（基础数学专业论文）素特征域上半单代数群及其李代数表示中的verma模.pdf

摘要 在本文中，我们主要研究素特征域k 上连通、单连通的半单代数群g 及其李代数g = l i eg 表示中的v e r m a 模本文主要研究成果有下面几个 方面： 1 当蜀( a ) 的最高权入落在基本室岛时，在域的特征p 比较大的情况 下，我们决定了而( 入) 的所有极大权向量它们都是单项式形式而对于这 类“单项式形式的”极大权向量，本文给出了一个充分性的界定 2 我们研究了非限制的广义b a b yv e r m a 模的不可约性问题我们知 道当矿特征函数x 为零时，一般的广义b a b yv e r m a 模不是不可约的但 当矿特征函数x 为正则幂零时，广义b a b yv e r m a 模均是不可约的当矿特 征函数) ( 具有标准l e v i 型且当最高权入落在基本室岛时，我们给出了a n 型李代数表示中的广义b a b yv e r m a 模畋( g ) o ( p ，) 三，( a ) 不可约的充分 条件在此情况下，我们部分解决了f r i e d l a n d e r p a r s h a u 所提出的相关问题 3 我们研究了李代数表示理论中的支柱簇和秩簇理论，当驴特征函 数x 是秩1 时，我们证明了约化包络代数氓( g ) 与限制包络代数巩( g ) ( 作 为左正则模) 是j g ( x ) 一等变同构的，从而获得了非限制b a b yv e r m a 模盈( 入) 和限制b a b yv e r m a 模磊( 入) 的秩簇之间的关系式： u ( 么( 入) ) = ( 磊( 入) ) n3 9 ( x ) 其中吾g ( ) ( ) = _ x g1 ) ( ( x ，g 】) = o ) 4b s t r a c t l e tgd e n o t eac o n n e c t e d ，s i m p l yc o n n e c t e da n ds e m i - s i m p l ea l g e b r a i c g r o u po v e ra l la l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l dko fc h a r a c t e r i s t i cp 0 ，a n dg = l i e g b ei t sl i ea l g e b r a i nt h i sp a p e r w em a i n l ys t u d yt h ev e r m am o d u l e si n r e p r e s e n t a t i o n so fg a n dg i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h em a i nr e s u l t sa r el i s t e d b e l o w ： 1 v v h e nt h eh i g h e s tw e i g h tao f 蜀( a ) l i ei nt h ef u n d a m e n t a la l c o v e c o ，w ec a nd e t e r m i n ea l lt h em a x i m a lw e i g h tv e c t o ro f 磊( a ) a n dt h e ya r e m o n o m i a l sp r o v i d e dt h a tpi sb i g g e rt h a nac e r t a i nn u m b e r f o rg e n e r a l d e s c r i p t i o no fs u c hm a x i m a lw e i g h tv e c t o r s ，w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nt o j u d g ei fam a x i m a lw e i g h tv e c t o ro fav e r m am o d u l ei nt h ed i s t ( g ) - m o d u l e c a t e g o r yb e c o m e sam a x i m a lv e c t o ro fab a b yv e r m am o d u l ei nt h e ( 夕) 一 m o d u l ec a t e g o r y 2 w