（基础数学专业论文）关于变换序半群的若干研究.pdf

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的，x r a no = 无限) o 咒( x ) ，则。乃( x ) 不具有 口0 性 第三章讨论了线性变换序半群中的正则性主要结论如下： 命题3 1 如果0 是一个从谛到旷的同构保序线性变换，我们定义映射讪 ( o l d ( 9 ，咖) ，0 ) 卜o l d ( 9 ) 通过 血曲= d 日 对v 0 _ o l d ( v ，咖) ；则曲是一个从( o l d ( 旷，市) ，目) 到o l d ( i 7 ) 的同构映射，因 此( o z , d ( 9 ，缈) ，p ) gd ( 1 i 7 ) 定理3 2 序半群( o l d ( t ，市) ，是正则的当且仅当矿= = = o ) 或市= o ) 或目是 一个从市到旷上的同构保序线性变换 山东师范大学硕士学位论文 第四章考虑了一类线性变换序半群中的有关零极小拟理想的问题主要结论如 r a i lo l k e r 0 且r a n 口垡k e r o i = ，那么以下两 ( 1 ) ( “) 。是( o l f ( 矿，雨，k ) ，目) 中的一个零极小拟理想； ( 2 ) r a a l k c c = 1 定理4 1 1 设0 0 ，则在非零变换序半群( o l f ( 矿，形，k ) ，0 ) 中，如果d i m 矿= d i m 刃= 1 ，那么每一个零极小拟理想都是零极小理想 定理4 1 3 设0 0 ，则每一个非零变换序半群( o l f ( 矿，雨，k ) ，口) 包含一个零极 小拟理想 第五章研究了正则交换序半群关于它的素理想结构的一些性质，并给出了作为 有限个主理想的并的交换序半群中的诺特性、阿基米德性、正则性、以及有限生成 性之间的关系主要结论如下： 定理5 5 序半群s 是正则交换的，h 是s 中的所有的非主( 有限生成) 理想构 成的集合，如果h 0 ，那么在集合日中就存在一个素理想 推论5 ，1 1如果序半群s 是阿基米德和正则的且s = u ( z 。s ，1 若n ( z 。a s - 1 ， 这里n s ，且。( a 1 a 2a 。) ，a ：= z ；1 sh = o ，1 ，2 ，) ，则s 是有限生成的 第六章我们在部分变换半群中研究b q 性，并且找到了几个具有b q 性的部分 变换子半群主要结论如下： 定理6 8 集合p 3 ( x ) = 。p ( x ) l x e 3 n 口有限) 为p ( x ) 的子半群，且p 3 ( x ) 具有b q 性当且仅当x 是有限的 定理6 9 集合只) = n p ) i “是1 - 1 的，x r a nn 有限) 为p ( x ) 的子半 群，且r ) 具有b o , 性当且仅当咒是有限的 关键词：b q 性，保序映射，序半群，零极小拟理想，部分变换 分类号：0 1 5 27 p缈一矿k0口 没 9 4 理： 定价 ： 等 下 条 山东师范大学硕士学位论文 s t u d i e so no r d e r e dt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p c a o y o n g t h ei n s t i t u t eo fs c i e n c eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ef i r s ts t u d yt h eb qp r o p e r t yi ns o m eo r d e r e dt r a n s f o r m a r i o ns e m i g r o u p s ，t h e nw es t u d yt h er e g u l a r i t yi nl i n e a ro r d e r e dt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p ，b e s i d e sw ed i s c u s st h er e l a t i o na m o n g0 - m i n i m a li d e a lp r i n c i p a l i d e a la n do - m i n i m a lq u a s i i d e a li nac l a s so fl i n e a ro r d e r e dt r a n s f o r m a t i o ns e m i - - g r o u pf i n a l l yw es t u d yae l a s so fo r d e r e dc o m m u t a t i v es e m i g o u pa n dd i s c u s st h e b qp r o p e r t yi np a r t i a lt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni n f o l l o w i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w ef i r s t l