（十年高考）江苏省溧水县第三高级中学2004高考数学 真题分类汇编 立体几何.doc

立体几何1.（江苏2004年5分）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是【 】(a) (b) (c) (d) 【答案】c。【考点】球的体积。2.（江苏2005年5分）在正三棱柱中，若ab=2，则点a到平面的距离为【 】a b c d【答案】b。【考点】棱柱的结构特征，点到平面的距离。【分析】过点a作adbc于点d，连接a1d，过点a作ad面a1bc于点e，则点e在a1d上，ae即为点a到平面的距离。 在rtacd中，ac=2，cd=1，ad=。 在rta1da中，ad=，tana1da=。a1da=300。 在rtade中，ae=adsin300=。故选b。3.（江苏2005年5分）设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中真命题的个数是 【 】a1 b2 c3 d4【答案】b。【考点】平面与平面之间的位置关系，空中间直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系。【分析】由空间中面面平面关系的判定方法，线面平等的判定方法及线面平行的性质定理，逐一对四个答案进行分析，即可得到答案：若，则与可能平行也可能相交，故错误；由于m，n不一定相交，故不一定成立，故错误；由面面平行的性质定理，易得正确；由线面平行的性质定理，我们易得正确。故选b。4.（江苏2006年5分）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面abcd与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有【 】（a）1个（b）2个（c）3个（d）无穷多个【答案】d。【考点】正四棱锥的体积。【分析】由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形abcd中心，由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形abcd的面积.问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，易知无穷多个。故选d。5.（江苏2007年5分）正三棱锥pabc高为2，侧棱与底面所成角为，则点a到侧面pbc的距离是.【答案】。【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角。【分析】在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段。如图所示：设p在底面abc上的射影为o，则po平面abc，po=2，且o是三角形abc的中心。bcam，bcpo，poam=o。bc平面apm。又bc平面abc，平面abc平面apm。又平面abc平面apm=pm，a到侧面pbc的距离即为apm中pm边上的高。设底面边长为，则am=，由侧棱与底面所成角为和po=2，得，。设侧棱为，则等腰直角三角形的性质，得。则在rtpbc中，bm=，pb=，由勾股定理，得pm=。由面积法得a到侧面pbc的距离 。6.（江苏2009年5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 .【答案】1：8。【考点】类比的方法。【分析】在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：22，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：23。7.（江苏2009年5分）设和为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；（2）若外一条直线与内的一条直线平行，则和平行；（3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直；（4）直线与垂直的充分必要条件是与内的两条直线垂直。上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号）.【答案】(1)(2)。【考点】立体几何中的直线、平面的垂直与平行判定的相关定理。【分析】由面面平行的判定定理可知，（1）正确；由线面平行的判定定理可知，（2）正确；对于（3）来说，内直线只垂直于和的交线，得不到其是的垂线，故也得不出；对于（4）来说，只有和内的两条相交直线垂直，才能得到，也就是说当垂直于内的两条平行直线的话，不一定垂直于。8. （2012年江苏省5分）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm3【答案】6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。【解析】长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱锥的体积为。