（理论物理专业论文）用相干态讨论一类受迫谐振子系统循回初态的存在性及非绝热几何相的计算.pdf

中文摘要 从1 9 2 5 年量子力学建立之后，在很长一段时间内，人们熟悉的物理量只与粒 子初态末态有关，这就是所谓的状态函数虽然有一种相位差不只依赖初末态， 而且与初末态之间的整个过渡过程有关的依赖于路径的几何性相位因子早在 1 9 3 0 年就已经被狄拉克阐述过，但是一直到8 0 年代中期，b e r r y 绝热相位以及后 来的非绝热几何相位提出之后几何相位的重要性才真正的被认识到这种依赖 于过程的几何相位展示了量子力学在过去长期被忽视的面即整体或拓扑性现 在许多领域里重要问题如量子霍尔效应，原子激光的产生都与该相位因子有关 系 我们在本文中详细介绍了几何相位包括绝热相和非绝热相的基本概念和性 质在具体工作部分，我们选取一类重要的含时受迫谐振子作为研究对象，来讨论 与系统非绝热几何相位密切相关的问题我们知道，系统的非绝热几何相位是系 统循回过程的产物，它与系统的一类特殊的状态即循回初态有着密切的联系只 有找到了系统的循回初态，才有可能进一步计算出系统的非绝热几何相位但就 目前此领域的研究现状来看，在寻找系统循回初态方面，并没有一套行之有效的 办法，往往只能凭借以往的经验来寻找和构造，具有很大的盲目性和偶然性因此 本文的工作重点主要是讨论我们所研究的这类含时受迫谐振予系统循回初态方 面的问题在具体推导过程中。我们利用谐振子相干态作为系统初态，发现此类系 统循回初态的存在性与其自身受迫项的形式有着密切的关系受迫项是否满足一 定的条件，将直接决定系统是否具有循回初态对于此类系统，我们得到了一个明 确的判断标准运用此标准，我们可以直接的判断出系统是具有相干态形式的循 回初态，还是不具有任何形式的循回初态因此，我们得出的结论可作为计算此 类受迫谐振子系统非绝热几何相之前的一个判别标准，如果不满足该标准的要 求，则没有必要继续下去，可避免许多无用的计算对于满足上述条件的此类系 统，我们试着推导出了非绝热几何相位具体的计算公式并举例验证了我们得到的 结果 关键词：非绝热几何相循回初态相干态受迫谐振子 a b s t r a c t i nt h el o n gp e r i o da f t e rt h ef o u n d e do fq u a n t u mm e c h a n i c si n1 9 2 5 ，t h ep h y s i c a l q u a n t i t yt h a tp e o p l ew e r ef a m i l i a rw i t hj u s tr e l a t e d 、v i t l lt h eo r i g i n a ls t a t e sa n df i n a l s t a t e s t h a ti sc a l l e ds t a t ef u n c t i o n t h o u g ht h e r ew a sak i n do fp h a s ed i f f e r e n c e d e p e n d e dw i l l ln o to n l yt h eo r i g i n a la n df u n ds t a t e sb u ta l s ot h ew h o l ec o u r s eo ft h e e v o l u t i o np r e s e n t e db yd i r a ei n1 9 3 0 ，t h eg e o m e t r i cp h a s eh a sb e e nr e a l l yr e c o g n i z e d a f t e rt h ep r e s e n t a t i o no fa d i a b a t i cg e o m e t r i cp h a s ea n dn o n a d i a b a t i cg e o m e t r i ci n8 0 s t i l i sk i n dg e o m e t r i cp h a s eh a sr e v e a l e dt h ee n t i r e t ya n dt h et o p o l o g i c a lp r o p e r t yo f t h eq u a n t u mm e c h a n i c s n o w , m a n yi m p o r t a n te f f e c t sa r er e l a t e dw i t l lt h eg e o m e t r i c p h a s e s u c h 鹪t h eq u a n t u mh a l le f f e c t , a t o m i cl a s e r i nt h i sp a p e r , w ei n t r o d u c e dt h ec o n c e p ta n dt h ep r o p e r t yo f t h ea d i a b a t