es t u d yi r r e d u c i b l en o n - r e s t r i c t e dg e n e r a l i z e db a b yv e r m am o d u l e s w ek n o wt h a tw h e np - c h a r a c t e rxi sz e r o ，ab a b yv e r m am o d u l ei sm o s t l y r e d u c i b l e b u tw h e np - c h a r a c t e rxi sn o tz e r o ，t h eg e n e r a l i z e db a b yv e r m a m o d u l em a yb ei r r e d u c i b l e w h e nt h ep - c h a r a c t e rxh a ss t a n d a r dl e v if o r m a n dt h eh i g h e s tw e i g h tai si n c l u d e di nt h ef u n d a m e n t a la l c o v ec o ，w eg e ta n s u f f i c i e n tc o n d i t i o no ng e n e r a l i z e db a b yv e r m am o d u l e 氓( g ) v o ( p j ) l j ( a ) i si r r e d u c i b l e w ep a r t i a l l ya n s w e r e da l lq u e s t i o na d d r e s s e db yf r i e d l a n d e r a n dp a r s h a l li nt h er e f e r e n c e 【2 2 ，5 1 】。 3 w es t u d ys u p p o r tv a r i e t i e sa n dr a n kv a r i e t i e sf o rg w h e nt h er a n k o fp - c h a r a c t e rxi s 1 ，w ep r o vt h er e d u c e de n v e l o p i n ga l g e b r a 氓( g ) a n d r e s t r i c t e de n v e l o p i n ga l g e b r au o ( g ) a r e3 9 ( x ) 一e q u i v a r i a n ti s o m o r p h i s m8 u sl e f t r e g u l a rm o d u l e s ，s ow eg e tt h er e l a t i o nb e t w e e nt h er a n kv a r i e t yo fb a b y v e r m am o d u l e 扬( 入) a n dt h er a n kv a r i e t yo fb a b yv e r m a m o d u l e 么( a ) ： 屹( 么c a ) ) = u ( z o c a ) ) n3 9 ( x ) w h e r e3 9 ( x ) = x g lx ( 【x ，g 】) = o ) 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个 人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权 保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被 查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文 的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本 学位论文作者签名： 日期：型叫 导师签名 ji 士 亏i 苗 在v e r m a 的文章【5 5 】中，标准循环模( v e r m a 模) 首先被引入并研究 在复半单李代数的表示中，b e r n s t e i n ，g e l l a n d 和g e l l a n d 的一系列文 章【7 ，8 ，9 】研究了v e r m a 模的性质其中b g g 定理给出了v e r m a 