9、（2013江苏卷8）8如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则 。答案： 8 b1pacda1c1d1boh1.（江苏2004年12分）在棱长为4的正方体abcd-a1b1c1d1中，o是正方形a1b1c1d1的中心，点p在棱cc1上，且cc1=4cp.()求直线ap与平面bcc1b1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；()设o点在平面d1ap上的射影是h，求证：d1hap；()求点p到平面abd1的距离.【答案】解：（i）连接bp。ab平面bcc1b1，ap与平面bcc1b1所成的角就是apb。cc1=4cp，cc1=4，cp=1。在rtpbc中，pcb为直角，bc=4，cp=1，bp=。在rtapb中，abp为直角，tanapb=，apb=。()证明：由已知oh面apd1，ohap。连接b1d1，由于o是上底面的中心，故ob1d1。由正方体的性质知b1d1面aa1c1c，又ap面aa1c1c，b1d1ap。又b1d1oh=o，ap面d1oh。d1hap。() 点p到平面abd1的距离，即点p到平面abc1d1的距离，连接bc1，过点p作pqbc1于点q， 则pq即为点p到平面abd1的距离。c1p=3，bc=4，bc1=，由c1pqc1bc，得，即。，即点p到面abd1的距离为。【考点】直线与平面所成的角，点、线、面间的距离计算。【分析】（）由题设条件，连接bp，即可得出ap与平面bcc1b1所成的角为pac，由勾股定理求出bp，即可求出tanapb，从而求得apb。（）要证d1hap，只要证ap垂直于d1h所在的平面d1oh。一方面ohap，另一方面b1d1ap。从而得证。（）连接bc1，过点p作pqbc1于点q， 则pq即为点p到平面abd1的距离。由勾股定理和相似三角形的判定和性质即可求出pq，即点p到平面abd1的距离。2.（江苏2005年14分）如图，在五棱锥sabcde中，sa底面abcde，sa=ab=ae=2，求异面直线cd与sb所成的角（用反三角函数值表示）；（4分）证明：bc平面sab；（4分）用反三角函数值表示二面角bscd的大小（本小问不必写出解答过程）（4分）【答案】解：连接be，延长bc、ed交于点f，则dcf=cdf=600，cdf为正三角形，cf=df。又bc=de，bf=ef。bfe为正三角形。fbe=fcd=600。be/cd。sbe（或其补角）就是异面直线cd与sb所成的角。sa底面abcde，sa=ab=ae=2，sb=。同理se=。又bae=1200，be=。cossbe=。sbe=arccos。异面直线cd与sb所成的角是arccos。由题意，abe为等腰三角形，bae=1200，abe=300。又fbe =600，abc=900。bcba。sa底面abcde，bc底面abcde，sabc，又saba=a。bc平面sab。二面角b-sc-d的大小。【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】（1）连接be，延长bc、ed交于点f，根据线面所成角的定义可知sbe（或其补角）就是异面直线cd与sb所成的角，然后在三角形sbe中求出此角即可。（2）欲证bc平面sab，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证bc与平面sab内两相交直线垂直，而bcba，sabc，又saba=a，满足定理所需条件。（3）二面角，可利用空间向量法求解更方便。3.（江苏2006年14分）在正三角形abc中，e、f、p分别是ab、ac、bc边上的点，满足ae:ebcf:facp:pb1:2（如图1）。将aef沿ef折起到的位置，使二面角a1efb成直二面角，连结a1b、a1p（如图2）（）求证：a1e平面bep；（4分）（）求直线a1e与平面a1bp所成角的大小；（5分）（）求二面角ba1pf的大小（用反三角函数表示）（5分）图1图2【答案】解：不妨设正三角形abc的边长为3。 （）证：在图1中，取be中点d，连结df，则ae：eb=cf：fa=1：2。af=ad=2。而a=600 ，adf是正三角形。又ae=de=1，efad。在图2中，a1eef，beef, a1eb为二面角a1efb的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，a1ebe，又，a1e平面bef，即a1e平面bep。（）在图2中，a1e不垂直a1b，a1e是平面a1bp的垂线。又a1e平面bep，a1ebe。从而bp垂直于a1e在平面a1bp内的射影（三垂线定理的逆定理）。设a1e在平面a1bp内的射影为a1q，且a1q交bp于点q。则e1aq就是a1e与平面a1bp所成的角，且bpa1q。在ebp中，be=ep=2而ebp=600 ，ebp是等边三角形。又 a1e平面bep ，a1b=a1p,，q为bp的中点，且。又a1e=1，在rta1eq中，ea1q=60o。直线a1e与平面a1bp所成的角为600。（）在图3中，过f作fm a1p于m，连结qm，qf。cp=cf=1，c=600,fcp是正三角形。pf=1。有，pf=pq。a1e平面bep， ，a1e=a1q。a1fpa1qpa1pf=a1pq。 