数学建模计算实验2.doc

数学建模实验一：matlab函数拟合学时：4学时实验目的：掌握用matlab进行函数拟合的方法。实验内容：实例1.（汽车刹车距离问题）某汽车司机培训课程中有这样的规则：正常驾驶条件下，车速每增16公里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的渐变办法是“2秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何。 这个规则的合理性如何是否有更合理的规则。下表是测得的车速和刹车距离的一组数据。车速（km/h）20406080100120140刹车距离（m）6.517.833.657.183.4118.0153.5解：模型假设：（1） 刹车距离y等于反映距离y1与制动距离y2之和。即y=y1+y2.（2） 反应距离y1与车速v成正比，比例系数为反应时间k1。即y1=k1*v（3） 刹车时使用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比.即模型建立 由假设2，y1=k1v,由假设3，在F作用下行驶距离y2作的功F*y2使车速从v0，动能的变化为mv2/2，又由牛顿第二定律可知Fam，其中刹车时的减速度a为常数，于是y2=k2*v2,其中k2为比例系数，实际k2=1/2a,由假设1，刹车距离为 y=k1v +k2v2模型求解：用最小二乘法拟合，则程式运行过程有： v=20,40,60,80,100,120,140./3.6; s=6.5,17.8,33.6,57.1,83.4,118.0,153.5; fun=inline(k(1).*v+k(2).*v.*v,k,v); k=lsqcurvefit(fun,20,140,v,s)Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun.k = 0.6522 0.0853于是s=0.6522v+0.0853v2;模型应用：因为在实际中k2=1/2a 则a=5.86166 v=at1，其中t1为刹车时间，又k1为反应时间，即最终时间：t=k1+t1。根据车速的不同刹车时间t1如下表：车速（km/h）20406080100120140刹车距离（m）6.256017.777534.564456.616883.9346116.5178154.3664刹车时间（秒）1.6002.5483.4964.4445.3926.3397.284后车司机从前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志，t由下表给出：车速(km/h)01010-6060100100-140t(秒)1246则根据车速的快慢，随着车速越快的时候，刹车时间越久所以2秒准则是不合理的。实例2：根据美国人口从1790年到1990年间的人口数据（如下表），确定人口指数增长模型（Logistic模型）中的待定参数，估计出美国2010年的人口，同时画出拟合效果的图形。表1 美国人口统计数据年 份1790180018101820183018401850人口(106)9.612.917.123.2年 份1860187018801890190019101920人口(106)31.438.650.262.976.092.0106.5年 份1930194019501960197019801990人口(106)123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4实例3、（录像机计数器的用途）计时器读数n 与录像带转过的时间t之间的关系为利用下表的数据确定两个参数a、b的值。 t（分）0102030405060708090n 0000061711411601201924032760309634133715t（分）100110120130140150160170184n 400442804545480350515291552557526061实验二：用Lindo求解线性规划问题学时：4学时实验目的：掌握用Lindo求解线性规划问题的方法，能够阅读Lindo结果报告。实验内容：实例1.一家广告公司想在电视、广播上做公司的宣传广告，其目的是争取尽可能多的影响顾客。下表是公司进行市场调研的结果：电视网络媒体杂志白天最佳时段每次做广告费用（千元）45862512受每次广告影响的顾客数350880430180受每次广告影响的女顾客数（千人）260450160100这家公司希望总广告费用不超过750（千元），同时还要求：（1）受广告影响的女性超过200万；（2）电视广告的费用不超过450（千元）；（3）电视广告白天至少播出4次，最佳时段至少播出2次；（4）通过网络媒体、杂志做出的广告要重复5到8次。解：模型假设：首先假设用电视做广告白天播出次数、最佳时间播出次数、网络媒体重复广告次数、杂志重复广告的次数分别为x1，x2，x3,x4。建立模型如下：Max Z=350x1+880x2+430x3+180x4 %受广告影响的顾客人数 s.t. 45x1+86x2+25x3+12x4750 %广告费用限制260x1+450x2+160x3+100x42000 %受广告影响的妇女的人数限制45x1+86x2450 %电视广告费用限制x14，x22，5x3,x48 %其他限制在Lindo中输入程序并进行分析有程序如下：Max 350x1+880x2+430x3+180x4s.t.45x1+86x2+25x3+12x475045x1+86x22000x35x45x38x44x22endgin 4结果如下： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 12 OBJECTIVE VALUE = 9042.79102 NEW INTEGER SOLUTION OF 8920.00000 AT BRANCH 1 PIVOT 17 BOUND ON OPTIMUM: 8920.000 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 1 PIVOTS= 17 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION. OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 8920.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 4.000000 -350.000000 X2 3.000000 -880.000000 X3 8.000000 -430.000000 X4 8.000000 -180.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 16.000000 0.000000 3) 12.000000 0.000000 4) 2470.000000 0.000000 5) 3.000000 0.000000 6) 3.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 1.