利用认知建模深化解析小学数学问题_黄月.pdf

电化教育研究 利用认知建模深化解析小学数学问题 黄月 崔光佐 北京师范大学 教育学部 北京100875 摘要 新手教师一般难以吃透教材的难点 无法作出好的教学设计 利用认知建模来模拟问题解决过程 可以帮 助教师从认知角度深入理解教材问题 也能帮助教师改变角色视角 从学生角度体验从零开始解决问题的过程 并发现 已被自己自动化了的解题过程中忽略的认知操作 本文利用认知建模理论及ACT R的建模工具 对小学数学 多位数 笔算乘法 人教版四年级 的课本问题进行了深入分析 模拟并验证了问题解决过程 并根据结果对教师提出三点建 议 帮助教师作教学诊断 改进教学设计 关键词 小学数学 问题解决 认知建模 ACT R 中图分类号 G434 文献标志码 A 作者简介 黄月 1984 女 湖南吉首人 博士研究生 主要从事问题解决迁移认知模拟研究 E mail huangy 08 DOI 10 13811 ki eer 2015 02 017 中 小 学 电 教 基金项目 国家社会科学基金教育学一般课题 课堂交互产生学习结果的认知模型与仿真研究 课题批准号 BCA100023 一 引言 教学设计是教师的核心能力 无论是在教育部 2012年发布的 小学教师专业标准 试行 还是在 2004颁布的 中小学教师教育技术能力标准 试行 1 中 教学设计都是一级指标 对于中小学教师 其专业 发展所需要累积的知识包括 教什么 如何教 以及 在实践中累积起来的知识 教师教学设计能力的提 高 也能促进教师自身的专业发展 但是现有中小学教师的教学设计能力存在很大 问题 有研究表明 小学数学教师存在的主要问题包 括 缺少 关于数学 的知识 以至对数学本质缺乏深 入思考 缺少关于学生如何学习数学的过程知识 缺 少教学设计理论和方法的知识 前期对学习需要分 析 教学内容分析 学习者分析都把握不够等 2 中小 学教师在进行教学设计时 多数教师实际上基本凭经 验来设计 3 其中 新手教师 即刚工作一年左右的教 师的数学设计能力最薄弱 数与代数 更是小学数学 教师教学设计最薄弱部分 4 为了提高教师的教学设计能力 一般会通过各 种教学设计模型的培训来提高他们的教学设计能 力 常用的模型有加涅的九五矩阵 Ertmer的应答性 教学设计模型 Responsive Instructional Design 等 5 然而 大多数模型在实际教学中并不能发挥预想的效 果 Reigeluth认为这是由于模型是对现实教育情境的 高度精炼 而新手教师在教学经验上的缺乏 导致其 无法通达理解设计模型的本质和实践真谛 6 为了弥 补这个缺乏经验与实际操作的鸿沟 研究者提出改进 的模型IDNT Instructing Design to Novice Teachers 等来帮助新手教师提高教学能力 7 但这依旧是立足 于宏观 重视设计与反思的整个过程迭代循环 缺乏 对学科具体知识内容的分析和设计引导 Donovan Bransford等研究表明 专家教师和新手 教师在教学设计能力上有显著差异 其原因在于专家 拥有更深刻的学科知识 一般教学知识和学科教学知 识 8 对于教师专业发展来说 一般1 5年教龄的新手 教师的课堂教学设计能力发展尚处于关注教材阶段 其后教师才进入关注学生阶段 6 15年教龄 再到 关注综合设计效果 16 25年教龄 和教学经验升华 或凭经验教学阶段 25年教龄以上 9 可以看到对于 新手教师来说 其教学生涯前五年的主要问题是对学 科知识 对教材的深入理解 即常说的吃透教材 104 2015年第2期 总第262期 吃透教材需要新手教师在思维上对教材进行重 构 需要站在学生学习的立场思考教材 但是 根据 建构主义学习理念 学生并不是被动地等待知识填 充 10 而是基于自身知识基础和认知结构的主动知 识建构 显然 一方面学生已有的知识基础小于成人 教师 另一方面 相对于小学生 新手教师解决大部 分小学数学问题是一个自动化过程 由于专家的自 动化程度会放松对新问题反应的约束 他们的知识 已经被自身编译组块化 难以再意识到这个过程 11 即他们自身如何从一无所知到解决问题 再到自动化 解题的认知过程已被忽略 