模之间 同态存在的充分必要条件即v e r m a 模的极大权向量或子模存在的充分必 要条件另外还有关于单模特征标的k a z h d a n - l u s z t i g 理论f 4 0 ，5 ，1 1 】 当基域七的特征为素数时，由于李代数的普遍包络代数【厂( g ) 的f r o b e - n i u s 中心磊( g ) = 七矽一z m ：茹g 】对李代数单模的作用的效果不同，产 生相应的有限维的所谓“b a b y v e r m a 模，我们将此时的v e r m a 模记为限 制( z o ( g ) 作用在单模上为零) b a b yv e r m a 模磊( a ) 和非限制( z o ( g ) 作 用在单模上非零) b a b yv e r m a 模瓦( 入) 所以原来v e r m a 模的角色现在由 b a b yv e r m a 模来取代按照限制表示和非限制表示，本文分成两大部分 第一大部分，我们主要研究限制表示中b a b yv e r m a 模的极大权向量 首先指出的是：尽管一般来讲限制b a b yv e r m a 模不能提升为相关代数群的 有理模，但代数群的单模特征标公式的解决等价于b a b yv e r m a 模分解数的 解决( 1 ) 这样，l u s z t i g 关于半单代数群单模特征标公式的猜想( 见f 4 4 ，4 5 ， 3 7 ，3 9 1 ) 的最终解决可以归于b a b yv e r m a 的研究另一方面，由c l i n e ， p a r s h a l l 和s c o t t 的工作 1 5 】，可将l u s z t i g 猜想( 4 4 ) 的证明转化为证 明e x t 刍, t ( l o ( w 入) ，l o ( w 8 a ) ) 0 ( 3 7 ，i i ，c h a p tc 2 】) 转化为研究最高 权在相邻室( a l c o v e ) 里的限制单模之间的一阶上同调e x t l 为此，我们需 足够了解限制b a b yv e r m a 2 _ 间的同态信息所以，l u s z t i g 猜想的最终完成， ( 1 ) 在代数群的表示理论中，中国数学家们做出了突出的贡献，如王建磐( c f 【5 6 】等) ，时俭 益，叶家琛( c f 【6 0 1 等) ，席南华( c f 5 7 】等) 2 引言 与b a b yv e r m a 模的结构，特别与b a b yv e r m a 模的极大权向量的确定有密 切关系 在复半单李代数的表示中，v e r m a 【5 5 】和b e r n s t e i n ，g e l f a n d 和g e l f a n d f 7 ，8 】对v e r m a 模z ( a ) c 的合成列和v e r m a 模之间同态的进行了系统的研 究，由此我们可以找出v e r m a 模的所有极大权向量当域的特征为素数p 时，v e r m a 模( 或者w e y l 模) 之间同态要麻烦得多，很多数学家已经得到了 许多重要的结果如c a r t e r 和l u s z t i g ( c f f 1 3 】) ，c a r t e r 和p a y n e c f f 1 4 j ) ， f r a n k l i n ( c f 1 7 1 ，1 8 1 ) ，a n d e r s e n ( c f f 1 1 ) ，k o p p i n e n ( c 4 1 1 ) 等席南 华在其论文 5 7 】，【5 8 】中对于w e y l 模以及b a b yv e r m a 模的极大权向量进 行了深入研究他的一些独到的讨论也成为本文的工具和出发点。在以上所 述的研究基础上，本文试图理解复半单情形关于v e r m a 模的b g g 理论的 原始思想，并由此出发来考虑模p 后原始v e r m a 模的变形，最终寻求b a b y v e r m a 模的极大权向量 在本文中，我们首先借助特征零时v e r m a 模的最高权向量的结果研究 特征p 时b a b yv e r m a 模的极大权向量令g z 是一个连通，单连通的简约 代数z 一群令d i s t ( g z ) 是g r z 的广衍代数( d i s t r i b u t i o n sa l g e b r a ) 首先，根据v e r m a 5 5 1 和b e r n s t e i n ，g e l f a n d 和g e l f a n df 7 ，8 1 对v e r m a 