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 17 BRANCHES= 1 DETERM.= 1.000E 0即这家广告公司在电视白天、最佳时段，网络媒体、杂志的广告次数分别为4,3,8,8受广告影响人数最多为8920千人.实例2：求解书本上P130的习题1。列出线性规划模型，然后用Lindo求解，根据结果报告得出解决方案。投资规划问题 某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有一下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5（1） 若该经理有1000万元资金，应如何投资？（2） 如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？（3） 在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解：设投资证券A,B,C,D的金额分别为 x1,x2,x3,x4,x5（百万元），按照规定限制1000万元的资金约束，则线性规划模型为： z=0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5 %最后收益 %政府及代办机构的证券购进总额限制 %总金额限制 %平均信用等级限制%平均到期年限限制在Lindo中输入并要求做灵敏性分析有：Max 0.043x1+0.027x2+0.025x3+0.022x4+0.045x5s.t.x2+x3+x44x1+x2+x3+x4+x5106x1+6x2-4x3-4x4+36x504x1+10x2-x3-2x4-3x50x20x30x40x50end结果如下： LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.2983637 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.181818 0.000000 X2 0.000000 0.030182 X3 7.363636 0.000000 X4 0.000000 0.000636 X5 0.454545 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3.363636 0.000000 3) 0.000000 0.029836 4) 0.000000 0.000618 5) 0.000000 0.002364 6) 2.181818 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 7.363636 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.454545 0.000000 NO. ITERATIONS= 0 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 0.043000 0.003500 0.013000 X2 0.027000 0.030182 INFINITY X3 0.025000 0.017333 0.000560 X4 0.022000 0.000636 INFINITY X5 0.045000 0.052000 0.014000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 4.000000 3.363636 INFINITY 3 10.000000 INFINITY 4.567901 4 0.000000 105.714287 20.000000 5 0.000000 10.000000 12.000000 6 0.000000 2.181818 INFINITY 7 0.000000 0.000000 INFINITY 8 0.000000 7.363636 INFINITY 9 0.000000 0.000000 INFINITY 10 0.000000 0.454545 INFINITY则有（1）证券A,C,E分别投资2.082百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元（2）由OBJECTIVE FUNCTION VALUE的DUAL PRICES中的第二行结果知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298百万元，大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息0.0275百万元，所以应借贷，投资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：证劵A、C、E分别投资2.40百万元，最大税后收益为0.3007百万元。（3）由OBJ COEFFICIENT RANGES的ALLOWABLE INCREASE中的x1、x3行的结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的税前收益可增加0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益可减0.112%（注意按50%的税率纳税），故证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。实验三：用Lingo求解非线性规划问题学时：2学时实验目的：掌握用Lingo求解非线性规划问题的方法。实验内容：求解书本上P132的习题6、7。列出非线性规划模型，然后用Lingo求解，根据结果报告得出解决方案。P132 第6题题目：某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记作甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品A、B，按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须 先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别与原料丙混合生产A、B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别不能超过2.5，1.5(%),销售价格分别为6,16,10,15（千元/吨）.根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50吨；产品A、B的市场需求量分别为100吨、200吨.问应如何安排生产？解：设y1,z1分别是产品A中是来混合池和原料丙的吨数，y2,z2分别是产品B中是来混合池和原料丙的吨数.