i cg e o m e t r i c p h a s ea n dn o n a d i a b a t i cg e o m e t r i cp h a s e i nt h ep a r to fo b rw o r k ，w ec h o o s ea n i m p o r t a n tk i n do ff o r c e do s c i l l a t o r t ob eo u rs u b j e c ti n v e s t i g a t e dt od i s c u s st h e p r o b l e m s r e l a t e dw i t ht h en o n a d i a b a t i c g e o m e t r i cp h a s e w ek n o wt h a tt h e n o n a d i a b a t i cg e o m e t r i cp h a s ei st h er e s u l to f t h ec y c l i ce v o l u t i o n ；i ti sr e l a t e dw i t ha k i n d o fs p e c i a ls t a t ew h i c hi sc a l l e d c y c l i c o r i g i ns t a t e w ew i l ln o tg e tt h e n o n - a d i a b a t i cg e o m e t r i cp h a s eb e f o r ew e v ef i n dt h ec y c l i co r i g i ns t a t e s b u ta sf a ra s p r e s e n tr e s e a r c hs t a t u s ，t h e r ei sn oe f f i c i e n tm e t h o dt of i n dt h ec y c l i cs t a t e so fo n e s y s t e m p e o p l eo n l yc a nf i n da n dc o n s t r u c tt h ec y c l i cs t a t e sb yc h a n c e s s ot h em a i n p a r to fo u rr e s e a r c hi st h ed i s c u s s i o no fc y c l i cs t a t e so ft h i sk i n df o r c e do s c i l l a t o r s y s t e m w eu s et h ec o h e r e n ts t a t et ob et h eo r i g i n a ls t a t eo ft h es y s t e m ，a n df i n dt h a t w h e t h e rt h es y s t e mh a st h ec y c l i cs t a t e sh a v eb e e nd e t e r m i n e db yt h ef o r mo ft h e f o r c e dt e r mo f t h eo s c i l l a t o r i f t h ef o r c e dt e r ms a t i s f i e so n ec o n d i t i o n ，t h e nt h es y s t e m h a st h ec y c l i co r i g i n a is t a t e s s o ，f o rt h i so s c i l l a t o rs y s t e m ，w ef i n dac r i t e r i o n u s et h e c r i t e r i o nw ec a nj u d g ew h e t h e rt h es y s t e mh a st h ec o h e r e n tf o r m c y c l i co r i g i n a ls t a t e s o rd o e sn o th a v ea n yf o r mc y c l i co r i g i n a ls t a t e s o u rr e s u l tc o u l db eu s e db e f o r e p e o p l ec a l c u l a t et h en o n - a d i a b a t i cg e o m e t r i cp h a s e ，i ft h es y s t e md o e s n ts a t i s f yo u r c r i t e r i o n ，t h ew o r ks h o u l dn o tb ec o n t i n u e d t h u s t h e 嘶t e r i o nc a nb