高考数学一轮 知识点各个击破 第三章 三角函数、解三角形课件 文 新人教A版.ppt

第三章三角函数 解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式第三节三角函数图像与性质第四节函数y sin x 的图象及三角函数模型的简单应用第五节两角和与差的正弦 余弦和正切公式第六节简单的三角恒等变换第七节正弦定理和余弦定理第八节正弦定理和余弦定理的应用 目录 第三章三角函数 解三角形 知识能否忆起 1 任意角 1 角的分类 按旋转方向不同分为 按终边位置不同分为和 2 终边相同的角 终边与角 相同的角可写成 正角 负角 零角 象限角 轴线角 k 360 k z 超链接 动漫演示更形象 见配套课件 3 弧度制 1弧度的角 把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角 半径长 正数 负数 零 弧度与角度的换算 360 弧度 180 弧度 无关 角的大小 2 l r 2 任意角的三角函数 y x 自变量 函数值 2 三角函数在各象限内的符号口诀是 一全正 二正弦 三正切 四余弦 3 三角函数线设角 的顶点在坐标原点 始边与x轴非负半轴重合 终边与单位圆相交于点p 过p作pm垂直于x轴于m 由三角函数的定义知 点p的坐标为 即 其中cos sin 单位圆与x轴的正半轴交于点a 单位圆在a点的切线与 的终边或其反向延长线相交于点t 则tan 我们把有向线段om mp at叫做 的 cos sin p cos sin om mp at 余弦线 正弦线 正切线 mp om at 小题能否全取 1 870 的终边在第几象限 a 一b 二c 三d 四解析 因 870 2 360 150 150 是第三象限角 答案 c 答案 b 3 教材习题改编 若sin 0 则 是 a 第一象限角b 第二象限角c 第三象限角d 第四象限角解析 由sin 0 知 在第一或第三象限 因此 在第三象限 答案 c 5 弧长为3 圆心角为135 的扇形半径为 面积为 答案 46 1 对任意角的理解 1 小于90 的角 不等同于 锐角 0 90 的角 不等同于 第一象限的角 其实锐角的集合是 0 90 第一象限角的集合为 k 360 k 360 90 k z 2 终边相同的角不一定相等 相等的角终边一定相同 终边相同的角的同一三角函数值相等 2 三角函数定义的理解 例1 已知角 45 1 在 720 0 范围内找出所有与角 终边相同的角 2 因为m x x 2k 1 45 k z 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合 而集合n x x k 1 45 k z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合 从而 m n 1 利用终边相同角的集合可以求适合某些条件的角 方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合 然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角 2 已知角 的终边位置 确定形如k 等形式的角终边的方法 先表示角 的范围 再写出k 等形式的角范围 然后就k的可能取值讨论所求角的终边位置 a 1个b 2个c 3个d 4个 2 如果角 是第二象限角 则 角的终边在第 象限 答案 1 c 2 一 例2 1 已知角 的终边上有一点p t t2 1 t 0 则tan 的最小值为 答案 1 b 2 d 定义法求三角函数值的两种情况 1 已知角 终边上一点p的坐标 则可先求出点p到原点的距离r 然后利用三角函数的定义求解 2 已知角 的终边所在的直线方程 则可先设出终边上一点的坐标 求出此点到原点的距离 然后利用三角函数的定义求解相关的问题 若直线的倾斜角为特殊角 也可直接写出角 的三角函数值 答案 1 b 2 c 例3 1 已知扇形周长为10 面积是4 求扇形的圆心角 2 已知扇形周长为40 当它的半径和圆心角取何值时 才使扇形面积最大 若本例 1 中条件变为 圆弧长度等于该圆内接正方形的边长 则其圆心角的弧度数是 1 在弧度制下 计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便 简捷 3 若扇形的面积为定值 当扇形的圆心角为多少弧度时 该扇形的周长取到最小值 答案 8 1 误认为点p在单位圆上 而直接利用三角函数定义 从而得出错误结果 2 利用三角函数的定义求三角函数值时 首先要根据定义正确地求得x y r的值 然后对于含参数问题要注意分类讨论 答案 c 1 已知点p sin cos tan 在第一象限 则在 0 2 内 的取值范围是 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 b 2 已知角 的终边在直线3x 4y 0上 求sin cos tan 的值 1 sin cos 1 2 sin tan 