（应用数学专业论文）关于带权的plaplace方程的fucik谱的共振问题.pdf

f 靴 r e s o n a n c ep r o b l e m sw i t hr e s p e c tt ot h ef h 芒i k a b s t r a c ti nt h i sp a p e r ，ec o n s i d e rt h ee ) c i s t e n c eo fn o n t r i 访a ls o l u t i o i l so nt h e c o n d i t i o no fr e s o n a n c ew i t hr e s p e c tt ot h ef i u 芒i ks p e c t r u mf o rt h ep - l a p l a c e e q u a t i o nw i t hw e i g h t 、 一p ：三# z ) ( 饥+ ) p 一1 一p 6 ( z ) ( u 一) p 一1 + g ( z ：“l 娄a 曼： w h e r eqi 8ab o u n d e dd o m a i ni nr w i t hs m o o t hb o u n d a r ya q ，a n d p 让 d e n o t e st h ep l 印1 a c eo p e r a t o r ，t h a ti s ，p 乱= v ( iv 让r 2v 也) ，让士= m a x 士乱( z ) ，o 】，a n do ( z ) ，6 ( z ) a u r et w od i 如r e n tn o n - c o n s t a n tf u n c t i o n si n ( q ) ，w h e r e r 苦i ，l a n d9 ( z ，钆) ：q r _ ri sc a r a t h e o d o r yf u n c t i o n w 色s o l v er e 8 0 n a n c ep r o b l e m sw i t hr e s p e c tt ot h ef i u 芒i ks p e t r u mo ft h ep l a p l i a n c eu 8 i n gv a r i a 土i o n a l m e t h o d 8a n d 舀v et h ee x i s t e n c eo fe 妇s t e n c eo fn o n t r i v i a ls o l u t i o nf o rt h i s p r o b l e mf o rt h ec a s eo f b o u n d e dd o m a i ni nr t e c h n i q u e so fm o r s et h e o r y a n dp e r t u r b a t i o nm e t h o da r ee m p l o y e d k e yw | 0 r d ：p l 印l a c i a n ；m o r s ei n d e x ；c r i t i c a lg r o u p s ；n o n t r i v i a ls o l u t i o i l s ；l a r g e m o r s ei n d e x ；f u 芒i ks p e c t r u m ；r ，e s o n a n c e ；l a n d e s m a m l a z e rc o n d i t i o n c o n t e n t s 1 i n t r o d u c t i o n1 1 1 b a c k g r o u n di n f b r m a t i o n 1 1 2p r e s e n t a t i o no ft h ep r o b l e mt ob ed i s c u s s e di no u rp a p e r 3 2 t h em a i nr e s u l t s4 3 p re ：l i m i n a r i e so ft 、ol e m m a s：5 3 1t h ep r o o fo ft h el e m m a3 1 j 6 3 2t h ep r o o fo ft h el e m m a3 1 8 4 t h ep r o o fo ft h e o r e m2 1。1 0 4 1p r o o fo ft h e 丑r s ts i t u a t i o no ft h e o r e m 2 1 1 0 4 2p r o o fo ft h es e c o n ds i t u a t i o no ft h e o r e m 2 1 1 2 五沁f e r e n c e s1 6 a c k n o w l e d g e m e n t 1 7 1 i n t r o d u c t i o n 1 1 b a c k g r o u n di n f o r m a t i o n t h ep r o p o s eo ft h i sw o r ki st op r o 、r et h ee ) ( i s t e n c eo fn o i l - t r i v i a ls o l u t i o n sf b r 矿l a p l a c i a n b o u n d 甜yv a l l u ep r o b l e m t h e 伊l a p l a u c i a nh a sa t t r a c t e dal o to fa t t e n t i o nb e c a u 8 eo fi t s a p p l i c a t i o n s i t 印p e 缸si nm a t h e m a t i c a lm o d e l sf o rs u b j e c ts u c ha s a c i o l o g y ，n o n l i n e a r d i 丑 u s i o n ，m t r a t i o np r o b l e m ，p 陀r - 1 0 wm a t e r i a l s ，n o n - n e w t o n i a nn u i d s ，r e a u c t i o nd i 矗h s i o n p r o b l e m s ，a o wt h r o u g hp o r o u sm e d i a ，n o n u n e