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数学课堂教学中的思维训练山东省淄博市临淄区王朱小学王令全数学教学的核心是对学生进行思维训练，而对学生思维能力的培养和训练，主要是通过课堂教学来实现的。现就笔者教学“圆的认识”一课为例，谈谈思维训练在数学课堂教学中各环节的体现。1.创设情境，激发思维赞可夫曾说：“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西，是很容易从记忆中挥发掉的。”兴趣是学生学习的动力，又是激发思维活动的催化剂。古人云：学源于思，思源于疑。教师在课堂教学中有意识地创设情境(如悬念性问题情境)，则对学生具有更强烈的吸引力，更能调动学生的思维活动。笔者教学“圆的认识”一课的引入是这样设计的：用一段绳子，一端系着一红色小球，握住绳子的另一端将小球甩动起来。很容易就把学生吸引住了。接着问学生：“小球画出了一个什么图形?”学生一齐大声回答：“圆。”这样的设计既有知识上的铺垫，又能抓住学生注意力，引起学生强烈的兴趣。接着让学生举例说说生活中哪些物体是圆形，当学生举例说：“车轮是圆的。”笔者立即抓住这个问题问到：“车轮不做成圆的会怎么样呢?”学生纷纷议论，展开想象，气氛很热烈。再次抓住机会进一步悬疑：“车轮做成圆的为什么就会平稳行驶呢?圆有什么神奇的特点呢?”此时学生的思维活动已完全展开。2.操作交流，发展思维苏霍姆林斯基有一句名言：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中，这种需要则更强烈。”教师在教学设计中应针对儿童的这种心理特点，创造机会让学生去探索，而不能用教师的演示来代替学生的活动。鲁宾斯坦认为：“任何思维，不论它是多么抽象和多么理论的，都是从观察事物和分析经验材料开始，而不可能从任何其他东西开始的。”切断活动与思维的联系，思维就不能得到发展。要解决数学知识的抽象性和学生思维的形象性之间的矛盾，关键在于动手操作、主动探究。在教学圆的特点时，笔者设计“摸、折、量、议” 等学习活动，充分调动学生的各种感官参与到活动中来。通过“摸”，让学生感知圆的边缘是弯曲的；通过“折”，学生发现所有的折痕都交于一点(即圆心)；通过“量”学生得出直径、半径及其相互关系 学生主动探索的过程就是知识形成的过程，同时也是思维能力形成的过程。学生的操作交流，使思维活动外显、内化交替进行，既加强对知识的感性认识和理性认识，又进行充分的思维训练。3.适时点拨，拓展思维作为认识活动的主体学生，是具备丰富个性的能动的主体。封闭式教学容易造成他们思维狭窄、呆板。教师在教学中应注意适时点拨，拓展学生思维的空间，才能培养出思维敏捷、思路宽、有创造性等良好的思维品质。在教学圆的画法时，笔者鼓励学生思考多种画圆的方法。有的学生说：可以用圆规画圆：又有的学生说：可以借助圆形物体画圆；还有学生说：可以用两支铅笔插在三角板内三角形的两个顶点上，一支铅笔不动，另一支铅笔旋转一周也可以画出一个圆。笔者抓住这个问题启发学生思考：“如果要画出几个大小不同的圆怎么办?”这个问题又把学生的思维活动推向高潮。有学生说：“如果我在尺上多打几个孔，就可以画出大小不同的圆了。”笔者当即肯定这个学生的发言，并且告诉学生：“课后动动脑筋想一想，你完全可能发明一种比圆规更方便的画圆工具。有价值的发明还可以去申请专利。” 由于学生的思维此时还停留在一个狭窄的范围，为了把思维活动引入更广阔的空间，笔者又提出这样一个问题：“如果要在操场上画一个大的圆你有什么办法?”有个学生说：“我用老师画线的长勺舀上石灰原地转一圈，就可以画出一个圆。”笔者又问：“要画一个更大的圆又怎么办?”经过短暂的沉默，有个学生回答说：“我可以用一根长绳子，一端固定不动，握住另一端旋转一周就可以画出任意大小的圆。”这个学生的回答赢得一阵掌声。接着又问：“这绳子的长就是圆的什么?”随着教师的引导，学生的思维活动又与刚刚学习的圆的特点紧紧地结合在一起。这几个精彩的设问，使学生的思维活动高潮迭起。4.巧设练习，训练思维当学生学习新知后，教师应有目的地设计有层次的、有坡度的练习，才能使学生思维能力的发展得到巩固和螺旋式的提高。下面是笔者在“圆的认识” 的练习中的设计。（1）基础训练：判断题(略)，加深学生对概念的理解；（2）知识的应用： (动画演示：车轮不是圆的和车轴不装在圆的中心的车辆的运动状态)车轮做成圆形是运用了圆的什么特征?这个问题的设计目的是把知识与生活中的实际结合起来：（3）创新思维和审美训练：用圆创作美丽的图案。总之，在现代课堂教学中，应有机地运用各种教学方法和手段，以教学内容为基础，使思维训练贯穿于教学各个环节中，从而促进学生思维能力的发展。（姚新付老师提供）构建小学数学“思维训练式”概念教学模式的探索小学数学教学是提高学生素质的重要途径之一，学生素质的提高不仅在于知识的积累，更重要的是在于获取知识过程中学生数学素质的培养。数学素质其核心就是数学思维能力，它对学生掌握数学知识，认识世界，表达思想有极其重要的意义。数学概念是小学数学知识的重要组成部分，是反映现实世界空间形式和数量关系的本质属性，是客观事物的“数”与“形”的科学抽象。