yg i v et h ed e f i n i t i o no fb qp r o p e r t yi no r d e r e dt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o n p ；b e s i d e sw ef i n ds o m es o m es u b s e m i g r o u p sw i t hb qp r o p e r t yt h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w p r o p o s i t i o n2 1 3 f o ra n yn o n e m p t ys u b s e tao fa ，o r d e r e ds e m i g r o u p s ， ( 1 ) ( s 1 a n a s l l ( a ) 目( s 1 a n ( a s l ； ( 2 ) ( a ) b = ( a s l a u a = ( a s a u a u a 2 t h e o r e m2 1 1 2l e txb ec o u n t a b l ea n df u l lo r d e r ，w i t ham i n i m u mx 1 i f 0 噩( x ) = d o t ( x ) 。i s 1 - 1a n dx r a n ( 1 = i sf i n i t e o n ( x ) ，t h e n ( 1 ) o t l ( x ) i sa no r d e r e ds u b s e m i g r o u po fo t ( x ) ； ( 2 ) 0 a ( x ) b qi fa n do n l yi fx i sf i n i t e t h e o r e m2 1 1 3l e txb ec o u n t a b l ea n df u l lo r d e r ，a n dt h e r ee x i s t sm a p p i n g w i t hm o n o t o n eo r d e r p r e s e r v i n gb e t w e e na n yt w oe q u i v a l e n ts u n s e t so fx ，a n d e x i s t s 。o xs u c ht h a tn = f z x l z x o ，b = 。x | z z o a r ee q u i v a l e n t s e t sw i t hx ，i f o t 2 ( x ) = 血o t ( x ) i i s1 - l ，x r a n 出i si n f i n i t e ) 0 r ( x ) ； t h e n0 疋( x ) 譬口q i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h er e g u l a r i t yi nl i n e a ro r d e r e d i y a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w 3 些垄堕堇盔堂塑堂垡堡窒 p r o p o s i t i o n3 1l e t0b ea no r d e r p r e s e r v i n gl i n e a ri s o m o r p hf r o mv t o1 7 w ed e f n em a p p i n g 妒： ( o l d ( f ，形) ，0 ) 时o l d ( 1 7 ) b y 口面= a o f o rv a o l d ( v ，w ) ；t h e n 妒i sa ni s o m o r p hf r o m ( o l d ( 1 7 ，咖) ，0 ) t oo l d f i e ) ： s o ( o l o ( v ，形) ，0 ) 兰o l d ( 矿) t h e o r e m3 2o r d e r e ds e m i g r o u p ( o l d ( v ，w ) ，0 ) i sr e g u l a ri fa n do n l yi f v = o ) o rw = o ) o r0i sa na no r d e r p r e s e r v i n gl i n e a ri s o m o r p hf r o m 刃协1 7 i nc h a p t e r4 ，w et h i n ko fo - m i n i m a lq u a s i i d e a li nac a s so fl i n e a ro r d e r e d t r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u pt h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w t h e o r e m4 9 i f ( o l f ( v ，w ，k ) ，日) o ) ，r a n 延k e rpa n dr a n0 垡 k e r a t h e nt h ef o l