因此 新手教师经常产生 简单问题 对成人而言 如何展开教学的困惑 同时 对于教师指导用书的重难点为什么会是重难点难以 体会 所以其教学方法是一遍又一遍地重复 死记硬 背 即使依照设计新课标的要求设计情景学习 或者 采用协作学习等教学策略 也只是在一团难以消化的 知识块外面套上鲜艳的装饰 其知识的学习本身依旧 没有本质变化 教师在内容分析中对于前置知识的理 解只能到达粗略解析知识点的层次 并不能更进一步 细化 在教师专业发展的前五年的熟悉教材阶段 教 师实际上是在实践中一步又一步地细化对教材的理 解 以及学生是如何思考学习的这个过程 但是这种 从学术学习立场对教材的解构过程可以通过思考方 式的转变来加速进行 教案设计中对学生的回应都是理想的预设 课前 很难修正 各个教案的主要区别在于情境设置 教学策 略的不同 缺少实际的对具体问题特征的描述和设计 意图的解说 例如 乘法 教学预案设计 12 因数中间 末尾没有0的三位数乘两位数的笔算乘法 13 多位数 乘法的算法 算理与教学 14 课题组在前期对小学数学的众数问题 15 16 文字 编码处理问题 初中几何平行证明问题 17 形象处 理编码问题 等进行认知模拟 本研究从分析多位数 乘法 典型代数计算问题 入手 利用ACT R认知理 论框架作为基础的思考方式来分析小学数学教材 并利用认知模拟工具来验证这种知识分析和模拟验 证学生的预设回应 旨在提供一种方法帮助新手教 师从认知角度理解教材 重新体验问题解决过程来 改进教学设计 并对学生的学习问题作更细致的诊 断 二 基于认知的问题分析方法 一 知识分类 认知心理学用两个属于描述两种有差异的知识 陈述性知识和程序性知识 陈述性知识 知道 是关于事实的知识 是关于自 然 人物等的一般性知识 18 在某种程度上是静态的 不变的 事实信息 信息的组织是显而易见的 并能 加以描述的 19 比如 1 1 2 陈述性知识可以分为三 种类型 20 1 事实性知识 即一般性知识 一般与特定的物 体或事件有关 2 情景性知识 是事实性知识的一个子类 是一 种有关个人经验的知识 这种知识是与个人经历的具 体情境相联系 3 抽象知识或一般原理 如 2 3 6 程序性知识 知道怎么做 是关于怎么做的知识 是在特定条件下所采取的行为 通常指操作能力 通 过练习获得 21 如驾驶汽车 在学习的熟练过程中 陈 述性知识可以通过知识的习得转化成程序性知识 22 二 产生式系统和认知模型 产生式是一种表示因果逻辑的方式 其基本形式 是 如果 那么 if then 包含两个部分 第一部分是产生式要投入应用的条件 第二部分是条 件达成后将执行的行为 其条件可以反应外部世界的 一个方面 比如 今天很热 或者人内心的精神状态 比如 我要去某地 行为可以表现外部世界一个特 征的改变 比如 打开冷气 或者人内心精神状态的 改变 比如 我去了某地 产生式系统是一系列产生式的集合 其中每一条 产生式都表征一个可能的行为 作为一个系统 它需 要三个基本模块 动态记忆模块 Dynamic Memory 是 用来暂时存储当前信息 表征当前系统状态的工作记 忆单元 冲突集 Conflict Set 是存储潜在可供激发的 产生式规则 即产生式规则库 冲突解决 Conflict Resolution 通过模式匹配来决定哪一条产生式将会 被激活并执行 工作记忆中的内容符合产生式规则库 中某条规则的 如果 则执行该规则的 那么 部分 如图1所示 图1一个简单的产生式系统示意图 23 当前输入 AA 与规则库中第一条规则的 如 果 部分匹配 那么将执行第一条规则中的 那么 部 105 电化教育研究 分 最终执行结果将为 AAB 构 建 产 生 式 系 统 的 过 程 是 一 个 模 式 化 思 考 Model Thinking 的过程 用产生式系统来表征知识 一般有四条特征 24 1 产生式规则是模块化的 每一条产生式规则 都表征一个边界清晰的知识单元 每一个新产生式的 增加都可能完全改变整个系统 因为产生式规则之间 会相互影响 2 产生式规则是不对称的 每一条产生式规则 都是一个单向的行为事件 这意味着对于同一个系统 中的两个产生式 对第一条产生式的增加 