a re l a u s t i c i t y p e t r o l e u me x 七r a u e t i o n ，t o r s i o n 以 c r e e pp r o b l e me t c t h ed i s c u s s i o no ft h ee ) ( i s t e n c eo fn o l l t r i 、r i a ls o l u t i o n sf o rt h e 矿l a p l a c i a ne q u a t i o n sh a s b e e ns t u d i e db ys e 、，e r a lw o r l 【s ，b o t hw i t hn o n r e s o n a n c eo nt h ef 【u 芒i ks p e c t r u ms u c ha s 【2 5 】 a n dw i t hr e s o n a n c eo nt h ef i u 芒i ks p e c t r u ms u c h 嬲2 4 1 ，a n dt h er e f e r e n c e st h e r e i nb y 璐i n g m o r s et h e o r y l i n k i n gm e t h o d s ，c r i t i c a lp ，o u p s ，o rv a r i a t i o n a lm e t h o d s i ti s ，e uk n o w nt h a t 】o r s et h e o r yi nh i l b e r ts p a c e sh a sb e e n1 a r g e l yu s e dt oo b t a i nm u l - t i p l i c i t yr e s u l t so fs o l u t i o n sf b rs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a 土i o n s ，h a v i n gav a r i a t i o n a ls t r u c t u r e ， i ti 8s t a n d a r dt of i n d8 u c hs o l u t i o n 8a 8c r i t i c a lp o i n t so fa ne u l e rf u n c t i o n a l 厂，d e 丘n e do n ah i l b e r ts p a c e u n d e rac o m p a c t n e s sa s s u m p t i o no nt h es u b l e v e l so ft h ee u l e rf u n c t i o n a l ， t h es c 卜c a n e d ( 】7 s ) c o n d i t i o n ，g l o b 龃m o r s er e l a t i o n sc a nb ea p p h e dt o 丘n da1 0 w e rb o u n d o nt h en u m b e ro fc r i t i c a l lp o i n t so f 厂 i nr e c e n ty e a r s ，t h e r eh a u sb e e nag r o w i n gi n t e r e s tt 瞰d sv a r i a t i o n a ld i 虢r e n t i a _ 1p r o b _ l e m s ，i i o l v i n gp l a p l a c i a np 2 ) ，w h i c ha r i s en a t u r a l l yi nv a r i o u sp h y s i c a lc o n t e x t s ，f o r i n s t a n c e ，i nt h es t u i yo fn o n n e w t o n i a nn u i d sa n di nt h es t u d yo fe l a s t i c i t yp r o b l e m s i t s e e m st ob ea yi i l t e r e s t i n gp r o b l e mt ou n d e r s t a n do fg l o b a l 】o r s er e l a t i o n sc a nb eu s e d t oo b t a i nm u l t i p l i c i t yr e s u l t so fs o l u t i o n sf o rs u c hq u a s i l i n e a re q u a 七i o n s t h er e f e r e n c ef 8 1 a n df 2 1 ，w h i c ht h eb a s i ca n dm a i nm e t h o d sa r e 行o mi no u rp a p e r ，t h e r e f e r e n c e 8 1s t u d yac l a s so fe u l e rf u n c t i o n a l sd e 丘n e di nb a n a c hs p a c e s ，a u s 8 0 c i a t e dw i t h q u a _ s i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m si n v o l v i n gp l a p l a c i a no p e r a t o rp 2 ) f i r s tr e f e r e n c e 【8 】h a v e d e c l a r e di t so b t a i np e r t u r b a t i o nr e s u l t si nt h es p i r i to ft h er e m a r k a b l ep 印e rb ym a r i n aa 以d p r o d i ，i - e t h er e f e r e n c e 【2 6 ，u 8 i n gt h en e wd e 矗n i t i o no fn o n d e g e n e r a u c y r 启f e r e n c e 8 】a l s o e 妣e n dm o r s ei n d e xe s t i m a t e sf 打m i n i m a xc r i t i c a lp o i n t s ，i n t r o d u c e db yl a z e ra n ds o l i m i l l i i nt h eh i l b e r tc a s t ，t ot h eb a n a c hs e t t i n g t h ep e r t u r b a t i o nt h e o r e mg u a r a n t e e st h a ta i l yc 2f u n c t i o n a l ，o nh i l b e r t ，h a i n ga n i s o l a t e dc r i t i c a lp o i r 此乱，s u c ht h a tt h es e c o n dd e r i 、，a t i v e ( 乱) o f 。