l o w i n gt w or e s u l t sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ( d ) 口i sa0 - m i n i m a lq u a s i i d e a lo f ( o l f ( 1 7 ，w ，k ) ，日) ； f 2 ) r a n kq = 1 t h e o r e m4 i1l e t0 0 ，i nan o n e z e r oo r d e r e dt r a n s f o r m a ，t i o ns e m i g r o u p ( o l f ( v ，w ，k ) ，0 ) ，e v e r y0 - m i n i m a lq u a s i i d e a li sa0 - m i n i m a li d e a li fd i m 矿：d i m 形= l t h e o r e m4 1 3l e t0 0 ，e v e r yn o n e z e r oo r d e r e dt r a n s f o r m a t i o ns e m i g r o u p ( 0 上，t ( y ，w ，贸) ，日) c o n t a i n sa0 - m i n i m a lq u a s i ，i d e a l i nc h a p t e r5 ，w eg i v es o m ep r o p e r t i e so fr e g u l a rc o m l n u t a t i v eo r d c i e ds e m i g r o u p sr e l a t i v et ot h e i rp r i m ei d e a ls t r u c t u r ea n da l s og i v es o i t i er e l a t i o n sa m o n g t h en o e t h e r i a n i t y ：a r c h i m e d e a n i t y ，r e g u l a r i t ya n dt h ef i n i t e l yg e n e r a t e dp r o p e r t yi n t h ec l a s so fc o i n m u t a t i v eo r d e r e ds e m i g r o u p sw h i c ha r en n i o n so faf i n i t en u m b e r o fp r i n c i p a li d e a l s t h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w t h e o r e m5 5l e tsb ear e g u l a rc o m m u t a t i v eo r d e r e ds e m i g r o u pa n dhb e , t h ec o l l e c t i o no fa l li d e a l so fs ，w h i c ha r en o tp r i n c i p a l ( f i n i t e l yg e n e i a t e d ) i d e a l i fh - 0 ，t h e nt h e r ee x i s t sap r i m ei d e a lo fsi n 日 c o r o l l a r y5 1 1 l e to r d e r e ds e m i g r o u psb ea r c h i m e d e a na n dr e g u l a rw i t h s = u ( 翰s 1 _ s u p p o s eo ( w a s l f o ia l l 。s ，w h i c hi sn o ti n ( a l a 2 a ，。 ， w h e r ea f ( z s t i = 0 ，】：2 ，) t h e ns i s f i n i t e l yg e n e r a t e d 4 些型堇盔堂堡主堂焦堡塞 i nc h a p t e i6 ，w es t u d yt h eb qp r o p e r t yi n p a r t i a lt r a n s f o r m a t i o ns e r e i g r o u p ，a n dg e ts o m es u b s e m i g r o u p sw i t hb qp r o p e r t yi np a r t i a lt r a n s f o r m a t i o n s e m i g r o u pt h em a i nr e s u l t sa r eg i v e ni nf o l l o w t h e o r e m6 8 b ( x ) = 缸p ) x r a nai sf i n i t e ) i sas u b s e m i g r o u p o f p ( x ) ，a n d 尸3 ( x ) b qi fa n do n l yi f xi sf i n i t e 。 