eu s e dl e s tt h e u s e l e s sw o r ks h o a i db ed o n e k e yw o r d s ：n o n - a d i a b a t i cg e o m e t r i cp h a s e ，c y c l i co r i g i n a ls t a t e ，c o h e r e n ts t a t e ， f o r e e do s c i l l a t o r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得：叁壅蠢鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者繇j f 蒸 签字吼那年月5 目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫鲞盘茎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名： 许鹊 签字日期：细酊年f 月f 日 导师签名： 签字日期： 前言 物质之间的相互作用是接触作用，由场传递的点作用，这种观念已经深入物理 学界，人们相信这是描述自然现象的唯一作用形式，迄今所知的自然界相互作用， 电磁弱统一作用，强作用和阴历作用，都无不属于这一范畴与点接触作用密切联 系的数学形式就是微分形式，物质的运动由某一时空点传递到邻近的时空点，一直 到某特定有限远或无限远处的“边界”运动的微分方程联系着邻近的点，从可能 存在的解，边晃条件选出特定的物理需要的解，这种点接触的作用和传递，通常叫 做定域作用和定域的描述百余年来，人们对自然界物理现象的了解根植于这种观 念 然而1 9 5 9 年理论上预测的a h a r o n o v - b o h m 效应( 以下简称a b 效应) ，这是上 述观念未必完全无缺的第一次明确的讯号，经过2 0 年的怀疑和争论，到1 9 8 6 年终 于有令人信服的实验证明a b 效应指出，即使电子和电磁场无接触，电子的量子力 学波函数的相位也会受到电磁场矢量势的影响产生相位变化，而电磁势也是由于 电子远离他处的磁通引起，电子波函数相位，对同样是在无场地区运动的电子来说， 会因为电子的不同路径而不同或者说，电子波函数对于它运动所经历的路径的同 伦类敏感又或者说电子波函数相位受到磁通的非定域的作用不论何种表述方式， 都是表明，a - b 效应不是以往所认识的定域接触作用所能解释，尤其是近年的精确 实验已经能够排除任何遗漏的接触作用的可能性a - b 效应要求新的一种物理描 述 1 9 8 3 年m 贝里发现了在绝热过程中量子力学波函数存在有一不可积的相位 因子，它是几何性的，不同于通常的动力学相位，所谓几何性是指它依赖于系统环 境的参数空间的路径，而不依赖于环境参数随时间变化的速率和系统的动力学参 数这一发现随即被许多实验证实，而这一几何相位，过去普遍地被忽视了而今在 经典物理、分子、原子、光学现象以及凝聚态物理，都发现这一相位的存在同 时，b s i m o n 对这相位做出数学解释，它是物理系统的参数空间中纤维丛上异和乐， 或量子异和乐，( q u a n t u ma n h o l o n o m y ) ，或称相位异和乐( p h a s ea n h o l o n o m y ) ，因而人 们发现原来在十分简单的量子物理系统中存在着拓扑性质，拓扑性是量子力学波 函数相位的一项根本性质，这就在量子物理学中揭示了新的一页：贝里相位或几 何相位0 , 2 1 本文在第一章旨在对系统绝热几何相位和非绝热几何相位做一个比较全面 的概述，着重介绍定义及其在几何上的诠释。第二章介绍一些关于谐振子相干态 的基本概念和特殊性质，为第三章的运用作一些准备工作。第三章运用相干态来 讨论一类受迫谐振子系统循回初态的存在性，及非绝热几何相位的计算。 墨塑奎兰堕主兰垒堕奎 笙二兰墨三墨簦些堡塑垡堕墨查堡笙 第一章量子系统几何相位的基本理论 本章主要介绍量子系统几何相位的基本理论首先由几个具体量子系统中的 几何效应引出几何相位的概念包括绝热几何相位和非绝热几何相位，然后给出其 在几何上的解释 1 1 量子系统中的几何效应 1 1 1 a b ( a h a r o n o v - b o h m ) 效应 在经典的电动力学中，电磁矢势和标势只是作为描述和计算电磁场强度的一 个方便的数学工具而引进的诚然，在经典力学的h a m i l t o n 正则形式和l a g r a n g e 理论形式中，对于荷电粒子的描述，的确要出现矢势和标势但在荷电粒子的基本 动力学方程中 m 鲁珏( g 一+ - 百) ( 1 1 1 ) 只有粒子所在地域( 1 0 c a l ) 的电场强度e ( r ，t ) 和磁场强度b ( r t ) 出现，而矢势和标势并 不出现 与此不同，量子力学中( 无论是波动力学形式，矩阵力学形式，或者路径积分形 式) ，描述荷电粒子在电磁场中的动力学方程中都会出现粒子所在地域的矢势a ( r t ) 和标势巾( r t ) a h a r o n o v , b o h m 3 首先认识到电磁矢势和标势的深刻物理含义，他 们指出，在电磁场强度为0 的区域中( 但矢势和标势并不为0 ) 运动的两束相干的荷 电粒子，波函数会发生不同的相位变化因此，当两束粒子重新会聚后就会出现干 涉现象不久，果然在实验中观测到了这种干涉现象1 4 】后来人们称之为a b 效 应f u r r y 和r a m s e y 5 1 还从量子力学理论本身的自洽性来论证了a b 效应的正确 性下面简单介绍下两种形式的a - b 效应： a 磁a b 效应 如示意图1 1 1 ( a ) 所示，荷电q 的粒子束在a 点分成两束( 经过双缝) ，分别经历 天津大学硕士学位论文第一章量子系统几何相位的基本理论 空间两条路径p l 和p 2 ，然后在d 点会聚在不存在磁场的情况，设相干波束用如下 波函数描述 妒( r ，f ) 一p 。( ，f ) + p ：( r ，f )( 1 1 2 ) a d 图1 1 1 ( a ) 现在假设在双缝装置后面紧邻处放置一个细长的螺管( 垂直纸面) ，管内部有磁场 b ，磁通量为妒，在管外，磁场强度b = 0 ( 特别是在两束粒子经过的路径上b - - 0 但 a o ) 则粒子的波函数中将会出现一个d i r a c 相因子，即 矿”州叫一t 导。j ，仲川r + ， + 妒2 ( r ，f ) e 告。，m _ 打。】 8 小 f ) + 妒小川e x p 吾( 。，一。j ，川，川r 】 ( 1 1 3 ) 2 缈小，f ) + l f ，：( r f ) e xp 万i q 可 ) 协。】 = i ( r ，t ) + i f ，2 ( ，f ) e xpf f g c 】 式中 = q 。a ( r ) d r ( 1 1 4 ) 是通过螺线管的磁通因此，在有磁场的情况下，通过两条路径的粒子的波函数有 一个相差 却= q o h c = 2 7 r q ( p h c( 1 1 5 ) 随磁通妒的变化，相差彤( 因而干涉条纹) 也随之变化，磁通变化的周期为丸= h c q 天津大学硕士学位论文 第章量子系统几何相位的基本理论 这已在实验中观测到，称为a b 振荡 b 电a b 效应 a h a r o n o v - b o h m 在他们的文章中还讨论理与电磁标势m 有关的a b 效应如示 意图1 1 1 ( b ) 所示， d 图1 1 1 ( b ) 设入射荷电q 的粒子分解成两束，分别经过两条路径p 1 和p 2 ，然后在d 点汇集在 粒子经历的两条路径上，分别放置两个f a r a d a y 筒( 空心金属圆柱形筒，筒内无电 场) ，筒上静电势分别为仍和仍，电势差为伊= 他一仍设荷电粒子的波函数有一 个相差 占= 皇 a9 ( 1 1 6 ) h 由于技术上的困难，这种电a 。b 效应尚未在实验上观测到 1 1 2a h a r o n o v - c a s h e r 效应 1 9 8 4 年，y a h a r o n o v 与a c n s h c r 提出中予衍射的电场几何效应1 6 】，即具有磁 矩的电中性粒子在不受电场力和磁场力的作用，而在电磁势的作用下，沿运动路径 累计几何相位这简称a - c 效应 a c 效应可以从a - b 效应的电磁对偶f 7 这观念来认识r g c h a m b e r s 验证 a b 效应是，使用一根磁化的晶须( c r y s t a lw h i s k e r ) 1 - - 根细长的永磁棒，以保证两 电子路径上无磁场而包围磁通中细长的永磁棒等效于无穷多个磁偶极子的直线 排列因此，a - b 效应如图1 1 2 ( a ) 所示，实质是电流j 。与电磁势a 。耦合的j 。a 。的规 范不变性与之成电磁对偶的效应即a - c 效应如图1 1 2 ( b ) 所示，实质上是自旋 流以与规范势张量巨+ b 的耦合uys 在实验室参考系，运动, 电子具有电偶极矩p ，p 与电场存在耦合等价地，在磁 子静止参考系，磁矩u 与运动电荷线的磁场存在耦台这里对前者作简单的叙述 天津大学硕士学位论文第一章量子系统几何相位的基本理论 图1 1 2 ( a )图1 1 2 ( b ) 经典电动力学认为中性磁子等效于一个电流圈，磁矩密度m 与电流密度j 的关系 为j = c v m ，总磁矩= f m d3 r 但在实验室参考系，磁子( 即电流密度j 整体) 以速度v 运动，按照狭义相对论，运动的j 导致非零的电荷密度( 略去v 2 c 2 以 上的量级1 v j p2 了 ( 1 1 7 ) 上式贡献的总电荷，依然为零，但电偶极矩嗍 磁子在场中的能量 p = p r d 3 ，= v a c ( 1 1 8 ) u p e = 如e ) ( 1 1 9 ) 于是，中性磁子在电场中的拉格朗日量为 哈密顿量为 类似a b 问题，如果 上= 争埘v2 + 詈( e ) ( 1 1 1 0 ) 日= i 1 _ ( p 一一1 e ) 2( 1 1 1 1 ) zm c 、 v ( e ) = 0 r 1 1 1 2 ) - 6 - 天津大学硕士学位论文第一章量子系统几何相位的基本理论 存在电场时，磁子波函数 f，ol ( r ，t ) = yo ( r ，t ) e x p i ( e ) d l ( 1 1 1 3 ) 【c 1 ；j 其中( r ，f ) 为无电场时磁子的波函数中性磁子u 与电场e 的耦合，使磁子沿运动 路径累积附加相位 a b 效应源于电流j 。