知识能否忆起 1 同角三角函数的基本关系式 1 平方关系 sin2 cos2 1 r 2 六组诱导公式 sin cos tan sin cos tan sin cos tan sin cos tan cos sin cos sin 小题能否全取 1 sin585 的值为 答案 a 答案 d 答案 b 应用诱导公式时应注意的问题 1 利用诱导公式进行化简求值时 先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数 其步骤 去负号 脱周期 化锐角 特别注意函数名称和符号的确定 2 在利用同角三角函数的平方关系时 若开方 要特别注意判断符号 3 注意求值与化简后的结果要尽可能有理化 整式化 在 2 的条件下 sin2 sin2 2 应用公式时注意方程思想的应用 对于sin cos sin cos sin cos 这三个式子 利用 sin cos 2 1 2sin cos 可以知一求二 参阅本节题型技法点拨 3 注意公式逆用及变形应用 1 sin2 cos2 sin2 1 cos2 cos2 1 sin2 a 3b 3c 1d 1 2 已知sin 2sin tan 3tan 则cos a 1 1 2 2 b 1 1 c 2 2 d 1 1 0 2 2 答案 1 1 2 c 利用诱导公式化简求值时的原则 1 负化正 运用 的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数 2 大化小 利用k 360 k z 的诱导公式将大于360 的角的三角函数化为0 到360 的三角函数 3 小化锐 将大于90 的角化为0 到90 的角的三角函数 4 锐求值 得到0 到90 的三角函数后 若是特殊角直接求得 若是非特殊角可由计算器求得 2 1 2013 滨州模拟 sin600 tan240 的值等于 2 已知f x asin x bcos x 其中 a b均为非零实数 若f 2012 1 则f 2013 等于 答案 1 b 2 1 2 由诱导公式知f 2012 asin bcos 1 f 2013 asin bcos asin bcos 1 2 求角时 通常是先求出该角的某一个三角函数值 再结合其范围 确定该角的大小 3 在三角形abc中 1 上述解法易理解掌握 但计算量较大 很容易出错 若利用sin cos sin cos sin cos 三者之间的关系 即 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 sin cos 2 2 问题迎刃而解 2 对所求式子进行恒等变形时 注意式子正 负号的讨论与确定 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 a 知识能否忆起 1 周期函数 1 周期函数的定义 对于函数f x 如果存在一个非零常数t 使得当x取定义域内的每一个值时 都有 那么函数f x 就叫做周期函数 叫做这个函数的周期 f x t f x t 2 最小正周期 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个就叫做f x 的最小正周期 最小的 正数 最小正数 2 正弦函数 余弦函数 正切函数的图象和性质 2k 2k 2k 2k 2k 2k k 0 x k 小题能否全取 答案 d 2 教材习题改编 下列函数中 最小正周期为 的奇函数是 答案 b 3 函数y sinx 的一个单调增区间是 答案 c 答案 1 求三角函数的单调区间时 应先把函数式化成y asin x 0 的形式 再根据三角函数的单调区间 求出x所在的区间 应特别注意 考虑问题应在函数的定义域内 注意区分下列两种形式的函数单调性的不同 2 周期性是函数的整体性质 要求对于函数整个定义域内的每一个x值都满足f x t f x 其中t是不为零的常数 如果只有个别的x值满足f x t f x 或找到哪怕只有一个x值不满足f x t f x 都不能说t是函数f x 的周期 1 求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式 常借助三角函数线或三角函数图象来求解 2 求解涉及三角函数的值域 最值 的题目一般常用以下方法 1 利用sinx cosx的值域 2 形式复杂的函数应化为y asin x k的形式逐步分析 x 的范围 根据正弦函数单调性写出函数的值域 如本例以题试法 2 3 换元法 把sinx或cosx看作一个整体 可化为求函数在给定区间上的值域 最值 问题 如例1 2 1 函数的周期 2 求函数在 0 上的单调递减区间 求三角函数的单调区间时应注意以下几点 3 对于y acos x y atan x 等 函数的单调区间求法与y asin x 类似 2 1 函数y tanx 的增区间为 a a b cb c a bc b a cd b c a a 1b 2c 3d 4 答案 c 1 三角函数的奇偶性的判断技巧首先要对函数的解析式进行恒等变换 再根据定义 诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性 也可以根据图象做判断 2 求三角函数周期的方法 1 利用周期函数的定义 3 利用图象 3 三角函数的对称性正 余弦函数的图象既是中心对称图形 又是轴对称图形 正切函数的图象只是中心对称图形 应熟记它们的对称轴和对称中心 并注意数形结合思想的应用 2 2013 遵义模拟 若函数f x sinax cosax a 0 的最小正周期为1 则它的图象的一个对称中心为 答案 1 a 2 c 含有参数的三角函数问题 一般属于逆向型思维问题 难度相对较大一些 正确利用三角函数的性质求解此类问题 是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的 解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合 下面就利用三角函数性质求解参数问题进行策略性的分类解析 1 根据三角函数的单调性求解参数 答案 2 答案 b 2 根据三角函数的奇偶性求解参数 答案 d 答案 d 3 根据三角函数的周期性求解参数三角函数的参数问题 还可利用三角函数的周期 最值求解如本节以题试法3 2 就是利用周期求参数a 解题时要注意x的系数 是否规定了符号 若无符号规定 利用周期公式时需加绝对值 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 b 2 2012 温州模拟 已知函数y 2sin x 0 为偶函数 0 其图象与直线y 2某两个交点的横坐标分别为x1 x2 若 x2 x1 的最小值为 则该函数的一个递增区间可以是 答案 a 答案 或 它的最小正周期为 1 求当f x 为偶函数时 的值 知识能否忆起 一 y asin x 的有关概念 二 用五点法画y asin x 一个周期内的简图用五点法画y asin x 一个周期内的简图时 要找五个关键点 如下表所示 三 函数y sinx的图象变换得到y asin x 的图象的步骤法一法二 超链接 动漫演示更形象 见配套课件 小题能否全取 答案 c 答案 a 3 2012 安徽高考 要得到函数y cos 2x 1 的图象 只要将函数y cos2x的图象 答案 c 5 函数y asin x a 为常数 a 0 0 在闭区间 0 上的图象如图所示 则 答案 3 1 画出函数f x 在长度为一个周期的闭区间上的简图 2 将函数y sinx的图象作怎样的变换可得到f x 的图象 自主解答 1 列表取值 x f x 0 0 0 3 0 2 3 描出五个关键点并用光滑曲线连接 得到一个周期的简图 函数y asin x a 0 0 的图象的作法 2 图象变换法 由函数y sinx的图象通过变换得到y asin x 的图象 有两种主要途径 先平移后伸缩 与 先伸缩后平移 答案 a 例2 2011 江苏高考 函数f x asin x a 为常数 a 0 0 的部分图象如图所示 则f 0 的值是 若本例函数的部分图象变为如图所示 试求f 0 确定y asin x b a 0 0 的步骤和方法 3 求 常用的方法有 代入法 把图象上的一个已知点代入 此时a b已知 或代入图象与直线y b的交点求解 此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上 五点法 确定 值时 往往以寻找 五点法 中的某一个点为突破口 具体如下 答案 d 答案 d 1 求f x 的解析式及x0的值 2 求f x 的增区间 3 若x 求f x 的值域 1 求函数f x 的解析式 函数f x asin x 的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定a 问题是高考的热点 题型多样 难度中低档 主要考查识图 用图的能力 同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 大题规范解答 得全分 系列之 三 由三角函数图象确定解析式的答题模板 1 求函数f x 的解析式 课件演示更丰富 见配套光盘 超链接 教你快速规范审题 1 审条件 挖解题信息 2 审结论 明解题方向 3 建联系 找解题突破口 1 审条件 挖解题信息 2 审结论 明解题方向 3 建联系 找解题突破口 教你准确规范解题 常见失分探因 易将单调区间写成不等式k x k k z或漏写k z造成结论表述不准确 易忽视 的范围或点为第二个平衡点而导致解题错误 教你一个万能模板 根据图象确定五点作图中的第一个平衡点 第二个平衡点的坐标或图象的最高点 最低点 第一步 将 x 作为一个整体 找到对应的值 通常利用周期求 利用图象的某一个点 通常选取平衡点 确定 第二步 列方程组求解 求 时 要利用 的范围 第三步 写出所求的函数解析式 第四步 第五步 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 c 1 求f x 的最小正周期 2 求f