考研数学辅导讲义经济类修改与勘误(最终版)_部分2.pdf

设 试证明级数 与 同敛散 将函数 槡 展开成麦克劳林级数并指明成立范围 将函数 展开成 的幂级数 并指明成立范围 设 试将 展成麦克劳林级数并指明成立范围 并 利用展开式求级数 的和 设 试将它展开成 的幂级数 并指明成立范围 并利用展 开式求 的和 求幂级数 的收敛半径 收敛区间与收敛域 求幂级数 的收敛半径 收敛区间 收敛域与和函数 求幂级数 的收敛半径 收敛区间 收敛域 设 求幂级数 的收敛半径 收敛区间 收敛 域及和函数 设 求幂级数 的收敛半径 收敛区间与收敛域 设 验证它满足 及 求 的表达式 求 槡 槡 提示 凑成 的展开式 提示 题中未设 为正项级数 例如 收敛 但 不存在 不正确 又如 槡 槡 时 但 发散 不正确 的反例 槡 槡 发散 提示 如果题设 存在记为 则 当 时收敛 当 时发散 收敛半径为 选 但 题中未设 存在 因此无法选 例如 的收敛半径为 而 并不存在 应选 收敛 提示 或 槡 槡 当 收敛区间 收敛域 收敛区间 收敛域 和函数为 提示 讨论端点敛散性时要拆项处理 收敛区间收敛域 提示 求收敛域时通项的绝对值大于 收敛区间 收敛域 和函数 当 收敛区间 收敛域 提示 为证 时收敛用莱布尼茨 定理 为证 时发散用不等式 当 令 得 从而得 提示 利用 与 的展开式 的中间变量是二元的 已知它满足某偏微分方程 另外给了 其中 是已知的可导函数 要求 或验证 满足某常微分方程然后解之 这类题的解法是 用复合函数求导数的办法 去求 其中也许可以利用已给的偏微分方程化简 使得 满足某常微分方 程 再解之 例 设 为二元函数 满足 求 解 将 看作常数 这是 关于 的一阶线性方程 由通解公式 得 因为在整个过程中 将 当做常数 所以对 解方程时 任意常数 也应该认为是 的任 意函数 它对 的导数为 例 设函数 有连续的一阶导数 且函数 满 足 求 的表达式 解 以 代入 得 化简得 令 上式成为 这是 关于 的一阶段性微分方程 解之 得 这里对数里面不取绝对值的原因是 初始值取在 因此解的范围为 不必再取绝对值 以 代入 得 所以 从而得到 例 设 具有连续的一阶偏导数 且满足 又设 求 的表达式 解 由 表达 而 又满足 将 代入 以得到 所满足的常微分 方程 解之 其中 为任意常数 已知某些几何条件 求曲线 按照题中条件列出方程 解之 应注意题中的初始条件 参见本节一 二 之 例 设 在 上连续 且为正 曲线 在区间 上的曲边梯形绕 轴旋转一圈生成的旋转体体积为 求曲线方程 解 由题意可知 由于左边可导 所以右边也可导 两边求导 得 所以 因 在 处连续 两边令 取极限 得 所以 从而 于是得曲线方程 槡 例 设函数 在 上连续 且满足方程 槡 求 的一个特解已知为 欲求微分方程 那么可将 代入 得到 与 之间的一个关系 如果另外又给出了某种条件 能从中确定出 与 之间的另一关系 从而得到 与 那么就可获得一阶线性微分方程 注意 已知特解求微分方程仅限于该微分方程形状为已知 只是其中某些系数或某 些函数为未知的情形 例 已知某一阶微分方程的通解为 其中 为任意常数 则该微分方程 为 解 应填 由 得 两式消去 得 例 设 是一阶线性微分方程 的第一个特解 求该微分 方程及通解及满足 的特解 解 以 代入微分方程 得 所给微分方程为 由通解公式 上述方程的通解为 将 代入 特解为 例 求微分方程 的通解 解 对照一阶方程的 种基本类型 都对不上号 改换一个思路 将 