授权 韭友王墼太堂可以将学位论文鲍全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影 印 缩印或扫描等复黼手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文作者签名 嘎牵r 定 导师签名 蓑擎叔 签字日期 如格年f 月y 7 日签字日期 础年f 月叼日 学位论文作者毕业后去向 王作单位 遗讯地址 电话 邮编 北方工业大学硕士学位论文 l 引言 作为本文的开篇部分 本章主要介绍了课题 若干偏微分方程的基于自然边界归化 的区域分解算法 研究的内容 研究意义 及其发展趋势 然厩介绍了本文的组织结构 课题研究韵意义 方法及其发展趋势 众所周知 偏微分方程可根据特有的数学特征分为三大类型即抛物型 双曲型和椭 圆型 这三类偏微分方程描述了不同本质的物理现象 其应用是极其广泛的 对于在理 论研究和实际应矮离题中提窭麓许多偏微分方程 由于其边界和边界条锋复杂等原霹 寻求解的解析表达式相当困难 有时甚至是不可能的 所以必须利用计算机研究偏微分 方程的数值解 简而裔之 这种研究的任务在实用中主要表现在两个方面 是用有效 魏数篷方法离教德微分方程爱其边界条件 对此 差分方法和有限元方法是目前被试隽 行之有效的两类主要的数值方法 是关于高效率高精度求解离教微分方程 采用好的 算法与采用一般算法的计算效果往往相差很大 采用好的算法 不但能使求解过程数值 稳定 数值解熬精度得烈提高面且能数十倍数百倍的地节省计算工作量 糯圆型方程攒述了定常态物理现象 例如 弹性力学率的平衡闻题 无秸性流体酶 无旋运动 亚声速流及渗流问题 位势场 静电磁场和引力场等 问题 热传导中的温 度分布 扩散中的浓度分布及导体中的电子密度分布问题等都可用椭圆型方程的定解问 题来描述 尽管线性椭匮型方程的理论研究已较完善 然 嚣对手绝大多数实际通题 霾 为定解区域和边僵条件复杂 解祈解极难寻找 所以用各种近似方法对这些寒际问题进 行数值研究就很有实际意义和发展前景 用差分方法解椭圆型方程是实用的且已有不少 研究鹈应恳麓秉 但是 差分方法是晟翘嘭蹲珞翩分 这对矩形定解区域方便 对 般 复杂的定界区域差分方法就显褥不灵活不方便了 另终 差分方法对边界条葶串的处理也 不令人满意 在许多实际闯题中 我们常常会碰劐无界区域上偏微分方程边值闯题 邀时 若仍 焉求解有界区域问题行之有效的有限元法或有限差分法来楚理这类阚遂 时常会感委困 难 于憝 为解决这一难题 各种方法应运而生 例如 无限元方法 自适应有限元方法 在人工边界上有近似边界条件的有限元 法 迭萝断蓉法 有限霓与边瓣食法 重叠塑和菲重叠鍪医蠛分解算法 基于自然边 界归化的藕合法和区域分解算法等等 北方工业大学硕士学位论文 1 9 7 6 年 w l w o o d l 4 首次提滋无限元这一术语 值他的无限元是指单元个数无限 而几何形状是有限的 后来 应隆安恰当的采用了无限相似单元这个术语 无界区域的 无限相似单元得到了发展 其中求解无穷阶线性代数方程组是这种方法的关键 苁二十世纪六十年代 特别是七十年代之艨 边界元方法在经典的边界积分方程法 的基础上 吸收了有限元法的离散化技术而发展起来的一种求解偏微分方程的数值方法 5 周 o 对微分方程作边界归化的思想早在1 9 世纪就已出现 在c n e u m m m 1 8 3 2 1 9 2 5 v v o l t e r 斌1 8 6 0 1 9 4 0 e f r c d h l o m 1 8 5 5 1 垒2 7 d h i l b e r t 1 8 6 2 1 9 4 3 j h 删1 8 6 5 1 9 6 3 等人的著作中已有许多系统的理论成果 但是 真正将边界归化理论应用于数值计 算 并为了数值计算的目的而深入研究边界归化理论却是从2 0 世纪6 