（基础数学专业论文）关于pxlaplacian椭圆方程的非光滑问题的研究.pdf

关于p ( z ) 一l a p l a c i a n 椭圆方程的非光滑问题的研究 摘要 本文研究了一类非光滑p ( z ) - l a p l a c i a n 问题，主要包括d i r i c h l e t 边值问题，齐 次n e u m a n n 边值问题和含不定加权的非齐次n e u m a n n 边值问题文中主要应用 非光滑临界点理论证明了相应问题解的存在性与多重性 在第二章，本文考虑了p ( z ) 一l a p l a c i a n 方程的d i r i c h l e t 边值问题：， ， i d i v ( 1 v u p ( z ) - 2 v u ) 国( z ，u ( z ) ) ， z q ， i u ( z ) = 0 ，z a q ， 、 其中指数v ( x ) c ( 彘) ，p ( x ) 1 ，qcr ( 2 ) 是一个带光滑边界的有界区 域，且2 ( v 一) 2 v + n ，此处p 一= i n f 。np ( z ) ，p + = s u p z e up ( z ) ，而歹( z ，( ) ，o j ( z ，( ) 分别是关于( 一变量的局部l i p s c h i t z 函数和次微分利用山路引理和极小极大原 理，文中对该方程解的存在性与多重性进行了证明 在第三章，本文研究了带非光滑位势的p ( z ) 一l a p l a c i a n 方程的如下两个 n e u m a n n 边值问题：齐次n e u m a n n 问题 一d i v ( 1 v u l p ( z ) 一2 v u ) o j ( x ，u ( z ) ) ，z q ， 丽o u = 。，x 60 2 , 和含不定加权的非齐次n e u m a n n 问题 i d i v ( 1 v u l 烈z ) 一2 v u ) + y ( z ) | u i p ( ) 一2 u 西1 ( 。，u ( z ) ) ，z q ， t 去嘶协) ) x eo f f , 其中q ，p ( z ) 如上所述，且名著= i v u ( z ) i 烈卜2 ( v u ( z ) ，n ) ，此处扎是锄上的 摘要 单位外法向量在不定加权问题中v ( x ) l ”( 2 ) 是一个变号函数，而 7 0 ： w 1 伊( z ) ( q ) 聿上。) ( a q ) 是迹算子，目满足v u w 1 p ( 七) ( q ) ，有舶( u ) = u i 然 后利埔极小极大原理和w e i e r s t r a s s 定理，讨论了以上两个n e u m a n n 问题的解的 存在性 关键词：p ( z ) l a p l a c i a n 方程；非光滑c 一条件；局部l i p s c h i t z 函数；d i r i c h l e t 问 题j n e u m a n n 问题 t h es t u d yo nt h en o n s m o o t hp r o b l e m so f e l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gp ( z ) - l a p l a c i a n a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e ss o m ep r o b l e m sf o rp c x ) 一l a p l a c i a ne q u a t i o n sw i t l n o n s m o o t h p o t e n t i a l ，w h i c hi n c l u d ed i r i c h l e tp r o b l e m s ，h o m o g e n e o u sn e u m a n np r o b i c t u sa n di n h o m o g e n e o u sn e u m a n np r o b l e m sw i t hi n d e f i n i t ew e i g h t b yu s i n gt h , t h e o r yo fn o n s m o o t hc r i t i c a lp o i n t ，t h es o l u t i o na n dm u l t i p l es o l u t i o n so ft h e s ep r o b l e m sa r es t u d i e d i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e r e dt h ef o l l o w i n gp ( z ) 一l a p l a c i a nd i r i c h l e p r o b l e m s ： 葛紫勺 o j ( z ，让( z ) ) ， z q ， z a q ， w h e r et h ee x p o n e n tp ( 2 7 ) c ( 壳) ，p ( x ) 1 ，qcr ( 2 ) i sab o u n d e dd o m a i r w i t hs m o o t hb o u n d a r y , a n d2 0 , 一) 2 p + nw i t hp 一：i n f 。