看成自变量 看作 的函数 将方程改写为 即 由通解公式 得 二阶线性微分方程 一 基本概念 二阶线性微分方程的定义 形如 的方程称为二阶线性微分方程 其中 称为方程的系数 称为自由项 如 果 称 为二阶线性非齐次微分方程 如果 即 称为二阶线性齐次微分方程 如果 中的系数与 中的系数一致 则特别地 为 对应的齐次微分方程 如果 中的系数 与 都是常数 则称该方程为二阶常系数线性微分 方程 二阶常数线性微分方程常写为 个函数 线性无关 线性相关的定义 设 是定义在某区间 内的 个函数 如果存在不全为零的 个 常数 使得在该区间内恒等式 成立 则称这 个函数 在该区间内线性相关 否则 如果以上恒等式仅 当 时才成立 即由 式只能推出 则称函数 在该区间内线性无关 当 时 函数 与 线性相关等价于 与 或 与 之比为常数 反之 如果在区间 上 与 之比不为常数 则 与 在该区间上线性无关 如果函数 中有一个函数恒等于 则 线性相关 重要关系与重要定理 二阶线性非齐次微分方程与对应的齐次微分方程的解之间的关系 非齐次线性微分方程 的两个解之差 一定是 对应的齐次线性微分方 程 的解 非齐次线性微分方程 的解与对应的齐次线性微分方程 的解之和 一 定是 的解 二阶线性齐次微分方程的通解结构定理 设 与 是 的两个解 是两个常数 则 也 是 的解 设 与 是 的两个线性无关的解 是两个任意常数 则 是 的通解 二阶线性非齐次微分方程的通解结构定理 设 是 的一个解 是 对应的齐次微分方程 的通解 则 是 的通解 叠加原理 设 分别是微分方程 与 的解 则 是微分方程 的解 此称叠加原理 三 重要计算公式与重要方法 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 第 步 写出二阶常系数线性齐次微分方程 的特征方程 并求出它的根 特征根 第 步 根据特征根的不同情况 按下表写出通解 特征方程 微分方程 的通解 一对不相等的实根 一对相等的实根 一对共轭复根 特殊自由项的二阶常系数线性非齐次方程的解法 类型 方程 的解法 其中 为 的 次已知多项 式 第 步 写出对应的齐次微分方程的通解 第 步 求出该非齐次微分方程的特解 则特解形式为 其中 为 的 次多项式 系数待定 当 不是特征根时 当 为单重特征根时 当 为二重特征根时 二 重要关系与重要定理 关于线性非齐次差分方程与对应的齐次差分方程之间的关系 非齐次线性差分方程的两个解的差是对应的齐次差分方程的解 非齐次线性差分方程的解与对应的齐次差分方程的解的和仍是原非齐次差分方 程的解 线性齐次差分方程的有限个解的线性组合仍是原齐次差分方程的解 关于线性齐次差分方程 线性非齐次差分方程通解的定理 设 是一阶线性齐次差分方程的一个非零解 是任意常数 则 是原齐次差 分方程的通解 设 是线性非齐次差分方程的一个解 是对应的齐次线性方程的通解 则 是原非齐次差分方程的通解 三 重要计算公式与重要方法 差分的运算性质 设 是常数 则 设 是常数 则 高阶差分的计算 一阶常系数线性齐次差分方程的解法 第 步 写出一阶常系数线性齐次差分方程 的特征方程 并求出它的根 特征根 第 步 写出 的通解 其中 为任意常数 特殊自由项的一阶常系数线性非齐次差分方程的解法 类型 方程 的解法 其中 为 的 次已知多项式 令 的一个特解为 例 某公司下一年工资总额为当年工资总额增加 的基础上 还要追加 万元 设第 年工资总额为 万元 问 年后工资总额是多少 解 当年作为 年 工资总额为 万元 