模的极大权向量的研究结果，以及f r a n k l i n 关于d i s t ( g z ) 上的v e r m a 模的 极大权向量的结果( 见 1 7 】， 1 8 】) ，我们可以描述d i s t ( g z ) 表示中的v e r m a 模z ( 入) z 的极大权向量并将其分类为单项式形式的极大权向量和非单项 式形式的极大权向量借助于v e r m a 模z ( a ) z 的极大权向量，我们可以得 到d i s t ( g ) 表示的v e r m a 模z ( 入) 的相应的极大权向量例如，如果仳o z a 是z ( 入) z 的一个极大权向量，令= 仳圆z 詹，则oh 是v e r m a 模z ( 入) 膏 的一个极大权向量 在第三章中借助于z ( a ) z 的极大权向量，我们研究了限制b a b yv e r m a 模磊( 入) 的极大权向量既然一阶f r o b e n i u s 核g 1 的广衍代数d i s t ( g 1 ) 是d i s t ( g ) 的子代数( c f f 3 7 ，9 8 1 ) ，借助于v e r m a 模z ( 入) z 的极大权向量，我 们可以得到一阶f r o b e n i u s 核表示的b a b yv e r m a 模历( 入) 竺d i s t ( 听一) oh 的相应极大权向量由于李代数g = l i e ( g ) 的限制包络代数( g ) 与广衍 代数d i s t ( g 1 ) 是同构的，所以b a b yv e r m a 模z 1 ( a ) 同构于限制b a b yv e r m a 引言3 模易( a ) 借助于v e r m a 模z ( 入) z 的极大权向量我们可以得到以下结果： ( 1 ) 当李代数g 的根系冗是a n 型时若u 圆z a 是z ( 入) z 的一个单项 式形式的极大权向量，我们可以给出= t zk 落在d i s t ( 盯) 的充分必 要条件由此借助于z ( a ) z 的单项式形式的极大权向量，我们可以找出限制 b a b yv e r m a 模蜀( 入) 的相应单项式形式的极大权向量如下( 我们称这样的 极大权向量为“原始”的极大权向量) 定理3 1 ：令入x ( t ) 是正则的限制权假设李代数g 是a n 型的李代 数特征p 大于根系冗的c o x e t e r 数令v k x = 浅- 艘。j 趣r q h 是 v e r m a 模z ( 入) 七的一个“原始 极大权向量则龆一耀：) 可5 ：i j ( n 一) 当且仅当龆一可譬。j 觑j 满足下面的条件： ( 掌) 对u 的任一表达式螺一嫒2 一- c 【n j t j r r ，i i 其中s a i l s 叼。s 是硼= s 口。，8 a 。：s 口，的任一简约表达式，有呵。 p 当且仅当入一p 是正根之和 令l 是一个单g 模，则普遍包络代数矿( g ) 的中心元护一z 纠作用 在己上是一个数将其记为x l ( z ) p ( c 【3 3 ，2 4 】) 对任一单g 模l 我们 有x l g + 我们称尬为l 的少特征函数更一般的，如果m 是一个g 模， 则我们称m 具有p 一特征函数x 当且仅当 ( 护一x n x ( z ) p ) m = o ，vx g 令x g 设 吼( g ) = u ( o ) 氏 1 2v e r m a 模 7 是李代数g 的约化包络代数，其中文= 矿一x n x ( 。) p ，对所有茁g ) 是v ( g ) 的理想我们有氓( g ) = 酞( n 一) o 巩( o ) o 畋( r l + ) 对任一x g + ，由等价的模范畴 g 一模) 一 u ( g ) 一模) 诱导出一个等价的模范畴 具有p 特征的g 模) 一 氓( g ) 一模) 当x = 0 时，我们称 ( g ) = u c g ) j o 是李代数g 的限制包络代数，其中而= ( 扩一z 纠，对所有z g ) 我们 有( g ) = u o ( n 一) 圆u o ( d ) o5 t o ( n 十) 1 1 3 令人o ：= a 0 + la ( h ) p = 入( 危嘲) ) 是x ( t ) 的限制权集我们知道存 在双射( c f 【3 3 ，1 1 1 】) a o 皇x ( t ) p x ( t ) 对任意的a r ，令q v 表示a 的余根令是由所有单反射8 d ，v 口r 生成的w e y l 群，是由所有单反射s 吖p ，r z ，va r 生成的仿射 w e y l 群，其中s 口，印( p ) = p 一( ( 肛，a v ) 一叩) q 定义w e y l 群的点作用w 入= 埘( 入+ p ) 一岛w w ，其中p 是正根和的一半 设z a g 口，口h 是g 的正单根向量设m 是李代数g 的模，m 的 一个权为入的极大权向量是一个非零向量m 螈，它被所有g 的单根向 量x n 零化 1 2v e r m a 模 1 2 1 假设基域为复数域c ，其上李代数记为g c 令a x ( t ) ，c 是一维 的b 老模，b 古在c a 上的作用为( 危+ 口r + z a ) c a = c a = 入( ) c a 定 8 第一章概念与记号 义g c 表示中的v e r m a 模为： z ( 入) c ：= u ( g c ) o c ，( b 古) c a 。 于是有呕模同构z ( 入) c 竺u ( 1 云) 我们称c a 是z ( a ) c 的生成元 设d i s t ( g z ) 是g z 的广衍( d i s t r i b u t i o n s ) 代数( 广衍代数的具体定义 可见文献【3 7 】的c hi 7 和c hi i 1 或文献 1 2 1 ) 则有： d i s t ( g z ) 皇od i s t ( u z ) a d i s t ( t z ) qo d i s t ( u z ) 一 设，0 f r ，h i ，i = 1 ，2 ，r = d i m b z 是取定的c h e v a l l e y 基( 见【3 7 ， i i ，1 1 1 ；1 1 2 】) d i s t ( a z ) 是矿( g z ) 的由警，a r ，n n 和f 鬼1 ，勉 b z ，m n 生成的子代数为了方便，我们记砖) = 等 d i s t ( g z ) 是u ( g c ) 的k o s a n t sz - 形式。则d i s t ( g z ) 有典范基 旦砖) 卉i = 1 卜m1a 丌e r + 础) n 设 d i s t ( u 云) = od i s t ( u z ) d i s t ( u + ) = od i s t ( u z ) a ， a e r + a r 十 d i s t ( b + ) = od i s t ( u z ) 口od i s t ( t z ) 令入x ( t ) ，定义d i s t ( g z ) 表示中的v e r m a 模： z ( 入) z ：= d i s t ( g z ) d i s t ( b + ) z 我们称么是生成元，哇在z a 上的作用为。，d i s t ( 死) 中元素( 乏) 作 用在z a 上为业必坐止产啦上= 业z a 不难得知有d i s t ( u z ) 模同构：z ( a ) z2d i s t ( u z ) 记代数群g 为： g = u + t u 一，其中厂+ = 且沙一= n 口 a e r +a e r + 1 2v e r m a 模 9 记b + = u + t 是代数群g 的b o r e l 子群令d i s t ( g ) 是g 的广 衍( d i s t r i b u t i o n s ) 代数则有： d i s t ( g ) 皇d i s t ( u + ) od i s t ( t ) od i s t ( u 一) 我们有d i s t ( g ) 型d i s t ( g z ) ( g zk 令入x ( t ) ，定义d i s t ( g ) 表示中的v e r m a 模： z ( a ) 詹：= d i s t ( g ) o d i s t ( b 十) 奴 则有d i s t ( u 一) 模同构： z ( 入) 七型d i s t ( u 一) 令g ，r 1 是g 的r 阶f r o b e n i u s 核则有： g r = 时霉盯，其中时= i i ( 珥) a 且昨= ( 珥) 一 a r +a r 9 - 记霹= 时耳是g r 的b o r e l 子群令d i s t ( g r ) 是f r o b e n i u s 核g ，r 1 的广衍代数( c f 【3 7 ) 我们有d i s t ( g ) 竺ud i s t ( g ，) r l 我们知道代数群g 的一阶f r o b e n i u s 核g 1 的广衍代数d i s t ( g 1 ) 同构 于g 的李代数g 的限制包络代数u o ( g ) ( c f 【1 2 ，推论9 2 9 】) 令a x ( t ) ，定义d i s t ( g ，) 表示中的v e r m a 模： 4 ( 入) ：= d i s t ( g r ) ( g d i s t ( 辟) h ，入x ( t ) 则有d i s t ( 昨) 模同构： 磊( 入) 皇d i s t ( u i ) h ，a x ( t ) 记一g ，r 1 模为： 厶( 入) 2 磊( a ) r a l g ，互( 入) 由 3 7 ，i i ；3 1 0 ，如果r 是x ( t ) p 7 x ( t ) 的一个代表元系，我们知道任一 单g ，- 模恰好同构于某一个厶( a ) ，入r 设p 一限制权集 x r ( t ) = 入x ( t ) i o ( 入，a v ) 0 ，l i 佗，我们称入是支配( d o m i n a n t ) 的( c f 2 7 ，1 3 1 】) 如果对任意的1 i n 都有m t 0 ，vi 对任意的单根，我们 有s o k a s a t ，s a s a 矿a ，v 歹= 2 ，r 如若不然， 令s 啦8 口讧2 8 。入+ p = ( m ：，m ：，m 鲁) 则m ： o ，vi 1 ，2 ，n ) 通过计算易得w o 入+ p = ( m ：，m ：；，m ：) 满足m ， o ，vi = 1 ，2 ，n 由 于支配权和反支配权在w e y l 群阢轨道下是唯一的，所以得到矛盾由此 证明了我们的断言根据b g g 定理，我们可以证明这个推论 口 我们记如( g - a ) z ，a r + 是g z 的负根向量记拶= 等，口 r + ；m n 由引理2 2 和推论2 4 ，我们可以证明下面的推论： 推论2 5 令a x ( t ) 是支配的，即入+ p ，= ，1 ，1 ，m 2 ，m n ) n n 则v e r m a 模z ( 入) z 的任一极大权向量形为龆t ) 可罢z 龆r ，z a 其 中s 啦，8 a 幻s 眦，啦，1 i ，1 歹r 是w w 的一个简约表达式 证明 既然入+ p = ( m 1 ，m 2 ，m n ) n n ，根据引理2 3 ，我们有权 向量可鼢z a ，v 啦i i 是z ( 入) z 的一个极大权向量由推论2 4 ，我们 知道h o m g z ( z ( s 8 口t 2 s 入) z ，z ( 入) z ) 皇z ，其中任一，1 歹7 都是单根我们得到z ( 入) z 的权为8 8 8 a 的唯一( 差数乘) 极 大权向量是形如越z ，a 的极大权向量的复合，故其可以写 为嘏耀：) 秒跺r ，z 所以我们得到z ( 入) z 的任一极大权向量具有单 项式的形式，其形如辫j 艘：) 觑一z a 口 我们需要注意的是极大权向量涩t 罂 可5 ：r ，z a 的表达形式并 不一定是唯一的这是因为由w e y l 群元素简约表达式的不唯一性引起 的v e r m a 恒等式：令a + p = ( r ，s ) ，对a 2 型李代数我们有s a 。8 a ：8 a 。= s 口2 s a l s 旧对岛型李代数我们有8 a 1 8 口2 8 口l8 n 2 = s 口2 s a l8 a ：8 对g 2 型李 代数我们有s a 。s 口：8 口。8 口2 s a ，8 口2 = s 口2 s 口1 8 a 2 8 a l s 口2 s ”于是我们分别有下面 的v e r m a 恒等式( c f i 5 5 ，( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 】) ， y 器灯8 螂= 趔灯5 捌； ( 1 ) 趔y 豺8 ) 蟛+ 8 y 甜= 崩缓+ 。y 豺8 趔； ( 2 ) 趔灯。避+ 2 3 蹬+ 。蟛+ 5 谢= 谢辫+ 3 辫如蹬+ 2 8 灯。趔( 3 ) 由于w e y l 群w 是c o x e t e r 群，所以我们可以把上面秩二的情形推广到一 般给定w 的两个简约表达式s a t l8 a ；。s a 如= s 叼。s 叼。s q ，由上面的 2 1 v e r m a 模和b g g 理论 1 5 v e r m a 恒等式可得 趣，逝。龆”z a = 龆t 趣。姆r ，z a 所以极大权向量趱t ) ：) 以= ：r z a 与其对应的w e y l 取群中元 素w 的简约表达式的选取是无关的 定义2 我们称z ( a ) z 的形如 龆j 趣2 逝一z 的极大权向量为单项式形式的极大权向量 对应于单项式形式的极大权向量，我们称不能写成形如y a i lj y a ；2 ：】 艇r ，z a 的极大权向量为非单项式形式的极大权向量 注1 固定d i s t ( g ) z 的一组典范基( 见第8 页的( 木) ) 如果将v e r m a 模z ( 入) z 的任一单项式形式的极大权向量y 旨- 趣。) 