0 年代才开始的 随着鳓年代以来电予计算机的飞速发展和在科学工程计算领域的广泛应用带动了有限 元方法的蓬勃发展 人们将有限元技术与经典的边界归化理论相结合 为边界积分方程 法在科学工程计算中的应用打开了新的局面 到7 0 年代后期 边界积分方程法开始统 一成为边界元方法 它是继有限元方法之后出现的一种薪的 重要的数值计算方法 c a b r e b b i a g c h s i a o w l w e n d l a n d j c n e d e l e c 以及我国的冯康院士 余德浩研究 员 韩厚德教授 祝家麟教授等人对这一方面的发展和推广做出了突出的贡献 现在 边界元方法已被广泛应用于断裂力学 弹性力学 电磁场和热传导等领域的科学研究和 工程技术的数值计算 当前 国际上流行两种经典的边界归化方法 直接法和间接法 直接边界归化方法是 从基本解和g r e e n 公式出发将微分方程边值问题化为边界上的积分方程 间接边界归化 是放基本解及位势理论出发得到f r e d h o l m 积分方程 这两类边赛归化得到的边界积分 方程通常失去了原问题的自伴性等有用的性质 从而离散化盾得到的线性方程组得系数 矩阵 般是非对称的 自然边界归化的思想是由我国学者冯康院士首先提出来的 1 9 7 8 年l o 至n 月 冯 先生应法国国家科学研究孛心 c e n t e rn a t i o i n a ld el ar e c h e r e h es c i e n t i f i q u e 及意大利国 家科学院 a c a d e m i an a t i o n a b l ed e il i n c e i 邀请赴法 意讲学 在这次讲学中 冯先生 首次提融了一种全新的边界归化方式 一正则边界归化 由于这种归化保持能量不变 原边值闯题的许多有用的性质如双线性型的对称性 强制性等都被保持 觚焉自然积分 方程得解的存在唯一性及稳定性等结果也就随之而得 这一优点还是得正则边界归化熊 与传统的有限元方法自然而直接的耦合 因此 后来冯先生又将正则边界归化改称为自 然边界魁化 这一提法一直沿用至今 北方工业大学硕士学位论文 到八十年代孛期 自然边界 元的研究工作就已在二维闲题中取得了许多重要成果 1 9 硼 余德浩研究员的中文专著的出版则是自然边界元方法趋于成熟的重要标志 该书 建立了自然边界元法的一般理论框架 并系统地研究了二维调和问题 重调和问题 平 面弹性良逐和s t o k e s 闯题的自然边界元法以及露然边界元与有限元的耦合算法 此外 l 9 11 研究了二维h e l m h o l t z 方程外边值问题的自然边界元法 除了自然边界元 法可以直接用来求解某些特殊区域上的椭圆边值问题 自然边界元与有限冗耦合法外 基于自然边界归化的区域分解算法等还是处理无界区域及断裂区域问题的有效手段 前述 研究工作已在二维 三维领域以及与时间有关双随型 抛物型闻题方面取得了许多重要 研究成果 但这些成果主要是基于圆周 或球面 人工边界 而对于具有长条形内边界的无 界区域问题应用椭圆 或椭球面 人工边界可大大减少计算量 节省存储空间和计算时间 不失为一种更有效的数值方法 对于各向同性线性椭圆问题 自然边界元与有限元耦合法已有相当完善的论述 但 对非线性问题 至今尚缺少相关分析 近年来 李开泰与肖家驹又开始研究应用有限元 与经典边界元的耦合处理非线性椭圆闻题嘲 吴正朋1 1 乏1 习利用鸯限元与自然边界元耦合 的方法解决了一类各向异性半线性外闯题 予此 对于各向异性椭圆外阀题方面的研究 也已经非常深入 m 1 7 j 假自然边界元的应用也有其明显的局限性 因为对一般的区域而言 g r e e n 函数往 往难以求褥 近年来 余德浩研究员首次提患的基于自然边界归化的重叠型和不重叠型 区域分解算法 7 瑚 解决了这一难题 对无界区域问题 