小学生计算能力的提高，空间观念的形成，逻辑思维能力的培养都是在加强概念教学的基础上进行的。只有加强数学概念的教学才能使学生进一步掌握数学知识，培养能力，提高课堂教学效率。如何让学生获得一个清晰的概念，我们经过实验、探索，较成功地获得了概念教学的新模式：“思维训练式”教学模式。一、确立一个教学观念传统教学仅仅把数学教学看成是“传授知识”或“落实双基”，课堂教学的预期效果只是使学生听得懂，能接受。因此，与之相应的教法就是不厌其烦地反复讲解，把知识嚼烂了一口一口地“喂”给学生，或是让学生模仿例题反复练习，这样就把数学思维能力的培养排斥在数学知识的教学之中，或者即使认识到要重视数学思维能力的培养，但不知道应有机结合数学知识教学来进行。事实上，学生数学思维能力的培养与数学知识教学是同步进行的，数学知识是数学思维活动的产物。在教学的每一步，不估计学生数学思维活动的水平、思维的发展、概念的形成和掌握的质量，就不能进行有效地教学。在数学教学改革中，应该把数学概念的教学和数学思维活动的教学两者有机地结合起来。因此，教师应确立数学概念教学是数学思维活动教学的观念，提高培养学生数学思维能力的自觉性，把数学思维能力的培养真正落到实处。二、关注两项基本形式不同年级的学生由于知识水平与经验有差异，因此建立数学概念的认识心理活动过程也就不一样。从总的方面看，其基本形式是“概念形成”与“概念同化”两种。一般地说，低年级小学生“概念形成”作为建立概念的主要形式。中高年级的小学生逐渐过渡到以“概念同化”作为数学概念的主要形式。“概念形成”这一形式是通过对具体事物感知辨别而概括抽象形成概念。这一形式的认知心理活动的一般过程如下。随着学生知识的丰富和数学认知结构的形成与发展，头脑中也逐渐形成数学要领系统。因此，小学中高年级学生在建立概念时，较多的是通过“概念同化”的形式。概念同化的认知心理过程一般是：概念的同化这一形式是运用已掌握的概念去理解、获取新的概念。学习新概念时，要与原认知结构中相关联的概念进行比较，实现知识的正迁移，使新概念的本质特征在学生头脑中得到精确分化，使新旧知识得到有机结合与联系，从而建立起新概念。三、遵循三条教学原则1培养学生思维能力要与数学概念的教学紧密结合。九年义务教育小学数学教学大纲（试用修订版）明确指出：“学生初步的逻辑思维能力的发展要有意识地结合教学内容进行。”因为数学概念的教学与思维能力的培养是相辅相成的。数学概念为培养思维能力提供富有逻辑性的素材，反过来，培养了思维能力又为很好地掌握数学概念创造了条件。把两者分离开来教学，无论对学习数学概念或培养思维能力都不会有好的效果。为此，教师在备课时，要认真研究教材，弄清数学概念本身的科学性、系统性和逻辑性，分析教材中含有哪些培养学生思维能力的因素。教师在制订一节课的教学计划时，不仅要明确数学教学方面的教学目标要求，而且要明确在培养思维能力上侧重哪些方面，达到什么样的要求，并且力求在教学中有所体现。教学时，教师要考虑选定什么样的方法，既能做到使学生较好地理解和掌握数学概念，又有助于激发学生思考，培养学生的思维能力。2要把学生思维能力培养贯穿在各年级数学教学的始终。大纲（试用修订版）明确指出：“要把发展智力和培养能力贯穿在各年级教学的始终。”小学生正处在由具体形象思维向逻辑思维逐步过渡的阶段，思维能力水平的提高是一个逐步过渡的过程，因此这就要求数学教学应适合儿童年龄发展的特点，有计划、有步骤地培养学生的思维能力，并且贯穿在小学数学教学的全过程中。为此，每个年级、每节课、每一个教学环节都要考虑学生在学习数学概念的同时，如何发展学生的思维能力，如果低年级忽视思维能力的培养，就会给中高年级增加教学困难；反过来，如果低、中年级重视发展思维能力，到高年有所忽视，也会给进一步发展学生思维造成不利影响。为了贯彻这一条原则，在教学过程中，教师就要很好地研究各年级学生的思维发展特点，根据学生的年龄特点、紧密结合概念教学，提出适当的发展思维能力的要求和具体目标。3适应小学生心理特点，注意把操作、思维和言语表达结合起来。低年级学生的思维特点仍以具体形象思维为主，中高年级学生的思维虽然逐步向抽象逻辑思维过渡，但是在许多情况下，特别是遇到较抽象的数学概念，仍需要适当借助操作和直观。为了使学生较好地理解和掌握数学知识，同时也为了逐步发展学生的抽象思维、激发学习兴趣，在一定条件下适当利用操作和直观来引导学生进行思维是必要的。但是无论操作和直观，都是学习的手段，在适当的时候要逐步脱离操作和直观，过渡到抽象思维，避免学生过多地依靠操作和直观。思维和语言是密切联系着的，语言是思维的工具。人们借助语言，才能对事物进行抽象、概括，反过来又借助语言，才能对事进行调节，使思维逐步完善。因此发展学生的思维，必须相应地发展学生的语言。学生的语言也是逐步发展的，所以在发展学生思维和语言时，都要考虑到学生语言发展的特点。四、抓好四项训练重点1抓概念的内涵和外延。在教学过程中，教师应帮助学生建立清晰的概念，理解掌握概念的内涵和外延。这个工作对数学教师来说相当重要。一般来说，一个基本概念，总是由“内涵”和“外延”两个部分组成的。2抓概念的要点和关键。在教学概念时，教师要指导学生抓住概念的要点和关键性的字词，并用红笔加上着重符号，以强化注意。