t h e o r e m6 9 p 4 ( x ) = a p ( x ) l 口i s1 - 1 ，x r a n 血i sf i n i t e i sa s u b s e m i g r o u po fp ( x ) ，a n d 局( x ) b qi fa n do n l yi fxi sf i n i t e k e y w o r d s ：b qp r o p e r t y , m a p p i n gw i t ho r d e r p r e s e r v i n g o r d e r e dt r a s f o r m a r i o ns e m i g r o u p ，o - m i n i m a lq u a s i i d e a l ，p a r t i a lt r a n s f o r m a t i o n c l a s s i f i c a t i o n ：0 15 2 7 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言及预备知识 5 1 1 引言 由于变换半群在半群理论中的重要性以及它在其他领域，尤其是在理论计算机 方面有广泛的应用，多年来它已被人们广泛深入地研究，且仍为当今的研究热点之 一所谓半群的b q 性是指半群中拟理想集合与双理想集合一致的这种性质关于 变换半群的b q 性问题，近期许多学者做了大量的研究工作其中泰国的y u p a p o r n 在文献 13 】中研究了完全变换半群的若干子半群，并找到了一些具有b q 性的子半 群y u p a p o r n 和n a m n a k 在文献 1 5 中刻化了线性变换半群l ( v ) ，并在l ( v ) 中考虑 子半群g ( v ) = d l o s ) a 为同构 ，j ( v ) = ( n ( v ) ja 为1 一1 ) ，e ( v ) = 。l ( v ) i r a nn = 矿) ：证明了子半群m ( v ) 及e ( 1 7 ) 当且仅当d i m v 有限时具有b q 性并在此 基础上一步考虑了子半群a m ( v ) = ( 1 1 l ( v ) ld i m ( k e r ) c z 有限) ，a e ( v ) = l ( v ) l d i m ( v r a i la ) 有限) 同样指出子半群a s ( v ) 与a m ( v ) 当且仅当d i m v 有限时具有 b q 性另外在文献 2 5 】中，y u p a p o r n 讨论了推广的线性变换半群陋r ( 1 ，眦) ，0 ) 中 的零极小拟理想，同时指出每一个非零半群( l ，( 1 嘎) ，0 ) 中均存在一个零极小拟 理想 本文将以上取得的结果推广到了序半群中，另外在线性变换序半群中研究了其 正则性，讨论了一类序半群的性质，最后研究了部分变换半群的b q 性 5 1 2 预备知识 称偏序集( x 蔓) 为全序的，若v a ，be x 均有。b 或b 。设( x ，) ，( 】j ) 为两 个全序集，这里，曼既表示x 上的偏序又表y 上的偏序，尽管两者一般是不同的，我 们这样做不会产生混乱设a 为x 到y 的映射如果对v z ，y x ，有x 茎y z 。墨y a ， 则称o z 保序；如果对v z x ，有。“z ，则称“为递增的 对一个保序映射o d 用r a nn 表示n 的值域，k e r n 表示。的核，d o r a 。表示a 的 定义域，r a i t ka 表示r a i l 的维数 序半群( s ，茎) 是一个半群，同时又是一个偏序集合( s ，) 使得对。，b ，z s ，o 曼 b 辛x a x b ，。z 曼b z 设4 为序半群( s ，墨) 的一个非空子集，且a 关于s 上的乘法， 和s 上的偏序! 作成一个序半群，则称a 为序半群s 的子序半群， 现在假定偏序集集合x 是全序的，我们考虑集合x 上的所有变换构成的集合 r ( x ) 的子集合o y7 ( 硼= f ? ( x ) 1 8 保序) ，在o t ( 五) 上定义一种偏序关系! ： 口鲁v o x ，o0 = z 口 6 山东师范大学硕士学位论文 在集合o t ( x ) 上定义乘法+ 为映射的合成任取雹卢o 丁c x ) ，曩x 设。 z o ) 与x 等 势，若。珏( x ) o r ( x ) ，则o b ) 不具有b 0 性 山东师范大学硕士学位论文 证明因为i a i = 俐= 吲且x 是不可数的，所以存在g b ，使得c = b = b c 取阿x ，这里w 可数，由x 是不可数的知i x w l = i x f 由题设我们取ax 。- 4 为递减保序双射，口：x _ + b 为递增保序双射，则 n ，口o 玛) 取：b _ c 为保序双射，如下式定义7 ： 。 = ：；一1 卢。 ：；三! 则 是保序的因为不妨设z 。z ：，如果钆z 。同属于a 或同属于b ，则 显然是保 序的否则若。1 a ，z 2 b ；即z 15z os 。2 ，那么x l = z 1 。一1 加ea 声2 a = x 2 曲b 从而z l s 如茎z 2 a ，即 是保序的既然a n b = 0 ，a 是1 - 1 的，并且r a n a u c ， 那么x r a na 三五( auo ) = b c ，所以i x r a na f i b c l = i x l ，从而 o 码( z ) ，由 定义a i 。