他引入圆周做人工边界 将无 界区域q 分解为一个很小的有界区域q 和一个圆外无界区域q 然后在q 和q 上交 替求解 在q 上可用已有盼有限元程序求解一今很小觏模的边值闷题 并仍可用区域 分解算法和快速算法并行求解 而在i 萎 j l 无界区域q 这一典型区域上应用自然边界元 法是非常方便的 在文 1 9 d g 已给出用p o i s s o n 积分公式求各点函数值公式 这使得q 上的阏题变得十分简单 而且可以进行并行求解 这种方法针对无界区域成功的具备了 区域分解法的优点 将大型问题划为小型问题 复杂问题化为简单问题 串行问题化为 并行问题 并克服了耦合法刚度矩阵不是带状稀疏的缺点 运用该方法 已得到一些很好的结果 在阴中 对连续情形利用投影定理证明了在 黼意义下的几何收敛 在人工边赛为圆周的情形下用傅立叶分析方法精细的刻画了收缩 因子与区域重叠程度和频率之间的关系 在 1 8 中 证明了离散d 一 交替法在本质上 是一釉预处理迭代法 并且离散d 一 交替法迭代矩阵磷卜1 的条件数与有限元网格参数 北方工业大学硕士学位论文 磊无关 最蜃给出了数值侧子 健还指出了s t e k l o v p o i n c a r e 算子与自然积分算子及 g r e e n 函数之间的关系 此外 自然积分算子分别在有界区域和无界区域的区域分解法方面有了新的应用 许进越等利震圆域内的g r e e n 透数为求解p o i s s o n 方程边值阎题构造预处理子 t u s h i j i m a 等利用自然边界归化的技巧确定在二维无粘流体的机翼周围的环流 边界元法及相关的计算方法的研究与应用领域还在扩大 加强基本理论 基本解 奇异积分 收敛性 误差估计 边界元强推法等 的研究 研究大型满秩矩阵方程组的 求鳃算法 开发有使甩价篷 能在微机上使用盼程序包等 仍有重要意义 随着研究工 作的深入 一定会取得新的有意义的成果 随着进一步的研究 国外学者g j r o d i na n d0 s t e i n b a c h 在二维势能原理的框架下 考虑了长条形区域闽题 失了克服此闯题中由于存在两种不同昀长条区域瑟使边界元矩 阵条件数很坏 提出了一类新的预处理算子 使得预处理后的边界元矩阵适于长条形区 域 k e l l e ra n dc a v o l i 研究了分别以圆和球面作为人工边界简化波方程 g i v o l ia n dk e l l e r 在弹性静力学中研究了以非局部边界条件为界的问题 m a c c a m ya n dm a t i n 讨论了在二 维条件下有间断面两个区域中的减化波方程 m a r i n g o l d s r e i na n dh a g s t r o ma n dk e l l e r 研 究了在圆柱面区域中以非局部边界条件为人工i 2 2 界的问题 良夕 十年代又兴起了区域分解算法流致霹 在科学帮工程计算 如油 气藏酶勘探与 开发 大型结构工程 航天器的设计 天气预报中 随着并行技术的发展 区域分解算 法越来越得到人们的重视 这一算法把计算区域分解成若干予区域分别求解并通过迭代 得整体近似解 由予它将问题分解 由大化小 有复杂纯简单 适合并行计算 卣于允 许在不同的子区域上建立不同的数学模型 选择不同的计算方法 进行不同的网格剖 分 应用现在的标准程序 特别可以在若干规则的子区域采用快速的变换 自然边界元 法 谱方法等高效快速算法 故区域分解算法和其他方法相比有特别的灵活性和显著的 优越性 但是对于求解无界区域椭嚣边值问题 只采用区域分解算法是不够的 因为加 入 z 边界以后 至少还有一个无界区域 可以应用边界归化来解决 通常对处理无界 区域问题是采用有限元与边界元耦合的方法 做适当的人工边界并且加近似边界条件 再在有限区域应用有限元方法 近年来提出了无界区域上基于叁然边界归纯的 