3抓概念的实例和反例。对学生不容易弄清的那些概念，教师要先指导学生分析一些有关要领的实例和反例，再让学生一起归纳总结出正确的要领。4抓概念的区别和联系。在教学中，教师要及时指导学生对一些相关概念进行对比、归类，揭示概念之间的内在联系，找出本质区别，使概念系统化、规律化。五、形成五步操作程序1引导创设情境、激发思维、引入概念。概念教学的第一步就是引入概念。概念如何引入，直接关系到学生对概念的理解、接受。小学生学习概念一般以感知具体事物，获得感性认知开始的。重视问题情境创设，激发学生思维，使学生产生积极主动地学习新知识的心向训练。2探究直观操作、深化思维、理解概念。概念的理解是概念教学的中心环节，概念的获得是学生经过分析、综合、比较、抽象、概括的结果。只有在概念引入之后，引导学生自己主动探索，激发、深化学生思维，才能理解概念。3发现分析归纳、强化思维、形成概念。概念的抽象与概括要注意多层次地进行，概念的形成也不是一次完成的，要经过一个反复的过程，经过多层次的比较、分析与综合，才能真正发展学生的思维结构，让学生真正理解概念。4内化巧设练习、扩展思维、应用概念。问题明白了，概念抽象概括了，并不等于牢固掌握、切实理解，此时须有一个知识内化过程。通过各种形式的训练促使数学知识在发展中飞跃，促使学生在认识数学概念过程中得到发展。5拓宽质疑问难、系统思维、发展概念。除在概念的熟练运用中发展学生的思维外，还要注意找出概念间纵向和横向联系，组成概念系统，发展学生的数学能力。六、注意六种练习方法1操作演示。思维始于操作，操作促进思维。在概念教学过程中，教师应多开展些直观操作活动，这会有助于学生对概念形成和巩固。例如，“角的分类”教学，学生初步形成各种角的概念后，让学生操作活动的学具，演示出各种角的具体形象。随着角的一边绕它的端点旋转，出示五种不同的角形。2反馈举例。在概念教学中，教师不仅要求学生能用自己的语言表述概念，而且还要求学生在表述概念的同时，举例加以说明，促使学生认知水平向较高层次发展，帮助学生建立新的认知结构。3推理判断。由于学生缺乏知识经验和综合分析能力，在认识数学概念的过程中，容易被概念的非本质属性所诱惑，造成认识上的偏差。因此，在教学过程中，教师要积极开展对比、辨析、推理、判断等教学活动，让学生在肯定或否定的思维训练中，建立准确、清晰的数学概念。4尝试错误。所谓尝试错误，即学生从正面接触概念，建立概念后，教师从概念的反面有针对性地创设一种错误的情景，引导学生深入这种特定的情景中，运用已有的知识和经验，去分析错因，去尝试矫正。5变换叙述。学生认识某一数学概念后，变换概念的叙述形式，可以让学生从多侧面、多角度地认识概念。同时能考查学生对概念的理解程度，达到巩固的目的。例如，“百分数意义”教学，在分析题意，理解数量关系同时，教师应该有意识地让学生变换问题的叙述形式，这样才能收到理想的教学效果。6整理归纳。根据“系统论”原理，新概念形成后，应及时把它纳入原有的概念系统中去理解，这样才能既有利于学生掌握新概念，又能巩固整个一类概念的系统知识，沟通概念之间的联系，形成知识网络，便于学生建立良好的数学认知结构。（陆李华老师摘自中国教育文摘）谈小学数学思维能力的培养思维是数学的灵魂。培养和发展学生的思维是一个永恒的课题，也是我们教育工作者的重要职责。事实上，对于学生思维能力的培养，应该贯穿于教师教学的全过程。新的数学课程标准也提出了：“结合相关的内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括、对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据的思考问题；同时注意思维的敏捷和灵活。”如果教师对此认识不够，忽视对学生思维能力的培养；或者虽然有培养学生思维能力的良好愿望，但由于方法不够妥当，效果就不够好，甚至会产生一些副作用。因此开展对这一问题的研讨是非常必要的。下面就这个问题谈点自己的体会。一、明确培养学生思维能力的重要意义对学生思维能力的培养是否能真正纳入到教学的全过程中去。从而取得实实在在的效果，关键是对培养学生思维能力的重要意义有一个比较明确地认识。认识明确了，思想上就会高度重视起来，而重视程度的高低，决定着培养效果的好差。对培养学生思维能力的重要意义我是从以下“四个需要”进一步加以明确的。（一）是正确实施小学数学课程标准的需要现行的小学数学课程标准，是依据培养人才的目标确定的小学数学教学目标。所以，就应该遵循课标所制定的目的，认真自觉地培养学生的思维能力。这里要克服的是“教”与“学”存在的重结论，轻思维过程的毛病。如在讲“商不变的性质”的时，可以根据63=2；6030=2；600300=2；60003000=2一组题，又出另一组题：（62）（32）=2；（63）（33）=2；（64）（34）=2；（65）（35）=2。然后引导学生认真观察、分析、思考。这样不仅加深了学生对被除数与除数扩大或缩小相同倍数其商不变的理解程度，同时又培养了学生归纳、抽象能力。像这样坚持对学生引导训练，逐步形成学生的思维习惯，从而达到提高他们思维能力的目的。