金融工程 第02章 金融工程的基本分析方法.doc

第二章 金融工程的基本分析方法金融工程实际上是利用工程技术来解决金融业的实际问题的。而“技术”从广义上讲包括三个基本部分：理论、工具和工艺方法。理论是一种知识体系，支持金融工程的理论包括经济理论、金融理论和其他相关理论；工具是技术应用的材料，支持金融工程的工具不仅有股票、债券等传统的金融工具，还有越来越多的新兴金融产品，包括金融衍生品。工艺方法是结合相关理论和工具来构造和实施一项操作过程中的布置和过程本身。支持金融工程的工艺方法有组合与合成、新创、剥离（本金和利息）、分割（风险和收益）等，使金融工程师利用这些工艺方法创造出许多奇特精妙的金融产品和解决方案。掌握这些工艺要学习我们这里讲的基本的分析方法，它们既是理论，又是工具，是学习金融工程的基础。第一节 无套利定价法在金融资产（特别是以期权为代表的衍生工具）的定价分析过程中，无套利定价法既是一种定价的方法，也是定价理论中最基本的原则之一。我们首先论述无套利定价法的基本思想，然后介绍无套利定价法的工作原理和应用。一、无套利定价的思想严格意义上的套利是在某项金融资产的交易过程中，交易者可以在不需要期初投资支出的条件下获取无风险报酬。比如同一资产在两个不同的市场上进行交易，但各个市场上的交易价格不同。这时，交易者可以在一个市场上低价买进，然后立即在另一个市场上高价卖出。如果市场是有效率的话，市场价格必然由于套利行为作出相应的调整，重新回到均衡的状态。这就是无套利的定价原则。根据这个原则，在有效的金融市场上，任何一项金融资产的定价，应当使得利用该项金融资产进行套利的机会不复存在。换言之，如果某项金融资产的定价不合理，市场必然出现以该项资产进行套利活动的机会，人们的套利活动会促使该资产的价格趋向合理，并最终使套利机会消失。例如，期初有两项投资A和B可供选择。我们已经知道到了期末这两项投资可以获得相同的利润，还有这两项投资所需的维持成本也相同。那么根据无套利原则，这两项投资在期初的投资成本（也就是它们期初的定价）应该相同。假如两者的期初定价不一致，比如投资A的定价低于投资B，则套利者将卖空定价高的投资B，然后用其所得去买入定价低的投资A，剩下的即为期初实现的利润。到了期末，由于两个投资的回报以及维持成本相同，套利者正好可以用做多投资A的利润去轧平做空的投资B。值得注意的是，套利者这么做的时候，没有任何风险。如果市场有效率，上述无风险利润的存在就会被市场其他参与者发现，从而引发一些套利者的套利行为，结果产生以下的市场效应：大量买入投资A导致市场对A的需求增加，A的价格上涨；大量抛售B使B的价格下跌。结果A和B的价差迅速消失，套利机会被消灭。所以，投资A和B 的期初价格一定是相同的。二、无套利定价的原理与应用（一）无套利定价原理我们首先看一下远期外汇定价的例子。假定市场条件如下：目前货币市场上美元利率是6%，马克利率是10%；外汇市场上美元与马克的即期汇率是1 美元兑换1.8马克 (1:1.8)，问题是一年期的远期汇率是否还是1:1.8呢？答案是否定的，因为在此情况下会发生无风险的套利活动。套利者可以借入1美元，一年后要归还1.06美元；在即期市场上，他用借来的1美元兑换成1.8马克存放一年，到期可以得到1.98马克；在即期市场上套利者在购买1.8马克的同时按照目前的远期汇率（1:1.8）卖出1.98马克，换回1.1美元。在扣除掉为原先借入的1美元支付的本息1.06美元之外，还有一个剩余0.94美元（1.1美元-1.06美元）。如果不计费用，这个剩余就是套利者获取的无风险利润。显然，1:1.8不是均衡的远期外汇价格。那么，无套利的价格是什么？需要把握的要点是无套利均衡的价格必须使得套利者处于这样一种境地：他通过套利形成的财富的现金价值，与他没有进行套利活动时形成的财富的现金价值完全相等，即套利不能影响他的期初和期末的现金流量状况。只有这样，才能消灭套利机会引起的无风险利润，套利活动才能终止。在本例中，套利者借入1美元后，如果不进行套利活动，他一年后将得到1.06美元；如果他实施了套利活动，他一年后将得到1.98马克。这两种情况都是从期初的1美元现金流出开始，到期末时两个现金流入的价值也必须相等。于是1.06美元=1.98马克，即1美元=1.8679马克。这个价格才是无套利的均衡价格。本例中潜在的套利者将会发现，当外汇市场美元兑换马克的远期汇率为1：1.8679时，他的套利活动并不能改善他的财富状况。我们再看一个确定远期利率的例子。假设现在6个月即期年利率为10%（连续复利 有关连续复利的概念我们将在第3章详细介绍。