（理论物理专业论文）复杂网络之间的混沌同步研究.pdf

，lqv ： ht1。l，r 。，_，r、；、，b， lll啦耳o， 一、。气 fli嚣1l量誊_lii颦龌器*it飞， t 1，l；， 嗨乒鼍。谚曹蛋；彳和誓。l视呵 fjk：，ft】、 l l ： 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和 致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的 启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：建歪鱼 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名：兰臣醯 指导教师签名：受纽卫 签名日期： 训1 年朋习日 ia1；，啊 irlllhlll【iril 吣 1 j ，j1， 辽宁师范大学硕士学位论文 摘要 自1 8 世纪著名的“七桥问题”提出以来，复杂网络理论经过两个世纪的快速发展目 前已经成为科学研究的热点。现实中存在着大量的复杂网络，如交通网、i n t e r n e t 、人际 关系网、生物链网等等，各学科的科学家对本领域的复杂网络进行研究发现了复杂网络 大量的统计特性。复杂网络的结构非常复杂，不同结构的复杂网络的非线性动力学行为 不同，这些非线性动力学行为内容十分丰富并且趋势不易预测，如何认识这些动力学行 为的本质特征，并且能更好的利用这些特征，控制网络的干扰，为人类服务是研究复杂 网络的重点，其中如何使网络同步是科学家研究的主要方向之一。 本文概述了复杂网络的基本概念、复杂网络的研究内容以及研究意义，并在此基础 上研究复杂网络之间的同步问题。首先进行了节点互异的两个复杂网络之间的广义混沌 同步研究。选取多维混沌系统中的两维动力学方程构造节点不同的复杂网络。基于 l y a p u n o v 稳定性理论，设计了两个网络节点状态变量之间的误差方程，实现了两个网 络间的广义混沌同步。分别以统一混沌系统设计环形网络和以超r o s s l e r 混沌系统设计 星形网络为例，计算机模拟证明了该方法的有效性。在此基础上研究了非线性耦合的连 续型时空混沌的异结构网络间同步的问题。对时空系统方程的线性项进行配置，基于 l y a p u n o v 稳定性理论，设计了网络间的非线性耦合方式，推导出了网络误差方程，实 现了时空混沌网络间的混沌同步。以k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 连续型时空混沌系统为节点， 选择单向连接的环形与星型网络间同步为例，计算机模拟证明了该方法的有效性。 关键词：广义同步，复杂网络，l y a p u n o v 定理，时空混沌，数值模拟 ， 、lj ， l j 复杂网络之间的混沌同步研究 s t u d yo nc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nc o m p l e xn e t w o r k s a b s t r a c t s i n c et h ef a m o u s s e v e nb r i d g ep r o b l e m ”h a sb e e np r o p o s e di nt h e18 t hc e n t u r y , t h e t h e o r yo fc o m p l e xn e t w o r kh a sb e c o m eah o t s p o ti ns c i e n t i f i cr e s e a r c ha f t e ri t st w oc e n t u r i e s d e v e l o p m e n t al a r g en u m b e ro fc o m p l e xn e t w o r k se x i s ti nr e a l i t y ，s u c ha st r a n s p o r tn e t w o r k ， i n t e m e t ，i n t e r p e r s o n a lr e l a t i o n s h i p s ，b i o s p h e r ea n ds oo n m a n ys t a t i s t i cc h a r a c t e r sh a v eb e e n f o u n di nc o m p l e xn e t w o r k sa f t e rs c i e n t i f i cw o r ki nd i f f e r e n tf i e l d s t h es t r u c t u r eo fc o m p l e x n e t w