类重叠 型和不重叠型区域分解算法将区域分解算法与边界归化的理论相结合思想在文献 8 中 就已被明确表述 该文指出 自然边界元和有限元耦合法是当前与并行计算相关而兴 起的区域分解算法的先驱工作 势 自然边界蛔化将直接应用到区域分解 也将闯接应 北方工业大学硕士学位论文 用于预条件处理 劳于是文泠 2 2 提出了基于边界归他的区域分解算法 并应用自然 边界归化在无界区域上实现了重叠型区域分解 证明了连续问题迭代的收敛性 文 2 3 则研究了无界区域上不重叠性区域分解算法 即d i r i c h l e t n e u m a n n 方法 并讨论了 其离散随题迭代的收敛性 垦外也鸯将经典边界归纯与区域分解算法结合瞬王佟嘲 但 迄今为止国内外在基予边界归化的区域分解这一方向的工作都是基于协调有限元 即要 求解在界面上连续 这对离散的要求是比较强的 近几年随着区域分解算法的兴起 人们对无界区域问题的区域分解算法表现出浓厚 的兴趣 文 2 4 借动予区域分解算法的思想并基于椭圆人工边界的自然边界归化理论 又 研究了具有长条形内边界的二维调和外问题的自然边界元与有限元的耦合法及一种非重 叠型区域分解算法 提出了具有长条形内边界的二维调和外问题的自然边界元与有限元的 藕合法对论了耦合变分迥遂的适定性 并给出了逼近解的误差估计及数值例子 同时 提 出了基于椭圆人工边界的非重叠型区域分解算法 即d n 交替算法 研究一般外区域上的 d n 交替算法离散问题的收敛性 证明了其收敛速度与有限元网格粗细无关 详细分析了 椭圆外区域上的d n 交替算法的收敛性与松弛因子的选取 并给出相应的数值例 目前 这些算法中 在区域上 由原来的圆形外区域 椭圆外区域 上半平面区 域 研究到具有长条形及不规则区域的外问题上的求解 对于不同的内边界外问题 人 们通常选取圆周 椭圆或球面作为人工边界 在所研究的方程类型上 从典型的拉普拉 斯方程 泊松方程到双调帮方程 赫姆霍兹方程等无论在算法的提出上还是在离散闻题 的收敛性及收敛速度上都取得了很满意的结果 1 2 本文主要研究内容 本文研究的主要内容是各项异性外问题的s c h w a r z 交替法及其收敛性和误差估计以 及半线性各向异性椭圆外问题的融然边界元有限体积元耦合法 各项异性椭圆型方程d i r i c h l e t 外问题 露窑 务蜜 工q 内 露孬 务萨2 歹 2 瞪 u u o r o 上 觑毗y 存在 其中q 是一条分段光滑曲线r 0 的外部无界区域 s u p p f 是有界的且b a o 针对上述问题在理论方面 利用极值原理证明了在连续情形最大模意义下的几何迭 代收敛性 遥过选取适当的共焦椭匿边雾利用f o u r i e r 分析获得了不依赖各项异性程度 一 堕三螳堡堂笙壅 一 一 一 p 一一一一 的最优的迭代收缩因子 还在离散情形最大模意义下证甓了几何收敛性 丽且进一步得 到了误差估计 连续情形的几何收敛性 由s c h w a 记交替算 z i 一 u 2 n l 和 2 斛2 分别在 鱼和熟上凡褥收敛予原闯题的解掰 r 存在o q q o l 使 f 警卜 阿m 觚卜扩i 1 警b 彳删l 墨g 舯1 攀缸卅l 获得的眶缩因子为 矿 丝二争 当取髓 镪鳓和飑 哆风 1 吃 q 时 迭代压 4 一鸽 缩因子就可取为一个常数 纸 1 g 蕊苟 离散情形下的几何收敛性及误差估计 序列 瑶时1 和 瑶舯2 分别在a 和西 上 是几何收敛的 且存在o 吼 q o a 0 假设厂似 的支集s u p p f 有限 f x y 关于 连续 且存在常数厂 使得 l f x y 材 一 k 只谚i b v l 7 0 以及 o 势狂 一 纯夕 蝴一y o v u y 塌g 劲 利用广义差分法进行离散化 得到差分格式 形成非线性方程组 根据有限元与自 然边界元误差估计理论和广义差分法的插值理论 