与电磁势a 。耦合j 。a 。的规范不变性，荷电粒子在b = e = o 的区域运动时，效应也存在但是a - c 效应却源于自旋流以与规范势张量e 吒。 的耦合因此，在中性磁子运动路径上，必须有电场的存在y a h a r o n o v 等人【9 j 以 及a s g o l d h a b e r t l 0 1 都指出，中性磁子在电场中不仅受到f 。= ( p v ) e 的作用，还 因磁矩u 携带磁场b ，在电磁场中应存在电磁动量 _ 。= 去弘b d 3 r = 去f e ( 4 z m v 庐) d 3 r ( 1 1 - 1 4 ) ：一1e 口， 中性磁子携带电磁动量只，运动，受到它的反作用，磁予实际受力应为 f 。= ( p v ) e 一鲁_ 。 ：一上( v 。卢) v e 一( v c v ) 上( v ( e ) ) ， c ( 1 1 1 5 ) 上面的运算中使用了关系要：兰+ v v 并且电场e 对时间的依赖仅仅通过磁 d fd f 子坐标的变动使用矢量恒等式，并且考虑v e = 0 及v e = 0 可得 f ：上( v ) v e ，( 1 1 1 6 ) 如图1 1 2 ( b ) 所示的a c 提议的实验中，v = 言，并且电场e 不依赖于坐 标，对磁子作用力f 依然为零因此，a - c 效应与a - b 效应类似，也是几何效应：粒 子在不受作用的复连通区域中运动获得附加相位 墨鲨查堂堡主堂堡堕苎 兰二童量王墨堕些塑塑垡堕兰查里丝 州c ) = 去( f ( e ) 删 ( 1 1 1 7 ) 1 2 绝热几何相位( b e r r y 相) 本节将具体介绍绝热几何相位( b e r r y 相) 的定义，及其几何解释 1 2 1 绝热几何相位的概念 首先讨论哈密顿量i - 1 不含时的体系，体系的能量为守恒量设包含h 在内的 一组守恒量完全集的共同本征态记为l 妒。) ， 设体系初态为 容易证明 h i y 。) = e 。i 矿。)( 瓦为实) 。l ：) = 占“ i ( o ) = l 妒) t o ( ，) ) = e “即“i 缈。) = 口“即“i 妒( o ) ) 严格满足薛定谔方程 f 鲁l ) = 日i 妒) ( 1 2 1 ) ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 式( 1 2 4 ) 称为定态波函数i v c o ) 与f j c ，( o ) ) 只差一个相因子( 一e 。r ) ，常称为动力 学相( d y n a m i c a lp h a s e ) 方程( 1 2 4 ) 的一般解可以表示成 y ( f ) ) = c ，p “即”i 缈。) ( 1 2 5 ) m 展开系数g 不依赖于时间t ，由初态 y ( o ) ) 确定， c 。= 似。i 妒( o ) ) ( 1 2 6 ) 现在来考虑哈密顿两h ( t ) 含时的体系，系统哈密顿量随时间极缓慢地变化，它 的能量不是守恒量，体系不存在严格的定态通常h ( t ) 是通过参量r ( t ) 而随时间变 天津大学硕士学位论文 第一章量子系统几何相位的基本理论 c ) = 去叮( e ) 硎 ( 11 1 7 ) 1 2 绝热几何相位( b e r i y 相) 本节将其体介绍绝热几何相位( b e y 相) 的定义，及其几何解释 1 2 1 绝热几何相位的概念 酋先讨论哈密顿量h 不含时的体系，体系的能量为守恒量设包含h 在内的 一组守恒量完全集的共同本征态记为1 ) ， 设体系初态为 容易证明 日i y 。) = e 。l 矿。)( b 为实) 。i y ：) = d “ l ( o ) = i 妒。 妒( ，) ) = e 叫5 - “j p 。) = p 叫“l p ( o ) 严格满足薛定谔方程 ( 12 1 ) ( 1 2 2 ) ( 】2 3 ) i h 暑i 妒) = 日i 缈) ( 1 24 ) 式( 1 _ 2 4 ) 称为定态波函数i y ( f ) ) 与l i c ，( o ) ) 只差一个相因子( 一e 。， ) ，常称为动力 学相( d y n a m i c a lp h a s e ) 方程( 1 2 4 ) 的一般解可以表示成 y ( f ) ) = c e “即”f p 。) 展开系数g 不依赖于时间由初态l ( o ) ) 确定 c 。= 舻。