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图形基本性质一、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形）1、长方形：有两个角是直角的平行四边形(正方形属于特殊的长方形）。 性质：对角线相等且互相平分； 有四条边； 对边平行且相等； 四个角都相等且都是直角； 四个角度数和为360； 有2条对称轴； 水平的那一边为长，垂直的那一边为宽； 长方形是特殊的平行四边形； 长方形有无数条高。长方形周长计算公式：周长文字公式：(长+宽)2 （ 周长字母公式：C=(a+b)2 ）面积计算公式：面积文字公式：长宽 （ 面积字母公式：S=ab ）2、正方形：在同一平面内，四条边都相等且一个角是直角的四边形是正方形。有一组邻边相等的矩形（长方形）是正方形。有一组邻边相等且垂直的平行四边形是正方形。 四边形对角线相等且互相垂直平分。性质：边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直； 内角：四个角都是90；对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；形状：正方形也属于长方形的一种； 正方形具有平行四边形 菱形 矩形的一切性质。长方形周长正方形周长计算公式：周长文字公式：边长 4 （ 周长字母公式：C=4a ）面积计算公式：面积文字公式：边长 边长（ S=aa ） （其他计算方法：S=对角线对角线2）3、平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 （矩形（即长方形），菱形，正方形都是特殊的平行四边形。）定义：如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的一组对边平行且相等。 （简述为“平行四边形的对边平行且相等”） 如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的两组对边分别平行。 （简述为“平行四边形的对边平行”） 如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的两组对边分别相等。 （简述为“平行四边形的对边相等”） 如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的两组对角分别相等。 （简述为“平行四边形的对角相等”） 如果一个四边形是平行四边形，那么这个平行四边形的两条对角线互相平分。 （简述为“平行四边形的两条对角线互相平分”）性质：平行四边形两组对边分别平行； 平行四边形的两组对边分别相等； 平行四边形的两组对角分别相等； 平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的邻角互补（相加角度为180度）。 平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点（或平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。）。一般的平行四边形不是轴对称图形。平行四边形周长计算公式：周长文字公式：（底1 + 底2）2 （ 周长字母公式：c=2(a+b) ） 面积计算公式：面积文字公式：底高 （ 面积字母公式：S = ah ）易出判断题： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。注意：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如：等腰梯形。4、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。平行的两边叫做梯形的底边，其中长边叫下底，短边叫上底；也可以单纯的认为上面的一条叫上底，下面一条叫下底。不平行的两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形。 判定：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形（一组对边平行且不相等的四边形是梯形）；两腰相等的梯形是等腰梯形； 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；注意：梯形的底角可以指梯形中任意一个角。所以说“底角相等的梯形是等腰梯形”是不对的。有一个内角是直角的梯形是直角梯形； 对角线相等的梯形是等腰梯形；梯形的中位线等于上底加下底和的一半，且平行于上底和下底。等腰梯形的性质：等腰梯形的两条腰相等； 等腰梯形在同一底上的两个底角相等； 等腰梯形的两条对角线相等； 等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线；等腰梯形（这个非等腰梯形同理）的中位线（两腰中点相连的线叫做中位线）等于上下底和的二分之一。注意：在有些情况下，梯形的上下底以长短区分，而不是按位置确定的，把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。梯形周长计算公式：周长文字公式：上底+下底+腰+腰 （ 周长字母公式：a+b+c+d ）注：等腰梯形的周长公式：上底+下底+2腰 （ 用字母表示：a+b+2c ） 面积计算公式：面积文字公式：（上底+下底）高2 （ 面积字母公式：（a+b）h2 ） 注：等腰梯形的面积公式：中位线高 （ 用字母表示：lh）区分：平行四边形：两组对边分别平行的四边形。四边形平行四边形长方形正方形梯形 梯形：只有一组对边平行的四边形。各类四边形关系图：巩固练习1、在梯形里画两条线段，把它分割成三个三角形。你有几种画法？2、把一个平行四边形剪成两个图形，然后拼成一个三角形，这个三角是什么三角形？有几种剪拼的方法？3、把一张平行四边形的纸剪一下，分成两个梯形，有多少种剪法？4、判断：长方形是特殊的平行四边形。 （ ） 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。（ ）一个梯形中只有一组对边平行。（ ）5、用两个完全一样的梯形，能拼成一个平行四边形吗？把张梯形纸剪一次，再拼成一个平行四边形。拿一张长方行纸，不对折，剪一次，再拼出一个梯形。二、三角形（1）定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。 平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。 三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。（2）分类：按角度分：a.锐角三角形：三个角都小于90度 。（注：并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。） b.直角三角形（简称Rt 三角形）： 直角三角形两个锐角互余； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30（和相反）。c.钝角三角形：有一个角大于90度(锐角三角形，钝角三角形统称斜三角形)。 按角分： a.锐角三角形：三个角都小于90度。 b.直角三角形：有一个角等于90度。c.钝角三角形：有一个角大于90度。 （锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形） 按边分： 不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形）。（3）性质： 1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。 2.三角形内角和等于180度 3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。 4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。（勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。） 5.三角形共有六心：三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心、界心和欧拉线。 