厂i n 札i saf e d h o l i i l o p e r a t o r ，c a nb ea p p r 商m a t e dl o c a l l yb yac 2f u n c t i o n a l 夕，h a v i n gaf i n i t en u m b e ro f n o n d e g e n e r a t ec r i t i c a l lp o i n t s ，i e ，c r i t i c a lp o i n t si nw h i c h 夕，i sa ni s o m o r p h i s mf r o mh i l b e r t t oi t sd u a ls p a c e f 恤t h e r m o r ei n2 6 1s i i i l i l a rp e r t u r b a t i o nr e s u l t sa r ep r o v e dn e a rc o m p a c t s e t so fc r i t i c a ld o i n t so f 乞h ef u n c t i o n a l i n 8 1 ，t h es t a t e m e n to fp e r t u r b a t i o nr e s u l t sf o rg i n v a r i a 础f u n c t i o n a lw i t hi s o l a t e d c r i t i c a l ( 1 - o r b i t si sp r o v j d e d a l lt h e s ep e r t u r b a t i o nr e s u l t sb y 】a r i n aa n dp r o d ir e l yo na n i n f i n i t ed i m e n s i o n a lv e r s i o no fs a r d st h e o r e ma r ea l s or e m a r k e di n8l ，a n dt h u 8i t 、7 1 7 o r k s u n d e rt h ec r u c i 8 la s s u m p t i o nt h a tt h es e c o n dd e r i v a t i v eo ft h ee l u e rf h n c t i o n a l 。厂，( u ) i n t h ec r i t i c a lp o i n t 他i saf r e d h o l mo p e r a t o r f i n a l l y f o rt h ea p p r o 妇m a t i n gf u n c t i o n a l 夕，a c l a s s i c a lr e s u l ti nm o r s et h e o r yf o rh i l b e r ts p a u c e s ，b a s e do nm o r 8 el e m m a ，c a nb e 印p l i e d t oe 、r a l u a t et h el o c a lb e h a v i o ro ft h ee u l e rf u n c t i o n a ln e a rn o n d e g e n e r a t ec r i t i c a lp o i n t s ，v i a d i 丘e r e n t i a ln o t i o n s a 1 lo ft h es p e c 进cm e t h o d o l o g ya n dt e c h o n l o g yo fo l l rp r o o ff o rt h e o r e m 2 1c o n s u l t t h er e f e r e n c e s 【8 】a n d 【2 】，s u c ha sa ut h ep r o p o s i t i o l l sa p p e a ri ns e c t i o n4 t h i sm e t h o di s d i 髓r e n t 髓o mt h a ti nt h er e f e r e n c e s 2 4 】a n d 2 5 】 t h i sp a p e ri so r g a n i z e db yf o u rs e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，t h es p e c t r u mo fp l a p l a u c i a nw i t h w e i g h sa r ei n t r o d u c e d t h em a i nr e s u l t so fo u rp a p e ri ss t a t e di ns e c t i o n2 ，s o m eu s e f m l e m m a sw i l lb es h o w e di ns e c t i o n3 ，a n di ns e c t i o n4 ，w ep r o 、厂et h et h e o r e m2 1 ，t h em a i n r e s u l t si nt l l i 8p a p e r t h r o u g h o u tt h ep a p e r r eu 8 et h ef o l l o w i n gn o t a t i o n s 