x 的解析式 1 求 2 求函数y f x 的单调递增区间 3 画出函数y f x 在区间 0 上的图象 x y 0 1 0 1 0 故函数y f x 在区间 0 上的图象为 知识能否忆起 1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 1 c cos 2 c cos 3 s sin cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin 4 s sin sin cos cos sin 2 二倍角的正弦 余弦 正切公式 1 s2 sin2 2 c2 cos2 2sin cos cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 3 常用的公式变形 1 tan tan tan 1 tan tan 小题能否全取 a 2b 3c 4d 6 答案 d 2 sin68 sin67 sin23 cos68 的值为 答案 b 答案 b 1 两角和与差的三角函数公式的理解 1 正弦公式概括为 正余 余正符号同 符号同 指的是前面是两角和 则后面中间为 号 前面是两角差 则后面中间为 号 2 余弦公式概括为 余余 正正符号异 3 二倍角公式实际就是由两角和公式中令 所得 特别地 对于余弦 cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 这三个公式各有用处 同等重要 特别是逆用即为 降幂公式 在考题中常有体现 2 重视三角函数的 三变 三变 是指 变角 变名 变式 变角为 对角的分拆要尽可能化成已知角 同角 特殊角 变名 尽可能减少函数名称 变式 对式子变形一般要尽可能有理化 整式化 降低次数等 在解决求值 化简 证明问题时 一般是观察角度 函数名 所求 或所证明 问题的整体形式中的差异 再选择适当的三角公式恒等变形 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广 可用 的三角函数表示 的三角函数 在使用两角和与差的三角函数公式时 特别要注意角与角之间的关系 完成统一角和角与角转换的目的 三角函数公式的逆用与变形应用 1 求函数f x 的最小正周期和值域 运用两角和与差的三角函数公式时 不但要熟练 准确 而且要熟悉公式的逆用及变形 如tan tan tan 1 tan tan 和二倍角的余弦公式的多种变形等 答案 1 a 2 2 角的变换 1 当 已知角 有两个时 一般把 所求角 表示为两个 已知角 的和或差的形式 2 当 已知角 有一个时 此时应着眼于 所求角 与 已知角 的和或差的关系 然后应用诱导公式把 所求角 变成 已知角 答案 c 1 求 的值 1 在解答本题时有两点容易失误 1 忽略角 的范围 求解cos sin 的值时出错 2 在利用两角和的余弦公式时由于对公式记忆不准确导致错误 2 解决三角函数问题时 还有以下几点容易失误 1 对公式记忆不准确而使公式应用错误 2 三角公式不能灵活应用和变形应用 3 忽略角的范围或者角的范围判断错误 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 求f x 的零点 2 求f x 的最大值和最小值 知识能否忆起 半角公式 不要求记忆 答案 b 小题能否全取 答案 b 答案 a 答案 2013 三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式 一是化简 二是求值 三是三角恒等式的证明 1 三角函数的化简常见的方法有切化弦 利用诱导公式 同角三角函数关系式及和 差 倍角公式进行转化求解 2 三角函数求值分为给值求值 条件求值 与给角求值 对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解 3 三角恒等式的证明 要看左右两侧函数名 角之间的关系 不同名则化同名 不同角则化同角 利用公式求解变形即可 三角函数式的化简 三角函数式的化简要遵循 三看 原则 1 一看 角 这是最重要的一环 通过看角之间的差别与联系 把角进行合理的拆分 从而正确使用公式 2 二看 函数名称 看函数名称之间的差异 从而确定使用的公式 常见的有 切化弦 3 三看 结构特征 分析结构特征 可以帮助我们找到变形的方向 如 遇到分式要通分 等 三角函数式的求值 答案 1 c 2 三角函数求值有三类 1 给角求值 一般所给出的角都是非特殊角 从表面上来看是很难的 但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系 解题时 要利用观察得到的关系 结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解 2 给值求值 给出某些角的三角函数式的值 求另外一些角的三角函数值 解题关键在于 变角 使其角相同或具有某种关系 3 给值求角 实质是转化为 给值求值 先求角的某一函数值 再求角的范围 