混合池中原料甲、乙、丁所占比例分别为x1,x2,x4优化目标是总利润最大，即Max (9-6x1-16x2-15x4)y1(15-6x1-16x2-15x4)y2(9-10)z1(15-10)z2约束条件：原料最大供应量限制：x4(y1y2)=50产品最大需求量限制：y1z1=100； y2z2=200产品最大含硫量：整理得对A(3x1x2x4-2.5)y1-0.5z1=0对B (3x1x2x4-1.5)y20.5z2=0其他约束条件： x1x2x4=1在LINGO中输入Model:Max=9*y1+6*x1*y1-16*x2*y1-15*x4*y1+15*y2-6*x1*y2-16*x2*y2-15*x4*y2-z1+5*z2; x4*y1+x4*y2=50; y1+z1=100; y2+z2=200; 3*x1*y1+x2*y1+x4*y1-2.5*y1-0.5*z1=0; 3*x1*y2+x2*y2+x4*y2-1.5*y2+0.5*z2Descriptive Statistics- Descriptives-把成绩y放到Variable中选择最下面的一项-选择Options-选择 Mean,std.deviation,Range,Kurtosis,Skewness -Continue-返回界面后OK 则有如图即均值为80.10 标准差为9.711极差为44偏度为-0.480 峰度为0.274直方图有：Graphs-Histogram-把成绩y放到Variable中，则有如下图方法二：Analyze-Descriptive statistics-Explore则有如图浏览2)检验分布的正态性；解：analysisNonparametric Tests-1-Sample K-S 则有如图NPar 检验即该分布为正态分布。3)若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数.T检验：Analyze-Compare Means-One-sample T test-把y选入Test Variable中，则有下图 即实验五：用matlab进行回归分析学时：4学时实验目的：掌握matlab进行回归分析的方法。实验内容：实例1.某商品的需求量、消费者的平均收入、商品价格的统计数据如下表所示，试用所提供的数据预测商品的需求量。需求量10075807050659010011060收入10006001200500300400130011001300300价格5766875439解：设需求量为y，收入为x1，价格为x2.则大体判断y与x1，x2的数据关系程序有： x1=1000,600,1200,500,300,400,1300,1100,1300,300; x2=5,7,6,6,8,7,5,4,3,9; y=100,75,80,70,50,65,90,100,110,60; p=polyfit (x1,y,1);x1i=200:0.1:1400;yi=polyval(p,x1i);subplot(1,2,1) plot(x1,y,*r,x1i,yi,g) title(y对x1的散点图) p=polyfit (x2,y,1);x2i=1:0.01:10;yi=polyval(p,x2i);subplot(1,2,2) plot(x2,y,*r,x2i,yi,g) title(y对x2的散点图)由左图知，随着 X1的增加，y的值有比较明显的线性增长趋势，图中的线性模型是用直线模型：拟合的（其中是随机误差）由右图知，随着 X2的增加，y的值有比较明显的线性下降趋势，图中的线性模型是用直线模型：拟合的（其中是随机误差）则综上所述，可有如下模型，式中和为回归变量是给定收入和价格时，商品需求量y的平均值，其中，称为回归系数，由题目所给的表的数据估计，影响y的其他因素都包含在随机误差中。模型程序有： A=1000,600,1200,500,300,400,1300,1100,1300,300;5,7,6,6,8,7,5,4,3,9; y=100,75,80,70,50,65,90,100,110,60; e=ones(10,1); x=e,A; b,bint,r,rint,stats=regress(y,x)b = 111.6918 0.0143 -7.1882bint = 56.0503 167.3334 -0.0120 0.0406 -13.2306 -1.1458r = 9.9523 5.0477 -5.7188 -5.7109 -8.4750 -2.0929 -4.3368 1.3344 1.2867 8.7133rint = -4.2550 24.1597 -11.3965 21.4918 -17.7850 6.3474 -19.9338 8.5121 -22.0427 5.0927 -18.1130 13.9271 -18.5571 9.8836 -14.5248 17.1936 -12.6974 15.2709 -2.5272 19.9537stats =0.8944 29.6533 0.0004 52.0311结果分析：由上述运行结果可知，模型的预测方程为= 111.6918+0.0143x1 -7.1882x2，=0.8944,为因变量，y的值89.44%由模型确定，F值远远超过F检验的边界值，P远小于，因此模型从整体上看是可用的。实例2：财政收入预测问题：财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。下表列出了1952-1981年的原始数据，试构造预测模型。年份国民收入/亿元工业总产值/亿元农业总产值/亿元总人口/万人就业人口/万人固定资产投资/亿元财政收入/亿元195259834946157482207294418419535864554755879621364892161954707520491602662183297248195573755852961465223289825419568257155566282823018150268195783779857564653237111392861958102812355986599426600256357195911141681509672072617333844419601079187044466207258803805061961757115643465859255901382711962677964461672952511066230196377910465146917226640852661964943125058470499277361293231965115215816327253828670175393196613221911687745422980521246619671249164769776368308141563521968118715656807853431915127303196913722101688806713322520744719701638274776782992344323125641971178031567908522935620355638197218333365789871773585435465819731978368485589211366523746911974199336968919085937369393655197521214254932924213816846269219762052430995593717388344436571977218949259719497439377454723197824755590105896259398565509221979270260651150975424058156489019802791659211949870541896568826198129276862127310007273280496810解：分析与假设 由于财政收入更多的会与国民收入、工业总产值、农业总产值记： x1为国民收入，x2为工业总产值，x3为农业总产值，x4为总人口，x5为就业人口，x6为固定资产投资，y为财政收入。