o r k si sc o m p l i c a t e d ，a n dt h en o n l i n e a rd y n a m i cb e h a v i o ri sd i f f e r e n ti n c o m p l e x n e t w o r k sw i md i f f e r e n ts t r u c t u r e s n o n l i n e a rd y n a m i cb e h a v i o ri se x t r e m e l yr i c ha n dt h e t r e n di sn o te a s yt op r e d i c t ，t h e r e f o r e ，h o wt og e tt h ee s s e n t i a lf e a t u r e so ft h ec o m p l e x n e t w o r k sa n dm a k eab e t t e ru s eo ft h e mh a sb e c o m eak e yp o i n ti nt h es t u d yo fc o m p l e x n e t w o r k s ，i nw h i c h ，n e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o ni so n eo ft h em a i nd i r e c t i o n s t h eb a s i cc o n c e p t o fc o m p l e xn e t w o r k s ，t o g e t h e rw i t ht h ec o n t e n t sa n dt h es i g n i f i c a n c eo fr e s e a r c ha r ep r e s e n t e d i n t h i sp a p e l a n ds y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nc o m p l e xn e t w o r k sa r ef u r t h e rs t u d i e d g l o b a l s y n c h r o n i z a 蛀o nb e t w e e nc o m p l e xn e t w o r k s w i t hd i f f e r e n tn o d e si sf i r s ts t u d i e da n d t w o - d i m e n s i o n a lc h a o t i cs y s t e m sa r eu s e dt oc o n s t r u c td i f f e r e n tn o d e so fc o m p l e xn e t w o r k s 们1 ee r r o re q u a t , i o i l sb e t w e e nt h ev a r i a b l e so ft w on o d e si nt h en e t w o r k sa r ed e s i g n e db a s e do n t h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y , a n dg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt w oc o m p l e xn e t w o r k si s r e a l i z e d r i n gn e t w o r kw i t ht h eu n i f i e dc h a o t i cs y s t e ma sn o d e sa n ds t a rn e t w o r kw i m h y p e r c h a o t i cr 6 s s l e rs y s t e ma sn o d e sa r et a k e na se x a m p l e s 。