数学·必修四·示范教案三点解剖.doc

或课堂导学三点剖析一、函数y=Atan(x+)(A0,0)的图象和性质【例1】已知函数y=tan(x-),(1)作此函数在一个周期开区间上的简图;(2)求出此函数的定义域、周期和单调区间;(3)写出此函数图象的对称中心的坐标.思路分析：解决本题的关键是利用换元法(令x-=z,在解题过程中也可将x-看作一个整体,不写出字母z来)将问题转化到正切函数y=tanz的图象和性质上处理,在这里体现出了化归这一重要的数学思想方法.解:(1)列表:x-x-0tan(x-)-101+ 描点连线画图: 也可由“三点两线法”作简图, 分别令x-=k,k+；k-，kZ， 在x-=k+或k-,kZ, 即x=2k+或x=2k-处函数无意义，取k=0即一个周期的图象.（2）由正切函数的定义域知x-k+,x2k+.函数的定义域为x|x2k+,kZ, 周期T=2. 当k-x-k+ kZ时,2k-x2k+kZ, 函数在（2k-,2k+）;kZ上为增函数.（3）令x-=k, 得x=2k+对称中心坐标为（2k+,0）kZ.温馨提示 类似于正弦、余弦函数的“五点法”作图，正切曲线的简图可用“三点两线法”，这里的三个点分别为（k,0）、(k+,1)、(k-,-1),其中kZ.两线为直线x=k+(kZ),直线x=k-(kZ).注意利用图象解题，培养数形结合意识.二、灵活运用正切函数性质【例2】求下列函数的值域:(1)y=tan2x-2tanx+3;(2)y=.思路分析：（1）由于tanx值域为R，将tanx视为整体t，则tR,问题转化为求函数y=t2-2t+3的值域问题.（2）利用secx与tanx关系转化为只含tanx的关系式，仿（1）换元后，考虑利用判别式法求值域.解：(1)令t=tanx,则tR,原函数可以转化为y=t2-2t+3=(t-1)2+22.函数y=tan2x-2tanx+3的值域为2,+）.(2)将原函数变形, 得y=. 令t=tanx(tR),得(y-1)t2+(y+1)t+(y-1)=0.(*) 当y-10时,=(y+1)2-4(y-1)20, 解之,得13y3(y1). 当y-1=0时,代入(*)得t=0.原函数y=的值域为,3.温馨提示 因为正切函数的值域是R,所以与正切函数有关的数学问题总可以转化为实数范围内问题的讨论.其讨论的方法视tanx为整体,使问题结构得到简化,便于问题的解决.三、利用正切函数图象解题【例3】已知正切函数y=Atan(x+)(A0,0,|)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为（，0）和（,0）,且过点（0，-3），求它的表达式.思路分析：因为函数y=Atan(x+)是周期函数,且最小正周期为，函数图象交x轴的相邻两点，恰好等于一个最小正周期，由此可求出，将点（，0）和（0，-3）代入，可求出和A.解：因为（，0）和（，0）是图象与x轴相交的两相邻点，故这个函数的周期T=-=.=,=. 将点（，0）代入y=Atan(x+)得:0=Atan（+），|,=-. 将点（0，-3）代入y=Atan(x-)得：-3=Atan（-）,A=3. 故所求的函数表达式为y=3tan(x-),x+k(kZ).温馨提示(1)正切函数解析式的求法与y=Asin(x+)的求法类似，周期与相邻两点间距离有关，将点代入求.(2)正切函数y=Atan(x+)(A0)的图象平移与y=Asin(x+)类似，平移中要注意“x”前的系数，因为的大小及符号对平移单位和平移方向均有影响.各个击破类题演练 1用描点法作函数y=|tanx|的图象，并根据图象写出性质.解:列表x-0tanx-1-01|tanx|101 在平面直角坐标系中描出各点并用光滑曲线连接起点，得到y=|tanx|，x（-,）的图象. 再将图象左、右扩展，就得到函数y=|tanx|的图象如下图所示. 由图象可知y=|tanx|的定义域是x|x+k,kZ,值域是0，+），周期T=，是偶函数,在k,k+）(kZ)内是增函数，（k-,k（kZ）内是减函数.变式提升 1作出函数y=tan|x|的图象,并根据图象判断其周期性并求出单调区间.解:y=tan|x|=(kZ). 根据y=tanx的图象和tan|x|是偶函数，可作出y=tan|x|的图象(如下图所示). 由图象可知,函数y=tan|x|不是周期函数,它的单调减区间为（-,0,(k-,k-)(k=0,-1,-2,), 单调增区间为0,）,(k+,k+)(k=0,1,2,).类题演练 2求函数y=-tanx+2-2的值域.思路分析:tanx与隐含平方关系,可用换元法求解.解:t=0,y=-t2+2t-2=-(t-1)2-1-1,原函数的值域为（-,-1.温馨提示 换元后,注意t的范围要等价转换.变式提升 2已知函数f(x)=atan+dx+3,且f(5)=6,求f(-5)的值.解:由f(x)=atan+dx+3,得f(x)-3=atan+dx. 令F(x)=f(x)-3,则函数F(x)是奇函数,有F(-x)=-F(x). 令x=5,得f(-5)-3=-f(5)-3. 又f(5)=6,f(-5)=-f(5)+6=0.类题演练 3要得到函数y=tan2x的图象,只要将函数y=tan(2x-)的图象( )A.向左平移 B.向右平移C.向左平移 D.向右平移思路分析:先将y=tan(2x-)化成y=tan2(x-),然后再平移.解:由y=tan(2x-),得y=tan2(x-),将图象向左平移个单位,可得y=tan2x的图象,选C.答案:C温馨提示 对于y=Atan(x+)(A0,0)的图象平移问题，完全可类比正弦函数图象变换解题，要注意这里不是平移y=tan2x的图象.变式提升 3如右图所示,教室的墙壁上挂着一块黑板,它的上、下边缘分别在学生水平视线上方a m和b m