np ( z ) ，p + = s u p x e f lp ( z ) b e s i d e sj ( z ，e ) a n d 勿( z ，( ) a r el o c a l l yl i p s c h i t zf u n c t i o na n ds u b d i f f e r e n t i a iw i t hr e s p e c tt ot h ei f - v a r i a b l er e s p e c t i v e l y t h r o u g ht h em o u n t a i np a s sl e m m aa n dm i n i m a ) p r i n c i p l e ，t h es o l u t i o na n dm u l t i p l es o l u t i o n so ft h cp r o b l e m a r ep r o v e d i nc h a p t e r3 ，t h ep a p e rc o n s i d e r e dt h ef o l l o w i n gt w on e u m a n np r o b l e m sf o rp ( 2 7 ) l a p l a c i a ne q u a t i o n sw i t hn o n s m o o t hp o t e n t i a l ：h o m o g e n e o u sn e u m a n np r o b l e m d i v ( 1 v u l 一。) 一2 v u ) 彩( z ，u ( z ) ) ， 魄缸) = 0 ， i i i z q z a q ， a b s t r a c t _ - _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ - - - _ - - _ _ _ 。_ _ 。_ _ _ _ _ 。_ - _ _ - - 一_ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ _ - - i _ _ _ _ _ 一 a n dn o n h o m o g e n e o u sn e u m a n np r o b l e mw i t hi n d e f i n i t ew e i g h t d i v ( i v u l p ( 甸一2 v u ) + v ( z ) l u l p ( z ) 一2 仳研1 ( z ，t | ( z ) ) ，z q ， o n p ( 霉) o j 2 ( x ，加( u ( z ) ) ) ， z a q w h e r eq ，p ( z ) m e n t i 。n e da b o v e ，a l s 。0 r i p ! l ( z ) = i v u ( z ) i p z 一2 ( v u ( z ) ，礼) ，w i t hn b e i n g t h eo u t w a r du n i tn o r m a lo na q i nt h en o n h o m o g e n e o u sn e u m a n np r o b l e mw i t hi n d e f i n i t ew e i g h t ，v ( z ) l 0 。( q ) i sas i g nc h a n g i n gf u n c t i o n ，a n d 7 0 ：w 1 炉( 。) ( 2 ) - - - - - 4 叫。) ( a q ) i st h et r a c eo p e r a t o rw i t h7 0 ( u )= 札l a nf o ra l lu w 1 ，p ( 。) ( q ) b yu s i n gt h e m i n i m a xp r i n c i p l ea n dw e i e r s t r a s st h e o r e m ，w ed i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s o fa b o v et w on e u m a n np r o b l e m s k e yw o r d s ： p ( z ) - l a p