= 0 2 - - 1 卢o ，习b 么卢血= d a d 死( x ) an d o 马( z ) ( 0 1 ) 口，如果卢o ( a ) b ，由 ( c o 沪( c x o t 2 ( z ) c , u0 1un 2 知有三种情况， 情况1 ：口a ! n ，由口是保序且1 - 1 的知p51 。，即z 口s 。，而由3 的递增性知 z 卢2z 从而z 声= z ，r a n f l = x ，r a n ? = 0 这与p o 乃旧) 是矛盾的， 情况2 ：触! 舻，则口! ，由卢的r 性知r a n f i r a l 3o l ，从而矾r a n 口三矾 r a no ，即l x r a n 口1 l x r o 。i in i ，但是x r & 1 1p = w 是可数的，而烈r a n “= b 是不 可数的，矛盾 情况3 ：触( 。o 死) a ，那么风! c d , a ，其中a o 乃伍) ，由a 是保序且1 - 1 的知口5a ，再由f 的r 性知r a n 口c _ r e a l a a 所以 w = 五r a i l 卢2 x r a i la ad 丑 ( r a n 。) a = ( x r a no ) ( 既然a 是1 - 1 的) 则i w l i 口a i ，而这是不可能的，既然w 是可数的，而b 是不可数的从而a ( a ) 。， o 码( x ) 不具有b q 性口 山东师范大学硕士学位论文 2 2线性变换序半群的b q 性 引理2 2 1v 是全序线性空间，日，l n 是v 的基b 中的任一组基 向量若对任意一组向量a 。，。z ，az ，l n 满足 fff2 = i e i 茎k l e 。辛挪：s 椭 1 = 1t = 1 2 = lt = 1 则存在唯一的保序线性变换7 ，使研= 。l ，i = 1 ，2 ，l 证明定义7 如下： 钾= 即，f = 砒。矿 下证1 为保序的取n ，b v ，不妨设。茎b 则。：量琢：，b ：曼仍。，不妨设 1 = 1 j = 】 “e 1 _ e 。互不相同令 = z = 1 n 疗= e ，= lm 则n ，b 可分别表示 为： n = 盈 m + n b = h i = l 因为。兰b ，所以矗 ! 由题设知a 7 b 7 易见7 是线性变换且是唯一 一 仁1t _ 1 注由引理2 2 1 知满足引理条件的全序线性空间上的保序线性变换由它在1 ，的 基上的作用唯一决定 设v 是一定义在数域f 上的全序线性空间，定义l ( v ) 是v 中的全体线性变 换构成的集合，o z ( v ) = f o 工( 1 侧n 保序) ，并在其上定义映射间的偏序关系 三：。! 口甘v v e ”a 茎”口；容易证明o l ( v ) 关于偏序关系三和以映射的合成作成 的乘法构成序半群，我们称此半群为线性变换序半群现在我们将研究线性变换序 半群中的一些子序半群的b 0 性，考虑o l ( v ) 中的子半群o d ( v ) = o l o l ( v ) l t , a ” 对v v v ) o d ( v ) 是正则的，这是因为对任意的”v l “，卢eo d ( 矿) ，有”a v r x f l o r = ， 由偏序关系三定义知凸- 兰叩。，从而o d ( v ) 是正则的这样在序半群o l ( v ) 中存在 正则子半群，用t o l ( v ) 表示o l ( v ) 中的取定一个正则子半群 定义2 2 2 设1 ，为全序线性空间，若 1 ) v 满足引理2 2 l 中的条件； 2 ) v 中的数乘与加法都与、，上的偏序关系茎相容 则称v 为强全序线性空间，记为矿 山东师范大学硕士学位论文 引理2 2 3 设集合 1 4 吖( 刃= 恤r o l ( 即fd i m ( k e r 口) 是有限的) o m ( v ) = 。r o l ( v ) ld i m ( k e rq ) 是无限的) v 是无限维的 则a m ( 矿) 和。村) 分别是冗。厶缈) 与r o l ( v ) 的子序半群 证明我们只需证明a m ( 矿) ，o ( 、，) 分别是r o l ( i ) 与r o l ( v ) 中的子半群即可 易见d i m ( k e ro 卢) = d i m ( k e r 口) + d i m ( k e r 卢nr a z 口) 兰d i m ( k e rd ) + d i m ( k e r 口) ，由 此可知道a m ( v ) 是r o l ( 9 ) 的子半群 因为对v a p r o l ( v ) 有k e r 口p 三k e r c r ，从而o m ( v ) 为r o l ( v ) 的子半群口 引理2 2 。4假设b 是v 上的基，b ，坎u 彤：m ：地，“。( b 钆“。) 那么口。一，v 2 一u 2 ，口。一u 。在域f 上是线性无关的 证明设r l ，r 2 1 f 而且 r 1 ( 1 一1 ) 十t 2 ( v 2 一“2 ) + + r n ( v n 一n ) = 0 7 1 u 1 + r 2 v 2 + r n u n = 7 1 u 1 + r 2 u 2 + r n u n 而对于v a b ， n = 0 从而r l 。