则 解此差分方程 得通解 时 所以 从而 在 年之后 即 万元 第 章练习题 一 填空题 微分方程 的通解为 微分方程 槡 的特解为 微分方程 的通解为 微分方程 的通解为 微分方程 的通解为 微分方程 的通解为 的二阶差分 一阶线性差分方程 的通解为 已知首项系数为 的二阶常系数线性齐次微分方程的一个特解为 则该 微分方程为 已知首项系数为 的二阶常系数线性齐次微分方程的一个特解为 则该微分方程为 已知 为常系数线性非齐次微分方程 的解 则常数 已知 为常系数线性非齐次微分方程 的一个解 则常数 微分方程 的通解为 设函数 在区间 上可导 且 又设 在区间 上的图形构成的曲边梯形面积的数值 等于该图形在 处的切线斜率的数值 则 e 设 为连续函数 且满足 槡 槡 其中 为圆环域 为常数 求 设函数 具有一阶连续偏导数 且满足 求 设 具有二阶连续的导数 又设 槡 满足 求 的表达式 求 设对任意 曲线 上点 处的切线在 上的截距等于 求 设曲线 位于 平面的第一象限内 上任一点 处的切线与 轴总相交 交点记为 已知 且 经过点 求 的方程 设曲线 位于 半平面上 在其上任意一点 到坐标原点的距离等于 该点处的切线在 轴上的截距 且经过点 求 的方程 设函数 在 上连续 若由曲线 直线 与 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周所成的旋转体体积为 并设该曲线经过点 求 设 是第一象限内连接点 与 的曲线的一段弧 点 是该曲线上任意一点 点 坐标为 若梯形 的面积与曲边三角形 的面 积之和为 求 设 当 时 当 时 试求在 内的连续函数 在 与 内都满足微分方程 及初始条件 的通解 槡 提示 应注意挖掘出 提示 记住下述结论 设 线性无关 则 必线 性无关 同样 必线性无关 必线性无关 设 是非齐次线性方程的解 则 必是对应的齐次线性方程的解 设 是非齐次线性方程的解 则当且仅当 时 是原非齐次 方程的解 当且仅当 时 是对应齐次方程的解 若 中有两个为任意常数且 线性无关 则 中的结论为通解 由此可知 是原方程的通解 提示 代入验证当然也可以 但太繁琐 并且抓不住要点 采用下述办法较 好 非齐次线性方程的两个解的差是对应的齐次线性方程的解 从而知 均是对应的齐次方程的解 再对照二阶常系数线性微分方程的通解公式知 与 是两个特征根 所以该方程为 的形式 再将非齐次方程的一个特解 代入 算得 即 知选 4 5 e 4 2 2 将x 看作未知函数 槡 当 时 当 时 当 时 提示 利用 求出 当 时 当 时 提示 解方程时用到 槡 提示 解方程时用到 当 时 当 时 提示 分别在区间 与 内去 解 在 内用初始条件 再使在分界点 处连续 定出区间 内 解的常数 求 行列式中两行 或列 互换 行列式的值反号 行列式中两行 或列 元素对应成比例 时 称为相等 行列式的值为 行列式中某行 或列 元素乘 倍加到另一行 行列式的值不变 评析 性质 是行列式为零的充分条件 并非必要 想想行列式为零的主要条 件是什么 性质 是两个等式 从右到左 是数乘行列式 数乘行列式是如何 乘的 是两个行列式之和 两个行列式是否能相加 什么条件下可以相加 如何 相加 二 行列式的展开定理 定义 行列式中 去掉元素 所在的第 行 第 列元素 由剩余的元素按原来的 位置顺序组成的 阶行列式称为元素 的余子式 记成 即 评析 是一个 阶行列式 没有行列式的记号 定义 在余子式前面乘以 即 称为元素 的代数余子式 记 为 显然 