，下同），1年期的即期利率是12%。如果有人把今后6个月到1年期的远期利率定为11%，试问这样的市场行情能否产生套利活动？答案是肯定的。套利过程是：第一步，交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设1000万元）；第二步，签订一份协议（远期利率协议），该协议规定该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入资金1051万元（等于1000e0.100.5）。第三步，按12%的利率贷出一笔1年期的款项金额为1000万元。第四步，1年后收回1年期贷款，得本息1127万元（等于1000e0.121），并用1110万元（等于1051e0.110.5）偿还1年期的债务后，交易者净赚17万元（1127万元-1110万元）。套利者无风险地获取17万元的利润（操作资金的规模是1000万元），说明该例中远期6个月利率11%的定价是不合理的。显然，合理的利率应该大于11%。因为利率套利的例子表明，当即期利率和远期利率的适当关系被打破时（就象上个例子中即期汇率和远期汇率的关系被打破一样），套利机会就会产生。如果远期利率偏低，套利者可以“借短贷长”实施套利（本例的情况）；反之，套利者可以“借长贷短”实施套利。两者都能获取无风险利润。为加深对无套利定价的理解，我们再看一个例子。假设有两家公司A和B，它们每年创造的息税前收益都是1000万元。A的资本全部由股本组成，为100万股。金融市场对该企业股票的预期收益是10%（即资本成本）。A公司的价值完全可以用资本成本对收益现金流的折现来算出PVA=1000万元/10%=10000万元，A的股票价格是10000万元/100万股=100元/股。B公司的资本中有4000万企业债券，年利率是8%，即每年要支付利息40008%=320万元。假定该利率被市场认为是无风险利率，并假定B公司的股份数是60万股。在上述假定条件下，按照无套利定价的原则，我们可以认定B公司的股票价格必定是100元/股，否则会引起套利活动。比如，当B公司股票价格为90元/股时，交易者就会进行下列的套利活动（套利的规模为任意假定）：卖空1%的A公司股票（1%100万股=1万股），同时买进B公司1%的债券（价值为1%4000万元）和B公司1%的股票（1%60万股=6000股）。套利者的现金流状况如表2.1所示。表2.1 套利者的现金流（B企业股票价格被低估为90元的情况）头寸情况即期现金流未来每年现金流1%A股票空头1%B债券多头1% B股票多头+10000股100元/股=100万元-1%4000万元= -40万元-6000股90元/股= -54万元-EBIT的1%1%320万元=3.2万元1%（EBIT-320万元）净现金流 +6万元 0这样，套利者不花成本，又不承担风险，就赚取6万元的利润。并且这个利润额还会随着套利规模的扩大而扩大。有套利机会存在，说明B公司股票的价格被市场低估。套利活动将推动其股票价格上升，直到到达每股100元的均衡价位为止。容易得出，如果B公司的股票价格高于100元（比如110元），套利者可以实施相反的套利活动，即做公司A股票的多头和公司B债券和股票的空头，同样可以获取无风险利润，见表2.2。表2.2 套利者的现金流（B企业股票价格被高估为110元的情况）头寸情况即期现金流未来每年现金流1%A股票多头1%B债券空头1% B股票空头-10000股100元/股= -100万元+1%4000万元=+40万元+6000股110元/股=-+66万元+EBIT的1%-1%320万元= -3.2万元1%（EBIT-320万元）净现金流 +6万元 0远期外汇的定价、远期利率的定价以及刚才提到的不同公司证券的定价只是运用无套利定价机制的少数事例。但是，窥一斑而知全貌，我们可以就此初步归纳出无套利定价机制的主要特征：其一，无套利定价原则首先要求套利活动在无风险的状态下进行。当然，在实际的交易活动中，纯粹零风险的套利活动比较罕见。因此实际的交易者在套利时往往不要求零风险，所以实际的套利活动有相当大一部分是风险套利。其二，无套利定价的关键技术是所谓“复制”技术，即用一组证券来复制另外一组证券。在上例中，我们用B公司的证券组合（股票加上债券）来复制A公司的股票；在远期外汇定价的例子中，套利者用两个半年期的资金借入替代一年期的资金借入。复制技术的要点是使复制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致，复制组合的多头（空头）与被复制组合的空头（多头）互相之间应该完全实现头寸对冲。