a n ds i m u l a t i o ni sm a d et os h o w t h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d n e t w o r ks y n c h r o n i z a t i o no fn o n l i n e a rc o u p l i n gc o n t i n u o u s s p a t i o t e m p o r a lc h a o si ss t u d i e do nt h eb a s i s l i n e a rc o n f i g u r a t i o ni sm a d ea c c o r d i n gt ot h e l i n e a ri t e mo ft h es p a t i o t e m p o r a lc h a o ss y s t e m s ，n o n l i n e a rc o u p l i n gm e t h o di sp r e s e n t e d b e t w e e nn e t w o r k si sd e s i g n e db a s e do nl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ，t h ee r r o re q u a t i o ni sg o t ， a n ds p a t i o t e m p o r a lc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nn e t w o r k si sr e a l i z e d t h ek u r a m o t o s i v a s h i n s k yc o n t i n u o u ss p a t i o t e m p o r a lc h a o ss y s t e m sa r eu s e da sn o d e s u n i d i r e c t i o n a lr i n g n e tw o r ka n ds t a r - n e t w o r ka r et a k e na se x a m p l et ov e r i f yt h ee f f e c t i v eo ft h e m e t h o d k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ；c o m p l e xn e t w o r k ；l y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y ； s p a t i o t e m p o r a lc h a o s ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n i i kf 辽宁师范大学硕士学位论文 目录 摘要i a b s t r a c t i i l 绪论l 1 1 复杂网络的概述。l 1 1 1 网络理论的发展史1 1 1 2 复杂网络的简介2 1 1 3 复杂网络的统计特征3 1 1 4 复杂网络的类型一5 1 2 复杂网络研究的意义一7 1 3 复杂网络研究内容及进展8 1 4 本文的工作o 9 2 复杂网络的同步1 0 2 1 复杂网络的同步10 2 1 1 复杂网络同步的意义及进展1 0 2 1 2 复杂网络同步的数学模型1 0 2 2 复杂网络的同步判据1 2 2 2 1 主稳定函数法1 2 2 2 2l y a p u n o v 函数法1 3 2 3 复杂网络同步方法l5 2 3 1 连接图法1 5 2 3 2 节点状态不同的加权网络同步1 6 2 3 3 非线性耦合的星型网络同步1 7 2 3 4 环形加权网络的时空混沌延迟同步1 7 2 4 复杂网络之间的同步研究1 8 3 节点互异的两个复杂网络之间的广义混沌同步一2 0 3 1 引言2 0 3 2 同步原理2 0 3 - 3 数值模拟2 2 3 3 1 统一混沌系统构造两个环形网络的广义同步2 2 3 3 2 超r 6 s s l e r 混沌系统构造两个节点互异的星形网络的广义同步2 6 3 4 结论3 0 复杂网络之间的混沌同步研究 4 非线性耦合时空混沌的异结构网络同步3 l 4 1 引言3l 4 2 同步原理3 1 4 3 数值模拟3 3 4 4 结论3 7 5 总结与展望3 8 5 1 总结3 8 5 2 展望3 8 参考文献3 9 攻读硕士学位期间发表学术论文情况4 3 致谢4 4 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 1 绪论 1 1 复杂网络的概述 1 1 1 网络理论的发展史 当今时代人们正处于一个充满网络的世界中，万维网、社会关系网、神经网络、经 济信息网、交通网、电信网等等。随着社会的进步和科技的不断发展，人们已经意识到 网络的地位越来越重要，网络理论已经成为2 1 世纪科学研究的趋势和热点之一。 网络理论研究主要有三个阶段，第一个阶段，规则网络的研究是网络理论的萌芽阶 段开始于数学图论的研究，1 7 3 6 年，瑞士大数学家e i i l e r 把欧洲著名的“k o n i g s b e r g 七桥 问题”抽象并且加以论证，开创了数学中的一个分支图论，并因此被称为图论研究 之父。