i 缈( o ) )( 1 2 6 ) 现在来考虑哈密顿两h ( 0 含时的体系，系统哈密顿量随时间极缓慢地变化，它 的能量不是守恒量，体系不存在严格的定态通常h ( t ) 是通过参量r ( t ) 而随时间变 的能量不是守恒量，体系不存在严格的定态通常h ( t ) 是通过参量r ( t ) 而随时间变 天津大学硕士学位论文第一章量子系统几何相位的基本理论 化例如r ( t ) 代表外磁场b ( t ) ，或外电场e ( t ) r ( t ) 张开一个参数空间h ( r ( t ) ) 随参数 r ( t ) 而随时间变化但我们不妨考虑h ( t ) ) 的瞬时本征态( i n s t a n t a n e o u se i g e n s t a t e ) 月。( r o ) ) i 妒。( r ( f ) ) ) = e m ( r ( f ) ) i 。( r o ) ) ) ( 1 2 7 ) ，( r ( f ) ) l 缈。( 晨( r ) ) ) = 万。 设体系初态为h 的某一个瞬时本征态 i 缈( o ) = i y 。( r ( o ) ) ( 1 2 8 ) 对于h ( t ) 含时的体系，薛定谔方程的一般解仍可表示成 帅) ) 2 莓c 托) e x p 【- 蹦即+ ) ) 即) ) ) ( 1 _ 2 9 ) 但是与式( 1 2 5 ) 不同，这里的展开系数c 卅( r ) 依赖于t c 以) = 朋) i 帅) e x p 【f d t e ( 即。) ) 】( 1 2 - l o ) 它的初值为c ，( o ) = 秒。( r ( o ) ) i p ( o ) ) ，由初态i y ( o ) ) 决定 设i 妒( o ) = l 。( 五( o ) ) ) ，即c 。( o ) = 屯。，这并不能保证c 。( f ) zj ，。，只在 绝热近似下，即r ( r ) 变化极为缓慢，能够足以保证【1 1 】 c 。( t ) 万。( 1 2 1 1 ) 因为c ，( f ) = 占。的解不满足薛定谔方程故绝热近似解应为 叭) ) = “f ) e x p 【- p 蹦即训州即) ) ) l 口。( f ) j 2 = 1 ( 保证概率守恒) 令 a 。( f ) = e 几( 展为实) 用式( 1 2 1 2 ) 年1 ( 1 2 1 3 ) 代入含时薛定谔方程，并对t 积分，得 n 2 1 2 ) ( 1 2 1 3 ) 天津大学硕士学位论文 第一章量子系统几何相位的基本理论 蹦归p 朋( f ) ) i 嘉k ( 即) ) ) ( 1 2 “) 此即绝热几何相位( a d i a b a t i cp h a s e ) ( b e r r y 相) 绝热近似解( 1 2 1 2 ) 式右边的另一个 因子可以写成e “一“， 口。( f ) = f d t e 。( 月( f ) ) ( 1 2 1 5 ) 习惯上称为动力学相( d y n 锄i c a lp h a s e ) 但从上述推导可明显看出，绝热几何相尼 的出现，是由于要求量子态随时间的演化必须满足薛定谔动力学方程 1 2 2 绝热几何相的几何分析 设体系的量子态用h i l b e r t 空间中一个态矢i 妒( j ) ) 描述，s 为连续变化参量试 研究f 沙( s ) ) 在参数空间的变化行为f 妒( s ) ) 可视为定义与参数s 空间的一条路径 上的波函数的集合按照波函数的统计诠释，它有个相位不定性令 l 庐( s ) ) = g 例”i 缈( j ) )( 1 2 1 6 ) 当s 连续变化时，考虑s 作无穷小变化 s 呻s + 占( 占o ) ，按照几何学中的自然 l 秩n ( n a t u r a lc o n n e c t i o n ) 法贝0 侈( s + 暑) f 矿( j ) ) = 1 十o ( s 2 ) ，占 0( 1 2 1 7 ) 相位( s ) 随s 的变化就有所限制利用 声( s + 占) ：妒( 。) + 曼罢：堕窖+ o ( s ：) o s 丑掣吡忧f ，铷) “郎，争) 代入式( 1 2 17 ) ，可求得 f 望o s = 一舻( s ) i 旦o s | 矿( s ) ) v、7ifr _ ， 积分，得 肌m 卜) 嘲帅) ) 设在参数空间中，s 沿一闭合路径c 回到原点s o ，i ( s ) ) 将获得一个相位 ( 1 2 1 8 ) f 1 2 1 9 ) f 1 2 2 0 ) ( 1 2 2 1 ) 天津大学硕士学位论文第一章量子系统几何相位的基本理论 ( c ) = f q d s 舻( j ) i 百oi ( 5 ) ) ( 1 2 - 2 2 ) c 。” ( c ) 依赖于闭合路径c 的几何性质 在量子力学中用数字计算法求解一个含连续变化参量的哈密顿量的本征值 时，当参数沿参数空间中一条闭合路径回到原来数值时，往往会发现本征函数中出 现一个额外的相位，就可以如上理解 在非相对论量子力学中，体系的量子态随时间的演化用h i l b e r t 空间中的矢量 l y ( f ) ) 描述，t 作为一个参量，要求满足归一化条件 缈( t ) i ( f ) ) = 1 ( 