获得一阶的误差估计 误差估计 考虑下面变分问题 j 川 毛睦联 彬 一f f 腼 孝烤 撕 j 1 量 r 鬈眇凼 咄 u x y l r o 0 若掰 力变分闯题艺述变分闻题的解 魂为对应的有限体积元解 剃有 i l u h u k 2 喈 母 k 磊 s 厕 其中c 为常数 3 预备知识 s o b o l e v 空间尉 q 与掰 锄 为定义s o b o l e v 函数空闻 我们先会缨泛函分析中内积和范数的概念 定义1 内积是从线性空间到实数或复数域的一个映射 h x h k 蚀y 专 五y 若它满足下列条件 王 织 0 善 o 纷 五y 3 触 y 淞名 4 拦 定义1 2 线性空闻x 上的范数定义为该空闻上的菲受实值泛函 籼 x 啼墨 工专 若它满足下列条件 1 1 4 o 1 1 4 1 o j x o 北方工业大学硕士学位论文 2 b y n b h y u 3 l k 捌 h 8 工l l v 口 尺其中足为实数或复数域 若在线性空间中已定义内积 则由内积必可定义范数 这只需令肛l 止黾x 即 可 于是内积空阆必为赋范空闻 在泛函分析中 完备的赋范空间称b a n a c h 空闻 完 备的内积空间称h i l b e r t 空间 h i l b e r t 空间一定是b a n a c h 空间 在熟知的函数空间 两上可定义内积 o v k 然 三d 球 a d a l d x 其中 表示对一切满足o 睁 构造有限维的分片多项式函数空阉氓 称为有限元空闻 包括三个要素 区 域的有限元刹分 多项式函数的选取以及自由度的确定 3 在v h 中寻找有限元逼近解 称为有限元解 该过程归结为求解一个代数方程 组 关于有限元法的数学理论可以参阅英文经典著作 1 1 和圆 中文方面的书可参阅嘲 自然边界归化 基于自然边界蛔化的边界元法称为自然边界元方法 7 8 9 1 它是从g r e e n 函数和 g r e e n 公式出发 将偏微分方程边值闯题归化为边界上的强奇异积分方程 然后化为樽 应的变分形式在边界上离散化求解得一种数值方法 由此可见 自然边界无法包括两方 面的主要内容 其一是寻找g r e e n 函数 实现囱然边界归化 其二是解决强奇异积分方 程得计算闻题 两厢者是皇然边界元法最杨蚤最困难的部分 随着强奇异积分的计算阍 题在二维领域中得到解决 自然边界元法获得了极大的发展 对于重叠型 我们以泊松方程为例介绍一下外边值问题的s c h w a r z 交替法 嘲a u f f 鳓o l 其中q 为适当光滑闭曲线r o 的外部无界区域 砧oe 日 r o 作半径为墨及r 2 的同心 圆周e 及r 2 包围 墨 垦 0 记q 为l 及t 闻的有界区域q 为f 2 外部无界区域 定义如下s c h w a r z 交替算法 l a u 2 肘1 f q l 内 缸2 斛1 k 上 1 2 l 嚣2 树 u 魏 f l 上 及 卜竺 乏lq 2 守 1 3 l 群2 舯2 籍2 m r 2 上 一 捍 o 1 第0 步 直接任取r l 上的函数值l o 不妨取 oi t o 第董步 结合l 上的值 在q 上解内边值阏题 缛到艺上的函数值嚣1k 北方工业大学硕士学位论文 第2 步 在q 2 上解井边营闻题墩 褥嚣 上酌函数值籍2 b 以此类推 对予非重叠型 同样以o 为例介绍d n 交替算法 俸半径舞墨的薅周t 包露矗 剃q 霰分为有界区域鼋 a o 对于阕 题 2 1 在q 中做麸焦椭圆r l 和r 2 x y c e l 屈 y 2 墨2 r l 而y 吃 矿 属 y 2 建2 r 其中r 包围t 记链为l 及f l 间畜界区域 g 为l 外部无界区域则 q q lu q 2 定义s c h w a r z 交替算法如下 瘁等 刍可 a 2 u 2 n i 只嘞 球2 州 u o f o 上 2 2 2 