由此得出的推论是，如果有两个金融工具的现金流相同，但其贴现率不一样，它们的市场价格必定不同。这时通过对价格高者做空头、对价格低者做多头，就能够实现套利的目标。套利活动推动市场走向均衡，并使两者的收益率相等。因此，在金融市场上，获取相同资产的资金成本一定相等。产生完全相同现金流的两项资产被认为完全相同，因而它们之间可以互相复制。而可以互相复制的资产在市场上交易时必定有相同的价格，否则就会发生套利活动。其三，无风险的套利活动从即时现金流看是零投资组合，即开始时套利者不需要任何资金的投入，在投资期间也没有任何的维持成本。这一点同第一章的假设中金融市场可以无限制卖空有很大的关系。卖空指交易者能够先卖出当时不属于自己的资产（俗称做空头），待以后资产价格下跌后再以低价买回，即所谓“先卖后买”，盈亏通过买卖差价来结算。在没有卖空限制的情况下，套利者的零投资组合不管未来发生什么情况，该组合的净现金流都大于零。我们把这样的组合叫做“无风险套利组合”。从理论上说，当金融市场出现无风险套利机会时，每一个交易者都可以构筑无穷大的无风险套利组合来赚取无穷大的利润。这种巨大的套利头寸成为推动市场价格变化的力量，迅速消除套利机会。所以，理论上只需要少数套利者（甚至一位套利者），就可以使金融市场上失衡的资产价格迅速回归均衡状态。在熟悉无套利定价法的基本特征后，我们还可以换个角度将无套利定价法运用到期权定价中。该方法的主要思路是：在一个不存在套利机会的有效市场上，投资者可以建立起一个包含了衍生品（比如期权）头寸和基础资产（比如股票）头寸的无风险的资产组合。若数量适当，基础资产多头盈利（或亏损）就会与衍生品的空头亏损（或盈利）相抵，因此在短期内该组合是无风险的（理论上只对瞬间的时刻保持无风险，否则，需要在这个资产组合中持续地调整基础证券与衍生证券的投资比例）。根据无套利原则，无风险组合的收益率必须等于无风险利率。所以这个原理实际上表示了衍生证券的期望收益率，基础证券的期望收益率和无风险利率之间的一个均衡条件。期权定价的二叉树模型就是成功地运用了这一原理。下面我们举个简单的例子加以说明。假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。为了找出该期权的价值， 可构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于（110.5）元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值等于9元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着：110.5=9=0.25因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。则该组合的现值应为：由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此：这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。（二）无套利定价法的应用无套利定价法在金融产品的定价和设计中有广泛的应用。金融工具的模仿与合成就是运用无套利定价法的典型例子。1、 金融工具的模仿金融工具的模仿是指通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金融工具具有相同或相似的盈亏状况。例如，我们可以通过买入一份看涨期权同时卖出一份看跌期权来模仿股票的盈亏。上述看涨期权和看跌期权应当具有相同的标的资产S、到期日T和执行价格，而且必须是欧式期权。假定在t时刻，上述看涨期权和看跌期权的价格分别是c和p，则构造模仿股票的成本是c-p。在期权的到期日T，上述组合的价值V就是买入期权价值与卖出期权价值的差，即MS=max(0,ST-X)-max(0,X- ST)如果到期日股票价格ST大于执行价格X，则看涨期权价值是ST-X，看跌期权价值是零；反之，如果ST小于X，则看涨期权价值是零，看跌期权价值是X- ST。因此，无论标的资产（股票）的价格怎么变化，模仿股票这个组合在期权到期日的价值总是MS= ST-X。如果只考虑模仿股票的构造成本而不考虑利息，则该组合到期盈亏是：max(0,ST-X)-max(0,X- ST)-（c- p）= ST-X- c+ p我们在第5章将看到，当S=X时，cp。由于投资股票的盈亏为ST-S= ST-X，显然投资模仿股票的盈亏不如投资股票，如图2.1所示。 