l a c i a ne q u a t i o n s ；n o n s m o o t hc - c o n d i t i o n s ；l o c a l l y l i p s c h i t zf u n c t i o n ；d i r i c h l e tp r o b l e m ；n e u m a n np r o b l e m i v 浙江师范大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果论文中除了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其他机 构已经发表或撰写过的研究成果其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在 论文中作了明确的声明并表示了谢意本人完全意识到本声明的法律结果由本人 承担 作者签名： 满藩印日期：加尸年f 月2 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解浙江师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关机关或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文被查阅和 借阅，可以采用影印、缩印或扫描等手段保存、汇编学位论文同意浙江师范大 学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播论文的全部或部分内容 保密的学位论文在解密后遵守此协议。 作者签名： 渚陈留 导师签名： 期：如一j 7 年月 日 浙江师范大学学位论文诚信承诺书 我承诺自觉遵守浙江师范大学研究生学术道德规范管理条例我的学位 论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明并详 细列出有关文献的名称、作者、年份、干u 物名称和出版文献的出版机构、出版 地和版次等内容论文中未注明的内容为木人的研究成果 如有违反，本人接受处罚并承担一切责任 承诺人( 研究生) ： 指导教师： 滋陈印 枷 1 1 研究概况 1 绪论 随着非线性泛函分析相关理论的迅速发展，用变分方法研究非线性微分方 程已取得许多举世瞩目的成果，例如人们对p - l a p l a c i a n 椭圆型方程的研究就有 相当多的结果，而对于此类椭圆型方程考虑主要是来源于物理学、工程力学等 方面的问题1 9 8 1 年，c h a n g 1 】的重要工作使得关于局部l i p s c h i t z 函数的非光滑临 界点理论得到发展，此后越来越多的学者考虑了更加一般的p - l a p l a c i a n 椭圆型 方程问题即考虑由p - l a p l a c i a n 诱导的椭圆型方程的位势仅仅是局部l i p s c h i t z 函数的情形( 半变分不等式) 近十年来，对丁半变分不等式的研究已经有十分丰 富的结果例如：l g a s i n s k i ，n s p a p a g e o r g i o u 2 】；s c h u ，n s p a p a g e o r g i o u 3 】； s a m a r a n o ，n s p a p a g e o r g i o u 4 等考虑了非线性或拟线性的半变分不等式的解 与多解的存在性其中也有许多作者考虑了关于半变分不等式的正解问题的 情况( 见【5 】，【6 】等) ，这里经常会用到对于爿仁光滑位势函数经典假设：设其满足 a m b r o s e t t i r a b i n w i t z 型和l a n d e s m a n l a z e r 型的条件 近几年来，对于变指数问题的研究( 即对p ( z ) l a p l a c i a n 的非线性问题的研 究) 越来越受到许多科研人员的关注，而且对于p ( z ) l a p l a c i a n 的非线性方程的 研究已有一定量的研究成果在国内范先令教授带领的一批学者，着手对p ( z ) 一 l a p l a c i a n 方程进行了广泛的研究，他们考虑了非线性p ( z ) l a p l a c i a n 方程的多个 问题：包括d i r i c h l e t 问题( 见 7 】【8 】【9 】9 ) 、n e u m a n n 问题( 见 1 0 】【11 】【1 2 ) 和非 线性边界条件问题，应用i 临界点理论、变分法、r i c c e r i s 三临界点定理、喷泉定 理( f o u n t a i nt h e o r e m ) 和对偶喷泉定理( d u a lf o u n t a i nt h e o r e m ) 来证明方程解与多 解的存在性范先令教授还考虑了关于广义的l e b e s g u e s o b o l e v 空间的紧嵌入与 迹嵌入的情况( 见【1 3 1 ) ，并且给出一些很好的条件以及p ) 。