由及mp为公共边知fmpqmp，qmp=fmp=90o，且mf=mq。 fmq为二面角ba1pf的平面角。 在rta1qp中,a1q=a1f=2，pq=1，。又 mqa1p，。在fcq中，fc=1，qc=2，c=600，由余弦定理得。在fmq中，。 二面角ba1pf的大小为。【考点】直线与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，与二面角有关的立体几何综合题。【分析】本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力。4.（江苏2007年12分）如图，已知是棱长为3的正方体，点e在上，点f在上，且，（1）求证：e，b，f, 四点共面；（4分）（2）若点g在上，点m在上，垂足为h，求证：面；（4分）（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。（4分）【答案】解：（1）证明：在dd上取一点n使得dn=1，连接cn，en，显然四边形cfdn是平行四边形，df/cn。同理四边形dnea是平行四边形，en/ad，且en=ad。又bc/ad，且ad=bc，en/bc，en=bc，四边形cneb是平行四边形。cn/be。df/be。e，b，f, 四点共面。（2），bcfmbg。，即。mb=1。ae=1，四边形abme是矩形。embb。又平面abba平面bccb，且em在平面abba内，面。（3）面，bf，mh，。mhe就是截面和面所成锐二面角的平面角。emh=，me=ab=3，bcfmhb。3：mh=bf：1。又bf=，mh=。=。【考点】平面的基本性质及推论，直线与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题。【分析】（1）四点共面问题通常我们将它们变成两条直线，然后证明这两条直线平行或相交，根据公理3的推论2、3可知它们共面。（2）求出mb的长度。在正方体中，易知ab面bcc1b1，所以欲证em面bcc1b1，可以先证abem；或者也可以从平面abb1a1平面bcc1b1入手去证明。（3）由第二问的证明可知，利用三垂线定理，mhe就是截面ebfd1和面bcc1b1所成锐二面角的平面角。abcdef6.（江苏2008年14分）如图，在四面体abcd中，cb=cd，adbd，点e，f分别是ab，bd的中点求证：（1）直线ef面acd；（2）平面efc面bcd【答案】证： （1）e，f分别是ab，bd的中点ef是abd的中位线，efad。ef面acd，ad面acd，直线ef面acd。（2）adbd，efad，efbd。cb=cd，f是bd的中点，cfbd。又efcf=f，bd面efc。bd面bcd，面efc面bcd。【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定。【分析】（1）根据线面平行关系的判定定理，在面acd内找一条直线和直线ef平行即可，根据中位线可知efad，又ef面acd，ad面acd，满足定理条件。（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知bd面efc，而bd面bcd，满足定理所需条件。8（江苏2009年14分）如图，在直三棱柱中，e，f分别是、的中点，点d在上，。求证：（1）ef平面abc；（2）平面平面.【答案】证明：（1）e，f分别是a1b，a1c的中点，efbc。又ef面abc，bc面abc，ef平面abc。（2）直三棱柱，bb1面a1b1c1。bb1a1d。又a1db1c，a1d面bb1c1c。又a1d面a1fd，平面a1fd平面bb1c1。【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定。【分析】（1）要证明ef平面abc，证明efbc即可。（2）证明平面平面，证明a1d面即可。10.（江苏2010年14分）如图，在四棱锥p-abcd中，pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=900。(1) 求证：pcbc；(2) 求点a到平面pbc的距离。【答案】解：（1）证明：pd平面abcd，bc平面abcd，pdbc。由bcd=900，得cdbc。又pddc=d，pd、dc平面pcd，bc平面pcd。pc平面pcd，pcbc。（2）分别取ab、pc的中点e、f，连de、df，则：易证decb，de平面pbc，点d、e到平面pbc的距离相等。又点a到平面pbc的距离等于e到平面pbc的距离的2倍。由（1）知：bc平面pcd，平面pbc平面pcd于pc。pd=dc，pf=fc，dfpc。df平面pbc于f。易知df=，故点a到平面pbc的距离等于。【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积空间想象能力、推理论证能力和运算能力。【分析】（1）要证明pcbc，可以转化为证明bc垂直于pc所在的平面，由pd平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，abdc，bcd=90，容易证明bc平面pcd