图2.1 股票与模仿股票的盈亏在图2.1的直线部分中，粗线表示模仿股票的盈亏，细线表示股票的盈亏。两条折线分别表示做空看跌期权和做多看涨期权的盈亏。两条直线是平行的关系，表示模仿股票与股票的盈亏走向相一致。不过粗线的位置要低于细线，表示持有模仿股票在盈亏方面总是比持有股票相差一个固定的金额，这当然是因为构造模仿股票需要花费一定成本的缘故。咋看起来，持有模仿股票似乎有点不合算，但下面的例子表明，模仿股票在财务杠杆方面的巨大优势，为风险偏好型的投资者提供了一个性质不同的投资渠道，在一定程度上弥补了这个效益差额因素。假设一只股票现在的市场价格是10元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权的价格分别是0.55元和0.45元。一个投资者用10元钱采取两种方案进行投资，方案一是直接在股票市场上购买股票，方案二是用同样的资金购买模仿股票,10元钱可以购买100个模仿股票(因为一个模仿股票的构筑成本是0.55-0.45=0.1元)。表2.3和表2.4比较了在股票价格上升到10.5元和下跌到9.5元时，两种投资方案的情况。表2.3 股票价格上升到10.5元时两个方案的比较期初投资净收益投资收益率方案一方案二10元10元10.5元-10元=0.5元100（10.5-10-0.1）=40元5%400%表2.4 股票价格下跌到9.5元时两个方案的比较期初投资净收益投资收益率方案一方案二10元10元9.5元-10元= -0.5元100（9.5-10-0.1）= 60元-5% -600%我们看到，当股票价格上升时（即便是本例中微小的上升）购买模仿股票的收益率远高于直接购买股票；反之，当股票价格下降时，模仿股票的负收益也要远大于购买股票。我们在此无意评判两个方案的优劣，只是说明，运用无套利的定价技术创造的金融衍生品，可以丰富投资品种，为不同类型的投资者提供了满足其偏好的金融工具。事实上，由于我们可以选择不同水平的X，因此我们可以创造的模仿股票远不止一个，而且对于不同的X，模仿股票的盈亏特征都不相同，这就极大地丰富了投资品种。2、 金融工具的合成金融工具的合成是指通过构建一个金融工具组合使之与被模仿的金融工具具有相同价值。以股票为例。模仿股票虽然可以再现股票的盈亏状况，但两者价值毕竟有所不同。模仿股票的价值是ST-X，股票的价值是ST，为消除这个差别，我们构造一个合成股票，它的价值可以与股票完全相同。合成股票的构成是：一个看涨期权的多头，一个看跌期权的空头和无风险债券。看涨期权的价格是c，看跌期权的价格是p，无风险债券的数量是Xe-r(T-t)(r是无风险利率)，看涨期权和看跌期权均是欧式，它们具有相同的标的资产S、到期日T、执行价格X。这样一来，合成股票实际上是模仿股票与无风险债券的合成品，它的构造成本是c-p+Xe-r(T-t)。不难看出，到期日由于无风险债券的价值是X，该组合的价值（用SS表示）为：SS= max(0,ST-X)-max(0,X- ST)+X= ST-X+X= ST这也就是股票在到期日的价值。既然合成股票和标的股票在到期日有相同的价值，则在任意时刻t，它们的价值也应该相同,即下面的等式成立：S= c- p+Xe-r(T-t) (2.1)否则市场就会出现无风险套利活动。实际上公式（2.1）就是我们在第5章将要讲的看跌期权看涨期权平价公式。还以前面的例子加以说明。前例中模仿股票的成本是0.1元，现在再加上到期价值为10元的无风险债券，两者之和必须等于当前投资股票的成本（10元）。于是，投资无风险债券的当前成本应该为9.9元（10-0.1）。如果无风险债券的投资成本高于9.9元（比如10.0元），则期初合成股票的成本达到10.1元，套利者买入股票，卖出合成股票，可以获利0.1元；反之，当无风险债券的当前成本低于9.9元（比如9.8元），那么合成股票的成本为9.9元。套利者以9.9元买入合成股票，以10元卖空标的股票，获利0.1元。无论是哪一种情况，套利者都实施了无风险套利，而且不需要任何投资。我们以后一种情况为例加以说明。当无风险债券的当前成本等于9.8 元时，套利者通过以9.9元买入合成股票和以10元卖出标的股票立即获利0.1元，而不管将来市场状况如何。当期满后股票价格低于执行价格时，套利者的看涨期权作废，其看跌期权即将被行使。这时，用债券到期收回的现金10元收入，他再按照10元的执行价格从看跌期权的买方手中买回股票，在履行期权合约的同时，恰好结清了他当初做空的股票头寸。当期满后股票的价格高于执行价格时，则合成股票中看跌期权作废，套利者可以行使看涨期权，用债券到期收回的现金10元买进标的股票，同样用它结清做空的股票头寸。