1 + t 2 v 2 + r n 口n = f i u i + 您? + 一+ r r l ? _ = 0 由饥0 = 1 ，2 ，n ) 是线性无关的我们知道n = 0 0 = 1 ，2 ，n ) 因此w ，一乱l ，”。一u 。：”。一u 。在数域f 上是线性无关的口 定义集合0 1 ( 9 ) = a t o l ( 9 ) l a 具有r 性) 定理2 2 5设d i m ( 矿) 是可数的，a m ( 矿) o a ( 9 ) 则序半群a m ( 9 ) 具有b q 性当且仅当d i m 矿有限 证明若d h n 矿是有限的，则a m ( p ) = i o l ( 9 ) 由r o l ( 9 ) 正则知其具有s q 性 反之，若d i m ( 9 ) 是无限可数的，取1 ：7 的一组基 口= “。f n n ，i 茎j ；u 。呦) 由如下三式分别定义n ，- y ： v o e = 乱2 t tu = u n 礼； 卢= u n + 1u = n n ； v 7 = u n 2u = n n 由引理2 , 2 1 知a ，卢，1 均为保序的，由强全序线性空间矿的性质知n ，声7 均为 正则的，再由q ，p ，7 是1 - 1 知d ，口1 a m ( v ) n 卢n = 1 此n + 2 = n c r 丁 4 山东师范大学硕士学位论文 这样 o l 卢“= 血7 ( a 矿( v ) d n q a m ( f z ) 】( 口) 。 假设口a ( a ) 6 ，贝0 口n ! n a ( a j ( 矿) ) 由n 是l 一1 的知口! d a 由假设口o r ( 矿) ，从而b f u l ) = 且卢卢。a = ( 矾，t t 3 ，u 。】) a 令u 。= u 2 n 一1 ，那么 a ， 从而由 v = + 知 v = a + r u l ， 这样对v n n ，j u 。 ，。r 使得 “j n a = u n + o n “l 这样对v n n ，。一 。) 由引理2 2 4 知 u 。一n d n i n ) 是数域f 上线性无 关的，而且“。q 屿，i j 令w = 秀b 么 a w ：w 从而d i a lr a i ln l w ) 1 而由d i m w = d i mk e r ( 1 w ) + d i mr a i l ( 1 w ) 知d i mk e r ( a l w ) 是无限的又k e ra 三k e r ( a 1 w ) ，因此k e r 是无限的，这与假设a 4 m ( 矿) 是矛盾 的，即( ) 。不包含于( a ) b ，从而a m ( 矿) 不具有b q 性因此a m ( 矿) 具有b q 性当 且仅当d i m ( 旷) 有限口 定义o r ( v ) = 恤r o 三( 矿) f 具有r 性 ，由引理218 知o r ( v ) 为r d _ l ( v ) 的 子序半群 命题2 2 6 若o m ( v ) o r ( 1 ，) ，则o m ( v ) 既不是左零单，也不是右零单的 证明d i mv = d i mk e rd + d i mr a n 。，。o r ( v 1 对于v t n ，取集合a k = ( 口o 冗( v ) fd i m r a n c t - 耳) 则a o m ( v ) 下面 证明a ，是o m ( v ) 中的理想 只寸- v d a k ，卢o m ( v ) ，由l r a n 凸芦isr a n fsk ， r a m 卢a f 茎ir a n 。f 曼知 口，d 口a k v t o m ( v ) ，且t ! o z 男口么由t o m ( v ) o r ( v ) 知j r a nz 茎ir a na i 曼k ，从 而t a 综上所述a x 是o m ( 1 ，) 的一个真理想这样o m ( 1 ，) 既不是左零单，也不是右 零单的口 山东师范大学硕士学位论文 命题2 2 7若o m ( v ) o r ( v ) ，则o m ( v ) 是o r ( v ) 中的右理想 证明v a o m ( v ) ，口o r ( v ) ，由k e ro f ld k e rn 知k e r 卢是无限的，这样 o o m ( v ) 对y t , o r ( v ) 且t ! q ，由半群o n ( v ) 的性质知r a i lt r a no 由d i mv = d i m k e r t + d i mr a nt 知d i mk e r _ d i mk e ra ，从而t o m ( 。叼 这样由序半群中右理想的定义可知o m ( v ) 是o r ( v ) 中的右理想 口 命题2 2 8序半群o m ( v ) 具有b q 性 证明我们只需证明( x ) 。) 6 即可任取n 伍) 。，则。( o m l ( 1 ) 捌n ( x o m l ( v ) 】_ 从而存在口，q o m l ( v ) ，a ，7 x 使得! p 7 ，而且。! 蛔 1 若= 1 x ，则n ! a x ，从而o le 僻) b 2 若q 1 x ，则由r o l ( v ) 是正则的知存在，r o l ( v ) ，使得n 三a 。n 这样。5 。】。