1 0r e p r e s e n t st h en o 眦o fw 苫伊( q ) ； 2 1 j 0 pd e n o t et h en o r mo f 汐( q ) ； 3 x ：= w 苫p ( q ) ，x + r e p r e s e n t st h ed u a l8 p a c et ox ； 4 ( - ，) ：x 4 x _ rd e n o t e st h ed u “t yp a i r i n g ； 5 耳( 乱) = u v 眩p ：i j 一乱0 i “s ，e l lk 1 1 mt h a tt h ev a l u eo f ( a ，p ) p l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo ft h e s o l v a b i l i t yo f ( 1 1 ) t h ea p p r o a c hh e r eo fc o u r s er e q u i r e st h ep r e l i m i n a 巧s t u d yo fw e i g h t e d a s y m m e t r i ce i g e n v l u ep r o b l e i 璐o ft h ef o r m ： 一p ：三# z + p 一1 一p 6 ( z ) ( u 一) p 一1 ， i nq o na q ( 1 2 ) t h es e t p ( 口，6 ) ，f u 芒i ks p e c t r u mo ft h ep l a p l a c a nw i t ht h ew e i g h t 8o ( z ) a n d6 ( z ) o n w 等炉，i sd e 丘n e do ft h o s e ( 入，“) 群s u c ht h a t ( 1 2 ) h a san o n t r i v i a ls o l u t i o nu t h e g e n g e r a l i z e dn o t i o no fs p e c r u m 硎，a si n t r o d u c e df b rp = 2 ( i e i nt h eh n e s rc a s e ) i nt h e 1 9 7 0 sb yf h 芒i k1 1 1 1a 以dd a j l c e r 1 3 li nc o n n e c t i o nw i t ht h es t u d yo ft h es o c a l l e dj u m p i n g n o l l - 1 i n e a r i t i e 8 f o mt h e no n ，s e v e r a lw d r 玉【sh a eb e e nd e 、r o t e dt ot h es t u d yo f 2f1 ，1 ) ，j u s t l i k e 【3 ，1 2 ，1 6 i nt h e ( 1 u a s i l i n e 缸c a s ep 2 ，= 1w i t ht h es i t u a t i o nw h e r eo ( z ) a n d6 ( z ) a r en o nc o n s t a n ta 肌dd i f f e r e n tw 嬲i n v e s t i g a t e di n 5 ，1 4 ，1 7 ，1 8 】( f o ro ( z ) a n d6 ( z ) o ) a n d 【1 】( f o ro ( z ) a n d6 ( z ) i n d e 矗n i t e ) ，w h e r ei ti 8s h 伽mt h a t p ( n ，6 ) h a u st h es a m eg e n e r a ls h a p e a si nt h el i n e a ro d ec a s e i nt h eq u a s i l i n e a rp d ec a s e ，w h e na o = “6 ，i e ，一p 让= 如( z ) f “| p _ 2 ，i n q ， 、 u = o ， 。na q ， ( 1 3 ) i t i sk n o w nt h a tt h ep r o b l e m ( 1 3 ) h a sa nu n b o u n d e ds e q u e n c eo fv a r i a t i o n a le i g e n v a l u e s ( 口) s a t i s f y i n gas t 秕l d a r dm i n - m a xc h a r a c t e r i z a t i o n ，a n da ( n ) 一+ o 。( f _ 。) ，a n dt h e 丘r s te i g e n v a l u e 入1 ( o ) o f 一耸让i 8p o s i t i v e ，s i m p l e ，a n da d m i t sap 0 8 i t i v ee i g e n f u n c t i o n 妒。 ( s e el i n d q 、r i s t 1 5 】f o rt h ec a s eo ( z ) = 1a n dm c u e s t a 2 0 】f o rt h ec a s eo ( z ) i si n d e f i n i t e w e i g h t s ) ，w h e r e 州小= m i n zv 衅：u 咐护。仃d 上。