网络的研究在某种程度上与欧拉研究图论的方法是一脉相承的，人们把欧拉对七 桥问题的研究看作网络研究的起剧。 b 图1 1k o n i g s b e r g 七桥问题 复杂网络之间的混沌同步研究 第二阶段，1 9 6 0 年匈牙利数学家e r d s s 和r e n y i 提出了随机图理论【2 】，建立了e r 随机图模型，用简单的随机图来描述网络，大大的推动了图论的发展并在数学上被认为 是真正开创了复杂网络系统性的研究。随机图理论至今仍然是复杂网络研究的最基本的 理论之一。 第三阶段，1 9 9 8 年c o m e l l 大学的w a t t s 和s t r o g a t z 在n a t u r e 发表了“小世界”网 络的集体动力学揭示了复杂网络的小世界效应【3 1 ，1 9 9 9 年n o t r ed a m e 大学的b a r a b f i s i 和a l b e r 在s c i e n c e 的随机网络中标度的涌现描述了复杂网络无标度特性【4 1 ，这两篇 文献分别建立了小世界网络的模型和无标度网络，并且解释了网络特性的产生机理，开 创了复杂网络研究新纪元。在此以后，复杂网络的研究取得了突破性的进展，研究文章 层出不穷，从物理学到经济学，从社会人际关系到科学技术的发展，复杂网络的研究受 到了广泛的关注【5 - 1 0 1 。 1 1 2 复杂网络的简介 所谓网络就是节点和连接这些节点的边组成的系统，节点代表个体，边表示连接的 关系。现实生活中的网络比较复杂，网络的节点和边的数目庞大，节点是类型不同的非 线性的动力学系统，网络结构错综复杂，连接方式多种多样，网络随着时间和空间演化 的复杂多变，能够展示丰富多彩的时空行为，出现混沌、分岔等现象，具有复杂的统计 特性。另外，网络也受多种多样的不确定因素的影响。因此我们称这些实际的网络为复 杂网络。 图1 2 蛋白质构成的复杂网络 2 辽r j 。师范人学硕士研究生学位论文 一个实际的复杂网络在数学上可以抽象为一个由点集彳和边集b 组成的图 c = 0 ，b ) 。节点数和边数可分别记作= i a l 和m = l b i ，b 中每一条边都能在y 中找到 一个点与之对应。当任意点9 j ) 与( ，f ) 对应同一条边时，该网络称为无向网络，否则， 称为有向网络。当每一条边增加了相应的权值时，该网络称为加权网络，网络的每一条 边的权值是1 的网络称为无权网络，也叫等权网络。 1 1 3 复杂网络的统计特征 人们从不同领域多角度的研究复杂网络，无论在理论模型还是实际模型中都发现了 复杂网络存在着类似的特征。并且在这些网络的特征的基础上提出一些基本的概念。网 络的复杂性使这些特征在研究上有着举足轻重的作用，下面我们来详细介绍。 ( 1 ) 平均路径长度 在一个网络中，连接节点i 和节点，的最短路径上的边的个数称为网络的节点i 和节 点，的之间的距离乙。任意两个节点之间的距离的最大值叫做网络的直径。则 l = m a ) 【乇 ( 1 1 ) 1 ，j 任意两个节点之间的距离的平均值叫网络的平均路径长度，也称为特征路径长度记 做三，即 t 三= r 一乃 ( 1 2 ) 主( - 1 ) 吲 其中n 为网络的节点的个数，平均路径长度反映的是网络中节点的分离程度，即我 们所说的网络有多小。利用( 1 2 ) ，我们就可以计算出一个含有n 个节点和m 条边的 网络平均路径长度。计算发现尽管复杂网络的节点数目庞大，但是网络的平均路径长度 却非常小，我们把这种现象称为小世界效应。平均路径长度是复杂网络的一个重要的特 性，它受到很多因素影响，网络的规模，节点数目，网络的总的边数和连接方式等等。 ( 2 ) 聚类系数 生活中，你的朋友们之间也可能是朋友，这个特性我们称之为聚类，物理上把抽象 对象的集合分成由类似的对象组成的多个类的过程为聚类。假设网络中的任意节点i 用 赶条边与其他节点相连接，这些点就称为节点i 的邻居，那么节点i 的邻居间理论上最多 只能有恕 ，- 1 ) 2 条边。实际上这些网络节点是由以。条边连接的，由此，我们定义节点 f 实际存在的边数与理论上最多的边数屯伍，一1 ) 2 的比值叫做节点i 的聚类系数g ，即 c i = 2 n f k f 眠- 1 ) ( 1 3 ) 复杂网络之间的混沌同步研究 那么整个网络的聚类系数虿就是所有节点f 的聚类系数的平均值，显然0 弓1 ， 当弓= 0 时网络中所有的节点都是孤立的，当时c 一= 1 时网络中任意两个点都是相连接 的，我们用聚类系数来反映网络连接有多紧密，一般情况下聚类系数远远小于1 但要大 于完全随机网络的聚类系数，事实上，很多大规模的实际网络都具有明显的聚类效应， 在某种程度上类似于社会关系网中的“物以类聚，人与群分”。 ( 3 ) 度与度分布 度是关于节点属性的重要概念，我们把与节点i 连接的其他的节点的数目定义为节 点i 的度，记做k ；。