删除 修改 或着重定义不会直接改变第二条产生式 3 产生式规则可以是抽象的 这表示产生式可 以代表一个广阔范围的模式 这种表征抽象关系的能 力也让迁移成为可能 4 产生式规则可以不直接口语化 Verbalizable 为了解决问题所需要的知识可以用多种方式表达 有 些是可以口语化的 有些不能 Anderson等人认为产生式系统作为一种正式的 工具不仅可以描绘 还可以解释人是如何思考的 Newell和Simon指出产生式能促进我们理解人是如 何思考的 25 数学是一门逻辑性十分强的课程 小学数学所涉 及的知识可以表征为陈述性知识和程序性知识 以代 数部分为例 1 3年级学习所覆盖的陈述性知识为 万以内数字的认识 分数和小数 常见量的基本认识 等 程序性知识则为 万以内数的加减法及其估算 多位数乘以一位数乘法 除数是一位数的除法 简单 四则运算等 乘法是继加减运算之后的复杂计算问 题 也是小学数学四则计算的支柱性问题 其算理符 合基本的逻辑运算 内部的解题过程可以表达为 如 果 那么 这种产生式法则的集合 将数学知识进行分类表征后 使用产生式系统将 程序性知识重构为 如果 那么 体系 我们依 旧难以得知我们的产生式顺序链是否合理 层次关系 是否逻辑有序 因此 需要构建认知模型来模拟学生 思考 建立一个认知模型有四个优点 26 1 建立认知模型要求对问题表征和动作序列进 行精确 清晰的描述 并且允许对问题解决策略细节 的比较 2 建立起来模型的特殊性能对一个具体假说 并通过更小型 重点突出的实证研究来检验 3 认知模型可以用来理解和解释实证的结果 并允许研究者理解不同结果中的潜在机制 将推断出 的结果应用到其他领域 对认知模型的检测和评估能够得到改进具体主 题的教学内容和教学方法的建议 以产生式系统作为 理解小学代数问题解决的基础 可以进一步建立针对 具体内容的认知模型 三 建模和验证工具 目前以产生式为基础来建构认知模型的工具主 要 有4个 他 们 是ACT R Adaptive Control of Though Rational EPIC Executive Process Interactive Control Soar 4 CAPS Cortical Capacity Constrained Concurrent Activation Based Production System 其中 EPIC关注认知 感知和运动系统的联系 更多应用于 人际交互领域 Soar旨在处理从一般到极其困难的开 放式问题的全范围的智能代理 Intelligent Agent 问 题 其解决问题方式是通过搜索问题空间 不同状态 的集合 可以有系统在特定时间到达 的目标状态 问 题的解决方案 主要应用于人工智能领域模拟人类 不同方面的行为 4 CAPS主要用于认知神经科学领 域 关注脑的区域与人的行为之间的联系 而ACT R 关注记忆过程的一般性理论 在理解人类认知和智慧 等心理学领域应用 也被证明适用于理解数学学习领 域的思维 本研究使用的认知模拟工具是ACT R 由美国 卡耐基梅隆大学的认知心理学家安德森 Anderson J R 等人开发 ACT R模拟人类认知思维 按照人类记 忆处理的模块建构 并拥有生物实验数据支持该架 构 即通过核磁共振实验验证是否人在处理问题时调 用了与工具中模块相对应的大脑区域 目前最新版本 为ACT R 6 0 Version 1 5 ACT R中的陈述性知识以组块 Chunks 形式来 表征 组块包括类型 Type 和槽 Slots 类型 Type 用于对知识进行分类 比如 加法 鸟等 槽 Slots 则是 对类型的属性的进一步描述 比如 加法的属性有三 个 加数1 加数2 和 鸟的属性可以有颜色 大小等 其标准定义模式为 Chunk Type类型名 属性1属性2 属性3 属性n 陈述性知识用于存储 已知知识 可以用于表征当前问题所需要的前置知识 图2产生式示例 程序性知识使用产生式来表示 由于模拟的是学 生学习的认知过程 那么在没有调用陈述性记忆之 前 学生仅有对当前问题的知识 并没有答案 因此 106 2015年第2期 总第262期 ACT