l a p l a c i a n 的d i r i c h l e t 问题、n e u m a n n 问题的特征值问题( 见【1 4 【1 5 】) 在研究p ( z ) l a p l a c i a n 的非线 性问题的研究时，作者们所得的许多很好的结论，如关于广义的l e b e s g u e - s o b o l e v 空间的性质和紧嵌入与迹嵌入的情况，特征值的性质等等这些对于本文的研究 都做了很好的铺垫，保证了本文的研究的可行性 对于非线性电流变液( e l e c t r o r h e l o g i c a lf l u i d s ) 的研究和对弹性力学( e l a s t i c m e c h a n i c s ) 问题的研究是变指数问题研究的主要米源，本文考虑的是将考虑更一 1 绪论 般的情形即在研究此类问题时我们所要处理的位势函数也只是局部l i p s c h i t z 的情况，所以对于本文的研究是很具有理论意义和现实意义的在理论上，推广到 将考虑更一般的p ( o ) l a p l a c i a n 方程( 由p ( z ) - l a p l a c i a n 诱导的半变分不等式) ，相 应的能量泛函也将仅是局部l i p s c h i t z 的，本文通过非光滑临界点理论和变分法 考虑d i r i c h l e t 问题、齐次与非齐次n e u m a n n 问题的解的存在性在现实问题的 研究时，不乏会要处理当位势函数是非凸、非光滑的情形，在这种意义上，本文 的研究对于处理现实问题具有一定的指导意义的本文主要考虑如下三个问题： f d i v ( 1 v u l p ( 卫) 2 v u ) 研( z ，t | ( z ) ) ， z q ， l 乱( z ) = 0 ， z a q ， 这里主要的困难是对于变指数的s o b o l e v 空间( 广义l c b c s g u c s o b o l e v 空 间) 的紧嵌入的要求很苛刻，如在证明过程中的对于p 扛) 一l a p l a c i a n 的临界嵌入是 没有紧性的，而且对于类似于常数的内插不等式，变指数的情形相对复杂化，这也 是困难之一，作者将构造适当的函数来弥补这一缺失，使得整个证明过程显得更 加简单，本文主要利用非光滑临界点理论和变分法，通过运用非光滑山路引理来 证明d i r i c h l e t 边界问题的解的存在性，并且利用广义l e b c s g u c s o b o l c v 空间可分 性，对此空间进行分解，从而证明了多解性结果 嚣譬m 出 在考虑齐次n e u m a n n 边界问题时会有相对复杂的困难，主要是指在广 义l e b e s g u e s o b o l e v 空间中，梯度范数将与原空间的范数不等价，这样对广义 l e b e s g u e s o b o l e v 空间w 1 p ( 。) ( q ) 进行新的一种分解，即：1 ，p ( z ) ( q ) = r0 吆) ， 这里k ( 王) = u w 1 p ( 2 ) ( q ) ：厶诎= o ) ，由f a n 1 5 】可知原空间的范数与( 苫) 上的范数等价，利用这个特点作者绕过这个困难，通过极小极大原理证明了问题 解的存在性 1 一d i v ( 1 v u f ( 小2 v u ) + v ( x ) l u l p ( 王) 以让乃l ( z ，u ( z ) ) ，z q ， t 老嘶协) ) ，x eo f f , 2 1 绪论 对丁非齐次的n e u m a n n 边界问题，其最大的特点是带有不定加权的项，与其 他作者研究不同的是，这里的加权函数是可以变号的，这就必须克服以下几个突 出网难：1 加权函数不定号问题，文中的方法是把加权函数分为正部和负部，这样 保证了能量泛函的每一项都是非负的2 巾于正部与负部的函数都只是非负的， 而不能保证严格大于零，使得能量泛函的第一项不能与其他作者的文中那样直接 得到范数的等价性，而只是与其直交子空间坛茁1 的范数等价3 非齐次n e u m a n n 边界问题的边界函数只是非光滑的局部l i p s c h i t z 的，这也是证明的又一难点所 以此问题对应的能量是相对复杂的，使得在不等式的放缩中难度人人增加 1 2 基本概念 令x 是一个b a n a c h 空间，用x 表示它的对偶空间用i i 表示x 上的范数， 用”队表示x + 上的范数( ，) 表示( x ，x + ) 中元的配对定义函数咖：x r ，若比x ，存在z 的一个邻域u 和一个常数k 0 ，使得对v y ，名x ，有 l 咖( z ) 一( y ) l g l l y 一名i l ，则称( z ) 是局部l i p s c h i t z 函数由凸分析可知一个真 的( 即不恒等于+ o 。) ，凸的且弱下半连续的函数g ：x r = ru + o o ) 在它的 有效域d o m g = z x ：g ( x ) 1 x ，有 砂( z ，。) ) 有界，且当n 一 + o 。