数字正弦波形产生的数学推导.pdf

第1 9 卷 第1 0 期电子设计工程 2 0 11 年5 月 V 0 1 19N o 10 E l e c t r o n i cD e s i g nE n g i n e e r i n g M a y2 011 数字正弦波形产生的数学推导 周小娟 西安外事学院计算机中心 陕西西安7 1 0 0 7 7 摘要 运用数学推导的方法 分析了信号发生频率 波形输出频率和波形长度之间的关系 推导出了生成数字正弦单 频波形 正弦多频波形 以及复合正弦多频波形的数学公式 解决了数字信号处理中常用数字正弦波形的快速生成问 题 以C 编程语言进行实验 证明这些公式具有较高的通用性和易用性 可以方便快速的帮助人们产生出各种数字正 弦波形 极大的提高了工作效率 关键词 数字信号处理 数字正弦波形 单频 多频 复合多频 公式 中图分类号 T N 4 5 3文献标识码 A文章编号 1 6 7 4 五2 3 6 2 0 1 1 1 伽0 1 9 加3 M a t h e m a t i c a ld e r i v a t i o no fd i g i t a ls i n u s o i d a lw a v e f o r i d s Z H O UX i a o j u a n C o m p u t e rC e n t e r X i a nI n t e r n a t i o n a lU n w e 增毋 X i a n7 1 0 0 7 7 C h n a A b s t r a c t 仆i sa r t i c l ea n a l y z e st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns a m p l i n gr a t e w a v e f o r mc y c l ea n dw a v e f o r mp o i n tn u m b e rb yt h ew a y o fm a t h e m a t i c a ld e r i v a t i o n d e r i v a t e st h em a t h e m a t i c a l f o r m u l a so fd i g i t a ls i n g l et o n es i n u s o i d a lw a v e f o r l n m u l t i t o n e s i n u s o i d a lw a v e f o r ma n dc o m p l e xm u l t i t o n es i n u s o i d a lw a v e f o r ma n df i n a l l ys o l v e st h ep r o b l e mo ff a s tg e n e r a t i o na l lk i n d so f s i n u s o i d a lw a v e f o r m si nad i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n gs y s t e m E x p e r i m e n t sb yC p r o g r a m m i n gl a n g u a g ep r o v et h e s ef o r m u l a sa r e h i g h l yu n i v e r s a la n dc a nb ee a s i l ya n dq u i c k l yt oh e l pp e o p l ep r o d u c eav a r i e t yo fd i g i t a ls i n u s o i d a lw a v e f o r l n 8 a v o i d d u p l i c a t i o no fm a t h e m a t i c a ld e r i v a t i o na n dg r e a t l yi m p m v ee f f i c i e n c y K e yw o r d s d i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g D S P s i n u s o i d a lw a v e f o r m s i n g l et o n e m u l t i t o n e c o m p l e xm u l t i t o n e f o r m u l a 正弦波形是数字信号系统中常用的标准波形 数字正弦 波形的产生和系统的信号发生频率 输出波形的频率以及波 形的长度有关系 不同的工程师往往都根据自己系统的参数 特征 推导出适合于自己系统的波形生成方法 而这些方法 往往不具备通用性和重用性 本文从信号发生频率 波形频 率和波形长度之间的关系着手进行分析 研究了产生一种通 用的波形生成方法 最终推导出了生成数字正弦单频波形 正弦多频波形 以及复合正弦多频波形的数学公式 这些公 式具有很好的通用性 重用性和易用性 结合计算机编程语 言 它们可以方便快速地产生各种数字正弦波形 1 单频正弦波形产生的数学推导 一个正弦波形通常可以用数学表达式 F t 一c o s t o t f 1 1 表示 式 1 中F t 表示在某一给定t 的函数值 A 表示 正弦波形的振幅 在数字信号处理中也就是电压的最大值 用弧度的方式表示波形的频率 t 表示角度 在数字信号处 理中也就是时间 一用弧度的方式表示相位 如果把波形的单位换成赫兹 则有如下公式 t o 2 霄或者a t 2 f 1 2 式 2 中 表示要生成的正弦波形的频率 单位 赫兹 这样正弦波形的表达式就可以演变为 F t A c o g 2 r 工件p 3 在计算机或者任何仪器上因为不可能模拟连续的时间 因而时间t 通常会演变为时间间隔矾 这样正弦波形的表达 式又可以演变为 F V t A c o s 2 盯f V t O 4 同样计算机或者仪器中不能模拟连续的 有必要对 进行必要的转换 通常产生的正弦波形都是连续的 因而有 如下表达式 M N f 5 式中肘是要产生的正弦波形包含的周期个数 J I r 是要输出的 点的个数 厂 是生成正弦波形时波形发生器的频率田 这样正 弦波形的表达式又可以演变为 F V t A C O g 2 1 r f 百MV t O 6 推导到这里 产生正弦波形的数学公式的初步雏形就出 来了 比如使用如下C C 的程序就可以产生波形 d o u b l et i m e o 晦e t V t d o u b l e w a v e f o r m 保存产生的波形 f o r V t O V t o n e W a v e f o r m P e r i o d V I t i m e O f f s e t l 收稿日期 2 0 1l 0 2 2 4稿件编号 2 0 11 0 2 0 6 4 作者简介 周小娟 1 9 7 7 一 女 陕西乾县人 硕士研究生 讲师 研究方向 数字信号处理 计算机应用 1 9 万方数据 电子设计工程 2 0 1 1 年第1 0 期 w a V e f o r m A c o s 2 1 r 等V 棚 7 用这种方法生成正弦波形存在如下两个问题 1 这个方法只产生了一个周期的波形 2 如果t i m e O f f s e t 不能很好的使时间恰好达到一个周期 的时间 产生的波形将是不连续的 因此 上面的方法不是我们所期望的理想方法 我们所 期望的理想方法是可以产生任意个数 和周期肘的正弦波 形 而不是一个周期的输出点 我们更希望和t i m e O f f s e t 无关 因此 在最终的理想方法里 我们要用产生 个输出点的总 时间变量t o t a l T i m e O f l V S a m p l e s 来替代变量o n e W a v e f o r m P e r i o d o 为了达到这个理想目标 我们从t o t a l T i m e O f N S a m p l e s 人手进 行继续推导 w t a l T i m e O f N S a m p l e s N 正 8 式 8 中是仪器或者波形发生器每输出一个点的周期 9 J 因此 t o t a l T i m e O f N S a m p l e s 丁1 1 0 这里每两个输出点的时间间隔仇刚好是信号发生器的 周期 耽 瓦 7 1 1 1 J l 因而第i 个输出点的时间为导 这样我们的公式可以被 J t 简化为 f o r i n ti O i C H C l o C H H H X C C C H K C H o C o o c o o C H H C H K H C C H H o o H H o C o o o e C H h o C H C H H 0 欢迎订阅2 0 11 年度 电子设计工程 半月刊 国内邮发代号 5 2 1 4