1 2 2 3 ) 在此条件下| 妒( r ) ) 仍有一个含时相位不定性，因为让 i 缈( f ) ) = e 巾i 丽) ( 1 - 2 2 4 ) 不难看出j 丽) 仍然满足归一化条件 扩而i 而 = 1 ( 1 2 2 5 ) 但按自然联络法则要求 ( i 矿( f + 占) i 缈( f ) ) = 1 + o ( s2 ) ，占_ 0 ( 1 2 2 6 ) 利用 ) = i 删+ 占掣+ d ( 一 = 帅) 川f 彦i 丽) “加鲁i 丽) 】( 1 2 2 7 ) 代入式( 1 2 2 6 ) ，得 彦= ( 丽i 鲁i 而) ( 1 z 2 8 ) 积分，得 卢( r ) 一( o ) = r d f 缈i 鲁i ) ( 1 2 2 9 ) 可以看出，f l ( r ) 的出现可以看出自然联络法则的要求，它依赖于参数t 空间中连续 变化的路释 天津大学硕士学位论文 第一章量子系统几何相位的基本理论 1 3 非绝热几何相位( a a 相) 本节将具体介绍非绝热几何相位( a a 相) 的定义，及其几何解释 1 3 1 非绝热几何相的概念 a h a 啪o v 与a n a n d a n 对b e n y 绝热相位概念做了重要推广1 1 2 】，即放弃了绝热近 似假定，但假定体系的量子态l y ( f ) ) 按照薛定谔方程周期演化，周期为f ， i ( f ) ) = e i ( o ) ) ( 1 3 1 ) 即经历一个周期r 后，量子态回到初态，但有一个相差试作含时相变换 i 缈( r ) ) = e 叫厕) ( 1 蚴 要求，( r ) 一，( o ) = 矿，即i 丽) 在经历一周期后没有相位变化， i i 丽) = i 丽) ( 而) 随时间演化不再遵守薛定谔方程，f i j 式( 1 3 2 ) 代入薛定谔方程 溃鲁叭) ) = 一壳7 1 呻) ) r 嗉l 丽) = h ( f ) l ( f ) ) 上式左乘缈( ，) | ，得 一 夕+ ( 而h 鲁i 而) = 舻( t ) l hi 帅) ) 对t 积分一周期，得 即 ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) m ( o ) = 卜舻( f ) i 半) + h 丽嘲硎( 1 ，_ 6 ) 妒= ，( f ) 一( o ) = 口( f ) + ( f ) )=h如i半叭)0 - 肌) = m 而嘲丽) = 矿叫r ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) 口( r ) 称为动力学相，而把总相差与动力学相口( f ) 之差一口( f ) = f l ( r ) 称为非 查遣奎兰堡圭兰垡笙苎 笙二兰量王墨堕些堡塑垒塑薹查墨堕 绝热几何相( a a 相) 1 3 2 非绝热几何相( 卜a 相) 的几何分析 设希尔伯特空间维数为n ，量子态由n 个复数z o ，z 1 ，z 2 ，z 。一，表示： l ) = l zo 一，z 。) ( 1 3 1 0 ) 因这一希尔伯特空间与复数3 e i 司c ”同态( i s o m o r p h i c ) ，归一化条件 ( i ) tz ；z 4 = z “z ，= 1 ( 1 3 1 1 ) 归一化的态矢端处于在复空间c ”中单位球s2 “1 面，把只相差相位的态矢纳入 同一等价类即当 y ) = c i 矿) 或z 4 = c z ，c o 复数，i c l 2 = 1 i 妒) “i ) ( 1 3 1 2 ) i ) 和l 。) 属于同一等价类，称为射线( r a y ) ，射线构成的空间是全希尔伯特空间的 投射空间( p r o j 枷v eh i l b e r ts p a e e ) t t 3 1 , 它与c p “1 复空间同构，c p “1 是c “1 复数 空间中一束通过原点的线当z o 0 ，在c p “1 中的点的坐标可用复数表示 埘。= z 。z oi = 1 ，n 一1 ( 1 3 1 3 ) 以上定义了投射希尔伯特空间及此空间中的坐标 现在讨论量子态，系统由原来哈密顿量h 描述，其时问过程的演化，遵循薛定 谔方程( 7 l = 1 ) 鲁i 妒( f ) = 一i h i ) ( 1 3 1 4 ) z 。= 一i h 名z 9 厄米条件 日( r ) = 日+ ( ，) ( 1 3 1 5 ) h ：= h ? 若态演化在射线空间走了一闭合回路，则起始态l 妒( o ) ) 演化到末态 l ( r ) ) = p 州f ( o ) ) ( 1 3 1 6 ) 这一总相位分为两部分 庐( r ) = j ( 丁) + r ( t )( 1 3 1 7 ) 天津大学硕士学位论文 第一章量子系统几何相位的基本理论 呷卜? 等船铲出 。