概率统计习题解答new[1].doc

第一章 随机事件及其概率1.1 样本空间与随机事件三计算下列各题1.解 1（1）；（2）；（3）；其中分别表示红色，白色和蓝色；（4）其中表示求放在盒子中，可类推；（5）其中分别表示三段之长。2. 解 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）3. 解 （1）； （2）； （3）4. 解 （1）5； (2) 1,3,4,5,6,7,8,9,10； (3) 2,3,4,5；(4) 1,5,6,7,8,9,10； (5) 1,2,5,6,7,8,9,10。5 解 (1) (2) 。1.2 事件的频率与概率三、计算下列各题1.2 . 解 3. 解 A=“他通过口试”，B=“他通过笔试”,则 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70即该学生这门课结业的可能性为70%。4. 解 设A、B、C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸这个事件，则P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.四、证明题证 。1.3 古典概型与几何概型三、计算下列各题1解 （1） 2. 解 3. 解 。4解 ； 5. 解 。6. 解 基本事件总数有种(1) 每个班各分一名优秀生有3! 种, 对每一分法,12名非优秀生平均分配到三个班中分法总数为种, 所以共有种分法. 所以 p =. (2)3名优秀生分配到同一个班, 分法有3种, 对每一分法,12名非优秀生分配到三个班中分法总数为, 共有种, 所以 q =。7. 解 这是几何概型, 样本空间占有面积为,所求事件占有面积为所以, 所求概率。8. 1.4 条件概率三、计算下列各题1 解 。2. 解 。3. 解 =“第次取到正品” =1，2，3，4.4. 解 设 B=“最终甲胜”，Ai=“第i局甲胜” 四、证明题1. 证 。2. 证 。1.5 全概率公式和贝叶斯公式三、 计算下列各题1. 解 =“在第箱取球” =1，2，3，=“取出一球为白球”2. 解 设=取得的产品为正品， 分别为甲、乙、丙三厂的产品= ，=，=，所以 0.83。3. 解 设=输血成功 分别表示型血型则 同理可求出 则 0.717。4. 解 =从人群中任取一人是男性， =色盲患者 因为 所以 。5. 解 分别表示三车间生产的螺钉，=“表示次品螺钉” =同理 = ； =。6. 所以 。1.6 事件的独立性三、计算下列各题 1. 解 表示一个灯泡使用时数在1000小时以上三灯泡中最多有一个坏=三个全好+只有一个坏= (0.2)3+(0.2)2(10.2)=0.104。 2. 解 。3. 解 设需要配置门高射炮=“高炮击中飞机”， 则 飞机被击中=门高射炮中至少有一门击中 =1门高射炮全不命中 至少配备6门炮。4. 解 设=目标一次射击中被击毁=目标被击中的发数，（0，1，2，3，）则=0.20.70.5+0.80.30.5+0.80.70.5=0.47=0.20.30.5+0.20.70.5+0.80.30.5=0.22=0.20.30.5=0.03 所以 0.470.2+0.20.6+0.030.9=0.253。5. 解 =“正好在第6次后停止”，=“第5次也正面朝上”.四、证明题证 第二章 随机变量及其函数的概率分布2.1 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其概率分布三、 计算下列各题1. 解 的可能取值为5，6，7，8，9，10 且 所以的分布列为 5 6 7 8 9 10 2. 解 的取值为1，2，3， 且 . 此即为的分布列。3. 解 的分布列为 1 2 3 由分布函数的计算公式得的分布函数为 4. 解 5. 解 （1）因为 及，所以（2）令类似上题可得 。所以的分布律为 6. 解 =0, 1, 2, 3, =“汽车在第个路口遇到红灯.”，=1，2，3.=, =，= 01231/21/41/81/8为所求概率分布7.四、证明题 2.3 连续型随机变量及其概率密度函数三、计算下列各题1. 解 ， 2.解 3. 解 （1）因为 ，所以故。（2）因为 4. 解 当时，设，则点落到以为球心，为半径的球面上时，它到点的距离均为，因此，所以，的分布函数为的密度函数为 5. 解 6. 解 p = P ()=, 由已知 (3, )所以 7. 解 （1）因为 所以走第二条。 （2）类似的走第一条。2.4 随机变量函数的分布三、计算下列各题1. 解：的分布律为 1 2 5 2. 解 的密度函数为 （1） 设，则有 。 所以 ，因此当及时，由知；当时，由知，所以所求密度函数为（2） 类似的可得：3. 解 （1）的密度函数为 ，的分布函数为 所以的密度函数为 （2）的分布函数为 所以的密度函数为 4.解 所以 5. 6.四、证明题1. 证 2. 证 X服从参数为0.5的指数分布,则概率密度为 , 函数y单调可导,其反函数为 由公式 所以在区间(0,1)服从均匀分布。第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量的概率分布三、计算下列各题1.解 因为 2. 解. 3.解 是的联合概率密度只要满足0与所以是随机变量的联合概率密度。4. 解：（1）（2）（3）（4）=5. 