内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。（性质：到三边距离相等。） 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。（性质：到三个顶点距离相等。）重心：三条中线的交点。（性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。） 垂心：三条高所在直线的交点。（性质：此点分每条高线的两部分乘积。） 旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。（性质：到三边的距离相等。） 界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。 （ 性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。） 欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。 6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。 7.一个三角形最少有2个锐角。 8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线 9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。 10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a+b=c，那么这个三角形就一定是直角三角形。11.三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180； （2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和； （3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； （5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边. （6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线. （7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等. （8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等. （9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。 （10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 （11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。 注意：三角形的内心、重心都在三角形的内部； 钝角三角形垂心、外心在三角形外部； 直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）锐角三角形垂心、外心在三角形内部。特殊三角形 1.相似三角形 （1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形 （2）相似三角形性质：1.相似三角形对应边成比例，对应角相等； 2.相似三角形对应边的比叫做相似比； 3.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方； 4.相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）相等。 （3）相似三角形的判定：1.三边对应成比例则这两个三角形相似； 2.两角对应相等则两三角形相似；3.两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似。 2.全等三角形 （1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （2）全等三角形的性质：1.全等三角形对应角（边）相等。 2.全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等。 （3）全等三角形的判定： SAS ASA AAS SSS HL (RT三角形)（S：边；A角；RT：直角）三角形全等的条件 注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等 1.三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。 2.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。 3.两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。 4.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。 5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。3.等腰三角形 （1）等腰三角形的性质： 1.两底角相等； 2.顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合； （2）等腰三角形的判定： 1.等角对等边； 2.两底角相等； 4.等边三角形 （1）等边三角形的性质：1.顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合； 2.等边三角形的各角都相等，并且都等于60。 （2）等边三角形的判定：1.三个角都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。三角形中的线段 （1）中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。 （2）高：顶点到对边垂足的连线。 （3）角平分线：顶点到两边距离相等的点所构成的直线。 （4）中位线：任意两边中点的连线。三角形相关定理 （1）重心定理 ：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍 （上述交点叫做三角形的重心.） （2）外心定理 ：三角形的三边的垂直平分线交于一点（这点叫做三角形的外心.） （3）垂心定理 ：三角形的三条高交于一点（这点叫做三角形的垂心. ）（4）内心定理 ：三角形的三内角平分线交于一点（这点叫做三角形的内心.）（5）旁心定理 ：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点 （这点叫做三角形的旁心三角形有三个旁心） 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心 （6）中位线定理 ： 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半（7）三边关系定理 ：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 （8）勾股定理 ：在Rt三角形ABC中，A90度，则ABAB+ACAC=BCBC ；A90度，则 ABAB+ACACBCBC（9）等腰梯形性质定理 ：等腰梯形在同一底上的两个角相等。三、圆（1）定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。平面上一条线段，绕它的一端旋转360，留下的轨迹叫圆。（2）圆的相关量：圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率，它是一个无限不循环的小数通常用表示，=3.1415926535.，在实际应用中我们只取它的近似值，即3.14（在奥数中一般只取3、3.1416或3.14159）。圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。圆中最长的弦为直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。内心和外心：和三角形三