i 饥降1 ， a 1 ( o ) a 1 ( o ) ) w ad e n o t ee n ( z ) ：= 褥知h e n c e p ( n ，6 ) c o i l t a i n st h et w ol i n e s 入1 ( n ) ra n dr a 1 ( 6 ) b y m a r i a 8 ，j c 锄p o s ，m c u e s t aa n dj p g o s s e z 【4 】 3 s e c t i o n4i sd e v o t e dt or e s o n a n c ep r o b l e l so ft h et y p e ：( 入，p ) a 1 ( o ) 乏( ( 入，p ) r a 1 ( 6 ) ) b ym o r s et h e o r e m h o w e v e r ，t h eu s u a lm o r s et h e o 巧s u p p o s e st h a tt h ef u n c t i o n a l 圣( 钆) s a t i s f i e st h ep 龃a i s - s m 以ec o n d i t i o n ( ( p s ) c o n d i t i o nf o rs h o r t ) ，w h i c hi sn o tc l e a ri n t h ec a s ew h e nt h en o i l l i n e a rt e r mg ( z ，让) i sa s y m p t o t i ct oi 训p 一2 让a ti n f i n i t y t bo v e r c o m e t h i 8 出伍c u l t y ，c e r a m ii n t r o d u c e daw e a k e rc o m p a u e t n e 8 8c o n d i t i o n ( s e e 2 1 】) t h a ta l l l o w sm o r e g e n e r a lr e s u l t s ；s e e 【6 】f o r t u n a t e l y r e p l a c i n gt h eu s u a l ( p s ) c o n d i t i o nb yc e r a l i l i sw i e a k e r c o m p a c t n e s 8c o n d i t i o n ( ( c ：) c o n d i t i o nf o rs h o r t ) ，w es t i l lh a v et h ed e f o r m a t i o nl e m m a ( s e e 7 】) s o m eo t h e rd i 伍c u l t i e st h a 七a r i s ei no u rp a p e rt oab a n a 6 h ( n o th i l b e r t ) v a r i a t i o n a l l f a m e w o r k s o m es u c hd e 丑m t i o n sa 舱i n t r o d u c e di ns e c t i o n4 l e txb eab a n a c hs p a c e a n dl 厂b ea ( 夕f u n c t i o n a l af i r s tp r o b l e mi st h a tt h ec l a s s i c a ld e 丘n i t i o no fn o n d e ；r e n e r a 七e c r i t i c a lp o i n ti i l t r o d u c e di nah i l b e r ts p a c e ，i e ，j ，( 乱) i sa ni s o m o r p h i s m 矗o mxt ot h e d u a ls p a c e 叉宰，w h i c hd o e sn o ts e e m 、，e r yr e a s o n a b l e ，s i n c et h e r ea r es e 、r e r a le x 锄p l e so f b a n a c hs p a c e sw h i c ha r en o ti s o m o r p l l i ct ot h e i rd u a ls p a c e s n 】r t h e r m o r e ，t h ee 菇s t e n c eo f an o n d e g e n e r a t ec r i t i c a lp o i n t 乱xo f ，h a v i n g 丘n i t em o r 8 ei n d e x ，i m p l i e st h e 嘲s t e n c e o fa ne q u i v a l e i l th i l b e r ts t r u c t u r e 2 t h em a i nr e s u l t s i nt h i ss e c t i o n ，w ed i s c l l s st h ee 妇s t e n c eo f n o n t r i 们a ls 0 1 u t i o nf o rt h ed i r i c h l e tb o u n d a 巧 v a l u ep r o b l e m ( 1 1 ) ，w h e r e ( a ，p ) i si nt h ep a 】盹o ft h et w - ol i n e s 入1 ( o ) 毫a n d 毫入1 ( 6 ) ， w h i c hb e l o n gt of u 己i ks p e c t r u m p ( o ，b ) ，a n d 夕( z ，让) s a 七i s 丘e s ： ( 夕o ) 夕( z ，) i sb o u n d e d f 6 rp o s i t i v ev a l u e so f ； ( 夕1 ) 夕：q 廷跫i sac a r a t h e o d o r yf u n c t i o nw i t hg ( z ，o ) = oa n d 渤) ( z ，) i g u i p 一2 + 岛， f o r o e z q ，r ； = 6 0 ( z ) ，u n i f o r m l yf o ra e z q ；a n d6 0 ( z ) b e i n gab o u n d e df u n c t i o n s a t i s f y i n go a l ( o ) s u c h t h a t 上i v u l p 天上n ( z ) i 乱i p 哆， 地彤 4 ( 2 5 ) m o r e o v e r ，伦w i l ln e e dal a n d e s a m l a z e rt y p ec o n d i t i o n ，w h i c hi nt h ec a u s ea th a n d t d i 【e st h ef o r m ( l l ) l e t b eas e q u e n c ei n 嚼伊( q ) s a t i s 鼽n gi i l l o 。a n d 渤_ e 口i n 崂p ( q ) a s 几_ o 。