为了大致地分析y与x1,x2,x3,x4,x5,和x6的关系，首先利用表中的数据分别作出y与x1,x2,x3,x4,x5,和x6的散点图,程序如下： x1=598, 586, 707, 737, 825, 837, 1028, 1114, 1079, 757,677, 779, 943, 1152, 1322, 1249, 1187, 1372, 1638, 1780,1833, 1978, 1993, 2121, 2052, 2189, 2475, 2702, 2791, 2927; x2=349, 455, 520, 558, 715, 798, 1235, 1681, 1870, 1156, 964, 1046,1250, 1581, 1911, 1647, 1565, 2101, 2747, 3156, 3365, 3684, 3696, 4254,4309, 4925, 5590, 6065, 6592, 6862 ; x3=461, 475, 491, 529, 556, 575, 598, 509, 444, 434, 461, 514,584, 632, 687, 697, 680,688, 767, 790, 789, 855, 891, 932,955, 971, 1058, 1150, 1194, 1273; x4=57482, 58796, 60266, 61465, 62828, 64653, 65994, 67207, 66207, 65859, 67295, 69172,70499, 72538, 74542, 76368, 78534, 80671, 82992, 85229, 87177, 89211, 90859, 92421,93717, 94974, 96259, 97542, 98705, 100072; x5=20729, 21364, 21832, 22328,23018, 23711, 26600, 26173, 25880, 25590, 25110, 26640, 27736, 28670, 29805, 30814,31915, 33225, 34432, 35620, 35854, 36652, 37369, 38168, 38834, 39377, 39856, 40581,41896, 73280 ; x6=44, 89, 97, 98, 150, 139, 256, 338,380, 138, 66, 85, 129, 175, 212, 156, 127, 207, 312, 355,354, 374, 393, 462, 443, 454, 550, 564, 568, 496; y=184, 216, 248, 254, 268, 286, 357, 444, 506, 271, 230, 266,323, 393, 466, 352, 303, 447, 564, 638, 658, 691, 655, 69,657, 723, 922, 890, 826, 810 ; p=polyfit (x1,y,1);x1i=550:0.1:2500;yi=polyval(p,x1i);subplot(2,2,1) plot(x1,y,*r,x1i,yi,g) title(y对x1的散点图) p=polyfit (x2,y,1);x2i=350:0.1:7000;yi=polyval(p,x2i);subplot(2,2,2) plot(x2,y,*r,x2i,yi,g) title(y对x2的散点图) p=polyfit (x3,y,1);x3i=420:0.1:1300;yi=polyval(p,x3i);subplot(2,2,3) plot(x3,y,*r,x3i,yi,g) title(y对x3的散点图) p=polyfit (x4,y,1);x4i=57400:0.1:100100;yi=polyval(p,x4i);subplot(2,2,4) plot(x4,y,*r,x4i,yi,g) title(y对x4的散点图) p=polyfit (x5,y,1);x5i=20600:0.1:73300;yi=polyval(p,x5i);subplot(1,2,1) plot(x5,y,*r,x5i,yi,g) title(y对x5的散点图) p=polyfit (x6,y,1);x6i=44:0.1:570;yi=polyval(p,x6i);subplot(1,2,2) plot(x6,y,*r,x6i,yi,g) title(y对x6的散点图)则有以下图形：从上图可以看出随着x1，x2，x3，x4，x5，x6的增加，y的值都是有比较明显的线性增长趋势，各图中的使用的是线性模型（i=1,2,3,4,5,6）所以建立有如下的回归模型：。由题目所给的表的数据估计，影响y的其他因素都包含在随机误差中。在SPSS中Analyze-Regression -Linear-把y放入Dependent方框中，xx1,x2,x3,x4,x5,x6全放入Independent方框中-OK则有下图：Regression结果分析：由Model Summary表中可得出=0.983指因变量y的98.3%可由模型确定，=0.05，因而模型从整体来看是可用的。而由Coefficients表可知：，的估计值分别为159.144 ，0.458 ， -0.011，-0.513，0.001， -0.003， 0.317。所以回归模型可设为：y=159.144+0.458x1-0.011x2-0.513x3+0.001x4-0.003x5+0.317x6实验六 用Lingo求解大规模线性规划问题实验目的：掌握用Lingo求解大规模线性规划问题的方法。实验内容：求解全国大学生数学建模竞赛05年B题问题2：DVD的分配。会员每次租赁3张DVD，现在给出网站手上的100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）DVD编号D001D002D003D004DVD现有数量10401520会员在线订单C00016000C00020000C00030003C00040000注：D001D100表示100种DVD, C0001C1000表示1000个会员, 会员的在线订单用数字1,2,表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。所有数据将可从/mcm05/problems2005c.asp下载。提示：可建立如下0-1规划模型：其中cij是偏爱指数，其中0改成-1，其他数字如果是c，则用11-c代替。综合实验：DVD在线租赁实验目的：通过求解全国大学生数学建模竞赛05年B题，掌握综合运用数学软件求解复杂问题的方法。实验内容：随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核