（二）是更好地促进形象思维向抽象思维过渡的需要小学生从低年级到高年级，其思维能力是逐步提高的，但是我们决不能仅仅满足于这种自然的提高，而应该分层次的进行培养，促使他们更快、更好地完成由形象思维向抽象思维过渡的过程，已达到认识活动的高阶段。因此，要针对小学生的不同阶段，循序渐进的进行培养，像爬山一样，顺着坡度，由低到高地训练。如对低年级的学生，应该更多地给一些直观、具体的材料，让他们借助实物、图片的表象进行思维；中年级则逐渐抽象出一些图形，实现由直观形象水平向抽象水平的过渡；到了高年级，则可让学生根据一些定义来进行初步的判断和推理，等等。这种思维过渡完成得好，学生的思维能力就会由低到高，有浅到深，进而向更深远的思维空间发展。（三）是加快实现基础教育向素质教育转轨的需要实施素质教育是教育观念根本转变，同时数学教材也相应地进行了调整。改变了以往过分重视知识，追求高分而忽视能力、方法、兴趣的培养，代之以在重视基础知识和基本技能的基础上更加注意启发学生的思维，引导学生探索知识的形成过程，培养学生观察、操作、解决实际问题的能力，促进学生的全面发展。如果还用单纯的应试教育的观念，方法来对待素质教育，就不可能很好地开拓学生的积极思维，提高学生的观察、分析、操作能力。由此我们就认识到，培养学生的思维能力，是实施素质教育的根本性要求。（四）是不断增强学生创新意思的需要“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”这就是说，我们的民族需要创新，我们这个社会需要创新，这关系到民族兴旺，国家的强盛，社会的发展。为了使我们拥有持续创新能力的人才资源，从小抓起是非常重要的。也就是说要从娃娃抓起，从课堂教学抓起。什么是创新？我认为，创新是思维能力的体现。试想，一个思维迟钝，抽象能力很差，想象空间很窄的人，怎么能够创新呢？所以，思维能力是创新的前提条件，思维能力与创新意思是正比关系，思维能力越强，创新意思越强。所以，增强学生的创新意识，必须从培养学生的思维能力入手。二、注重培养学生思维能力的方式方法在明确了培养学生思维能力的重要意义，端正了教学思想之后，以怎样的方式方法去培养学生的思维能力就显得更加重要了。也就是说光有良好的愿望是不够的，还必须运用相应的方法，把愿望变成现实，已达到动机与效果的统一。总的说，培养学生的思维能力，要有一个前提，坚持一个原则，运用得当的方法。一个前提，就是端正思想认识（这方面我前面已经讲了）；坚持一个原则，就是面向全体的原则。面向全体学生既然是实施素质教育的根本要求，那么培养学生思维能力也就必须符合这个根本要求，至于如何培养，方法是很多的。在实践中我感觉以下几种方法是可以运用的。（一）开展趣味教学，激发学生兴趣，是启动学生思维的钥匙我们知道，思维就要开动脑筋，就是说必须动脑子。这里有一个愿不愿意动脑子的问题。怎样才能把学生脑筋这把锁打开呢？最好的办法是激发学生的兴趣。为此，一是要精心设计学案，把课上得有声有色，使学生学得有滋有味，刺激学生的兴奋点，促使他们肯于动脑，乐于思考；二是充分利用学生的好奇心，引导他们去研究问题。如教“分数与小数的互化”时，以游戏形式，让学生任意说出一个分数，不做除法，可以知道这个分数能否化成有限小数。学生一听十分感到好奇，都想知道是怎么回事，从而有了学习的需要，产生了学习的动力，在进一步引导他们去找规律，求结论。这种由好奇心引出的求知欲望，就是通过激起学习情趣，促发学生产生灵感，培养学生思维能力的一个过程。类似的例子还很多。总之，在引入新课时，要有意识、有针对性地培养学生的学习兴趣，集中学生的注意力，使学生在课堂上始终处于积极的思维状态。（二）创设教学情境，引起探索活动，是培养学生思维能力的关键学生学习思维的主动性和积极性，一般来讲不会自然涌现，关键是取决于老师所创设的富有变化，能激发新异感的学习情境。对学生感到奥秘以及思维上的难点，只靠学生学习兴趣和学习动机是不能完全解决的。我们必须设计一些有价值的问题，环环相扣，直逼目标、以达到突破思维难点之目的。如学生感到对理解求最大公约数的方法较深奥，我们就可以围绕以下问题进行设计：1.什么是公约数？2.18和30的公约数应当分别和18、30什么关系？3.这个公约数是否必须包括18和30全部公有的质因数？4.最大公约数是公约数中最大的，是否应包括18和30全部公有的质因数？5.18和30的最大公约数应怎样求？这样创设的学习情境，既能引起学生对求最大公约数的思维活动，又能使学生容易理解求最大公约数的方法。（三）提倡质疑问难，启发探讨释疑，是活跃学生思维的动力质疑问难应该是对师生双方面的要求，教师可以向学生提问，更要鼓励和提倡学生向老师进行质疑。这样才能鼓励学生勤于思考，敢于思考。这方面教师要有一个端正的态度：一是不怕被学生问倒，更不能不懂装懂。课堂上遇到学生提出的问题一时回答不出来时，不要觉得面子过不去，也不要发火训斥学生。有一次我在听“角的分类”一课时，当老师讲完“小于90度的角叫锐角，90度的角叫直角，大于90度而小于180度的角叫钝角，180度角平角，360度的角叫周角”后，一个学生问：“大于180度而小于360度的角叫什么角呢？”这个问题当时一下子把老师难住了。老师表扬同学问题问得好，之后把这个问题抛给了同学及听课的老师，最后找到了问题的答案：大于平角而小于周角的角叫优角。