R中的产生式规则需要包含进行操作的所有必 需条件 加法操作的产生式如图2所示 一般容易构建出图2 左 的产生式 这个产生式 实际上是教师代替回答了学生需要回答的问题 单纯 3 4的程序操作是不能直接得到答案是7 实际上 能 正确实现的产生式是图2 右 即如果学生陈述性记 忆中没有加法操作的这个事实 程序并不能自主运算 3 4 7的事实 代表学生不能回答出这个问题 这种 严格的条件设置使得教师能尽可能细化了解学生的 认知过程 而不会用自身自动化的经验替代学生的思 考 三 对三位数乘两位数竖式乘法的 分析和认知模拟 一 教学目标解析 以三位数乘两位数的笔算乘法为例 人教版小学 数学四年级第三单元第二节 该小节的主要教学目 标是 27 使学生能根据两位数乘两位数的笔算方法 类推并掌握三位数乘两位数的笔算方法 教材编写 特点是 三位数乘两位数的计算方法 与两位数乘两 位数的计算方法 在算理上是一致的 所不同的是一 个因数的位数由两位变成了三位 教材在充分考虑学 生已有知识经验和认知发展水平的基础上 积极引导 学生将旧知迁移到新知 28 考察具体例题 其课本例 题为 145 12 千米 三位数乘两位数的竖式 乘法过程如图3所示 图3三位数 两位数例题分析1 根据教师参考用书的教学建议 说过程时 应说 以下几点 先算什么 再算什么 积的书写位置怎 样 最后算什么 学生梳理计算步骤的过程 就是归 纳三位数乘两位数笔算一般方法的过程 29 三位数 乘以两位数的算理实际上是数学分配律的一种迁移 形式 按照竖式乘法的计算顺序 三位数乘两位数 可以直观地拆解为两个 三位数乘一位数 的操作结 合 如图4所示 在此实际上存在了两条迁移线索 1 从三位数 乘一位数到三位数乘两位数的迁移 2 从两位数乘 两位数到三位数乘两位数的迁移 图4三位数 两位数例题分析2 二 陈述性知识 前置知识的挖掘 不管按照哪一条迁移路径 解决三位数乘两位数 的前置知识都包含了加法 Add Fact 表内乘法 Multi Fact 目 标 为 三 位 数 乘 以 两 位 数 乘 法 Multi32 陈述性知识的定义如图5所示 图5解决目标题目所需的陈述性知识定义与编码范例 陈述性知识类型通过关键字 chunk type 来定 义 其中 加法 add fact 有5个属性 加数1 addend1 加数2 addend2 和 sum 满十的进位 carry 进位后的个位数 remain 具体的知识通过关 键字 ISA 和类型名来定义 加法 add fact 4 5 9 那 么addend1为4 addend2为5 sum为9 carry为0 remain为4 表内乘法 multi fact 指的是九九乘法运 算表里包含的乘法 有5个属性 乘数1 addend1 乘 数2 addend2 积 result 满十的进位 carry 进位 后的个位数 remain 其具体知识5 2 10 那么 addend1为5 addend2为2 result为10 carry为1 remain为0 三位数乘两位数 multi32 是本题的目标 包括6 个属性 乘数1的百位 hun1 乘数1的十位 ten1 乘数1的个位 one1 乘数2的十位 ten2 乘数2的 个位 one2 以及积 result 本题目标是计算145 12 的结果 因此目标定义如图6所示 图6目标编码范例 三 程序性知识 解题过程的分析 有了前置知识 需要通过产生式模块调用一系列 程序性知识来完成解题过程 三位数乘两位数的程序 性知识由24个产生式组成 这些产生式运行一到多 次 产生式可以归纳为四个组块 数位判断 表内乘 法 进位操作 最终结果错位相加 这四个组块的顺序 107 电化教育研究 图7三位数乘两位数的程序性知识执行流程图 图8两位数乘两位数的程序知识执行流程图 执行构成了完整的解题过程 其执行过程如图7所 示 进行三位数乘二位数的乘法首先是进行数位判 断 如果这个数位上的数字没有进行过乘法操作 那 么进行乘法操作 乘法操作的过程通过检索记忆中是 否存在相关知识的结果完成 这实际上是提取九九乘 法口诀的过程 如果存在正确的乘法口诀 如5乘以 2得10 则返回结果 result 10 