这两种情况都意味着，期初套利者的净现金流量为正，而期末的净现金流量却是零，而这恰恰是无风险套利的典型特征。第二节 风险中性定价法在对衍生证券定价时，我们可以假定所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。应该注意的是，风险中性假定仅仅是为了定价方便而作出的人为假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。一、风险中性定价的原理为了更好地理解风险中性定价原理，我们可以举一个简单的例子来说明。假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P，下跌的概率为1-P。这种概率被称为风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不同的。实际上，风险中性概率已经由股票价格的变动情况和利率所决定： P=0.6266 假设在现实世界中，由市场平均风险厌恶度决定的该股票的预期收益率等于15%，则该股票在现实世界中的上升概率由下式决定：，即P=0.6911。这样，根据风险中性定价原理，我们就可以求出该期权的价值： 二、无套利定价法与风险中性定价法的关系从上面两个例子可以看出，通过无套利定价法与风险中性定价法计算出来的结果是一样的，它们的区别仅仅是定价思路不同而已。我们可以通过一个更一般的例子来说明。假设一个无红利支付的股票，当前时刻t股票价格为S，基于该股票的某个期权的价值是f，期权的有效期是T，在这个有效期内，股票价格或者上升到Su，或者下降到。当股票价格上升到Su时，我们假设期权的收益为fu，如果股票的价格下降到Sd时，期权的收益为fd。如图.2.2所示。 图 2.2 股票价格和期权价格（一）无套利定价法的思路首先，构造一个由股股票多头和一个期权空头组成的证券组合，并计算出该组合为无风险时的值。如果股票价值上升，该组合在期权末期的价值是Su-fu,如果股票价格下降，组合的价值是Sd-fd。为了求出使得该组合为无风险组合的值，我们令Su- fu = Sd- fd。得：（2.2）如果无风险利率用r表示，则该无风险组合的现值一定是（Su-fu）e-r（T-t）,而构造该组合的成本是S-f，在没有套利机会的条件下，两者必须相等。即S-f=（Su-fu）e-r(T-t),将方程（2.2）代入上式化简得： （2.3）其中（二）风险中性定价的思路假定风险中性世界中股票的上升概率为P，由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格，因此该概率可通过下式求得：，即：知道了风险中性概率后，期权价格就可以通过下式来求：上式与公式（2.3）是完全相同的。可见无套利定价法与风险中性定价法可谓殊途同归。第二节 状态价格定价技术状态价格指的是在特定的状态发生时回报为1，否则回报为0的资产在当前的价格。如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价，这就是状态价格定价技术。它是无套利原则以及证券复制技术的具体运用。一、状态价格定价技术的原理现举例说明状态价格定价技术的原理：A是有风险证券，其目前的价格是PA，一年后其价格要么上升到uPA，要么下降到dPA。这就是市场的两种状态：上升状态（概率是q）和下降状态（概率是1-q），如图2.3所示。 图2.3 证券A的价格变化图记r为无风险利率，RA=1+rA,其中rA是证券A的收益率。它的预期收益率是：收益率的方差和标准差分别是我们现在来构造两个基本证券。基本证券1在证券市场上升时价值为1，下跌时价值为0；基本证券2恰好相反，在市场上升时价值为0，在下跌时价值为1。基本证券1现在的市场价格是u，基本证券2的价格是d。分别被称为上升状态的价格和下降状态的价格。这两个基本证券的特征是，它们可以用来复制有风险的A证券。复制过程是：购买uPA份基本证券1和dPA份基本证券2组成一个假想的证券组合。该组合在T时刻无论发生什么情况，都能够产生和证券A一样的现金流，所以该组合可以看作是证券A的复制品。根据无套利原理，复制品和被复制对象现在的市场价格应该相等：PA=uuPA+ddPA （2.4） 即uu+dd=1 （2.5）同时，我们知道由单位基本证券组成的组合在T时刻无论出现什么状态，其回报都是1元。