听课老师是在一本数学小辞典上看到的。这个例子说明，学生肯于动脑筋，问题提得也有道理，虽然把教师问住了，但教师不仅不应感到丢脸，反而应该感到高兴，因为学生思维越活跃其思维能力增长越快。二是对回答学生的问题要周密，并起到引导作用。在一般情况下，教师对学生提出的问题是能够给予正确回答的。但是教师也会遇到对答案一时叫不准的时候，这时就要老老实实对学生讲，这个问题老师需要想一想，想好了再回答你。如在讲“正方形是特殊的长方形”时，学生问：“老师讲长方形有的特点正方形都有，而正方形有的特点长方形没有，那么是长方形邻边不相等这个特点正方形就没有，这怎么解释呢？”对这个问题，教师要思考是讲错了呢？还是学生的思考方法不对呢？所以，不要立即对学生提的问题给予否定或肯定地回答，而是经过周密思考，教师在有了准确答案后，先表扬学生敢于思考的精神，然后反问学生：长方形有哪些特征？“邻边不等”是长方形的特征吗？通过提问引导学生自己弄清长方形的特征。长方形的邻边可以不等，也可以相等，邻边相等的长方形是特殊的长方形，也是正方形。这样就发扬了教学民主，给学生创造一个宽松的学习环境，鼓励学生质疑问难，不懂就问，想问什么就问什么，培养学生由“敢问”到“善问”,由“学答”到“学问”。（四）加强语言训练，重视口头表达，是培养学生思维能力的润滑剂语言是思维的工具，思维则靠语言来表达，人们总是运用语言来进行思维活动的。如果打个比喻：思维就像是一驾机器，语言好比是保证机器灵捷转动的润滑剂。语言越流畅，表达力越强，思维活动也就越灵敏。小学生的思维发展与小学生外部语言几乎是同步发展的。所以对学生语言的训练，应该贯穿于思维能力培养的始终。一是注意语言训练的阶段性。不同阶段要有不同侧重，低年级学生的思维处于有声思维阶段，在思维活动中往往多伴随自己说话的声音。如在做题时，嘴里要念叨，边做边说，这时低年级思维的特点，不说话，思维就无法顺畅进行。所以在低年级，就不能绝对要求课堂鸦雀无声，甚至禁止学生自言自语，要知道这样做是不符合低年级思维特点的。这时候教师要因势利导，给他们创造一个发挥其特点的课堂气氛，以利于学生思维的发展；到了中年级，学生虽有了一些默默思考，但是那种愿说，敢说，想说什么就说什么，愿意表现自己的特点依然存在，对一些问题总想用自己的话表示想法和意见。这时候就鼓励他们把话自由地讲出来，把意见自由地发表出来；高年级爱说爱讲的特点相对少了，他们的想法多了，怕说错了丢面子，怕别人说是出风头等等，这都成了语言训练的障碍。这时候语言训练的重点，是把不自信转化为自信，把被动转化为主动，把自我表现转化为自我奋进上。二是注意语言训练的有效途径就是促使学生大胆发言，提高口头表达能力。可以运用以下方法：1.谈话法。教师用谈话的方式进行教学，师生可以直接对话，引导学生回答每一个问题。这样使学生及获得新知识巩固旧知识，又培养了语言表达能力。2.互助法。把全班同学分成若干个小组，每组人数不要太多，一般保持4-5人，对程度不同的同学进行搭配，分组训练他们说话，这就起到了互助带动作用，讲话就不受拘束了，发言也就活跃起来。3.鼓励法。要注意发掘学生的积极因素，对他们的进步表现要多表扬，多鼓励。尤其是对那些不爱说话，或不敢讲话的学生，在他们有了转变时，更应给予肯定，给他们壮胆、打气，增强他们踊跃发言，大胆讲话的勇气和信心。三是注意语言训练的引导性。学生敢发言，语言变得活跃了，教师就能通过学生的语言来发现他们思维过程的某些状态或缺陷，并及时给予肯定或纠正，正确加以引导，让他们说出思维过程。如做3/4=8+（）/16时，就要引导学生准确、精炼地说出：因为分母从4到16扩大了4倍，根据分数的基本性质，分子也应扩大4倍，即应是12，故而8应+4。如果做再复杂一些的题，那么思维过程的讲述，也就要求得更高，更严密。从而既提高了学生的表达能力，又不断地促进了学生思维的发展。（五）运用直观教具，提供操作条件，是培养学生思维能力的必要手段我从实践中感到，只重视教科书的作用和使用是很不够的，同时也应该注意其它教学材料的使用。因为教科书是教学的基本手段，而其它教学材料包括各种教具，也是教学的必要手段。运用直观教具，可以诱导和启发学生深入细致地观察，是他们从感性认识上升到理性认识。如讲长方形的认识时，让学生准备一些长方形，先让学生观察，先看到长方形有四条边、四个角；再让学生想办法，得出对边相等，四个角都是直角的特征。在此基础上，进一步让学生把大小不同、形状不同的长方形摆出不同的位置，运用变式，再认真观察，以突出长方形的本质特征。又如在建立“物体所占空间的大小叫做物体的体积”这一概念时，事先准备两个大小相等盛着同样多水的玻璃水槽，再准备两个大小不同的铁块，然后分组让学生自己动手把两个铁块分别放入两个水槽内，引导学生注意观察槽内水位的变化，着重分析水位变化的原因，使学生认识到铁块占据一定的位置，从而加深理解了“物体所占空间的大小叫物体的体积。”这一概念。这种形象、直观又亲自动手操作的办法，对学生感性到理性的升华有着非常好的作用（吴淑青摘自福建小学新课程）【教学案例】解决问题的策略海门实验学校小学部卞惠石教学内容：苏教版五（上）第6364页的例1、例2和练一练，练习十一第13题。教学目标：1让学生经历用一一列举的策略解决实际问题的过程，能根据问题情境有意识地不重复、不遗漏的列举出符合要求的所有答案。