一个节点的度越大意味着这个节点的位置越重要。节点度分布是目 前最具代表性的统计的统计量，网络中所有节点f 的度k ，的平均值称为网络节点的平均 度，记为( k ) ，网络中节点度的分布情况可用分布函数尸( 尼) 来描述，尸( 尼) 表示的是一个 随机选定的节点的度恰好为k 的概率。完全随机网络的分布近似为p o i s s o n 分布。有很 多网络分布呈现幂律形式p 似) o ck 。幂律分布也称为无标度分布。当一个度分布具有 适当的幂指数的幂律形式的大规模无标度网络中，大部分节点的度相对很低但存在少量 的度相对很高的节点称为网络的集线器。 p o i s $ o nb i s t f i h u t i o n 图1 3 左图为p o i s s o n 分布右图为幂律分布 ( 4 ) 介中性 介中性有节点介中性和边介中性之分，表示网络中任何两个节点之间的最短路径经 过某一节点或边的总次数，如果连结点之间的最短路径z ，条，则均匀分配在每条最短路上 的次数为1 乃。这样所有节点或者边的介中性就可以统计出来，介中性能反映出相应的 节点或者边在整个网络中的作用和影响力。 ( 5 ) 度和聚类系数之间的相关性 4 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 度和聚类系数之间的相关性用来描述网络间结构的的差异性，它包括不同节点之间 的相关性和节点度分布与其聚类系数的相关性。这两种相关性被认为是网络区别与其他 类型网络的重要特征。 ( 6 ) 网络弹性 我们把网络的节点的删除对网络节点的连通性称为网络的弹性，有随机删除即网络 的鲁棒性分析和有选择的删除即万罗的脆弱性分析。 1 1 4 复杂网络的类型 要理解网络的结构与网络行为之间的关系，改善网络行为，就需要对网络的结构特 征进行了解并在此基础上建立合适的网络结构模型。人们对大量实际网络的进行研究， 提出了各种各样的网络拓扑结构模型，下面介绍几种。 ( 1 ) 规则网络 全局耦合网络 任何两点之间的都有边直接连接的的网络称之为全局耦合网络。在节点数相同的网 络中，全局耦合网络具有最小的平均路径长度l 和最大的聚类系数e = l 。 最邻近耦合网络 每一个节点只和他周围临近的节点相连接的网络称之为最邻近耦合网络。 星形网络 只有一个中心点，其余的点都和中心点相连接的网络称之为星型网。 图1 4 节点数为8 的全局耦合网络，最邻近网络和星形网络 ( 2 ) 随机图 随即图与规则网络完全相反，1 9 6 0 年e r d 6 s 和r 6 n ) ，i 发表了关于随机模型研究的论 文，提出了随机图模型，简称e r 模型。同时提出了两种随机图模型。一种是随机选择 个节点，尺条边的随机图，另一种是选择个节点，连接概率是p 的随机图。随机图具 5 复杂网络之间的混沌同步研究 有很小的平均路径长度，没有明显的聚类特性，它的度分布近似服从p o i s s i o n 分布，因 此也称为p o i s s i o n 随机图。 ( 3 ) 小世界网络 有较短的平均路径和较高的聚类系数的网络称为小世界网络。1 9 9 8 年w a t t s 和 s t r o n g a t z 引入了小世界网络模型：考虑一个节点数为最邻近网络，节点的度为( k ) ， 以概率p 在随机的重新连接网络中的每一个边，并且最多只能有一条边相连，并且每一 个节点不能与自身相连，称为w s 小世界模型。在构造w s 小世界模型中，随机化加边 可能破坏网络的连通性，1 9 9 9 年，n e w m a n 和w a t t s 提出了随机化加边的n s 小世界模 型。小世界模型是构造在规则网络和随机网络之间的一种过渡网络模型，具有独立的拓 扑特征。 ( 8 ) 隧机重连 图1 5 ( a ) w s 小世界模型( b ) n s 小世界模型 ( 4 ) 无标度网络 在网络的研究中人们发现大量的网络连接的度分布就有幂律形式，没有明显的特 征长度，因此称为无标度网络。考虑实际的网络规模不断的扩大，新的节点连接显示了 优先连接的“马太效应”，即倾向于与连接度大的节点像连接，b a r a b a s i 和a l b e r t 提出了 b a 无标度模型。假设1 ，一个含有以。个节点的网络，新连接一个节点时，把网络中的n 个节点与之相连，刀 0 。嘭是表示网络连接方式的耦合矩 阵。例如星形网络双向连接和环形网络单向连接以及最邻近耦合网络的耦合矩阵分别可 以表示为 g i f = q = 一+ l1 l一1 io lo 一2lo l 一21 ol一2 1o 1 oo 。