澎r ，z a 按照给 定的典范基基的顺序展开，除r = l 外，展开式是一个多项式这是因为任 意两个具有非零幂的单根向量换位后变成多项式例如： 假设肘= a ，p ，0 f + 卢，则 m i n ( r , t ) 谬0 妒= 5 ，口妲卢始一移一 i = 0 其中。a 是c h e v a l l e y 基的结构常数所以我们所定义的单项式形式的极 大权向量仅仅是形式上的定义 我们可以看出当入是支配的时，z ( 入) z 的单项式形式的极大权向量简 单明了，容易得到对任一p = 伽入 入，只要我们写出w 的任一简约表达 式，即能写出权为肛的极大权向量但对一般的入，z ( 入) z 的任一极大权向 量并不一定能写成单项式的形式当入是反支配的时候，由于a 在形入轨 道中是最小的，由引理2 2 ，我们知道v e r m a 模z ( 入) z 没有除生成元以外的 极大权向量因为z ( 入) z 是最高权模，所以z ( a ) z 是单的 当入既不支配的又不反支配的时，我们希望研究z ( 入) z 的所有具有单 项式形式的极大权向量借助于引理2 2 ，我们可以找出z ( 入) z 的所有极大 权向量在这些极大权向量中有一些可以写成单项式形式下面的命题描述 了z ( 入) z 所有的单项式形式的极大权向量： 1 6 第二章v e r m a 模z ( 入) z 的极大权向量 命题2 6 设入x ( t ) 且a 既不是支配的也不是反支配的令p = 伽入 入其中t i ，= 8 a hs a t 2 s a 讳彬0sr n ，q 旬，v 歹= 1 ，r 则z ( a ) z 的权为p 的极大权向量具有单项式形式当且仅当对任意的歹 【1 ，r ) ，有s 口+ l s a s a 勺s a 是单根的正整数倍 证明由推论2 4 和推论2 5 我们可以证明这个命题 口 2 1 3 我们还可以描述z ( a ) z 的非单项式形式的极大权向量 推论2 7 若入x ( t ) 且入既不是支配的也不是反支配的令p = 伽入 s a i j + l s 锄，入 证明由于我们称z ( 入) z 的非单项式形式的极大权向量为那些不能写 为形如斌t 救。) 觑一z a 的极大权向量，所以由命题2 6 可以直接得 到这个推论 口 例如，令a + p = ( 一1 ，2 ) 通过计算，我们知道权向量( 如。口：一鼬。+ a 。) z 是z ( a ) z 权为入一a 1 一o t 2 的极大权向量明显的( 如。鼬。一蜘。+ n 。) z a 不能 写成单项式的形式 注2 我们需要注意的是当一个权a 既不是支配的也不是反支配的时， z ( 入) z 不一定有非单项式形式的极大权向量例如，设入+ p = ( 一2 ，1 ) ， 则z ( a ) z 的极大权向量只有讹。z a 2 2 1 2 2 v e r m a 模z ( 入) 七的极大权向量 在上一节中我们描述分类了v e r m a 模z ( a ) z ，入x ( t ) 的极大权向量 我们本文的一个主要目的是借助于z ( a ) z ，入x ( t ) 的极大权向量来研究 域七上限制b a b yv e r m a 模的极大权向量但是素特征域上限制b a b y v e r m a 2 2 v e r m a 模z ( 入) 的极大权向量 1 7 模的极大权向量的确定是一件非常困难的事情例如，令9 是a 2 型李代数， 假设a 是限制权且入+ p = ( 2 ，p 一1 ) v e r m a 模z ( 入) z 的所有极大权向量 为： z a ，删z a ，逝z a ，灯1 灯z a ，可黔1 螂z a ，删辫1 翊z 当基域的特征为素数p 时，b a b yv e r m a 模z o ( a ) 的所有极大权向量 为( c f 【2 9 ，3 1 1 ) ： h ，螂h ，灯h ，y a ：可兽h ，弛。逝1 1 h ，( y a 。鼬：+ 2 y a 。