2让学生在解决实际问题过程的反思和交流中，感受“一一列举”的特点和价值，进一步发展思维的条理性和严密性。3在观察、操作、讨论、交流的学习过程中，激发学生的学习兴趣，培养合作意识和主动探求知识的能力，增强解决问题的策略意识，提高解决实际问题的能力，增强学好数学的信心。教学重点：感受“一一列举”的特点和价值，能用“一一列举”的策略解决实际问题。教学难点：能有条理地一一列举，找到符合要求的所有答案。教学准备：课件。教学过程：一、围绕策略引入师：同学们，这节数学课我们学习什么内容？（板书课题）（挺会观察的，屏幕上已经显示了）师：我们一起把课题读一下。从课题上看，你觉得这节课的重点在哪儿？师：对。田忌赛马的故事，大家都很熟悉。田忌改变了马的比赛顺序，这一小小的策略却改变比赛的结果。解决数学问题，同样如此，讲究的是一个策略。师：还记得四年级，我们学过什么策略吗？（列表、画图）师：今天我们要学习一个什么策略呢？（点击屏幕）这儿有一个数学问题，希望大家在解决问题的过程中，自己总结出这个策略来，并体会这个策略有什么好处？二、围绕策略建模1简单列举屏幕出示例1的条件及其场景图。出示：王大叔用18根1米长的栅栏围成一个长方形羊圈师：从中，你知道什么信息吗？师：同学们，这道题还少了？你能提出一个数学问题吗？生：可以怎样围呢？师：想不想知道教材上提了什么问题？出示：有多少种不同的围法？师：只看这个问题，你有什么想法？师：对呀！居然有很多种不同的围法，总不能用小棒一个一个尝试着摆出来，你有何策略把所有不同的围法找出来，做到不遗漏呢？独立思考，做在探索本上。师：有多少种不同的围法，大家交流一下你们的想法。谁先来。师：能否总结一下，这是什么策略？师：一一列举，有什么特点？正因为有序，所以，不会遗漏。这里，长能为6.5吗？师：如果你是王大叔，会选择哪一种围法？为什么？（你还想到了面积，真好！）口算四个长方形的面积，长方形的长（米）8765长方形的宽（米）1234长方形的面积（平方米）8141820师：观察比较这张表格，你们有什么发现吗？小结：长方形周长相等，面积不一定相等。在周长不变的情况下，长和宽越接近，面积就越大；长和宽相差的越大，面积就越小。2分类列举师：一一列举的应用非常广泛，刚才的列举只是最简单的。我们称它简单列举。我们再来看一个数学问题，也是一个生活问题。屏幕出示例2及其场景图，自主读题。师：如果让你订阅，你准备订几本？师：有多少种不同的订阅方法呢？请同学们自己独立完成。师：做完的，请打开书本到64页，和书上的比较一下。你做对了吗？师：比较：你做的和书上的方法后，你有话要与同学们说吗？师：我们请7个人，拿着书的封面，站到前面来，表示7种不同的订阅方法。你们商量一下，怎么展示这道题的结果？师：不管是书上的两种表示方法，还是用字母表示。做这道题时，要分两步，第一步：，第二步：，我们把这种方法叫：分类列举。师：谁能代替老师对今天学习的内容，做一小结。三、围绕策略运用师：我们来看一下练习十一的三道题，哪些题是简单列举？哪些题是分类列举？重点让学生独立完成第三题。四、围绕策略内化师：同学们，“一一列举”既可以说是我们的新朋友，又可以说是我们的老朋友。你想起来了吗？一年级时学习的分与合，二年级学习的用数字组数，四年级学习的搭配的规律都用到了一一列举。一一列举是解决问题的重要策略。解决问题的策略海门实验学校小学部王振丹教学内容：五年级上册第63、64页。教学目标：1使学生经历用列举的策略解决简单的实际问题的过程，能通过不重复、不遗漏的列举找到符合要求的所有答案。2使学生在对解决简单实际问题的过程的反思和交流中，感受“一一列举”的特点和价值，进一步发展思维的条理性和严密性。3使学生进一步积累解决问题的经验，增强解决问题的信心。教学重点：能对信息进行分析，用“一一列举”的策略解决实际问题。教学难点：有条理地一一列举，发展思维的条理性和严密性。预习作业：独立完成书本第63页的例1，把不同的围法做好记录。一、揭示课题，认定目标师：今天这节课，我们来研究解决问题的一种策略一一列举。（板书课题）二、自主学习，建构模型1交流例1师：课前，大家帮王大叔解决了这样一个问题，我们来看几份作业。（1）说说你是怎样思考的。（2）这几种记录方法，你最欣赏哪一种？为什么？（板书：有序）（3）老师也画了一张表格，这里可以怎么填？还有不同的围法吗？你怎么知道没有了？师：看来，只要我们有序地进行一一列举，就能做到既不重复也不遗漏。（板书：不重复、不遗漏）（5）如果你是王大叔，你会选择哪个长方形做羊圈？（口算面积）（6）仔细比较这些长、宽和面积，你有什么发现？（周长一样，长和宽相差越大，面积越小；长和宽越接近，面积就越大。）小结：刚才，我们帮王大叔解决的问题，用的策略是一一列举。在列举的时候，只要做到有序，就会不重复也不遗漏。2研究例2师：同学们，平时喜欢看课外书吗？瞧，这里有三种杂志。（1）出示题目：谁来读题？你觉得首先要理解哪句话？也就是说，这里有几类订阅的情况？（2）那么，有多少种不同的订阅方法呢？你准备用什么策略来解决这个问题？（3）独立做题后，集体汇报。（4）书上还用到了列表的方法，一起来看一看。你能看懂吗？谁来解释一下？