这是无风险的投资组合，其收益率应该是无风险收益率r,于是便有： （2.6）联立方程（2.5）和（2.6）可解得：从上式可以发现，决定基本证券价格的实际上就是3个因素：无风险利率r,金融工具价格上升的速度u和其价格下降的速度d，同其他的因素就没有关系了。关于状态价格定价技术公式的推导，需要注意两点：第一，只要有具备上述性质的一对基本证券存在，我们就能够通过复制技术，为金融市场上的任何有价证券定价。因为只要是某一证券的价格在一段时间后出现两种价格状态，它的两个基本证券就是唯一确定的。当确定了一个风险证券的基本证券价格后，就可以用它来为别的有风险证券定价。下面用例子来说明。假如有价证券A的市场情况如下：PA=100，r,=2%，u=1.07, d=0.98，T-t=1, 可以算出：假设另外有一个证券B，它在一年后的价格可能上升到103元，也可能下降到98.5元。那么，根据（2.4）式，我们可以为它定价。它当前的价格应该是PB=uuPB+ddPB =0.4378103+98.50.5424=98.52这就相当于用基本证券1和2来复制证券B，复制过程是购买uPB份基本证券1和 dPB 份基本证券2。该组合确保一定时期后不管市场状况如何，都产生和有价证券B相同的现金流，所以该组合是B的复制品。我们现在用现实中的证券A和无风险证券来复制证券B。复制过程是：用份证券A和当前市场价值为L的无风险证券构成市场价值为I的组合，其成本是I=100+L。一年后，该组合无论市场价格上升还是下降，都必须与证券B的价格相同。于是有由该方程组可解出=0.5，。于是B现在市场的价值是I=100+L=1000.5+48.52=98.52。这说明前面用状态价格为证券B定价的结果是正确的，否则就会出现无风险套利的机会。当然，状态价格定价技术在应用时不会只是考虑时间上为一期的情况，现在我们继续采用上面的例子把它扩大到两期。假定证券A和B的价格变动结构如图2.4所示，市场无风险利率仍为2%。 图2.4 证券A和B的价格变动图从上面的右图，我们看到B在第2期期末有3种价格状态，要求出B现在的均衡价格。使用倒推法，我们先从B 的图形中右上部分开始。在第1年末，假设市场处于上升状态，此时我们用u份证券A和市场价值为Lu的无风险证券来复制证券B的组合，见图2.5。 114.49 107u+e0.02Lu 107 100u+Lu 104.86 98u+e0.02Lu图2.5 用证券A和无风险证券复制证券B（第二阶段）用联立方程组解出U=0.49，Lu=50.76,因此有PBU=107U+Lu=102.99。用同样的办法处理右下方的二叉树，同理解出d=0.51，Ld=48.62,因此有PBd=98d+Ld=98.50。最后，我们用份证券A和价值为L的无风险证券的组合复制证券B，如图（2.6）所示。 107 107+e0.02L 100 100+L 98 98+e0.02L图2.6 用证券A和无风险证券复制证券B（第一阶段）完全可以象前面一样解出=0.5,L=48.53,证券B的价值PB=98.52。当二叉树模型由单期扩展到二期（或以上）时，我们需要用动态无套利的方法来解释这里涉及到的“自融资”问题。大家可能已经发现，在第一期期末时和L已经发生了变化。原来是（，L）=（0.5，48.53），现在是（0.49，50.76）,但证券组合的价值没有发生变化，因为有107+e0.02L= PBU（=103）=107U+Lu所以，组合调整过程中交易者既没有投入资金，也没有抽出资金，只是靠出售部分A证券增加一部分资金，并把它由投入到无风险证券的投资中去。动态无套利均衡方法中的“动态”，意思是需要随时调整和L，而在调整中必须保持组合价值不会发生变化，这就是“自融资”的基本含义。第二，关于有价证券的价格上升的概率p，它依赖于人们作出的主观判断。乐观的投资者认为p比较大，悲观的投资者认为p比较小，所以关于p并没有统一的看法。在上述公式推导的以及其结论中，并没有用上p。这意味着人们对p认识的分歧不影响为有价证券定价的结论。我们在第一章提到，在一个风险中性的世界里，所有证券的收益都是无风险利率；所有资产现在的均衡市场价格，都是未来收益的预期值按无风险利率折现后的现值；当无风险套利机会出现时，所有的市场参与者都会进行套利活动，而不管他们对风险的厌恶程度如何。所以，无套利分析（包括其应用状态价格定价技术）的过程与结果同市场参与者的风险偏好无关。二、状态价格定价法的应用作为状态价格定价技术的应用，我们看一下如何利用它为期权定价。假设某股票符合我们上面提到的两种市场状态，即期初价值S0是，期末价值是S1，这里S1只可能取两个值：一是S1=Su=uS0,u1,二是S1= Sd=dS0,d1。