；t h e n ， 熙上咖，乱竹1 1旨 0 ，u n i f o m l y i n 。e z 叽 w eh a y et h ef o l l o w i n gr e s u l t ( 2 6 ) t h e o r e m2 1 三e p 2o 死d9 c 1 ( r ，r ) s o 磊珈饶ec d 纺砒扰d 嬲( 跏) 一( 眈) 识即5 e 口z s d 搋以沈e 仁驯c d 扎反抗d 礼饥( 2 6 ) 危d f d s 口礼谚 俐矿p = 2 ，p 1 ( o ) o ( z ) + p 6 ( z ) + 蜕( z ，o ) 】+ o 口佗d 入l ( 入l ( o ) o ( z ) + p 6 ( z ) + 比( z ，o ) ) 1 j f ，i 砂矿p 2 ，夕( z ，o ) = o 口佗d 蜕( z ，o ) p 6 ( z ) + p 6 0 ( z ) n 佗dp 6 ( z ) e 暑( z ) c 如1 ，q ( 9 4 ) p = 入1 ( 6 ) j 口佗d 入s o i 5 咖犰口 ( a a 1 ( 6 ) ) 6 ( 。) 入n ( z ) + p ( z ) 口竹d 入o ( z ) 酲( z ) d z 1 t ，q i no r d e rt op r o v et h et h e o r e m2 1 ，w en e e dt os t a t et h ef o l l o w i n g1 e m m a sa n dt h e i rp r o o f s 3t 、阳p r e l i m i n a u r yl e m m a s i no r d e rt oe n s u r et h ea s s u m p t i o n sa n dp r c y v r et h et h e o r e m2 1 ，w en e e ds o m eu s e f u l l e m m a si nt h i ss e c t i o n l e m m a 3 1 跏即d s e 九以夕( z ，“) s o t i 妒e s ( 卯) 一( 夕3 ) o 礼d 琥e 仁驯c d 礼也扼d 竹 2 现e n 俐如g ( z ，u ) 0 s o 。n 5i | u | i _ o 。如ru y ，o 礼d 以，pi sn 礼既c d e 化锄ed 佗y = 印。佗_ e 。) ，统以 ，p ( u ) _ 一，o si iu | | _ o 。，口v 叫危e 他g ( z ，扎) = 矗夕( z ，) 出 一砂脚p o s e 允o t ( 9 0 ) 一( 卯) 危d f 吐九e 咒以，pi s6 d 乱n d e d 疗d m6 e f d 叫z 礼 缈 5 l e m m a3 2 5 7 t i 卯d s e 冼o c d n d i 托d 佗s ( 1 7 0 ) 一( 夕3 ) d z d 口佗da = 入1 ( o ) 和，p = a 1 ( 6 ) 夕j 吼e 扎 饥e 丘n c 统d 扎以厶，ps o 统妒e s ( e ) c d 咒出抚。扎，d r 口f 2c r ，饶口i s 矿崂p 妇ds e 弘e 礼c e s “c t 危口 ，p ( “n ) _ c ， ( 1 + l j 乱n i i ，p ) | | 以，p ( 铭n ) | | e 。o 沈e 佗乱。i s6 d 乱几d e d n o ww e 祈l lp r o v eo u rt w ol e m m a s ，t h ec e r a 1 i sw e a k e rc o m p a c t e 璐sc o n d i t i o n ，t h a ti s l e m m a3 - 2 ，a n dt h ep r o o fo fl e m m a3 1f o o w sv e 巧c l o s e l yt h ea r g u m e n t si n 2 】 t h ep r o o fo ft h el e m m a3 1 ( i ) ：f i r s tw es h o wt h a t ( 夕2 ) a n dt h e ( l l ) c o n d i t i o ni m p l yt h a t 厶g ( z ，可) _ o oa s i _ o 。 i ny w n g h t 口= 亡妒1f o rt r ，t h i si sl e q u i v a l e n tt os h o wt h a t t h a 土 。里璺z g ( z ，亡妒t ( z ) ) 如= + o 。 w bs h a l l 丘r s tc o n s i d e rt h ec a u s e 亡_ 一o 。 ( 3 7 ) b yv i r t u eo i 渤) ，f o ra n ye ( o ，z n t 厂6 0 ( z ) ) ，t h e r ee 妇s t s 冠 oa n d 最l 。o ( q ) s u c h g ( z ，) 6 0 ( z ) 一e i p 一鼠( z ) f o ra h 专 0i nq ， w h i c hi so n eh a l f0 f ( 3 7 ) t h a 土 。里zg ( 叫洲圳如= + o 。， t os h o wt h eo t h e r h a l fo f ( 3 7 ) ，丘r s tw ec l a i mt h a tt h e r e 商s t s6 o a n d 冗 0s u c h 上出，概( 圳妒- 出6 f o r a l l 亡 r ( 3 8 ) l 士l t1 sn o tt h ec a u s e ，t h e nt h e r ee 妇s t sas e q u e n c eo fp o s i t i v er e a ln u m b e r s 如s u c h t h a t 厶_ 。 a s 佗一o 。a n d ，1 厶夕( z ，k 妒l ( z ) ) 妒1 ( z ) 如 寺，q 7 6 f o ra un o r 上出 州) 踹如 r i tt h e nf o l l o w s 白o m ( 3 8 ) t h a t 上g ( z ，印，( z ) ) 如上g ( z ，r 妒( z ) ) 如+ 6 ( 亡一r ) ，f o ra l l 亡 r ， a n dt h e r e f b r e 上g ( z ，t 妒( z ) ) 如_