然后重复数位判断和 表内乘法操作的过程 第二次乘法操作完成后 进行 进位判断 如果前一次乘法操作的结果有进位 carry 不等于0 需要将这个进位 carry 加至当前乘法操 作的结果 本例中完成了第一次进位操作为8 1 检 索记忆中是否有加法操作的结果 有则返回结果 sum 为9 重复这个过程 直到乘数1的所有数位都 与乘数2的个位完成乘法操作 得到操作的结果 即 错位相加操作的第一个加数 first result 然后进行 乘数1的所有位数与乘数2的十位的乘法操作 得到 错位相加操作的第二个加数 second result 将两个 数错位相加 第一个加数的个位不处理 十位和第二 个加数的个位相加 得到最终结果的十位 然后将第 一个加数的百位与第二个加数的十位相加 得到百位 数字 如果之前的十位相加结果有进位 那么将进位 加至百位得到最终结果的百位 以此类推 完成错位 相加后结束整个过程 三位数乘一位数 的程序性知识执行流程与图 7 三位数乘两位数 的程序性知识执行流程图可以重 叠到 Get first result 这步结束 如果是两个 三位数 乘一位数 重复计算 实际上与图7可以重叠至 Get second result 这步结束 其结果是全图缺少 错 位相加 这一组块操作 而两位数乘两位数的程序性 流程图如图8所示 形态上类似三位数乘两位数的流程图 包含所有 关键性组块操作 但是组块内的产生式步骤上有所缺 失 四 认知模拟结果分析 如果编译好的模拟解题过程在ACT R上顺利执 行 就能有效检验产生式分析的正确性 图9是ACT R模拟部分结果图 第一列是运行时间 系统设置每 108 2015年第2期 总第262期 0 05秒输出一条运行记录 第二列是当前程序调用过 的模块 包括目标 程序性知识 陈述性知识 第三列 是具体的操作 包括设置一个缓冲器容纳目标模块 在已有的产生式系统中选择条件匹配的产生式 产生 式激活 清空记忆检索缓冲器 开始检索记忆等 THE ONE ANS IS 0 是阶段性输出当前运算成 果 在这里表示当前的个位数字是0 THE ONE CARRY IS 1 则表示当前个位的进位是1 这 意味着程序已经模拟完成 5 2 10 这个计算过 程 继续运行过程将逐步完成后续的运算步骤 可以 看到学生解决问题的认知操作序列是依照设置目 标 进行程序性操作 调用已有陈述性知识 再用程 序性操作解决的一个循环过程 在本例中主要调用 目标模块 陈述性模块 程序性模块来完成整个问题 的解决过程 图9145 12解题过程模拟图 部分 四 对教师的建议 一 课本解析 通过深入模拟学生解决多位数乘法的内部认知 过程 在解决同一个问题的过程中 学生解题过程中 进行的认知判断和选择 调用产生式数目 远超过可 以直观计算的步骤 本例中的计算步骤只有11个 但 是进行调用的认知产生式有32个 接近三倍 如果将 知识类型中槽的属性变化统计在内 实际的解题选择 路径更多 对于新手教师 一般只能看到问题解决的 11个步骤 甚至更少 4个组块 难以注意到11个步 骤中包含的认知操作以及各属性值的变化 因为这些 认知操作都被成人教师自动化执行了 并不能进入显 性注意中 学生遇到的障碍 新手教师很难理解 因 此 新手教师可以通过建立产生式模型来细化课本问 题 将自身忽略的操作显性化 切身体会课本难点的 设置 难点可能是由于认知操作复杂所致 二 认知诊断 由于实际认知操作和解题步骤的不对等 解题的 一个步骤出错 至少在认知操作上有一个到两个操作 出错 教师对学生问题解决过程中出现的错误不能只 诊断问题的哪一步骤出错 而应该更加细化到认知操 作过程中 从知识类型来看 学生可能是前置知识本身出 错 如果陈述性记忆中没有关于问题答案的事实性知 识 无法正确解题 从认知操作上看 学生可能是执行产生式错误 比如匹配了错误的条件和行为 也可能是对陈述性知 识的调用出错 虽然这条知识存在于陈述性记忆中 但是调用错误 也可能是没有可以使用的产生式 学 生根本不知道如何做 因此 教师可以选择根据问题解决的流程图对单 个学生问题出错的点进行直接干预 也可以对多个学 生的易错点进行更细致的分类统计 如 更容易在执 行程序性操作时出错 