兰加l 所由k e r , l a l _ d k e r t 且q o m ( v ) 知q 1 o m ( v ) ，从而 a 1 n l p 7 x o m ( v ) x ，目| o ( x o m ( v ) x 】( x ) 6 由d 的任意性知( x ) 。( x ) b ，从而序半群o m ( v ) 具有b q 性 口 山东师范大学硕士学位论文 第三章线性变换半群的正则性 设矿，形是除环d 上的强全序线性空间，同日寸矿满足矿到矿的保序变换也是正则 的所有矿到矿的保序线性变换构成的子半群记为o l 。( 矿) ，由矿的性质知是o l 。( 矿) 是正则的用三口( 矿，形) 表示矿到影的所有线性变换，o l d ( 矿形) ： 。l d ( 矿，g v ) j 。 保序) 取定p o l d ( w ，矿) ，在o l d ( 9 ，帚) 上分别定义乘法s 和偏序关系j 如下： 0 5 声带 o o d 口v v 矿 则o l d ( 9 ，谛) 关于乘法+ 和偏序关系! 作成序半群，记为( o l 。( 矿，形) ，目) 本章主 要考虑线性变换序半群( o l d ( 1 7 ，雨) ，口) 的正贝小眭 命题3 1 如果0 是一个从雨到伊的同构保序线性变换，我们定义映射妒 ( o l d ( v ，咖) ，日) h0 c d ( 矿) 通过 血曲= d 日 对v a o l d ( 9 ，彬) ；则妒是一个从( o 工d ( 1 f 7 ，谛) ，口) 到。工d ( 矿) 的同构映射，因 此( 0 l d ( 矿，帚) ，疗) 兰o l d ( 矿) 证明v n ，卢o l m ( f f ，雨) ，( 。卵) 母= 。目印= ( o 妒) ( 口咖) 从而t f i 是一个同态映射；对 于a ，口o l d ( 矿，形) ，a o = 口日我们就有a 0 0 1 = 口卯一，即= 口因此心是1 - 1 的；如果 血o l d ( f , ) 那么a o 一1 o _ l d ( 矿，雨) 并且口日一1 讪= 因止匕r a n 咖= o l d ( 矿1口 定理3 2 序半群( o 三口( 矿，c v ) ，目) 是正则的当且仅当矿： o ) 或咖： o ) 或0 是 一个从帚到矿上的同构保序线性变换 证明如果矿= o ) 或谛= 0 那么i o l d ( 矿，市) i = 1 ，n i t k 结论是显然成立的 如果。是一个从雨到矿上的同构保序线性变换，那么由命题3 ：i 得( o l 。( 旷，雨) ，日) ! o l d ( 矿) 由题设d l 。( 口) 是正则的，我们知道( o l 。( 矿，w ，) ，o ) 也是一个正则序半群 相反地，如果假定矿 o ) ，w o ) ，o 不是一个从彬到矿上的同构映射，那 么r a n0 矿或k e r0 o ) 如果r a n 0 矿，既然1 市i 1 ，则市含有一个非零元u ，不妨设u 0 取蜀 是r a n 0 的组基；b 2 是矿的一组基满足b 。b 2 ，由于r a n 0 矿，所以b 。b 2 由 下式定义n ： 由b i 理2 2 1 知口o l 。( 矿，访) 5u b 1 ： u 口日l 7 玩e 山东师范大学硕士学位论文 而r a nd = 即由u 张成的空间由r a i lp 此对v 口o l d ( 旷，彬) 有a o 卢o a = 0 取u b 2 b 1 ( 0 l d ( p ，形) ，目) 中不具有正则性 情况2 ：k e r 日 0 ) ；取ue k e z 0 不妨设u 0 a=uv v b ，b 】血= 0 ，知弛= 0 因 贝0u = u 。 u 。声凸= ，因此d 在 由v 0 知b d ，如下式定义o l 由引理2 21 知o o l d ( 矿，咖) 由o = 的定义形式知r a na = 而u p = o ，由线性 变换的性质我们有a 日= 0 也就是说对任意的月o l v ( v ，形) 有。日口触一0 ，从而对任 意的 b ， 。 d 目口目d ，这样o t 不是o l d ( 矿，形) 的正则元口 山东师范大学硕士学位论文 第四章一类线性变换序半群的零极小拟理想 a 二! e ， x a x ，| 5 y x e x ；芝篓；+ 。+ ，v 7eo l f ( v , w ) u p u 、u b o ，、【 = 口 些查堑垄盔兰塑主兰焦堡塞 一。篡誊l 由引理2 2 1 知p o l f ( _ t 2 ，彬) 7 o l f 、( 市，彬) r a n k 卢= 1 ，d + 7 o l f ( 9 ，谛) ，r a n k 。+ 1 曼r a n k l = 1 ，因此+ 7 o l f ( 矿，w ，k ) 由炒和1 的定义得v , 7 0 。= a - 1 。口口= a - 1 。= ( 1 - 1 n h = “= “卵 既然r a i lo = f u ，那么由引理4 3 知n 佃“= 。= o 卵因此对v b f v t ( f “ 就 有 t ! b o = ( b a t ) 0 a = 。目( b p ) ( o l f ( f z ，市，) 目q n 0 0 0 l f ( 9 ，雨，) ( n ) 。 相反的，a ( “) g ，则a ! 口或a 即且 曼q 口口其中p ，r i o l f ( r z 缈k ) ( 1 ) 如果a