3总结师：刚才，我们解决例1和例2都用到了哪个策略？要得到全部答案，列举时要注意什么？小结：一一列举是个好的策略，但不同的问题也需要不同的处理方法，有的可以直接列举，而有的需要先分类再列举。4梳理师：其实，一一列举在我们以前的学习中也用到过。比如，编写乘法口诀；排队照相；裤子与衣服的搭配；三、组织练习，完善认知1练习十一第1题师：而在生活中，也有很多应用“一一列举”的例子。（1）指名读题。师：你能像这样列表找出答案吗？（书本66页第1题）（2）独立解题后汇报。师：谁愿意上台介绍你列举的过程？师：刚才，大家通过一一列举，找到了这两路车第二次同时发车的时间。如果想知道第三、第四次几时几分同时发车，可以继续列举下去。感兴趣的同学课后尝试下。2飞镖游戏（1）师：大家玩过飞镖游戏吗？（出示靶子）如果投中一次，可能得到几环？（板书：10、8、6）小华投中两次，可能得到多少环？请你列举出所有可能的答案。行吗？（2）学生完成后，集体交流。点评：这里，如果有重复的答案，就只能算做一种可能。四、当堂检测，评价反思师：下面，我们就用“一一列举”的策略完成课堂检测。1独立完成补充习题第41页第2、3题。2集体校对。五、课堂回顾师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？【评课沙龙】陆李华：曾在很多次的数学研讨活动中，都听到卞校长这样说道：“多做一道题，少做一道题并没有太大关系，重要的是从每一道解题的过程中，孩子能获得些什么。”反思自己以往的教学，更侧重的是“解决问题”，而缺少的是对学生“策略体验”的关注。有幸听了卞校长执教的解决问题的策略，真正地感受到：单纯的“解决问题”只是学于形，而对于“策略”的体验、运用才是本位的。让我们来回顾一下卞校长课上和孩子的一些交流：“看了这个问题，你有什么想法？” “你有什么好的策略把这些方法都列举出来？” “体会体会这种策略有什么好处？”“把自己的方法和书本上的比较一下，你现在又有什么话想和大家分享？” “谁能对今天学习的内容，代表老师作个简单的小结。”教师关注的并不是具体问题的解法和结论，而是在引导学生思考该怎样运用这个策略，为什么用这个策略，体会这个策略有什么好处。在层层深入中，使学生对一一列举的策略进一步内化。因此，在巩固练习中，学生对于策略的应用显得是那么的自发、能动、自如，是有意识的积极行为，特别是最后一题：用红黄蓝三种小旗表示三种信号，一共可以表示多少种信号？老师们都认为学生很难理解，因此大多回避。而正因为卞校长在例题教学时引领学生多元地、深刻地认识和理解策略，使他们形成了运用策略的积极心向，因此，但当学生遇到这类全新的情境时，他们仍然能灵活地运用一一列举的策略解决新问题。陈伟慧：有幸认真聆听了江苏省特级教师卞校长的示范课解决问题的策略。很奇怪，每天都在上不同的数学课，与孩子们学数学，今天感觉40分钟是那样的短暂。但是，今天听完课的第一感觉便是：原来，40分钟可以这样“短”！“短”，但学到的东西真是很多。【思考“策略”】听过专家这样解释策略：“策略”指计策和谋略，是人们面对具体问题做出的基本判断。在南京小数网研讨会上，一位版主这样解读策略：“策略”比“方法”更上位，“方法”可以从外部输入，可以通过教师的讲解示范传授给孩子，而“策略”是一种思想意识，无法传授，需要孩子通过在具体问题解决的过程中去体验，去感悟。【思考“起点”】思考孩子的知识起点很重要！卞校长在教学时思考了五年级孩子的知识起点，四年级上学期学会了“搭配的规律”等相关知识。让孩子们感受到几乎每个学期都在用“一一列举”的策略解决着一些简单的问题，而且在不断的具体的应用过程中，孩子们已经体会着一一列举的基本思考方法，知道列举要注意有序，要不重复、不遗漏地进行思考。这样的思考深入、系统，值得我学习。【初衷也是主旨】下课后，我在想：在解决问题的过程中，在运用策略的过程中发展孩子的数学思考，应该是卞校长设计这节课的初衷，也是主旨！不断学习着，收获不小啊！茅静丹：听了卞校长的课，我感悟最深的就是本课教学的主体思路是：什么是列举，何时使用一一列举，到底是简单的同类问题的一一列举，还是较复杂的需分类的一一列举？一、在简单的同类列举中学习有序思考。在例1的教学过程中，让学生经历用列举的策略解决简单实际问题的过程。让学生体会到求出长、宽的和是围长方形的关键所在，为学生的分析创设了一定的坡度。当学生按顺序找出了长和宽时，提出有序思考才能不遗漏。二、在稍复杂的分类列举中学习有条理的思考。例2的教学则让学生通过理解“最少订阅1种，最多订阅3种”是什么意思？让学生明白是指可以订阅1本，可以订阅2本，也可以订阅3本，这就是分类的过程，然后学生在每一类中进行有序的思考和列举。黄裕辉：听了卞校长的课，让我感悟最深的就是课堂上学生都在主动地学习。从课堂一开始的“看了这个课题，你觉得重点在哪里？”“能不能提出一个数学问题？”“如果让你订阅，你准备订阅几本？”等等，这些简单的问题，看出每个学生都在不断地探索、不断地思考，同时也在不断地寻找解决问题的答案。在他们不断思考，积极主动地学习的过程中，他们能感受到其中的乐趣，这样对学习更加感兴趣。学生产生了兴趣，学习效率就会在不知不觉中得到提高。