高中数学 2.2《直接证明与间接证明》素材2 苏教版选修12.doc

直接证明与间接证明知能阐释一、要点透析1综合法一般地，从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法常称为综合法综合法的推证过程如下：注意：应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了出发点以后（它基于题设或已知的真命题），再依次由它得出一系列的命题（或判断），其中每一个都是真实的（但它们并不一定都是所需求的）当最后一个包含我们要证明的命题的结论时，命题得证2分析法一般地，从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件吻合为止这种证明方法常称为分析法分析法的推证过程如下：注意：这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系，因而需要从这些关系中逐个考查，逐个思索，逐个分析，逐个判断，在得到了所需的确定结论时（它们是已证的命题或已知的条件），才知道前面各步推理的适当与否，从而找出证明的路子3综合法和分析法的区别与联系综合法的特点：是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件；分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件分析法与综合法各有其特点，有些具体的特征命题，用分析法和综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种分析法解题方向较为明确，利于寻找解题思路；综合法条理清晰，宜于表述因此，在实际解题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程4反证法反证法是一种常用的间接证明方法用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用以下框图表示：应用反证法证明数学命题，一般有下面三个步骤：（1）反设假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；（2）归谬从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；（3）存真由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立注意：所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与公理、定义、定理、条件矛盾或与临时假定矛盾，以及自相矛盾等各种情况二、范例点悟例1已知，求证：证明：，同理：，将三式相加得评注：在运用综合法证明不等式时，常利用不等式的基本性质，如同向不等式相加，同向不等式相乘等，但在运用这些性质时，一定要注意这些性质成立的前提条件例2当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大证明：设圆和正方形的周长为，依题意，圆的面积为，正方形的面积为，因此本题只需证明为了证明成立，只需证明，两边同乘以正数，得显然成立，所以这就证明了，如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么这个圆的面积比这个正方形的面积大评注：在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明了的事实因此，从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略例3已知三个关于x的方程，；中至少有一个方程有实根，求实数m的取值范围解析：三个方程都没有实根的充要条件是即解得使三个方程至少有一个方程有实根的实数m的取值范围为评注：反证法的逻辑根据为：要证明命题“若p则q”为真，应证“若p则”为假，因此，反证法的核心是从出发导出矛盾综合法及其应用综合法就是从命题提供的条件，或是已证明过的结论，或是已知的定义、公理、定理等条件及事实出发，经正确的推理得到结论的方法，是一种直接的演绎推理方法，也就是“由因导果”的方法一、综合法适用范围1定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等；2已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型二、应用举例例设函数在区间上有定义，且对任意的，均有，求证：分析：直接运用综合法给予证明，不妨设，运用分类讨论即可证明：不妨设，则（1）如果，则（2）如果，由，得。综合（1）（2），得例2已知：x，y，z都是小于1的正数，且它们的和为2求证：分析：直接运用综合法进行证明，但证明过程中要应用不等式证明的放缩法证明：，即，得证瞄准反证法反证法是间接证明的一种基本方法，常常是解决某些“疑难”问题的有力工具对于一些用直接证明的方法难以证明的结论，常采用反证法熟练掌握并运用反证法，对提高同学们的解题能力大有裨益下面就反证法的要点进行归纳整理1反证法的基本思想是：否定结论就会导致矛盾它可以用下面的程序来表示：“否定推理肯定”“否定”假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立“推理”从已知条件和假设出发，应用一系列的论据进行推理，导致逻辑矛盾“肯定”由于推理过程正确，故矛盾是由假设所引起的因此，假设是错误的，从而肯定结论是正确的2应用反证法的原则：正难则反，即如果一个命题的结论难以用直接法证明时可考虑用反证法3宜用反证法证明的题型：易导出与已知矛盾的命题；“否定性”命题；“惟一性”命题；“必然性”命题；“至少”、“至多”命题等4注意事项：（1）应用反证法证明命题时，反设必须恰当如“都是”的否定是“不都是”、“至少一个”的否定是“不存在”等（2）用反证法证明时最好在开篇注明“下面用反证法证明”，以告知读者按反证法的思路阅读或评卷下面举例说明“反证法”在证题中的应用例设、是公比不相等的两个等比数列，证明数列不是等比数列分析：命题的结论呈否定形式，故可用反证法证明：设、的公比分别为，假设是等比数列，则只需证由于，而从而有，而，故有，即，这与已知相矛盾，因此假设不成立，故不是等比数列点评：当遇到结论为否定形式的命题时，常常采用反证法例2求证：两条平行线中一条与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交已知：，平面，如图1所示求证：直线b和平面相交证明：假设b和平面不相交，即或（1）若，因为，所以，这与相矛盾（2）如果，因为，所以a和b确定一个平面，显然平面与平面相交设，因为，所以又，从而且，故，这与矛盾由（1）（2）可知，假设不成立故直线b与平面相交高考学习网例3求证：正弦函数没有比小的正周期证明：假设是正弦函数的周期，且，则对任意实数x都有成立令，得，即，又，故，从而对任意实数x都有，这与矛盾所以正弦函数没有比?仔小的正周期例4今有50位同学，男女各一半，围坐一圈，是否存在一种座位的安排方法，使得每一位同学左右两侧的两位同学为一男一女？证明结论解：不存在这样的座位安排证明：假设存在这样的安排，则