时，有( 1 + 1 1 z 。l i ) m ( ) 一0 ，有一个强收敛的予列，其中m ( z 。) = m m l l z ： z a 妒( z 。) ) ，称满足非光滑c 条件 为方便下文的叙述，下面给出一些关于空间叫。) ( q ) ( 或扩( ? ) ( a q ) ) 和 w 1 p ( z ) ( q ) ( 或埘p 协( q ) ) 的介绍与性质 令q ( q ) = hh ( x ) c ( q ) ，h ( x ) 1 ，对于任意z q ) ，对于 ( z ) q ( a ) ，记h 一= i n f ( z ) ，h + = s u p ( z ) ，并且定义 扩( 善( q ) = ( 牡l 仳是一个可测的实值函数，f u ( z ) i p ) d x ) ， ，n 妒( 。( a q ) = u l u ：a q 啼r 是一个可测的实值函数 l u ( z ) l p ( z ) d a 定义口( z ) ( q ) 和驴( ) ( a q ) 中的范数分别为 i 让i p ( z ) = i n f d 。i 上i 掣p ) 出鲥 叱删= i 1 1 f d 。：厶i 掣i p ( 甸打 1 ) ， 其中d a x 是o q _ k n n n 从而( l p ( 2 ( q ) ，i l p ( 。) ) 和( 叫。) ( f ，q ) ，l i p ( ：) ( 铀) ) 都成 为一个b a n a c h 空间，叫做广义的l e b e s g u e 空间 而广义的l e b e s g u e s o b o l e v 空间w 1 , p 扛) c a ) 定义为 1 ，p ( ( q ) = “l p ( ) ( q ) ll v u i l p ( 。( q ) ) 赋以范数 。 l l u l i = i 乱l p ( 。) + i v u l p ( 。) 记埘伊( z ( q ) 是曙( 2 ) 在w 1 “。) ( q ) 中的闭包从而w 1 , “司( 2 ) 和埘烈霉( 2 ) 都 是可分的自反b a n a c h 空间( 参见 1 6 1 ) 4 1 绪论 1 3 一些引理与几个常用定理 为简便，记x = w 1 ，出) ( q ) ( 或x = 孵p ( 工( q ) ) ，且定义j ：x r 为 m ) = z 志| v u i 舡k vu x 那么，是偶函数，并且，c 1 ( x ，尺) ， ( j 协) ，钞) = | v u p ) v u v v d x ，vu ，t ，x ，n 引理1 3 1 【l o 】函数，：x r 是凸函数映射，：x x + 是严格单调 的，有界同胚映射，且是( 凡) 型的，即 在x 巾u n j u 和l i ms u p ，( ) ( 一u ) 0 ，可得一u n 弓i 理1 3 2 【1 0 】( 1 ) 如果g ( z ) c 0 ( 矗) ，g ( z ) p 。( = ：) ，v z 两，另b 么p , w 1 ，p ( ( q ) 到l q ( 卫) ( q ) 的嵌入映射是紧的连续映射，其中 p c z ，= i n p ( x ) 万 p ( z ) 1 兮l 仳唔；) j d ( u ) l u 唔乏) ； ( 3 ) ( 。) 0 使得l | i 7 和 m a x 妒( o ) ，妒( 札1 ) ) 2 ) 是一个带光滑边界的有界区 域，且2 ( v 一) 2 p + n ，此处p 一= i n f 。n p ( z ) ，p + = s u p 。n p ( z ) ，而歹( z ，( ) ，( z ，( ) 分别是关于e 一变量的局部l i p s c h i t z 函数和次微分过去十几年，许多作者研究 了关于问题 c 爿， 葛野2 乳) 吲掣 ”：嚣 的解与多解的存在性例如，h u 和p a p a g e o r g i o u 2 0 l 利用非光滑局部环绕定理得到 了问题( 爿) 的两个非平凡解，其中非光滑位势满足广义的a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 型条件而f i l i p p a k i s - g a s i n s k i p a p a g e o r g i o u 2 1 l 考虑了当j ( x ，( ) 不满足广义的 a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 型条件时的情形，得到了个正解k y r i