两边乘 有 定理 阶行列式等于它的任一行 列 的元素与其代数余子式乘积的和 即 公式 依次称为行列式按 行 列的展开公式 推论 行列式任一行 列 元素与另一行 列 元素的代数余子式乘积之和等于零 即 充 以上的两个推论 其实都是充分必要条件 以后将多次用到 一 用克莱姆法则解方程组 例 解下列线性方程组 其中 解 方程组的系数行列式为 阶范德蒙德行列式 故由克莱姆法则知 方程组有唯一解 且 其中 故方程组的解为 二 利用克莱姆法则的推论 有非零解 证明行列式为零 例 设 证明 证 法一 用加边法 并利用 直接计算证明 请读者自行计算 1 n 得 评析 是当 互不相同时 有唯一的多项式 抛物线 过点 是具体求过三点的抛物线函数 第 章练习题 一 填空题 函数 中 的系数等于 其中 槡 槡 已知 则 设 是方程 的三个根 则行列式 设四阶行列式 求第 列元素的代数余子式之和 证明 若行列式的某行 列 元素全为 则这个行列式的全部代数余子式的和等 于该行列式的值 计算下列 阶行列式 证明 阶反对称行列式的值为零 满足 的行列式称为反对 原式 第二行与第三行互换 然后第二列与第三列互换 得原式 原式 四重根 系数行列式 系数行列式 或 系数行列式 是 的项数 其中 故 只有主对角元乘一项不为零 若某项中含有 则该项中不能再有 第一行和第二列元素 因 中剩余元素中不等于零的元素只剩 个 而含 的项 尚须乘 个元素 故只有一个元素取零 该项为零 某项中含 的情 况同 的情况 故 5 取 有 取 从而得 由 知 是反对 称阵 由 是反对称阵 当 时有 从而得 由 是反对称阵 即 又 故 从而有 矩阵的逆 定义 设 是 阶方阵 是 阶单位阵 若 则称 是可逆阵 是 的逆矩阵 定义 方阵 的行列式的 个元素的代数余子式组成如下矩阵 称为 的伴随阵 定理 是 阶方阵 是 的伴随阵 则 定理 是 阶方阵 可逆的充要条件是 且当 时 有 由定理 可知 矩阵可逆的定义 定义 可改成 是同阶方阵 若 或 则 可逆 且 是 的逆矩阵 一 逆矩阵的方法 设 是同阶可逆方阵 则 评析 二阶矩阵求逆 应做三件事 将 的主对角元互换位置 副对角元添加负 号 再除以 逆矩阵计算是否正确 应验算 或 利用定义求逆 例 已知 证明 可逆 证 则 故 可逆 且 例 设 是 阶矩阵 证明 可逆 并求 证 由题设 又 即 即 故知 可逆 且 从而 例 和例 是利用定义来证明可逆 要证 可逆或求 只要找出 使 即可 可逆阵的积仍是可逆阵 例 设 是同阶可逆方阵 且 是可逆阵 证明 是可逆阵 并 求 证 因 由已知 可逆 故 可逆 且 评析 要证明 是可逆矩阵 可将 化成已知可逆阵乘积 将和差化成乘积 的办法是提出公因子 将 看作 即有 利用可逆阵 证明可交换 例 是 阶方阵 满足 证明 证 因 是互逆矩阵 故有 故 例 设 是 阶方阵 可逆 即下列等式中不 成立的 即不可交换 的 是 设 为 阶可逆矩阵 其伴随矩阵为 是任意常数 则 等于 设 阶矩阵 的伴随矩阵为 且 则 等于 设 则必有 则 是 三 解答题 设 计算 求满足 的所有 矩阵 设 是 阶对称性 是 阶反对称阵 证明 是对称阵 设 是 阶方阵 满足 证明 已知 阶方阵 满足关系式 求 的逆矩阵 已知 是 阶方阵 证 可逆 并求 是 阶方阵 满足 证明 可逆并求 已知 和 是可逆阵 证明 也可逆 并求 设 是 阶可逆阵 为 矩阵 且 证明 可逆 且 证明一个 阶反对称阵可逆的必要条件是 为偶数 举例说明 是偶数不是 阶 A B是n阶可逆阵 设 则有 