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住房投资问题 辽宁工业大学理学院摘要本文针对我国上海城镇居民的家庭收入及储蓄进行合理的房屋投资，住房具有双重性，即消费性和投资性从影响居民家庭住房需求的各个要素入手，提出了相应的数学模型，在缺乏可靠投资渠道的情况下，有些家庭选择利用余钱或贷款购置房屋进行投资。通过分析我国城镇居民人均可支配收入及上海六年内房屋价格，折旧率为固定2%，房产税为每人限六十平方米，超出面积单价70%0.4%，及上海六年内的贷款利率，计算出发现住房价格与家庭的平均收入是共同变动的以及住房价格的方差不小于收入的方差，并且还推导出居民家庭最优投资结构受资产盈利的大小，风险影响以及居民家庭如何在资产中做出决策，根据计算得到的线性方程，相关系数，以及拟合，算出居民个人的最大收益，并计算预测出住房投资走势。关键字：双重性 共同变动 最大收益一、问题重述在当今的经济时代，各个商品对于人们有着种种诱惑。当商品向着多样化发展的同时，物价也飞速的上涨。人们已经不仅仅满足于自己平时的工资。而大部人有没有太多的投资渠道，他们只能跟着现在市场上的趋势去投资于房地产。面对现在的诸多问题，不一定时候每个家庭都去投资住房。因为有太多的不确定因素，如市场的房屋价格，家庭的收入、租金、储蓄、贷款利息、折旧率、房屋的空置率、房产税等等。下面我们就借助数学模型来分析一下，在当今的上海，投资住房是否有利于家庭增加收入。我们利用CES效用函数，家庭的效用函数等一些经济函数帮助分析投资与收入、消费的关系。二、模型假设1、投资家庭为三口之家已有180平方米的房屋，再够房屋的面积全部交房产税。2、折旧率保持不变，其值为2%。3、投资者只对住房投资。4、投资者每投资一处住房全部用贷款。5、不考虑自然因素对房价的影响。 三、符号说明R是指家庭在时期t每单位货币在t+1时的不动产的利润C是指居民家庭消费W是指居民家庭收入X 是指投资某种资产的数量P是指在t时购买住房的单价y 是t年的房价均值y 是t年的贷款利率y 是t年中人均可支取收入y 是折旧的钱数（折旧率2%）y 是指房产税y 是t年的利息r 是指无风险资产三个月的收益 四、模型的建立与求解模型一：在不考虑其他所有因素的情况下，假设：为t年的房价均值，自2000到2011年上海房价均值如下表： 单位：元200020012002200320042005200620072008200920102011均价33263659400749896385669882371029213411158002110022467 附表（一）现用计算机模拟技术进行近似模拟：附表（二）得到模拟公式：y=4.6773t+93.175t-136.2t+3498 .(1) R=0.9908模型二：在不考虑其他所有因素的情况下，假设：y为t年的贷款利率，自2002到2011年银行贷款利率如下表：年份200220042006.42006.82007.32007.72007.12200820092010.122011.2利率（%）5.766.126.396.847.107.867.747.475.946.406.60附表（三）现用计算机模拟技术近似模拟附表（四）得到的模拟公式为：y=0.003t-0.0174t+0.3812t-3.236t+15.804.(2) R=0.9159模型三：在不考虑其他所有因素的情况下，假设：y为t年中人均可支取收入，自2005到2010年人均可支取收入如下表：年份200520062007200820092010可支取收入（元）186452066823623266902667531838附表（五）现用计算机模拟技术进行近似模拟：附表（六）得到的模拟公式为： y=68.214t+2009.7t+16621.(3) R=0.9605模型四：根据最近上海发布相关房产税的文件指可知,每个家庭每人的平均面积为六十平方米，超过部分将缴纳房产税(假设一个家庭为三口之家)则：y=Sy70%0.4%.(4)房屋的折旧率为：y=(1-2%)pX.(5)模型五：根据住房的投资的特点，房屋的盈利可以这样定义：R=P-Y+Y+Y.（6）投资的目的就是为了家庭的效用最大，因此家庭的效用最大化问题为： =.(7)使得C+PX= RX+W.(8)通过最优化一阶条件，分别关于X求导数，可以得到下面等式：.（9）住房投资的收益还与居民的消费、收入有关。下面就假定家庭的效用函数，具体推到住房价格、居民消费与收入的变动关系。模型六：利用CES效用函数，假设家庭的效用形式为：U(C)=C，则 .（10）（8）式变为P=EP=EP（11）两边同时除以P，得到1=E.（12）从（13）式中可以看出住房价格与消费之间的关系，价格和消费之间是同比例方向变化。假设，将消费调整成持久收入得：1=E.（13）从上式中可得到:(1)与是成正比的，这说明从长期看，住房与收入是同变动的。（2）住房价格的方差不小于可支出收入的方差。通过上述军民住房投资和家庭消费、收入关系的分析，可得：投资的收益为：ER=-r前面的理论分析是在假设条件下推出的。但是，我们知道在现实生活中，大部分的城市住房价格不与居民的收入一同变化，而是住房价格远远高于一般家庭的收入水平，这导致居民家庭购买压力很大，投资效益不大理想，尽管国家出台了一些购房政策，但住房价格还是比家庭收入高。因此家庭要做住房投资的时候，一定要了解当地政府的政策，要考虑到自己的投资资金的来源等问题， 如果家庭的各项指标都能接近本文上述中的理想，那投资时可以受益的。 五、模型的评价与推广（一）问题缺点分析：1、房租应承上升趋势，导致收益较现实要少。 2、问题中未涉及到房屋空置率，导致房屋租赁以全收益所得，导致所得最终受益较现实要多。 3、贷款利率去均值，导致所得收益偏离现实。 4、以及其他导致所得收益出现偏离的情况。（二）模型的推广我们在投资的时候，不光只是投资住房，而