还是更容易在执行陈述性记忆 检索时出错 进而针对性地给予干预 三 针对迁移的教学设计分析 教师在教学设计中可能遇到多条迁移线索 每条 都有不同的优缺点 教师可以通过对迁移源 已知线 索 和迁移靶 当前问题或学习目标 的产生式流程进 行分析对比 选择不同的迁移设计 本例中的教学目标明确要求教师需针对问题进 行迁移教学设计 但是教学目标和问题解决蕴含了两 条迁移线索 单条迁移线索都有其优势 但是都没有 包含整个问题解决的所有认知操作 从算理上看 三位数乘一位数 相对于 两位数 乘两位数 更符合 三位数乘两位数 的竖式乘法的 运算顺序 易于学生进行直观的分析和类比 类比迁 移难度更低 教师也更容易解析问题的解决步骤 从 整个流程来看 从 两位数乘两位数 迁移到 三位数 乘两位数 包含了所有关键性的认知组块 而 三位 数乘一位数 缺少 错位相加 部分组块 相对于前者 要解决整个问题的难度更大 对学生的推理能力和创 新能力要求更高 教师在进行教学设计的时候可以选择将所有迁 移线索同时呈现的方式进行教学 本例中可以同时列 出 三位数乘一位数 和 两位数乘两位数 的竖式计 算过程 要求学生自行探索 三位数乘两位数 的正确 运算过程 也可以选择先类比迁移再讲解引入的教学 方式 本例中可以先让学生对 三位数乘一位数 和 三位数乘两位数 进行类比 加入 乘法分配律 的线 109 电化教育研究 参考文献 1 教育部 中小学教师教育技术能力标准 试行 J 教育信息化 2005 1 4 6 2 刘志平 刘美凤 吕巾娇 小学数学教师教学设计存在的问题及原因分析 J 中国电化教育 2010 2 84 87 3 王铟 朱京曦 刘莉 乌美娜 我国中小学教师教育技术能力的调查与分析 J 中国电化教育 2002 3 19 23 4 杨新荣 新课程下小学数学教师课堂教学设计能力的现状研究 D 重庆 西南大学 2006 41 42 5 吕林海 新手教师的教学设计能力的发展 理念与模型 J 现代教育技术 2010 1 39 42 6 Reigeluth C M Carr Chellman A A Whistling in the Dark Instructional Design and Technology in the Schools A Reiser R A Dempsey J V Eds Trends and Issues in Instructional Design and Technology C Upper Saddle River NJ Person Education 2007 239 255 7 陈勤 田鹏 信息技术环境下IDNT模型促进新手数学教师教学设计能力发展的实证研究 J 电化教育研究 2013 3 101 106 8 Bransford J D Brown Ann L Cocking Rodney R How People Learn Brain Mind Experience and School M Washington DC National Academy Press 2000 9 张景焕 陈秀珍 小学教师关于课堂教学设计能力形成与发展的反思 J 当代教育科学 教师教育 2006 17 30 33 10 美 罗伯特 J 斯滕伯格 教育心理学 第2版 M 姚梅林 译 北京 机械工业出版社 2012 11 18 20 21 Robertson S Lan 问题解决心理学 M 张奇 译 北京 中国轻工业出版社 2004 256 12 朱丹丹 乘法 教学预案设计 J 新课程研究 基础教育 2010 2 35 36 13 李晓波 因数中间 末尾没有0的三位数乘两位数的笔算乘法 教学案例 A 河北省教师教育学会 河北省教师教育学会2012 年中小学教师优秀案例作品展论文集 C 河北省教师教育学会 2012 6 14 曾小平 韩龙淑 多位数乘法的算法 算理与教学 J 小学数学 数学版 2011 10 47 49 15 魏雪峰 崔光佐 小学数学问题解决认知分析 模拟及其教学启示 以 异分母相加 问题为例 J 电化教育研究 2013 11 115 120 16 魏雪峰 崔光佐 小学数学问题解决认知模型研究