即 可逆 得 故 本题中向量组 和向量组 地位等同 成立 则 必不 成立 错误 向量组 可能线性相关 也可能线性无关 例如 线性无关 线性无关 且 均不能由 线性表出 均不能由 线性表出 但 是 四个三维向量 必线性相关 故 不能成立 线性无关 线性无关 且不能相互表出 但 是线性无关的 故 也不成立 评析 本题选项中有这类关系 若 成立 成立 若 成立 成立 但这 是 选 的选择题 故 不可能成立 例 已知 为何值时 线性无关 为何值时 可由 线性表出 解 线性无关 齐次方程组 只有零解 因 时 方程组仅有零解 故当 时 线性无关 可由 线性表出 非齐次方程组 有解 因 当 为任意实数时 方程组有解 此时 可由 线性表示 评析 看清楚 两部分的联系 第 部分的运算可省去 直接对增广矩阵作 初等行变换 由 也可得 线性无关的条件 二 线性表出 例 设在向量组 中 不是 的线性组合 若 可表成 的线性组合 则 必可表成 的线性组合 证 由题设知 能表成 的线性组合 设为 则必有 若 则有 证明 或 三 线性无关的证明 例 设向量组 线性无关 且问 应满足什么条件时 向 量组 也线性无关 其中 是实数 解 法一 由题设知 均可由 线性表示 且 也可由 线性表出 故 和 是等价向 量组 且向量个数均为 故 也线性无关 与实数 无关 故对任 意的实数 向量组 也线性无关 法二 因 与 无关 故对任意的 向量组 线性无关 例 证明向量组 其中 线性无关的充要条件是 不能被 线性表出 证 必要性 反证法 若 可由 线性表出 则 线性相 关 从而 线性相关 这和已知 线性无关矛盾 故 均不能由 线性表出 充分性 反证法 若 线性相关 由定义 存在不全为零的 使得 成立 设不为零的下标最大的常数为 即 则上式为 且 故 这和已知 不能由 线性表出矛盾 故 线性无关 例 设 是 阶矩阵 为 维非零向量 且有 证明向量组 线性无关 证 考察 设 是 矩阵 则 中必 至少有一个 阶子式不为零 没有等于零的 阶子式 有不等于零的 阶子式 没有不等式零的 阶子式 有等于零的 阶子式 没有不等于零的 阶子式 任何 阶子式不等于零 任何 阶子式都等于零 设线性方程组为 则下列向量中不属于 的解的是 三 解答题 已知 为何值时 线性无关 讨论向量组 的线性相关性 其中 设有三维列向量 问 取何值时 可由 线性表示 且表达式唯一 可由 线性表示 且表达式不唯一 不能由 线性表示 设向量组 为何值时 该向量组线性无关 并在此时将向量 用 线性表出 为何值时 该向量组线性相关 并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组 已知向量组 与 7 不失一般性 证 线性无关 因 且 且 线性无关 故 线性无关 考察 整理得 式左乘 得 代入 式 得 是基础解系 线性无关 从而 代入 得 从而所证向量组线性无关 用反证法 线性相关 故存在不全为零的 使得 不失一般性 若 则 不全为零 使上式成立 则 线性相关 与已知 矛盾 同理 故 全不为零 知 线性无关 线性相关 且 可由 线性表出 设为 线性无关 若 线性相关 即 可由 线性表出 设为 则 这和 线性无关矛盾 故 线性无关 又 故 由上题 且 故 中必有一个为 故 先正交化 得 整理得 已知 线性无关 故有 方程组仅有零解 系数行列式 即当 为偶数时 为奇数时 方程组 仅有零解 从而 线性无关 故由 知 当 时 即 时 时 向量组 也是 的基础解系 三 反求方程组 例 