o 01 和g 驴= 1 o o l 一2 11 o1 oo 一10 0o 一1o o1 考虑一个由个相同节点构成的复杂网络，并且节点的状态为连续时间系统，其中 第i 个节点的状态方程为 毫( f ) = 厂g ，o ) ) + q 岛( _ o 户l ( 2 3 ) 式( 2 3 ) 中一o ) = g # ( f ) ；，fo ) ) r ”为节点f 的所维状态变量，7h ( x ，o ) ) 为各个 节点状态变量之间的内部耦合函数，也称为各节点的输出函数，表示出了节点间的连接 的方式，即是“什么样的边”，这里假设边的样式是完全相同。 耦合矩阵g o 表示网络的拓扑结构，并且满足耗散耦合条件g u = 0 ，即所有的节 点状态都相同时，方程右端的耦合项将被抵消。若用耦合矩阵g 。描述无权无向简单图 的拓扑结构时，可以做如下定义，g 妒= g i = 1 表示节点i 和节点j 之间有连接。 g 岔= g = o 表示节点f 和节点j 之间不连接。矩阵的对角元为 ， = 一g 扩= 一g = - k , ，f = 1 , 2 ，n ( 2 4 ) j = lj = l j 粕j 截 其中k 为节点f 的度，g 是一个对称矩阵，如果网络是连通的，那么g 一定是一个不可 约矩阵，并且g 有且仅有一个重数为1 的零特征根，与之对应的特征向量为( 1 ，1 ，1 ) 1 。 复杂网络之间的混沌同步研究 它对应于网络的不不变i 司步流形。而g 的其他特征根均为负实数。且与对应的特征向量 构成的特征空间j 下交于零特征根对应的特征向量。 在复杂网络中，对于任意给定的初值t o 。) 求解t o ) 时满足 劂m ) 一j ，删= o ，i = 1 2 一n ( 2 5 ) 那么就称复杂网络渐进稳定到) ，o ) ，由于是耗散耦合条件，其中j ，o ) 是孤立点的解，满 足y o ) = ( y o ) ) ，y o 。- - - y o 这里y o ) 可以是孤立节点的平衡点，周期轨道，甚至是混沌轨 道。 接着我们提出一种同步的定义，设三= b ：t = x 1 , v i ，力是同步流形，我们称这个耦 合复杂动力学网络是同步的，如果对于所有的f ，j 当t 专o o 时x 趋于集合即 忙一x 川一。成立。 2 2 复杂网络的同步判据 下面我们简要介绍网络同步两种判据，主稳定函数法，l y p u n o v 函数法。这两种判 据是网络同步最基本的也是最常用的。大部分网络同步的方法都是基于这两种方法提出 的。 2 2 1 主稳定函数法 这种方法是p e c o r a 和c a r r o l l 在研究线性耦合振子时提出的关于稳定性问题的方法。 现在称为了网络同步研究最基础的判据。 对于状态方程式( 2 3 ) 关于同步状态y o ) 线性化，令缶为第f 个节点状态的变分， 可以得到变分方程 识：d a y 杪；+ c g u d h ( y ) v ， ( 2 6 ) = l 这里删) 和巧) 分别是厂) 和日) 关于y 的雅可比矩阵，令j c ，= 陟。，y ：，沙】，则 、沙= d y ( y 砂+ c d h ( y 砂g r ( 2 7 ) 记g r = y a y - 1 为矩阵g 的约旦分解，设人为对角矩阵即人= d i a g ( 2 1 ，如知) 。其中 以 竺。是矩阵g 的特征根且丑= 0 。再令彩= ( 0 1 ，g o ：国】= ，则有 西= 巧b + c d h ( y ) ( o a ( 2 8 ) 上式等价于 ， 西= 阿) + c d h t ) k , , ，k = 1 2 n ( 2 9 ) 1 2 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 判断同步流形稳定的一个常用判据要求上式的横截l y a p u n o v 指数全为负值。方程 式( 2 9 ) 中，只有国。和丑与k 相关。考虑到当矩阵g 为非对称矩阵时其特征值可能为 复数，故可以定义主稳定方程 三= 【巧) + 仁+ i f l ) d h ( y ) 】z ( 2 1 0 ) 该方程的最大l y a p u n o v 只是变量口和卢的函数，称为网络的主稳定函数。 给定某一耦合强度c 在o f ，) 的平面上对应的找到一点，该点所对应的最大 l y a p u n o v 正负号反映了该特征模态的稳定性。如果与丑所对应的特征模块都稳定，那么 在整个网络同步流形是稳定的。 下面我们来看一下连续时间线性耗散耦合网络完全同步判据，现在考虑动态网络式 中的内部耦合为线性耦合的情况，这是整个网络可以写成 毫= 厂g ，) + c g u h x j ，f = 1 , 2 ，n ( 2 1 1 ) j = l 内部耦合矩阵取对角矩阵h = d i a g ( s 。，s ：s 。) 尺。它描述了耦合节点变量之间具体的 连接关系。对于动态网络，如果n 1 个n 维的线性时变系统， 西= 【形g o ”+ c 以日b ，k = 1 , 2 ，n ( 2 1 2 ) 是指数稳定的，那么同步流形式( 2 5 ) 也是是指数稳定的。 