我们现在想要确定的是依附于该股票的看涨期权的价值是多少？我们构造这样一个投资组合，以便使它与看涨期权的价值特征完全相同：以无风险利率r借入一部分资金B（相当于做空无风险债券），同时在股票市场上购入N股标的股票。注意到上述组合的成本是N S0-B，到了期末，该组合的价值V是N S1-RB，R是利率因子。对应于S1的两种可能，V有两个取值：如果S1=Su,则V=Vu= N Su-RB，如果S1=Sd, 则V=Vd= N Sd-RB。令到期日组合的价值与看涨期权的价值相同，我们有：由该方程组可以解出N和B，由于期初的组合应该等于看涨期权的价值，即有N S0-B=c0,把N和B 代入本式中，得到看涨期权的价值公式c0=pcu+(1-p)cde-r(T-t) (2.7)其中p=(er(T-t)S0-Sd)/(Su-Sd)=(er(T-t)-d)/(u-d)。我们举例说明如下：假设一份看涨期权，到期日为1年，执行价格X是112元；标的股票当前的价格是100元，无风险利率（单利）是8%。1年后，股票的价格或是上升到180元，或是下降到60元。这样，期权的到期价值c1也有两种可能：或是68元，或是零，见图2.7。 图2.7 股票和期权价格变化图根据我们的公式代入有关参数，得到：N=（68-0）/（180-60）=0.57（股）B=（0.5760-0）e-0.08=31.57（元）也就是说，只要买入了0.57股标的股票，同时以8%的利率借入31.57元，则相应的组合完全可以复制上述看涨期权到期日的价值特征。通过c0=NS0-B可以得到：c0=0.57100-31.57=25.43第三节 积木分析法 在金融工程分析的过程中，我们主要运用无套利分析法。但从应用的角度，在为金融资产定价时，金融工程主要运用积木分析法。积木分析法也叫模块分析法，指将各种金融工具进行分解和组合，以解决金融问题。“积木”是一种比喻的说法，就象儿童拿着不同的积木或者用不同的摆法创造出神奇的“建筑物”一样，金融工程师运用他的“金融积木箱”中的积木各种金融工具（主要是衍生金融工具），来解决金融现实问题。我们下面主要以衍生金融工具为例，介绍积木分析法的要点。积木分析法主要以图形来分析收益/风险关系以及金融工具之间的组合/分解关系。如图2.8和图2.9就反映了两类价格风险和收益关系。图2.8多头金融价格风险图2.9 空头金融价格风险图中横轴反映金融资产价格的变化（用P表示），纵轴反映交易者价值的变化（用V表示）。图2.8表明，当金融价格P增加时，交易者价值也随之增加，反之，则随之减少。我们称这种情况为多头金融价格风险，因为这类风险类似于金融资产的多头交易。还有一类风险正好相反，那就是图2.9中描绘的情况。当金融资产价格上升时，交易者处于不利的地位。我们称这类风险为空头金融价格风险。图2.8、2.9是远期交易合约的损益图。我们知道远期合约的交易者可以按照预定的价格在预定的日期买卖某种资产。如果买入资产，这种交易叫做多头远期交易，卖出资产就是空头远期交易。如果金融价格风险为多头风险，我们可以用空头远期交易来保值；如果面临的是空头风险，我们可以多头远期交易来保值。图2.10描绘了利用多头远期交易规避空头风险的情况。图2.10 利用多头远期合约规避空头风险从图2.10上看，向右下方倾斜的是风险图示，向右上方倾斜的是远期合约图示，而与横轴重合的是保值结果图示。下面我们以期权交易为例说明积木分析法的原理（为简化起见，暂时不考虑期权费）。期权交易的四种损益图如图2.11所示。 图2.11 期权损益图先看多头看涨的情况（买入看涨期权）。这里假定期权执行价格就是现货价格。当市场现货价格上升并超过协议价格时，看涨期权的价值随之上涨。反之，当现货价格下降时，中心点左面的图形与横轴重合，说明买入看涨期权的一方的价值没有任何变化（注意这里没有计算期权费），这同交易者持有无风险收益证券的情况相同。因此，从积木分析的角度看，期权交易无非是远期交易和无风险债券交易的组合。这里就好比远期交易是一块积木，无风险债券交易是另一块，期权交易便是这两块积木合在一起的产物。我们下面就结合多头金融价格风险和空头金融价格风险这两种情况，运用积木分析法分析期权交易在风险管理中的应用。我们先考察多头金融风险的情况。期权交易对多头金融价格风险的反应可通过图2.12来表示。图2.12 运用多头看跌期权对多头风险保值图中我们可以看到，当存在多头金融价格风险时，我们可以运用多头看跌期权来保值。买入看跌期权合约对付这种金融风险的结果，与买入看涨期权合约相同。这里多头金融价格风险是一块积木，多头看跌期权是另一块积木。