1 加 r l 上 及 疗等 6 等 o 吼 疗1 r 6 可2 o 互之内 l 豁揪 嚣铡 f 2 上 其中靠 o l 2 初始第0 步 直接取r 上的函数值拓o 0 第一步 在区域q l 上解内边值问题 0 动 得到 上的函数值掰1t 第二步 在区域毡上解磬边值闻题0 3 得到瑟2b 依此类推 作变换工 石 孝及y 否 r l 则椭圆r 和r 变成 馈功 嚷露 参2 a b r 2 2 r 谨 r l a a 孝2 专缈 r 2 是2 r 2 于是 问题 2 2 和 2 3 分别化成 f a 2 槲 厶 磊 内 嚣 榭 弼 雾 上 o 毋 l 豁 m u 孙 f l 上 及 盎 内 于 上 其中磊为由厶与于 所围成区域 盎 为f 的外部区域 g 北方工业大学硕士学位论文 2 2 2 u 可牧敛性 为t i 正阴 2 4 和 2 5 得到的序列的几何收敛性 先根据强极值原理引入 引理2 1 设彩毫c 国1 且满足 鑫彩 谚叠 虑 国端o r o 上 ic 0 1 f l 上 若令翔 s u p a p 咖 之 则o q o l 由此 定理2 1 9 1 3 2 1 或 3 7 1 任给 o 日 于1 s c h w a r z 交替算法 2 4 及 2 5 得到 的解 豁2 树 和 籍2 触 分别在磊和磊2 上几何收敛予 2 董 的解籍 且存在 0 g 吼 l 使 f 警卜 l 纠叩卜扩l i m a x i n n 2 n 2 g 枞警 u 掰0 其中吼由引理2 1 给定 对予 般的无界区域q 定量的分析上述s c h w a r z 交替算法酶收敛速度是难以实现 的 现设r o 是一个椭圆 记 r o x y i 口 工2 y 2 r 2 弓l 进撩匿坐标识 妨 则 孝 兀 c o s h u c o s 笮 五 s i n h u s i n 其协劳坩1 n 瓣 搠 数脯蜷平耻一族 共焦椭隧 公共焦点为 矗o 于是 于o 力i 一鳓 妒 o 2 霈 f 们l 鸬 伊墨 o 2 艿b 受一 缸 妨 琏 爹 豫酝 经过椭圆坐标变换得到岛 p z 鸬 设广 广分别表示砑 磊 胃专心 和 日 矿i 一日1 盈 的d i r i c h l e t 迹算子 曰表示在r o 上取零值的日 缉 一日1 西 的 北方工业大学硕士学位论文 p o i s s o n 积分算子 忍表刁 工 圭v 2 h r l 螽2 的蹦s 湖积分算子 因磊l 上及磊2 上的 齐次d i r i c h l e t 边值问题解存在且唯一 故毋 忍均有确切定义 在于l 上嚣 芝哝哪删 a l 磊n 0 1 2 在于2 上 茏熊e x p 删 肛撑 瓦n 0 1 2 利用分离变量法得 坤 茎 唧 而 h u o 嘎瓮需 等 唧 y p 2 v 霹镧鼬铆 8 筑唧 由上两式有 心7 雄 茎 唧 笨尝锡 黑筹 嗷唧 广露肥v 弘e x p i n g h u 2 一 u o 川a 黑瓮翁 e x p i n g 我们得到 定理2 2 广墨7 z 和7 曼 翟均为压缩算子 且 l i i r 昱r 露 h g i i h v u h 毒m 渺翟魍v k 譬 1 吨冀 协 棼妒 其中压缩因子满足0 q l 且可取为 q 丝 鳆一硒 证翡 x j 2 1 的 个解狂 由 k 的定义 并由 蚓 衄删l o 疗 o 2 6 2 7 2 8 这个定理很容易被证明 参见删 注l 上面的证明修正了文献 柏 中的笔误 补上了其收敛速度分析中的应有的常 数项 去掉了压缩因子中的常数因子c 2 6 和 2 7 是最优的 因为不等式 2 6 在 心一熊 二一 鲍一鳆 碍 注3 对于给定的边界f 如力 薛 罗 霆2 尽管菇 k 鬻依 赖于 a 的比值 但是 与以往的人工边界的取法不同 柏 当取鸬 q 风和 琏 咤 o 纯 风 求解 为了证明误差估计 我们有 引理2 2 设 s 4 