高中数学 2.2 等差数列阅读材料素材 新人教版必修5.doc

等差数列等差数列 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，那么这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.等差数列的基本公式通项公式an=a1+(n-1)d ，注意：等差数列求和公式 即 第n项=首项+(n-1)公差（n是项数）前n项和公式sn=na1+或sn=（相当于n个等差中项之和）.注意：n是正整数等差数列前n项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为a1（首项），下底为a1+(n-1)d,高为n，即=a1n+. 推论一、从通项公式可以看出，an是n的一次函数(d0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，sn是n的二次函数(d0)或一次函数(d=0，a10)，且常数项为0.二、从等差数列的定义、通项公式、前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ak+an-k+1(类似地：p1+pn=p2+pn-1=p3+pn-2=pk+pn-k+1)，k1,2,n.三、若m，n，p，qn*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aq.若m+n=2p,则am+an=2ap.等差中项等差中项即等差数列头尾两项的和的一半，但求等差中项不一定要知道头尾两项. 在等差数列中，等差中项一般设为ar.当am,ar,an成等差数列时，am+an=2ar,所以ar为am，an的等差中项，且为数列的平均数，并且可以推知n+m=2r，且任意两项am，an的关系为：an=am+(n-m)d，类似地pn=pm+(n-m)d，相当容易证明.它可以看作等差数列广义的通项公式.等差数列常应用于日常生活中，如在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级.其实，中国古代南北朝的张丘建早已在张丘建算经提到等差数列了： 今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何? 书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。 这相当于给出了sn=的求和公式.等差数列小故事高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上最伟大的数学家之一，与阿基米德、牛顿同享盛名.高斯，1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于哥廷根.幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育.17951798年在哥廷根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位.从1807年起担任格丁根大学教授兼哥廷根天文台台长直至逝世.高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，不久后，高斯在数学上就显露出了常人难以比拟的天赋，最能证明这一点的是高斯十岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到 100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去.彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案属于高斯时，才大吃一惊.而更使人吃惊的是高斯的算法.他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101，共有50对这样的数，用101乘以50得到5 050.这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了.等差数列的基本性质r次等差数列为什么在等差数列的学习中对公差和首项特别地关注？因为公差和首项可以作为等差数列一切变化的切入点.当我们有更好的切入点后，我们可以毫不犹豫地抛弃公差和首项.假设一个基向量en(x)=1,x,x2,xk，转换矩阵a为k+1阶方阵，b=b0,b1,b2,bk.b同en的长度一样为k+1，b表示b的转置。当k=1时，我们可以称为一次数列；当k=r时，我们可以称为r次数列(x,k只能取自然数).p(x)=en(x)b.s(x)=xen(x)ab.m+n=p+q（m，n，p，qn*)，则am+an=ap+aq.一次等差数列的性质1.p1(x),p2(x)均为一次等差数列，则p1(x)p2(x)与cp1(x)p2(x)(c为非零常数)也是一次等差数列.p(x)是一次函数，(n,p(x)构成直线.2.pm-pn=en(m)b-en(n)b=(en(m)-en(n)b=（0,m-n）b.3.m+n=p+qpp+pq=pm+pn (证明:m+n=p+qen(m)+en(n)=en(p)+en(q).pm+pn=en(m)b+en(n)b=(en(m)+en(n)bpp+pq=(en(p)+en(q)b=(en(m)+en(n)b=pm+pn）.4.从p(x)=en(x)b中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是一次等差数列，其一次项系数为kb1( k为取出项数之差)，常数项系数未知.5.