两者相结合，就形成了一块新的派生的积木。我们再看空头金融价格风险时的情况。当面临这类风险时，我们可以买入看涨期权合约来保值。保值的结果形成了多头看跌期权的情况。同样，我们可以把空头金融价格风险看作一块积木，把多头看涨期权看作另一块，两块积木的组合形成多头看跌期权的结果，如图2.13所示。图2.13 运用多头看涨期权对空头风险保值我们现在来进一步分析期权交易和远期交易的关系。从图2.14我们看到，当把多头看涨期权这块积木与空头看跌期权组合在一起时，我们得到了远期合约的多头交易；当把空头看涨期权这块积木与多头看跌这块期权组成一起时，我们就得到远期合约的空头交易。远期交易完全可以用期权交易来复制。图2.14 期权与远期的关系总的来说，金融工程师常用以下六种积木进行分解组合，创造新的金融产品，见图2.15。图2.15 六种积木图2.15中有六种图形，我们把它们看作是金融工程所运用的六块“积木”。这里每块积木，都可以看作是一种金融工具。我们首先看一下本图的上半部分。在横线上面部分，左面图形表示资产多头交易，右面表示资产多头看涨期权（上面的线段）和空头看跌期权（下面的线段）。这一部分图形表明的是，当人们把某种资产的看涨期权和看跌期权组合在一起时，可以形成该资产的多头交易。 与此类似，我们不难看出横线以下积木的含义。处在横线以下左面的图形表示资产的空头交易，它可以运用多头看跌期权和空头看涨期权来组合 。除了上面提到的组合以外，我们还可以将横线上面的图形与横线下面的图形相组合。首先我们将横线上面的资产多头交易与横线下面的期权交易中的多头看跌期权交易组合在一起，结果发现它就是看涨期权的多头交易，见图2.16。 图2.16 资产多头加看跌期权多头=看涨期权多头当资产多头交易同看涨期权的空头交易结合时，形成看跌期权空头交易，见图 2.17。图2.17资产多头加看涨期权空头=看跌期权空头我们再看一下横线下面的资产空头交易和横线上面期权交易结合的情况。资产空头交易同多头看涨期权结合后形成多头看跌期权，见图2.18。图2.18资产空头加看涨期权多头=看跌期权多头资产空头交易与空头看跌期权结合后形成空头看涨期权，见图2.19。 图2.19资产空头加看跌期权空头=看涨期权空头从广义上说，积木分析法中除了使用损益图外，还常用一些其他的图形（方块图和时间线形图来表示）来作为金融工程的分析工具。本章小结：1、套利是指利用一个或多个市场上存在的价格差，在不冒任何风险（或风险极小的）情况下通过践买贵卖赚取利差的行为。套利是市场无效率的产物。在有效的金融市场上，金融资产不合理定价引发的套利行为，最终会使市场重新回到不存在套利机会的均衡状态，这时确定的价格就是无套利均衡价格。2、风险中性指的是这样一种状态：投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险；所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。无套利定价法与风险中性定价法可谓殊途同归。3、状态价格定价技术是无套利原则以及证券复制技术的具体运用。如果我们知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价。4、积木分析法主要以图形来分析收益/风险关系以及金融工具之间的组合/分解关系。习题1、 假定外汇市场美元兑换马克的即期汇率是1美元换1.8马克，美元利率是8%，马克利率是4%，试问一年后远期无套利的均衡利率是多少？2、 银行希望在6个月后对客户提供一笔6个月的远期贷款。银行发现金融市场上即期利率水平是：6个月利率为9.5%，12个月利率为9.875%，按照无套利定价思想，银行为这笔远期贷款索要的利率是多少？3、 假如英镑与美元的即期汇率是1英镑=1.6650美元，远期汇率是1英镑=1.6600美元，6个月期美远与英镑的无风险年利率分别是6%和8%，问是否存在无风险套利机会？如存在，如何套利？4、 一只股票现在价格是40元，该股票一个月后价格将是42元或者38元。假如无风险利率是8%，用无风险套利原则说明，执行价格为39元的一个月期欧式看涨期权的价值是多少？5、 条件同题4，试用风险中性定价法计算题4中看涨期权的价值，并比较两种计算结果。6、 一只股票现在的价格是50元，预计6个月后涨到55元或是下降到45元。运用无套利定价原理，求执行价格为50元的欧式看跌期权的价值。7、 一只股票现在价格是100元。有连续两个时间步，每个步长6个月，每个单步二叉树预期上涨10%，或下跌10%，无风险利率8%（连续复利），运用无套利原则求执行价格为