确定角 三角恒等变换的综合应用 1 求f x 的最小正周期和最小值 在本例条件不变情况下 求函数f x 的零点的集合 三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合 通过变换把函数化为y asin x 的形式再研究性质 解题时注意观察角 名 结构等特征 注意利用整体思想解决相关问题 1 求f x 的最小正周期 2 当 0 时 若f 1 求 的值 解决这一类问题的基本途径 同求解其他函数最值一样 一方面应充分利用三角函数自身的特殊性 如有界性等 另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数 二次函数等 最值问题 下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略 1 配方转化策略对能够化为形如y asin2x bsinx c或y acos2x bcosx c的三角函数最值问题 可看作是sinx或cosx的二次函数最值问题 常常利用配方转化策略来解决 典例1 求函数y 5sinx cos2x的最值 题后悟道 这类问题在求解中 要注意三个方面的问题 其一要将三角函数准确变形为sinx或cosx的二次函数的形式 其二要正确配方 其三要把握三角函数sinx或cosx的范围 以防止出错 若没有特别限制其范围是 1 1 2 有界转化策略对于所给的三角函数能够通过变形化为形如y asin x 等形式的 常常可以利用三角函数的有界性来求解其最值 这是解决三角函数最值问题常用的策略之一 题后悟道 求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题 然后利用三角函数的有界性求其最值 3 单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略 对于三角函数来说 常常是先化为y asin x k的形式 再利用三角函数的单调性求解 题后悟道 这类三角函数求最值的问题 主要的求解策略是先将三角函数化为一个角的三角函数形式 然后再借助于函数的单调性 确定所求三角函数的最值 4 数形结合转化策略 题后悟道 这类三角函数的最值问题 求解策略就是先将函数化为直线斜率的形式 再找出定点与动点满足条件的图形 最后由图形的几何意义求出三角函数的最值 教师备选题 给有能力的学生加餐 1 若tan 2 求f 的值 知识能否忆起 1 正弦定理 2rsina 2rsinb 2rsinc a b c 2 余弦定理 b2 c2 2bccosa a2 c2 2accosb a2 b2 2abcosc 3 三角形中常用的面积公式 小题能否全取 答案 b a 30 b 45 c 60 d 75 答案 c 3 教材习题改编 在 abc中 若a 18 b 24 a 45 则此三角形有 a 无解b 两解c 一解d 解的个数不确定 答案 b 答案 2 5 abc中 b 120 ac 7 ab 5 则 abc的面积为 1 在三角形中 大角对大边 大边对大角 大角的正弦值也较大 正弦值较大的角也较大 即在 abc中 a b a b sina sinb 2 在 abc中 已知a b和a时 解的情况如下 a为锐角 a为钝角或直角 图形 关系式 a bsina bsina a b a b a b 解的个数 一解 两解 一解 一解 利用正弦 余弦定理解三角形 1 求角b的大小 2 若b 3 sinc 2sina 求a c的值 在本例 2 的条件下 试求角a的大小 1 应熟练掌握正 余弦定理及其变形 解三角形时 有时可用正弦定理 有时也可用余弦定理 应注意用哪一个定理更方便 简捷 2 已知两角和一边 该三角形是确定的 其解是唯一的 已知两边和一边的对角 该三角形具有不唯一性 通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 利用正弦 余弦定理判定三角形的形状 例2 在 abc中a b c分别为内角a b c的对边 且2asina 2b c sinb 2c b sinc 1 求a的大小 2 若sinb sinc 1 试判断 abc的形状 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时 主要有如下两种方法 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系 通过三角函数恒等变形 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用a b c 这个结论 注意 在上述两种方法的等式变形中 一般两边不要约去公因式 应移项提取公因式 以免漏解 1 求角a的大小 与三角形面积有关的问题 1 求a 1 正弦定理和余弦定理并不是孤立的 解题时要根据具体题目合理选用 有时还需要交替使用 1 求角a的大小 2 若a 3 sinb 2sinc 求s abc 正弦定理 余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点 