m ， ，( r ) 只依赖于在投射希尔伯特空间，即c p “1 中的闭合回路c ，在以上的讨论中 并未假设绝热定理，态的演化( 1 3 1 6 ) 式中i ( 丁) ) 不同于绝热定理，条件 i 妒( r ) ) = e 7 l ( o ) ) ( 1 3 1 9 ) 称为循回条件，这里所定义的t 也不同于b e r r y 的绝热的几何相位b e r r y 相位原来 的绝热几何相位是在参数空间表述的a a 非绝热相位是在投射希尔伯特空间表 述的它们的几何性质是参照于各自表述的空间，它们各自依赖于所参照的空间的 闭合回路但是由于参数空间与投射希尔伯特空间是很不同性质的空间，因而它们 的回路各自表现系统不同的方面( 1 3 1 7 ) 式定义的a - a 相位，可以用投射希尔伯 特空间的坐标表出，在全路径c 上，z 。0 妒( r ) = z o ( r ) z o ( o )r 1 - 3 2 0 ) 巾，= 孚t n 端+ ? 拿舞辫“n s m ， 由此 确) d t = - - 虿it 可d z 。一等】+ 【垡铲 = c 坐并川 n 3 2 2 ) ( 1 3 2 3 ) 回路c 是在c p “1 空间，a 是投射希尔伯特空间的联络，( 1 3 2 3 ) 式是以坐标表示 的一形( o n e - f o r m ) 1 4 绝热几何、非绝热几何相与l e w is 相的关系 在l e w i s 的含时不变量理论中提到，含时不变量的本征态有一个含时相位不定 性事实上任何一个力学量( 不含时，或含时，但不对t 微商的运算) 的本征态都可以 有一个含时相位不定性根据这个观点，b e r r y 绝热相或a - a 相的出现，就更容易理 4 叮。 = ) 。巾 0， 天津大学硕士学位论文 第一章量子系统几何相位的基本理论 解t i l 4 1 首先讨论b e r r y 绝热相设体系的哈密顿量为日( r ( f ) ) ，参数r ( f ) 绝热的作周 期变化，r ( r ) = r ( o ) ，f 为周期，因而日( 五( f ) ) = 日( r ( o ) ) ( 月( f ) ) 的瞬时本征态 。( 月( f ) ) 和本征值e m ( f ) ) 为 爿( r ( f ) ) l 妒，( r ( r ) ) ) = e m ( r o ) ) i 矿。( r o ) ) ) ( 1 4 1 ) 如，( r ( t ) ) i g 。( r ( f ) ) ) = 艿耐 设体系初态为i ( o ) ) = i ( r ( o ) ) ) ，则在绝热近似下，i p ( f ) ) o ci n ( 尺( f ) ) ) 但注意， 瞬时本征态i ( r o ”) 一般不满足含时薛定谔方程考虑它有一个含时相位不定性， 我们不妨作一个含时相位变化，令 i ( f ) ) = g 嘛l 妒。( 冗( f ) ) ) ( 1 4 2 ) 并要求i ( f ) ) 满足含时薛定谔方程， f 壳百0 i 妒( f ) ) = 日( 胄( 圳妒( f ) ) ( 1 4 3 ) 用式( 1 4 2 ) 代入( 1 4 3 ) ，利用式( 1 4 1 ) ，然后对t 积分，可得出 肿) 2 舻朋( ，) ) i 音聊) 一引即。) ) ( 1 4 4 ) 在经历一个周期后， ( r ) ) = 8 以i y 。( r ( r ) ) ) ( 1 4 5 ) 注意，r 0 ) = r ( o ) ，h ( r 0 ) ) = h ( r ( o ) ) ，哈密顿量还原，因此，作为它的瞬本征态 通常取为 l v ( r ) ) = e 以“i y 。( r ( o ) ) ) ( 1 4 6 ) 即无相位变化这样，式( 1 4 2 ) 化为 i ( ) ) = 口以| 5 c ，。( r ( o ) ) ) = g 以j y ( o ) ) ( 1 4 7 ) 即j y ( r ) ) 回到初态i y ( o ) ) ，但出现了一个相因子e 以“，而工o ) 可分为两部分， ( f ) = 口。0 ) + 尾( f ) ( 1 4 8 ) 州r ) 一寺p 剐即) ) ( 1 4 9 ) 天津大学硕士学位论文第一章量子系统几何相位的基本理论 成( r ) = ? 出。( r ( 嘞i f 鲁i y 。( r ( f ) ) ) ( 1 4 1 。) “r ) = f ( 州r ) i 嘉k ( r ) ) ( 1 4 1 1 ) 或 蹦c ) 2 搬叫朋) = j 【嘉州朋) 】栅 ( 1 4 1 2 ) ( r ) 即动力学相，展( c ) 称为b e r r y 绝热几何相 ( r o ) ) ) 与p “”i 虬( r o ) ) ) 一 般来说都不满足含时薛定谔方程，只在添上e 旧棚因子之后，即v i a 刚) i ( 只o ) ) ) 才满足薛定谔方程，c t ( t )尾( r ) 的出现都是出自动力学的要求，尽管成具有参数 空间中的拓扑性质 在a a 相理论中，假设量子态i 矿o ) ) 按薛定谔方程周期演化 i y ( f ) ) = l 妒( o ) )( 1 4 - 1 3 ) 经历一周期后，又回到初态，但有一个总相位变化o 按a h a r o n o v - a n a n d a n 的做法。 令 l y