在一次等差数列中，从第二项起，每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的平均数6.当一次项系数b10时，数列中的数随项数的增大而增大；当b1m)，则sn-m= (1+)a-3b （5）从函数的角度看等差数列的通项公式.由等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d可得an=dn+（a1-d），当d0时，an是关于n的一次函数.（6）记等差数列的前n项和为sn若a10，公差d0，则当an0且an+d 0时，sn有最大值；若a10，则当an0且an+d0时，sn有最小值（7）若等差数列sp=q,sq=p,则sp+q=-(p+q).等差数列的特殊性质在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和.特别地，若项数为奇数，还等于中间项的2倍, 即，a1+an=a2+an-1=a3+an-2=2a中 例：在数列1，3，5，7，9，11中，a1+a6=12 ; a2+a5=12 ; a3+a4=12;即，在有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和.在等差数列1，3，5，7，9中，a1+a5=10 ; a2+a4=10 ; a3=5=5 ; 即，若项数为奇数，与首末两项距离相等的两项和等于中间项的2倍.另见，等差中项. 素数与等差数列的关系设等差数列为：a+bn，a为等差数列的首项，b为等差数列的公差（a,b为正整数）。素数与等差数列的关系具体内容为： 内容一，a能够被b整除时，那么，该等差数列的每一项，都能够被b整除； 内容二，我们将b分解为几个素数的乘积，如果说，a能够被b所分解出来的1个或几个素数整除，那么，该等差数列的每一项，都能够被这1个或这几个素数整除； 内容三，如果首项a，不能够被公差b或者公差b分解出来的素数整除，那么，该等差数列的每一项，都不能够被公差b或者公差b分解出来的素数整除； 内容四，如果说，公差不能够被素数s整除，那么，该等差数列的s个连续项中，必然有一个项能被素数s整除，s个连续项分别除以素数s，其余数分别为：1，2，3，4，s-1，0.余数的排列是循环排列，循环项以s个连续项为一个循环周期；周期内余数的排列顺序与公差b和素数s有关，相同的公差与素数s，余数的循环排列是相同的.等差数列的乘、除法首先，说一个乘法原理：在ab中，如果a，b都不能被c整除，那么ab之积，同样不能被c整除.根据该原理，按照上面素数与等差数列的关系内容三，如果两个公差相同的等差数列，首项都不能被公差或者公差分解出来的素因子整除时，那么，这两个等差数列中的任何一项都不能被公差或者公差分解出来的素因子整除；这两个等差数列之间，数列a中的任何一个项与数列b中的任何一个项的乘积，数列a中的任何一个项与数列a中的任何一个项的乘积，数列b中的任何一个项与数列b中任何一个项的乘积，都不能被公差或者公差分解出来的素因子整除.我们令等差数列的公差为d，两个等差数列的首项分别为a，b.组成两个等差数列a+dn，b+dn.令ab/d余数为c，那么，（a+dn）（b+dn）的乘积，必然在等差数列c+dn之中；反过来，当（c/a）/d余数为b时，那么，等差数列c+dn数列中的数，如果能够被a+dn数列中的数整除时，其商必然在等差数列b+dn之中.举例说明：我们以公差30的等差数列为例，在30内不能被30以及30分解出来的素因子2，3，5分别整除的数有1，7，11，13，17，19，23，29.它们之间的乘法余数表为：0001071113171923290101070719111117011313012319171729071119191913290723012323111329011719292923191713110701 从该表看：它们的余数排列关系是一一对应的，当然，你用其他公差如6，210，2310等，不能被它们分解出来的所有素因子整除的数之间的乘积，除以公差的余数排列关系都是一一对应的关系.我们从该表查对应关系，如131730余11，表明：等差数列（13+30n）（17+30n）的积，必然在等差数列11+30n数列之中；反过来，当等差数列11+30n中的数，如果能够被等差数列13+30n中的数整除，其商必然在等差数列17+30n之中.等差数列除以合数的余数1.当合数是由单个素因子组成，如由单个素因子3组成的合数9，27，81等，且等差数列的公差能够被该单个素因子整除，该等差数列除以合数的余数为：=3个，=9个，=27个循环排列.具体余数为该等差数列的首项/素因子的余数+素因子l所得.如首项/3余1，其余数为1+3l，例如等差数列1+30n除以合数9余数按1，4，7进行循环；如首项/3余0，其余数为0+3l，例如等差数列3+30n数列除以合数9的余数按3，6，0进行循环.2.当公差能被合数整除时，该等差数列除以合数的余数，为等差数列的首项除以该合数的余数.如等差数列3+30n的数除以合数15的余数，都为首项的3/15的余数3.3.当等差数列的公差能够被合数分解出的部分素因子整除.（1）单素因子：其余数个数与不能整除的素因子的值相同，具体余数为首项除以能整除的素因子的余数+该素因子l.如等差数列3+30n的数除以35，因首项除以5余3，有3+5l=3，8，13，18，23，28，33.（2）多素因子：其余数个数与不能整除的素因子之积的值相同，具体余数为首项除以能整除的素因子的共同余数+素因子之积l.如2 137+2 310n数列除以合数46 410，公差2 310为235711，合数46 410为23571317，共同的素因子为2，3，5，7，因首项2 137除以2余1，2 137/3余1，2 137/5余2，2 137/7余2，满足这些条件的数为37，37是它们的共同余数.具体余数为37+210l中的数，取1317=221个余数循环，具体余数以2