解三角形(总结+题+解析).doc

266班6组 解三角形1 正弦定理：=2R，其中R是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA (2) b=2RsinB (3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R (2) sinB=b/2R (3) sinC=c/2R3.a：b：c=sinA：sinB:sinC适用类型（1） AAS（2） SSA二余弦定理：1. a2 = b2 + c2 - 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 - 2accosB 3. c2 = a2 + b2 - 2abcosC 余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a2 + b2 - c2) / (2ab) 2. cosB = (a2 + c2 - b2) / (2ac) 3. cosA = (c2 + b2 - a2) / (2bc）适用类型1. SSA2. SAS3. SSS3 余弦定理和正弦定理的面积公式SABC=absinC=bcsinA=acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1） 将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2） 将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解 三解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。俯角： 视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在ABC中，c10，A45，C30，求a、b和B.B=180-30-45=105a=10sin45/sin30=102sin105=sin(60+45)=2/2(3/2+1/2)=(6+2)/41/sin105=6-2b=10sin45/sin105=52(6-2)=10(3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=23，b=6，A=45，求边长C由余弦定理，得b+c-2bccosA-a=06+c-23c-12=0c-23c-6=0根据求根公式，得c=33又c0所以c=3+3（三）已知两边及夹角，解三角形例3ABC中，已知b3，c3，B30，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30，C=120当a=6时，由正弦定理A=90C=60。例四：在ABC中，若B=30, AB=2, AC=2, 则ABC的面积是解：由，C=60或120，当C=60时，A=90，SABC=；当C=120时，A=30，SABC=ABACsinA。例五.判断三角形的形状（1） 正弦定理判断在ABC中，若a2tanBb2tanA，试判断ABC的形状解：sin2A*sinB/cosB=sin2B*sinA/cosA.sinA0,cosB0,等式两边同约去sinA*sinB公因式。sinA/cosB=sinB/cosA.sinAcosA=sinBcosB.sinAcosA=(1/2)*(2sinAcosA)=(1/2)sin2A.【2sinAcosA=sin2A(公式)】同理，sinBsinB=(1/2)*2sinBcosB=(1/2)sin2B.（1/2)sin2A=(1/2)sin2B. 【两边约去（1/2)】后得：sin2A=sin2B.2A=2B.（1）；sin2A=sin(180-2B) (2) 【同名三角函数值相等，其角度相等，或互补】由（1)式得： A=B.ABC为等腰三角形；由(2)式得：2A=180-2B,2A+2B=180,A+B=90.ABC为直角三角形。（2）余弦定理判断在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，试判断三角形的形状由正弦定理得sin2C/c2=sin2B/b2得b2sin2C=c2sin2Bsin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC sinBsinC0, sinBsinC=cosBcosC,即 cos(B + C)=0, B + C=90, A=90,故ABC是直角三角形.例六 判断解得个数不解三角形，判断下列三角形的解的个数：（1）a=5,b=4,A=120度有一解（2）a=7,b=14,A=150度无解（3）a=9,b=10,A=60度有两解（4）c=50,b=72,C=135度无解例七在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ10t+60.由余弦定理知OQ2=PQ2+PO2-2PQPO cosOPQ.由于PO=300,PQ=20t,cosOPQ=cos(-45)=coscos45+sinsin45=.=202t2-9600t+3002.202t2-9600t+3002(10t+60)2.即t2-36t+2880,解得12t24.故12小时后该城市开始受到台风的侵袭.例八。某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？例九。如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得ACB=60，BCD=45，ADB=60，ADC=30，则AB的距离是（ D ）A.20 B.20 C.40 D.20例十如图，ABC中，AB=AC=2，BC=，点