+ n 。) h ， 删灯1 齿奴 对z ( 入) 知来说， 咖2o h ，灯1 oh ，灯1 灯1 oh ，灯1 螂oh ，谢甜1 螂oh ， 可口2 可婴圆入，弧l y 0 , - 1 圆七入，( y a l y n 2 + 2 y 口l + a 2 ) 七入 是它的一部分但不是全部极大权向量 上面的例子说明了即使在最高权的特定限制下，v e r m a 模z ( 入) z 和z ( 入) 奄，b a b yv e r m a 模磊( 入) 的极大权向量也是有很大差别的模p 的过程使得v e r m a 模z ( 入) 七的极大权向量较v e r m a 模z ( 入) z 极大权向量 复杂的多 另一方面，下面的引理说明了v e r m a 模z ( a ) z 的极大权向量在以下的 意义下可成为v e r m a 模z ( 入) 七的极大权向量 引理2 8 如果让z 入是v e r m a 模z ( 入) z 的一个极大权向量令= uo zk 则u 7ph 是v e r m a 模z ( 入) 七的一个极大权向量特别的，如果t 7 落在d i s t ( u i - ) 中，则仳7 h 是b a b yv e r m a 模磊( 入) 的一个极大权向量 证明对任一正单根向量；，啦i i ，我们有如下的公式： ( 1 ) z 弛，】= 0 ，i j ； ( 2 ) z 口。罂+ l 、z a = ( 入( a 。) 一口) y 蟹) z a ，口n ； ( 3 ) z 弧】= 0 ，当a 一啦不是一个根； ( 4 ) z 口；沿) = a 矿a 弧- 口i 括1 + 活) z 口；，其中帆矿口是c h e v a u e y 基的结构 常数 1 8 第二章v e r m a 模z ( a ) z 的极大权向量 既然u z a 是极大的，我们知道任一单根向量z 啦作用在u z a 是零既然基域k 的特征为p ，根据上面的等式可以算出任一单根向 量z vo t i i i 作用在仳7ok a 亦为零的所以u 7ok a 是z ( 入) 七的极大权 向量 口 定义3 我们把通过引理2 8 得到的z ( 入) 七和磊( 入) 的单项式形式的极大 权向量称为“原始 的极大权向量 注3 为了不引起混淆，如果u ( n 一) ，我们记uph 是z ( a ) 七的权向量 而u h 表示b a b yv e r m a 模z o ( a ) 的权向量 第三章限制b a b yv e r m a 模的极 大权向量 在上一章中我们描述了v e r m a 模z ( 入) z 的极大权向量将它们分为单 项式形式和非单项式形式在本章中，根据v e r m a 模z ( 入) z 的极大权向量， 在3 1 和3 2 中我们将描述限制b a b yv e r m a 模的单项式形式的极大权向 量 从本章开始，我们总是假定基域七是素特征p 的代数闭域，g 是七上连 通、单连通半单的代数群g = l i e ( a ) 另外，我们总是假定p 大于李代数g 的根系r 的c o x e t e r 数h 其它记号同前 3 1 1 3 1 “原始 极大权向量 首先我们要描述的是“原始 极大权向量 我们知道，因为不可约研，r 1 模的同构类与x ( t ) p x ( t ) 中的元 素一一对应因为在x ( t ) p t x ( t ) 上无法定义合理的半序，给g ，7 1 模 的研究带来了困难，为此j a n t z e n 引入了阶化g ，r 1 模( g r t - 模) 的 概念( c f 【3 2 1 ) ，从而把权集恢复为x ( t ) 所以我们将研究阶化限制b a b y v e r m a 模磊( 入) ，a x ( t ) ( c f 【3 7 ，i i ，9 】) 的极大权向量设矿是一个k 向 量空间在它上面同时有d i s t ( a r ) 模结构和有理t 模结构，并且这两个模 结构是相容的，即 ( 1 ) 从d i s t ( a ，) 的作用限制得到d i s t ( 乃) 的作用与从t 的作用导出的 2 0 第三章限制b a b yv e r m a 模的极大权向量 d i s t ( t ，) 的作用是一致的； ( 2 ) 对z d i s t ( g r ) ，t t 与t ，v ，有 t ( x v ) = ( a d t ( x ) ) ( t v ) ， 则称y 是一个d i s t ( g ，) 一t 模简记为g ，t 模。 对于d i s t ( a r ) 一t 模范畴，在3 2 中将会用到以下分解： 设m 是任意的d i s t ( g r ) - t 模，m 总有以下分解 m = o p r p ( m ) “_ 0 这里_ 0 = a x ( t ) i o ( 入+ p ，p v ) p ，vp r + ) 而肛( m ) 中的每一 个合成因子形如l o ( 入) ，入p ( 见 3 7 ，i i ，7 】) 记召( p ) 为d i s t ( g ，) 一t 模的