对于动态复杂网络，假设存在一个刀n 的对角矩阵e 0 ，以及常数芦 0 使 得对于所有的p 矽d 有 阿) ) + 朋n + e 防g ) ) + 】一o t 。 ( 2 1 3 ) 这里j r 为单位阵，如果c 如芦则同步流形式( 2 5 ) 是指数稳定的。对于混沌节点 构成的网络式( 2 1 1 ) ，记孤立节点的最大l y a p u n o v 指数为k 如果h = i n 并且鳓 o 则参考态是不稳定的。 而且有和v 相反 而且矿在c 中取 我们利用函数y 极其全导数华来确定系统的稳定性，我们称函数v 为l y a p u n o v a t 函数。 考虑一个由个节点结构互异的的复杂网络，并且节点的状态为连续时间系统，其 中，第f 个节点的状态方程为 文，o ) = f g ，o ) ) + g ，x i ，x ：石。) ( 2 1 4 ) 其中g ，1 1 ，x ：x n ) 为网络节点间的耦合函数。下面我们定义网络系统状态变量之间的误 差为 q o ) = _ o ) 一t + 。o ) ，f = 1 ，2 ，刀一1 ( 2 1 5 ) 则 色o ) = 毫o ) 一文州o ) = a f + a g ( 2 1 6 ) 其中a f = e g ，o ”一e + ，g 件。o ) ) ，g = g i h ，屯x n ) 一q + 。“，屯吒) 。 令 a g = 一f k ，- + 。) 一如o ) ，万 0 ( 2 1 7 ) 那么 g k = g l + g k ，而+ ) 一万巳o ) = g i + 互“o ) ) 一只o k o ”+ 艿g 。o ) 一x 。o ” ( 2 1 8 ) 构造l y a p u n o v 函数 y = e ；o ) ( 2 1 9 ) 则 矿= - 6 口? 0 ( 2 2 0 ) 1 4 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 2 3 复杂网络同步方法 近年来，科学家发现大量的真实的网络是具有小世界和无标度等共同特征的复杂网 络，人们发现网络拓扑结构的性质对研究耦合动力学系统的影响非常重要，因此着重对 小世界网络和无标度网络的同步问题进行了理论分析，研究了关于网络小世界网络的完 全同步，无标度网络的完全同步及同步最优网络模型，讨论了无标度网络的同步的鲁棒 性和脆弱性。应用上一节两种网络同步的方法的判据，人们在对实际网络的同步进行了 大量的研究，并深入发展了以上的方法，提出了的多种同步方式，例如完全同步，部分 同步、聚类同步、投影同步、广义同步和相同步，还有加权、演化、时滞、非线性耦合 【2 9 1 等等。下面列举几种同步方法。 2 3 1 连接图法【3 0 1 大规模网络的计算则十分繁琐。b e l y k h 提出了将l y a p u n o v 函数法和图论结合，基 于连接图的稳定性方法来研究时便网络的稳定性。 考虑如下动力学方程 毫= 厂b ) + 勖o 慨，i = 1 2 一n ( 2 2 1 ) j = l 这里g = b ；i o ) ) 为t 时刻的网络的耦合矩阵，满足 岛= 一勖，扛1 , 2 ，n ，g 扩= 跏o ，i j ( 2 2 2 ) j 篁l j 截 若节点i 和j 之间有边连接，则岛= g 声 0 。矩阵g 描述了一个含有n 个节点和m 条边的图的网络拓扑结构，m 也就是矩阵g 对角线上所有非零数的个数。 定义两个节点之间状态变量之差= x ，一五，f ，j = 1 , 2 ，n ，则 j 妒：i1 p 坍溉+ ( 1 一k 凇一甲l 舀+ 甲+ 兰g 如尼一戤缸) ( 2 2 3 ) l 0j 4 。 其中新加入的甲为对角矩阵，对网络的干扰可以有网络内部耦合项抵消，那么只要求上 式中第一项稳定， 又扩：in ) f + ( 1 一b ，伽一甲l 蜀，f ，歹：1 ，2 ， ( 2 2 4 ) l oj 定义l y a p u n o v 函数 y = 云胃以扩 ( 2 2 5 ) 1 5 复杂网络之间的混沌同步研究 根据l y a p u n o v 稳定性定理，当满足以上条件时动态网络的同步流形全局渐进稳定。 为了消除变量，定义每对节点( i ，j ) 的路径为弓，路径中边的个数为z 睡) ，那么 吼o ) 熹z k ( 川) ，乙( ，聊) 2 喜z 眈l 尼乃 ( 2 2 7 ) 其中q = 口“a ，k = l ，2 ，研为每条变得耦合系数。 应用这个定理，首先在每一对节点之间找出一条路径，计算路径的长度，并求出所 有路径之和，就可以求出每条边的耦合强度的下界值，一个给定的网络，只要所有边的 耦合强度满足不等式，网络就完全同步。 2 3 2 节点状态不同的加权网络同步【3 l 】 考虑一个节点状态不同的复杂网络的节点状态方程为 南= e k ) + g f “，而x 。) = “一e h ，+ c f b ) + g “，屯，) ( 2 2 8 ) 4 为构造的线性项系数，b l 为e g ，) 的线性项系数，c j 为构造线性项后的其余项，g l 为 耦合函数。 