周振荣版拓扑学第4章连通性与路连通性 课后答案.pdf

第四章连通性练习题 November 12 2012 謱 练练练习习习0 1 若空间 X T 是连通的 T 0 T 是X的拓扑 则空间 X T 0 也是连通 的 Proof 如果 X T 0 不连通 则存在既开又闭的非空真子集A 因T0 T 所以 它又是 X T 的既开又闭的非空真子集 从而 X T 不连通 矛盾 练练练习习习0 2 设Y 是X的连通子集 设Z是X的子集 若Y Z 6 Y Zc6 则Y Zb6 Proof 因为X Z Zc Z Zc 所以 Y Y X Y Z Zc Y Z Y Zc 若Y Zb Y Z Y Zc 则Y Y Z t Y Zc 这与Y 连通 矛盾 练练练习习习0 3 证明 Rn Rn Proof 提示 Rn作为子空间 其基开集为U1 Un 0 练练练习习习0 4 设 S1 S1是同胚 满足 idS1 证明对任意连续映射f S1 R 存在点z S1 使得f z f z Proof 令F z f z f z z S1 则F S1 R为连续映射 取点z0 S1 若F z0 0则结论已真 若F z0 6 0 不仿设F z0 0 由 的定义 z0 S1且 F z0 f z0 f z0 f z0 f z0 F z0 1时 S1与Sn不同胚 Proof 提示 謱 去掉一个点 謲 去掉两个点 练练练习习习0 25 设A是Sn n 1 的可数子集 则Sn A是路连通的 謵 Proof 设a A B A a 则B是可数的 且Sn A Sn a B与Rn B同 胚 而后者路连通 练练练习习习0 26 令K n 1 n N C 0 1 0 K 0 1 0 0 1 D C 0 0 1 C作为R2的子空间叫篦子空间 C的子空间D叫缺边篦子空间 证明 C道 路连通 而D却不是道路连通的 D的道路连通分支D p 不是D的闭集 并 且ClD D p D也不是道路连通的 譆譩譧譵譲譥 謱謺 梳子空间 Proof C显然道路连通 令p 0 1 R2 则D p 也道路连通 从而连通 又ClC D p C D p D C 所以D也连通 下证非道路连通 假定f 0 1 D是D中连接p与某点q D p 的道路 显然f 1 p 是 0 1 的 闭集 且0 f 1 p 我们再证f 1 p 也是 0 1 的开集 考虑p在D中的邻域V 使V 0 1 0 对任意的t0 f 1 p 存 在U t0 t0 0 1 使得f U V 由于U仍为R的区间 故连通 所以f U 连通 我们证明U f 1 p 若不然 存在t U使得f t 6 p 设f t n 1 0 1 某个n N 令 A f U k n 1 k 0 1 B f U p k n 1 k 0 1 则f t A p B 即A B均非空 于是 A B 是f U 的一个分解 与f U 的 连通性矛盾 这就证明了D中不存在连接p与D p 中任何一点的道路 从 而D不是道路连通的 謶 Remark 謰謮謲謷 这里不仅给出了一个连通而非道路连通的例子D 更进一步说明 了拓扑空间D的道路连通分支D p 不是D的闭集 并且ClD D p D也不 是道路连通的 这表明连通与道路连通具有不同的性质 练练练习习习0 28 拓扑空间的既开又闭的非空路连通子集是路连通分支 Proof 如果它不是路连通分支 则必定是某个路连通分支的非空真子集 且在 这个路连通分支中也是既开又闭 因而此路连通分支是不连通的 矛盾 练练练习习习0 29 謪证明 0 1 不能表示成两个或两个以上的不交闭集之并 Proof 现在假定 0 1 S n 1 Fn 其中当i 6 j时 Fi Fj 每个Fn都 是 0 1 的非空闭集 不妨假设1 F0 并设a0 supF0 显然a0 F0 设 n0 min n N a0 1 Fn6 b0 inf a0 1 Fn0 则由a0 F0得a0 Fn0 所以a0 b0 令A0 a0 b0 则F0 A0 a0 Fn0 A0 b0 当0 n n0 Fn A06 a1 sup Fm1 A0 n1 min n N n m1 Fn a1 b0 6 b1 inf Fn1 a1 b0 易见a0 a1 b1 b0 0 n0 n1 记A1 a1 b1 则与上面类似 地 n n1 Fn A1 a1 b1 如此继续 利用数学归纳法 得正数序列与实数序列如下 0 n0 n1 n2 ni 0 a0 a1 a2 ai bi b2 b1 b0 1 且 i N 0 当n ni时 Fn ai bi ai bi 由数学分析的知识得 T i 0 a i bi 6 设x T i 0 a i bi 显然 i N 0 x 6 ai x 6 bi 现在若x Fn 因存在ni使得n ni 于是x Fn ai bi ai bi 就 有x ai或x bi引起矛盾 这就证明了 0 1 不可能表示成可数个 至少两个 互不相交的非空闭集之并 练练练习习习0 30 謪设X为无限可数集 T 是余有限拓扑 则空间 X T 是连通 但不 是路连通的 謷 Proof 由于X的任意两个非空真子闭集F1 F2都是有限集 所以F1 F26 X 故连通 下证X不是路连通的 用反证法 假设a b X a 6 b 存在连续映射f 0 1 X使f 0 a f 1 b 由于 x X f 1 x 闭于 0 1 于是 0 1 可 表示成可数个 至少两个 互不相交的非空闭集之并 即 0 1 S x X f 1 x 这与第謰謮謲謹题矛盾 练练练习习习0 31 设X是不可数集 T 是余有限拓扑 则空间 X T 是路连通的 Proof x y X A X 使得 x y A且CardA Card 0 1 假设g 0 1 A为一一映射 且g 0 x g 1 y iA A X为包含映射 则f iA g 0 1 X就是X中连接x