主要考查利用正弦定理 余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及测量 几何计算有关的实际问题 正 余弦定理的考查常与同角三角函数的关系 诱导公式 和差倍角公式甚至三角函数的图象和性质等交汇命题 多以解答题的形式出现 属解答题中的低档题 大题规范解答 得全分 系列之 四 解三角形的答题模板 课件演示更丰富 见配套光盘 超链接 教你快速规范审题 1 审条件 挖解题信息 2 审结论 明解题方向 3 建联系 找解题突破口 1 审条件 挖解题信息 2 审结论 明解题方向 3 建联系 找解题突破口 教你准确规范解题 常见失分探因 易忽视角b c的范围 直接由sin b c 1 求得结论 教你一个万能模板 解三角形问题一般可用以下几步解答 利用正弦定理或余弦定理实现边角互化 本题为边化角 第一步 三角变换 化简 消元 从而向已知角 或边 转化 第二步 代入求值 第三步 反思回顾 查看关键点 易错点 如本题中公式应用是否正确 第四步 教师备选题 给有能力的学生加餐 答案 1 2 在 abc中 a 2bcosc 则这个三角形一定是 a 等腰三角形b 直角三角形c 等腰直角三角形d 等腰或直角三角形解析 法一 化边为角 由正弦定理知 sina 2sinbcosc 又a b c sina sin b c 2sinbcosc sinbcosc cosbsinc 2sinbcosc sinbcosc cosbsinc 0 sin b c 0 又 b c为三角形内角 b c 答案 a 1 求sinc的值 2 当a 2 2sina sinc时 求b及c的长 1 当a 30 时 求a的值 2 当 abc的面积为3时 求a c的值 知识能否忆起 1 实际问题中的有关概念 1 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角 如图1 2 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图2 3 方向角 相对于某一正方向的水平角 如图3 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 南偏西等其他方向角类似 4 坡度 定义 坡面与水平面所成的二面角的度数 如图4 角 为坡角 坡比 坡面的铅直高度与水平长度之比 如图4 i为坡比 2 解三角形应用题的一般步骤 1 审题 理解问题的实际背景 明确已知和所求 理清量与量之间的关系 2 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形模型 3 选择正弦定理或余弦定理求解 4 将三角形的解还原为实际问题 注意实际问题中的单位 近似计算要求 小题能否全取 1 从a处望b处的仰角为 从b处望a处的俯角为 则 之间的关系是 a b c 90 d 180 答案 b 2 若点a在点c的北偏东30 点b在点c的南偏东60 且ac bc 则点a在点b的 a 北偏东15 b 北偏西15 c 北偏东10 d 北偏西10 解析 如图所示 acb 90 又ac bc cba 45 而 30 90 45 30 15 点a在点b的北偏西15 答案 b 3 教材习题改编 如图 设a b两点在河的两岸 一测量者在a的同侧 选定一点c 测出ac的距离为50m acb 45 cab 105 则a b两点的距离为 答案 a 4 2011 上海高考 在相距2千米的a b两点处测量目标点c 若 cab 75 cba 60 则a c两点之间的距离为 千米 5 2012 泰州模拟 一船向正北航行 看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上 继续航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏东60 另一灯塔在船的南偏东75 则这艘船每小时航行 海里 答案 8 解三角形应用题常有以下两种情形 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 然后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 测量距离问题 例1 郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示 城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志 小李 小王设计的底座形状分别为 abc abd 经测量ad bd 7米 bc 5米 ac 8米 c d 1 求ab的长度 2 若不考虑其他因素 小李 小王谁的设计使建造费用最低 请说明理由 若环境标志的底座每平方米造价为5000元 试求最低造价为多少 求距离问题要注意 1 选定或确定要求解的三角形 即所求量所在的三角形 若其他量已知则直接解 若有未知量 则把未知量放在另一确