设 岛= 五+ 眠+ l ( 2 2 9 ) 则 ， 考l = i t + c t g r x + l = “一b 1 ) e ，+ 陋一马+ 。) 一“一b l ，x i + 。+ c “，靠) + q ( 2 3 0 ) 其中c g ；，x i + i ) = c ；g ；) + 口c o l g f + 1 ) ，q = g f2 6 , 1 ，x 2 x ) + c t g i + l2 6 1 ，工2 以) 。 令a g = a c ( x , ，靠。) ，则我们可以得出耦合函数的关系 = ( 去卜c b 巾乃) 】 = 一g k ) + 缈【c 1 “) + ( ；l l j = l 2 嗍 ( 2 3 1 ) 取 口，：当，6 0 。：1 1 。 口f = 上，1 2 。 。 彩h i 1 6 ( 2 3 2 ) 62幺x 州纠 缈一 lj ， 到 得 t ， x 0 矿m罗一妙羔糊 为 辽宁师范大学硕士研究生学位论文 构造l y a p u n o v 函数 y = 丢芎o ) 矿：芝妇，一b ，辫+ 【( 彳川一b 川) 一o ；一b i 煅 + 。+ p ， 当g i a i , g m = a i “一a l + g ，时，矿0 ，网络达到广义同步。 2 3 3 非线性耦合的星型网络同步【3 2 】 考虑一个节点状态不同的复杂网络的节点状态方程为 戈，o ) ：如o ) 一召k o ”+ r i 兰g o b ( x j ( t ) l i ：1 ，2 ，2 n b ( x ；o ) ) 为原来状态方程的非线性项，g 为星形线性连接系数矩阵。 令e l = 而一x 2 ， e j = 而一x 1 _ l ，i = 1 , 2 ，n 一1 ， 则 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 从这个式子我们能很明显的看出只要令e t ，e ，前的系数小于零，网络就达到同步状 态。 2 3 4 环形加权网络的时空混沌延迟同步3 3 1 考虑一个由n 个节点相同的时空混沌系统作为节点的复杂网络，其中第1 个节点在 t 时刻的状态方程为 掣= ) ) 托缸_ ( 2 3 6 ) g 甜为单向环形线性连接耦合矩阵 岛= 一1o l一1 0l o0 o 1 o o 一1 o 01一l 1 7 巳 1j 塑缸 坛 d = 一 ； 仇 白 + 门叫d 孙罢 一 一 九 心 b + 4 么 i l = 复杂网络之间的混沌同步研究 假设当x 。( f ，t f 。) = x 2 ( f ，t f ：) = = h ，t f ) = y 时整个网络达到延迟同步，在 同步状态x 附近对网络状态方程进行线性化可以得到 警= 巧慨托豁 ( 2 3 7 ) 其中8 x i 是节点i 在同步状态x 附近的变分，d f 是函数f 的雅可比矩阵的形式，为了计 算简便，表示成矩阵的形式 昙苏= d 厂( y 玲+ c 蠡g r ( 2 3 8 ) 根据约旦标准型理论，对于任意的矩阵g 存在一直正则矩阵，可以将g 转换成约 旦标准型石= 矽。1 g 痧 设矩阵的本征值为，令f = 苏一1 ) r i ，、。以写成 昙f = 阿) + 掣p ( 2 3 9 ) q = o ，= 0 总是g 的一个本征值，这样我们只需要计算节点状态方程的最大 l y a p u n o v 指数即可决定整个网络的稳定性。 2 4 复杂网络之间的同步研究 前面通过大量篇幅的介绍了复杂网络的基本特征和复杂网络的同步，不难看到， 这些同步研究是发生在同一个网络内部的，那么两个耦合复杂网络是不是能发生同步 呢? 在现实世界中，我们把节点性质相似的一类节点当成同一个网络来看待，而把具有 不同性质节点当成多个网络来分析，比如传染病是如何在人类和动物之间传播，那么人 群和动物里应该当做两个网络来看待。国家进行的三网融合工程也实际上蕴含着网络间 的同步问题，因此研究网络间的同步具有现实的意义。下面我们以实际图形来解释网络 间同步的问题，以四个节点构成的两个环形网络间同步和环形网络和星形网络间同步为 例，那么网络间的同步即对应的节点相应同步。 1 8 辽宁师范人学硕十研究生学位论文 l 3 4 目前，网络间的同步的研究还在初级阶段，人们研究的范围还比较小，但实际生活 中网络间同步具有非常广泛的应用前景，研究网络间同步将是网络同步方面未来发展研 究的方向之一。 1 9 复杂网络之间的混沌同步研究 3 节点互异的两个复杂网络之间的广义混沌同步 3 1 引言 现实中存在着大量的结构和连接方式非常复杂的网络，例如万维网，交通网，通讯 网，神经网络等。所谓网络可以看做为具有混沌等特性的动力学系统通过系统之间的相 互作用所构成的集合。常把动力学系统视为复杂网络的节