s t s i p a p a g e o r g i o u 6 】 考虑了两个正解的存在性，在此之后，他们又利用上下解的方法对该问题进行了 研究关于该问题的文献还可参见【2 ，4 ，2 2 近年来，关于变指数问题的研究越来越受到关注，例如，f 卸 8 】也通过利用 上下解的方法考虑了p ( z ) l a p l a c i a n 方程的问题此外f a n 7 】也考虑了p ( z ) l a p l a c i a n 方程的d i r i c h l e t 边值问题；f a n 和z h a n g 9 】研究了p ( z ) 一l a p l a c i a n 问题， 其中函数f ( z ，“) 满足a m b r o s e t t i r a b i n o w i t z 型条件受到上面介绍的工作的 启发，本文从一个更加广的角度考虑了问题( p ) 这里的位势函数仅仅是局部 l i p s c h i t z 的，而且由于p 0 ) l a p l a c i a n 算子的非齐次性与其特征值的分布情况，对 于在【2 ，2 0 ，2 1 】中的技巧在这里已经是行不通了，再加上广义的l e b e s g u e s o b o l e v 空间对于紧嵌入定理的要求更加严格，这些都使得该问题的研究带来一定的困 难为克服这些困难，作者利用了新的技巧，这使得文章的证明更加简单易读下 8 2 d i r i c h l e t 边界条什下p ( z ) 一l a p l a c i a n 方程解的存巡 面先给出非光滑位势j ( z ，( ) 的条件，记号与有用的引理 对于任意 1 ) ， 2 ( z ) c + ( 壳) ，如果i n f 。n ( 1 ( z ) - h 2 ( x ) ) 0 ，记为 2 ( ) h i ( ) 假设h i ( z ) ，h 2 ( z ) 是依赖于和变指数p ( z ) 的函数，满足 ( i ) 如果p ( x ) n ，那么有h 2 ( x ) o ； ( i v ) 存在p ( z ) c + ( a ) ，满足m a x 1 ，丛丛善；垃) - 5p ( ) p ( ) ，( 删e t i l i i 引理中证明p ) q ( 壳) 和丛丛炉5p ( ) ) 使得对于所有的z q ，( 气r 和叫面( z ，e ) ，一致有 泰 l i r a s u p 与磊掣 。， 其中g ( z ) c ，+ ( q ) ，p + 2 ，有 ( 1 ) p ( x ) q ( q ) ； ( 2 ) 巡铲5 p ( ) ； ( 3 ) 如果p ( x ) n ，那么 p ( z ) 1 因此p ( x ) q ( 囝) ( 2 ) 当p ) n ，对任何z q ，有 等 印一 p 一+ 丁n p - 崩牝) ， 弓坠一华：巡掣型 p 一 = = = 一( 竹 p p 十p 十p 一 从而得至0 ( ( p ( z ) ) 2 一( p 一) 2 ) p + p 一 i n f 。蟊p ( z ) 当p ( x ) n 时，对任何z q ，有 盟掣幽 勺 1 e 且 2 d i r i c h l e t 边界条什下p ( z ) 一l a p l a c i a n 方程解的存在件 p ( z ) 一i np ( z ) ) p ( z ) 故( 2 ) 得证 ( 3 ) 当p ( x ) n 时，由( 2 ) 有 巡噬；幽 p - p + p 十p 一 = 令( 0 + ) 2 一( p 一) 2 ) p ( p + ) 2 弓p + 拦斋 因此有p ( z ) i n f 。n 辫对于第二个4 i 等式有辫掣矿( z ) ( 4 ) 考虑如下函数，( ) = 两百2 n j t 万其中t 陋一，p + 】因p ( z ) n ，有 一2 p + 1 那么有 川乏) m o i uj ；, ：，v u l p ( x ) ( q ) 其中 0 是一个常数 证明由范数i “i p ( 。) 的定义，如果p ( x ) 兰p 是一个常数，那么i 仳i p = i i 乱l i l p ( n ) 注意到l u l p ( 。) 1 ，由引理1 3 3 ( 2 ) ，有i u 唔二) 如l u l 出d z 若l u i 0 使得u ，p 、- 。) 0 是一个常 数，且当n 一+ o o 时，( 1 + i l u 。i i ) m ( 仳。) 一0 因为集合却( u 。) ( 聪p 。( q ) ) + 是弱紧的，存在z , n a 妒( “。) 使得m ( 札。) = i i u 洲。f l q y ( u ) 的定义和引理1 3 in - l 失n j 7 是极大单调的( 参见【1 8 】) ，从而有 3 , n + = j 7 ( 乱。) 一 3 。，v n 1 ( 2 1 ) 其中对任何z q ，加。( z ) 乃( z ，札( z ) ) ，加。