还有“谁能作一个简单的小结” “对比后，你有什么话和同学分享的”等这些引导，完全把课的主动权交给了我们的孩子，带领孩子在积极地寻求解决问题的方法，锻炼了他们的思维。并不断反思自己的学习，查漏补缺，让每个孩子都能有最大的收获。高丽惠：一直想领略卞校长的风彩，终于如愿以偿，在听课的过程中，收获多多。解决问题的策略给我的感觉，一直是教师讲得多，学生学得枯燥，而且虽然例题不多，但是练一练和练习几乎每道都是例题，所以相对于平时的课题量大，而且难度也较平时稍大些。听完课，总体感觉对习题的挖掘足，从例1到例2看似在问你知道了什么信息？深入思考一下，还有什么信息？等问题，其实是让学生在读题提取信息的同时，在思考这道题该怎么解，甚至通过学生的提问，在进行相应的题组和变式练习。而对列举方法的分类更是给人一种耳目一新的感觉，我想正因为有这样的分类，所以孩子在解题时并不都拿笔就去思考，而是先考虑是哪种方法，再选择合适的方法来解答，非常重视学生审题能力的培养。最后的课堂练习，3道同时呈现，分析2道，用力1道，更是让人留下深刻的印象。而最后一道题 “一张靶纸共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投中两次，可能得到多少环？”再改编成“一张靶纸共三圈，投中内圈得10环，投中中圈得8环，投中外圈得6环。小华投了两次，可能得到多少环？”这一字之改，实在是妙。可谓题目挖掘深，练习有层次。陆 菲：这一次专题活动，卞校长为我们执教了五年级的一节数学课解决问题的策略，让听课老师领略了他课堂上的睿智与大气：1课堂“活”。平时卞校长指导我们上课时总是说：“纸上的教案可以定下来，但在执行教案的过程中总会生成很多新的东西，教师心中得有一份活的教案，随着课堂生成而随时调整，即时生成”卞校长以他的机敏与睿智，富有亲和力的语调深深吸引了学生。他从学生已有的知识经验出发，应变自如，收放自如，课堂教学沉稳而富有激情。整节课，孩子们学习激情高涨，思维活跃，有许多预设外的生成。真正体现了学程导航理念下的课堂灵动性。2收效“实”。课始，就让学生从“审题（课题）”入手，直奔主题策略，教学语言简洁，又恰中肯綮，没有一句多余的话语。学生会的绝不多讲，甚至不讲，把更多的时间留给学生思考，去探究更多的新问题，收获更多的新知识、新经验。从而把简单列举和分类列举实打实地学会、学透、会用。我想，这些源于：1教者对教材的深刻理解与充分思考。如练习中插旗及打靶两题的独到理解与独特处理。2心中有学生。如例2教学，基于学生对题意较难理解，以及对分类处理的懵懂认识，问：“如让你订阅，你想订几本？”，又问“为什么可以订2本？”没有讲解，简简单单的两问即引导学生“吃透”了题意，让学生知道要通过分类来解决问题。3教者教学机智非凡。教材吃透了，教师的“底气”足了，面对课堂中多次的生成，教者均能自如应对，并适时点拨，让生成更显得熠熠生辉。蔡向阳：听了卞校长和王振丹老师执教的解决问题的策略，深受启发。卞校长不愧为江苏省特级教师和“学导工作室”的掌门人，课堂设计精湛，将学程导航理念体现得淋漓尽致，处处让人感受到大气和智慧。卞校长不是把解决某一具体问题作为这堂课的教学目标，而是引领学生经历“一一列举”策略解决实际问题的过程，让学生在解决问题的过程中形成对策略的体验，感受这一策略的特点、应用和价值，发展数学思维，层层递进，反复强调深化了“有序、不重复、不遗漏”，让学生在活动和思考中提高了策略运用的水平。尤其是练习题的处理，更是体现了学程导航的精髓，学生会做的坚决不做或少做，课后三条“想想做做”，对于稍微简单的前两题，卞校长只是让学生说一说如何做，而把主要力气用在第三题上。反思我自己的课堂，虽然有学程导航的模式，但好多地方放不开，习题不让学生完整地练习一遍就是不放心。王老师对例1的处理也很有策略。例1这样题型的题目在三年级上册、下册中学生见过多次，如：用一根20厘米长的线围边长是整厘米数的长方形或正方形，有多少种不同的围法？（三下教材最后一页最后一题）然后让学生在给定的表格中一一列举出来，并计算出面积。当时我记得特意强调要有序，不要遗漏，只不过我们没有从中优化出这就是一一列举的策略。王老师利用学生的这个已有知识经验，巧妙地将例1安排到课前预习中，这一环节的设计足以看出教师对教材、对学生的一种到位解读，可以这么说，王老师真正找准了学生的真实起点，真正意义上实现了课堂的高效。张海娟：听了王振丹老师的解决问题的策略一课，感觉王老师的课是扎实的，是有效的。1.目标把握到位：引领学生经历“一一列举”策略解决实际问题的过程，王老师不是把解决某一具体问题作为这堂课的教学目标，而是让学生在解决问题的过程中形成对策略的体验，感受这一策略的特点、应用和价值，发展数学思维，层层递进，反复强调深化了“有序、不重复、不遗漏”，让学生在活动和思考中提高了策略运用的水平。2. 借助不同方式列举，在交流合作中学习列举的方法。王老师在教学中,通过例1、例2的教学让学生展示学生解决问题时的不同方法,通过比较让学生感受到用列表的方式进行有序的列举，简洁明了，答案一目了然。特别是例2这样需要进行分类列举的，用列表格的方法操作起来比较简便，答案一目了然，且不重复也不遗漏。在教学中对表格的生成过程也给学生一个完整的印象，让学生初步学会借助表格进行有序列举。3.提