f i 且满足 呶魄 致 侥 f i 精 略 o f o 上 l 魄 i f l 上 若令 麟 略 妒 l 以 t 0 j 8 0 q o 矗 1 在弓 理2 2 中 当磊专0 时g o j i 一垡o 假设磊 魂 其中 是表示网格尺寸的一个常 数 令 和 表示收敛解 我们有 北方工业大学硕士学位论文 定理旗由 4 玲及 零得捌酶序靖 霹械 和 伊 分别在磊矗帮筑上是死何收 敛的 且存在o q h q o l 有 繁融一刮 霞警陪 警睇一训 霞攀陋一u i 其中铂由引理2 2 给定 i i e 嚏 蕊p 驾瑰3 7 可证 2 4 误差估计 为了褥到序列 域舯1 和 瑶枞 辑 国与准确解掰的误差估计引入下逃闯题 求 冁最妒 盎伪 使得 la h u h 屹 屹 冁2 i u s f l h u 弧毯 f i f o 女上 函1 2 曩 上 一 0 堂 恕阻3 i 嘞 疆张疋山 由有限元割分的正则性 有线性有限元和线性插值的乞估计 盛掣就i i 戳母 繁k n 扭错 轻埘 从而 m 气a x l n h u 魄l g 毪警 n h u u h l c o h l i 碱 q 1 5 邛 一 警卜鼢 繁p 助i c o 硼u l g l 母 其中q 不依赖于材 或 龟 a 置 矗 由此得 引理2 3 任给鹕岂 旷l 一 存在吼 o 吼 q o 得到的序列 棚 和 枷 研 分别在龟矗和龟上满足下列不等式 北方工业大学硕士学位论文 其孛e燃是 q 由萼l理22给定 g不依赖于磊 龟 詈和蠢 oh 其孛e 燃 生 由萼l 理2 2 绘定 g 不依赖于磊 龟 兰和蠢 l秽 诋明 由 2 1 0 2 11 2 1 2 和 2 1 3 可得 及 壤奴一 n i t p k 毡 壤一 斛 嚣魏 1 一 蒯 h h 一 秸 妒砸 酝上 于l 上 越心一矿2 嚣婊 i 一 舯2 i l 一国一 蒯x 由 2 1 7 根据引理2 2 和离散极值原理 可得 警k 一 棚 g 赫蛩k 一矿1 t 甄蠢警 蠢辑一 矬 注意到线性插值函数的最大值和最小值在节点上取得及 2 1 6 式 有 璎 a x l n a 如一 2 卜珥笋 9 似一 2 卜鼍f b 一 2 l 攀沁 鳓l 攀k 一瑶1 g 螽陋魁a 警k 瑶拜l 从而 警k 酣1 i c o h q o 錾 t 逸 鼍警k 一 疗 0 1 7 g 1 8 0 1 9 对g 1 8 直接利用极值原理和q 1 5 式 同理可得 肾旷 b 戤戤卜弼m i 警陬甜一 蛩嘶一 l m v a x l r l 扩蚝 翠陬一矿1j c o h l l l x m a x u t 一矿 o 鳓 于是 幽 2 1 9 和 2 2 0 递推可得 蛩 一 s 2 g 碱姚磊 甄蛩k 一矿b s2 c d q o 蠢 1 对 塾k 窖一 m a x l 一域 g j j l 2 吼一 2 靠十簖4 忙您 磊 搿 舡觚k 一材善l g 2 1 一勰 川叫 一 叫 吩 驴 t 降 峄酬 姒矗 昀咖 磊 再缸 礴圳 鲻 渤l p 蓐 2 伊搴以 1 一 钳k 蝌警 蛐耻 北方工业大学硕士学位论文 帮k 一瑶蓐l c o h l l 4 a 繁k 融 墨 c o h 1 2 9 0 2 q o 籀1 q o l l u l l a 孽 峄k 一计 2 2 2 再利鼹极值原理及0 1 5 0 1 6 0 盔潮g 三国式霹褥 警k 嗡2 槲卜醉陬一矿1 l 拳r e 引 i n a 趣一矽 肾陋协一秽 l 蛩卜刮 叩卜嘞i 警卜瑶 i c h l l i i a 如掣旷以l 焉 潞一 嚣 茹鼍擎 咯一露菇i 篇鼍 冯秘一 树 繁 h 一括一 棚霉 m a x i h 一甜一u i 十哗挲k 一 2 舻1 l 鬟鼢肛1 1 2 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