解 6解：（1）在没有取白球的情况下取了一次红球相当于只有1个红球，2个黑球有放回的取两次，其中摸到一个红球；（2）X，Y的取值范围为0,1,2，故 XY01201/41/61/3611/31/9021/9003.2 边缘分布3.3 条件分布3.4 随机变量的独立性三、计算下列各题1.解：由题意，则由概率的乘法公式有因此 XY123411/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/481/41/41/41/412. 3. 解：（1）由于（2）4. 解 即5. 6. 解 （1）. ，(3) .7. 解Y X-101Pj0P11P21P311/210P2201/2Pi.1/41/21/41（1）设的联合分布为Y X-10101/401/4101/20 8. 解：（1）（2）含有a的二次方程为有实根的充要条件为.而 四、证明题证明： 3.5 两个随机变量函数的分布 三、计算下列各题1. 解 由独立性可得（）（1，2） （1，4） （3，2） （3，4） 0.18 0.12 0.42 0.28 3 5 5 7 1 3 1 1所以 的分布律为,的分布律为2. 解 由已知的密度函数为Y在-,服从均匀分布, 则, X和Y独立, 由公式3解 独立，又= ，令，则4. 解5. 解：X与Y相互独立，且，6. 解.7. 解：(1) (2) 所以8. 解：（），其中D为中的那部分区域； 求此二重积分可得 （） 当时，； 当时，； 当时， 当时， 于是9. 解 以表示第个元件无故障工作时间，则独立且分布函数为. 所以T服从参数为的指数分布10. 解：（） ； .所以：（）。11. 解：设某种商品在第i周的需求量为，由题意得相互独立，且有（1）记两周需求量为Z，即，则Z的概率密度为（2）记三周需求量为W，即，又与相互独立，则W的概率密度为第四章 随机变量的数字特征4.1 数学期望 4.2 方差三、计算下列各题1. 解 设球的直径为,其概率密度为 2. 解 的概率密度，。3. 解: 以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置， ， ，令， 这时 。4. 解 “第次命中目标”,)=, 取 所以 , ,取 1故 从而 。5. 解 6. 解 -1 - 0 1 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 0 1 4 9 160.1 0.2 0.3 0.4 0。7. 解 令。8. 解：条件期望的含义是：在已知第二次取出的5只球中有1个白球的情况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望，先要求得条件下X的条件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故，由此可算得下的条件期望。9.解：由题设，每人在第i层下电梯的概率均为，设表示第k人在第i层下电梯，则有，又设，则因此，电梯停的总次数为， 。10. 解：由密度函数性质及已给条件，知有， ， ，三个方程，三个变量，解之可得：。11.解：设，则，由于X与Y相互独立，则有而，则有。因此。四、证明题证明： ，因为X和Y相互独立，所以有，又，从而有。4.3 协方差和相关系数4.4 原点矩与中心矩三、计算下列各题1. 解 。2. 解 ；3. 解：（1）， （2） （3）对于任意实数，有4. 。5. 解 6.解 （1） ， ， ，若不相关，则（2）。7. 解：(1) ， ， 由于X与Y分别服从正态分布，所以也服从正态分布；(2) 因为，注意到，且，所以 ，由协方差定义：；(3)由于X与均服从正态分布，故“相关系数为零”等价于“相互独立”，因此X与相互独立。8. 解：；。9.解：（1）依题意，有，且因为，而，由方差公式可求出，同理可得，所以又，同理有，综合上述结果，可得（2）若不相关，则，因此，又，则时不相关。四、证明题第五章 大数定律与中心极限定理5.1 大数定律 5.2 中心极限定理一、填空题1 1/9 ；2 ， ； 3 ；41/12；解：因为 ，故由切比雪夫不等式，.51/2解：因为 ，所以 ，故由辛钦大数定律，对，有，即 依概率收敛于.二、选择题1 B解：因为，所以由切比雪夫不等式直接可得.故答案选B.2 C解：由切比雪夫不等式：，与无关，故答案取C.3. B4. A解：.5 A解：由于服从参数为的指数分布，所以，由中心极限定理， ，故答案取A.三、计算题1. 解： 设表示1000次试验中出现的次数，则 ，由切比雪夫不等式有所以可以用大于0.97的概率确信：在1000次实验中，事件出现的次数在400与600范围内.2. 解：设为掷一次骰子出现的点数，则其分布律为：，所以 ，；依题意 ，所以.3.4 解：设总长度为，则，由林德贝格列维中心极限定理，知 ，所以合格的概率为：.5解：设为选择第题所得到的分数，由题设，服从分布，另设总得分为，则，且，由德莫弗拉普拉斯定理，查正态分布表可得.6. 解：（1）设为系统中正常运行完好的元件数， 则，由德莫弗拉普拉斯定理，.（2）已知 ，求满足条件的，其中 ，同（1）解法， ，查正态分布表可得：，取即可.7. 解：（1）服从二项分布，参数：，即，其概率分布为 ； （2）， 根据德莫弗拉普拉斯定理 .8解：设为500辆参加保险的汽车中出事故的车辆数，则服从二项分布，由题设，保险