成贤教材-高数B下§9.3三重积分的计算.doc

9.3三重积分的计算9.3.1 三重积分的概念 设是空间有界闭区域的有界函数， 任意分成小闭区域，其中表示第小闭区域，也表示它的体积。，作和式，若极限存在，且极限值与分法、的取法无关，则称可积，并称此极限值为的三重积分，记作 ，即 ，其中称为体积元素。 当在上连续时，的三重积分必定存在。今后总假定在闭区域连续。 如果表示某物体在点处的密度，该物体所占有的空间闭区域，连续，则是该物体质量的近似值， 。注1， 2（）。称为直角坐标系下的体积元素。9.32直角坐标系中三重积分的计算 设平行于且穿过闭区域的直线与的边界曲面S的交点不多于两个，把投影到面上，得投影区域，以的边界为准线作母线平行于的柱面，这柱面与S的交线把S分成上、下两部分：；：， ，且。过内任一点作平行于z轴的直线，此直线与的交点的纵坐标为和。 先将看作定值，将只看作z的函数，在区间上对z积分，积分的结果是x，y的函数，记为，即，然后计算在闭区域上的二重积分，即先对z积分（先一后二法 ）。假如闭区域可用不等式，来表示，把二重积分化为二次积分，则三重积分的计算公式为 。 式是先对，次对，最后对的三次积分。注1若平行于的直线与边界曲面的交点不多于两个，则同样可把投影到面（面）上，得到先对（）的三次积分。 2若平行于坐标轴的直线与的交点多于两个，则可把分成几块处理。 3计算三重积分也可化为先计算一个二重积分再计算一个定积分（先二后一法） 设空间闭区域，其中是用平面z=z截闭区域所得的平面闭区域，则有 。例1把三重积分化为各种次序的三次积分，其中是由平面及锥面所围成的立体。解：先对，：。 ， 或； 先对 ：，。由解得，或； 先对，：，。由解得， ， 。例2计算，其中为三个坐标平面及平面所围成的闭区域。解：在面上的投影区域为 ：， 。例3计算，其中是由椭球面所围成的空间闭区域。分析：被积函数中缺变量，用平行于平面去截，其截面是椭圆盘。故用“先二后一法”。解：空间闭区域可表示为， ，其中D(z)为平面椭圆盘：，故。课堂练习题：（1） 求，由，及所围成。解：在面上的投影区域为：（2） 设为由曲面与所围成的封闭区域，求的体积V。解：两曲面的交线为，当，区域为，面积为；当，区域为，面积为，故。利用对称性简化三重积分的计算1设。若对称关于变量x（或z，或y）是奇函数，则；若关于变量x（或z，或y）是偶函数，则三重积分等于其一半对称区域上积分的两倍。2设，且对称。若关于变量x，y，z为奇函数，即，则；若关于变量x，y，z为偶函数，即，则三重积分等于其一半对称区域上重积分的两倍。3若将x换为y，y换为z，z换为x，积分区域不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分的值，与原积分的值相同。（轮换对称性）例4设有空间区域；，则（C ）（A）； （B）；（C）； （D）。例5求，其中。解：积分区域对称，且被积函数关于变量x，y，z为奇函数， 。例6计算，。解：，由轮换对称性知：，三重积分的一般换元法则 定理：设（1）变换T：，把区域一对一的变为； （2）上面变换中的函数在区域具有连续偏导数； （3），则。 当行列式在区域的个别点或某条曲线、某张曲面上等于零而在其它点不等于零时，三重积分的换元公式仍成立。933柱面坐标系下三重积分的计算 设为空间内一点，并设上的投影P的极坐标为，则称三元有序数组是点M的柱面坐标，其中的取值范围规定为： ，。 三组坐标面分别为： ，即以z轴为轴的圆柱面； ，即过的半平面； ，即与xoy面平行的平面。 显然： 。例7计算，其中由与所围成的区域。解：两曲面的交线为，在平面上的投影区域为，在柱面坐标下，积分区域关于平面、平面对称，而被积函数x，y 分别关于变量x，变量y为奇函数，。 例8一形体和圆柱面所围成，已知其上任一点的密度与该点到成正比，求其。解：密度函数，则 。从而在平面上的投影区域为，在柱面坐标下， 。934球面坐标系下三重积分的计算 设空间一点的直角坐标为，从点M向平面引垂线，垂足为P，令，设与正向的，与正向的，则称三元有序数组是点的球面坐标，其中：，。 三组坐标面分别为： ，即以原点为心的球面； ，即以原点为顶点，为轴的圆锥面； ，即过的半平面。 。 。 。例9计算三重积分，由圆锥面与上 半球面所围成的区域。解：在球面坐标系下，圆锥面化为， 上半球面化为， 。 。例10计算三重积分，其中由曲面与 所围成的闭区域。解：在球面坐标系下，曲面化为，平面化为， 。例11求椭球体的体积。解：作广义球面坐标变换：， 在广义球面坐标变换下对应于 ， 。小 结：1若积分区域或被积函数的表达式中含有因子，一般用柱面坐标计算三重积分； 若积分区域或被积函数为的表达式中含有因子，一 般 用球面