a 妒( ) ( 。) ( q ) ，( z ) = p ( z ) 如( z ) 一1 ) ，p l ( z ) c + ( 壳) 因为当f , 斗+ 。时，( 1 + i | u n i i ) m ( u 。) 斗o ，所 以i ( u ：，u 。) i 一0 ，特别的，序列 ( 札：，) ) 。是有界的从( 2 1 ) 可知，存在常数 m 2 0 使得 l v u 。i p ( 旬d z 一 3 。( z ) u 。( z ) 如m 2 ( 2 2 ) 因为一妒【u ，。) 尬，p 一p ( z ) ，有 fp - j ( z ，u ( z ) ) 如一fl v 札。i p 扛) 出p 一 矗 ( 2 3 ) 把( 2 2 ) 和( 2 3 ) 相加，得到 fp - j ( z ，仳( z ) ) d z z 叫。( z ) 乱。( z ) 出p 一尬+ ( 2 4 ) 由条件日( j ) ( i v ) ，存在常数0 2 0 和m 3 = 舰( c 2 ) 0 ，使得对所有z q ，所 有满足i 仳i 地的，和所有叫( z ，u ) 彩( z ，札( z ) ) ，有卸( z ，仳) 仳一p - j ( z ，仳( z ) ) 一c 2 p ( 另一方面，由l e b o u r g 中值定理，对所有z q 和所有让r ，有 j ( z ，u ) 一j ( z ，o ) l i 秽1 ( z ，u ) i l u l ，( 2 5 ) 其中u 1 研( 2 7 ，r ) 满足r = t u ，0 0 使得 札。i p 一m 4 ，v n 1 由( 2 6 ) ，( 2 7 ) 和l u 。l p ( 。) 的有界性，有 z 叫n ( z ，钍。) 乱。如上p j ( z ，礼。( z ) ) 如一q 上j “n 一司如+ c s i q ( 2 8 ) 2 p 一，因此令 毋= o - ( v - i , - ) ；， p ( z ) n ， p ( z ) n 有o 猡 0 对于l p ( z ) ( q ) ，由内插不等式有 i p + l 札。i ：二口蚓：一 从( 2 8 ) ，( 2 1 0 ) ，( 2 11 ) 和引理2 1 2 有 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 钍。i 象) m o l u 。i # 咖+ i 赫l 地i i 仳。i i 矿， ( 2 1 2 ) 其中坛= c 8 叫1 一一) p 。由引理1 3 2 ( 2 ) ，并且利用( 2 2 ) ，( 2 6 ) ，( 2 7 ) 和h ( j ) ( i i i ) 也有 f i 牡。l i p 一i v u 。i p 扛) d x 叫。( z ) “。( z ) d z + ，nj n p - c a i t t n i p ( 。) d x + + 入 p - c a l u n l p p ( - t 。- ) 如+ m 2 + a ( 2 1 3 ) 结合( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 得到 u n i i p 一慨i 竽+ + a ，( 2 1 4 ) 其中坛= p c 3 坛当p ( 石) 盟号舻，有 毋+ ) 2 2 艄 1 4 2 d i r i c h l e t 边界条件下p 0 ) l a p l a c i a n 方程解的存在件 n c p 一) 。p 十( n p 一) p 十一p ) ：=-一 ( 一p 一) g ( p 一) 2 一脚+ p 一- 4 - p p p + n 有 秽+ ) 2 = 槲而, r ( p f + - 丽u - ) 2 p 一 2 p 一+ 一2 p + ：半 0 使得对所有0 ，y 0 证明因为p + 0 足够小满足豸。1 ( 2 p + ) 由条件h ( 歹) ( v ) ，存在6 0 使得对所有的z q ，所有满足i u i 6 的u ，有 l u l 十- 1 从( 2 5 ) 可得 j ( x ，u ) l u l + ( 2 1 5 ) 另一方面，由( 2 6 ) 对所有的z q ，所有满足i u i 6 的乱，有 j i ( z ，仳) l c 3 + c 3 l u l q ( z ) c l o m l q ( ， ( 2 1 6 ) 1 5 2d i r i c h l e t 边界条件下p ( z ) 一l a p l a c i a n 方程解的存在性 其中c l o = c 3 p + c 3 ，p = m i i l 6 口- ，6 口一) 冈此从( 2 1 5 ) 和( 2 1 6 ) ，有 j ( z ，i l 锃+ c l o m 。( “ 因此，对x 每个满足i i u l | 1 的让有 咖) = 上志l v u 彩如一肛问如 却u i i , + - eai 卵+ 如咱。f l