已知四元线性方程组的基础解系为 求原方程组 解 将原方程组的基础解系作为新的方程组的系数矩阵的行向量 求解新方程组 新方程组的基础解系即为原方程组系数矩阵的行向量 见上题 设新方程组为 因 求得基础解系 故原方程组为 评析 原方程组的表达形式不唯一 但不同表示形式的系数矩阵的行向量组是等价 向量 齐次 问 能否由 线性表出 若能 写出该表出式 若不能 说明理由 能否由 线性表出 若能 写出该表出式 若不能 说明理由 求方程组 的通解 解 能 取 得方程组的一个特解为 即 不能 由题设条件知 对应齐次方程组 的通解为 知 即 且 若 可以由 线性表出 则将使 导出矛盾 故 不能由 线性 表出 因 故方程是 的解的结构为 其中 故有 故有 可有两种求法 法一 因 故有 从而得 法二 因 4 时 原方程组有无穷多解 用 得 或 是错误的 第一方程代入非齐次解 得 第二方程代入齐次解 右端改零 得 第 三方程代入非齐次解 或代入齐次解 且右端改零 得 的基础解系向量个数为 个 可取为 故通解是 其中 是任意常数 由解的性质与构造知 仍是 的一个特解 是齐次解 排除 又 仍是两个线性无关解 即仍是基础解系 而 与 可能相 关 故排除 而选 方程组无解 若 得 因 故通解为 其中 是任意常数 因 故方程组必有解 唯一解 无解 无穷多解 通解 其中 是任 意常数 无解 且 通解为 是任意常数 且 通解为 其 中 是任意常数 方程组通解为 满足 即有 得 代入通解得满足 的全部 0 解为 是任意常数 唯一解 交于一点 无解 方程 是平行平面 不重合 三平面相交成两条平行直线 无解 三平面两两相交成三条平行直线 有无穷多解 通解为 此时三平面相交成一条 直线 方程 是重合平面 通解的参数表达式 即直线的参数方程为 是 任意数 故 有非零解 即 和 有非零公共解 2 3 是不重合的 平行平面 两 三 是否有相同的特征值 特征向量 例 设 是 阶方阵 证明 和 有相同的特征值 并问它们是否有相同的特 征向量 说明理由 证因 故 和 有相同的特征多项式和相同的特征方程 故 和 有相同的特征值 但 和 的特征向量一般是不同的 例如 有特征值 对应的特征向量 而对 也有特征值 但对应的特征向量却是 评析 习题 是类似的题 例 设 是 阶矩阵 是 的特征多项式 证明 的充要条 件是 至少有一个特征值相同 证 是 的特征多项式 设 的特征值为 则 则 上式两边取行列式 应有 其充分必要条件是至少存在一个 使得 从而知 也是 的特征值 得证 至少有一个相同的特征值 四 关于特征向量 例 证明 若 有 个不同的特征值 则对应的 个特征向量线性无关 证 问题与 有关 采用归纳法证明 设 有 个互不相同的特征值 其 对应的特征向量分别是 时 因 线性无关结论成立 假设 时成立 即对 个不同的特征值 对应的 个特 征向量 线性无关 证明 时成立 即证明当 时 对应的特征向量 线性 无关 考察 式左乘 得 量的个数等于该特征值的重数 相似 是同阶方阵之间的一种重要关系 与 阶方阵 相似的矩阵很多 对任何可 逆阵 矩阵 与 相似 最简的是对角阵 相似矩阵有相同的特征方程 特征值 有 相同的行列式的值和秩 因此通过研究相似对角阵即可知原矩阵的重要特性 矩阵的相似对角化给出的是正面内容 即什么样的矩阵能相似于对角阵 要注意并 非所有矩阵都能相似于对角阵 由定理 的推论知 当 的对应于 重特征值 的线性无 关特征向量个数少于其特征值重数 时 不能相似于对角阵 一 阶矩阵 的相似对角化 例 设 是主对角元全是 的上三角阵 且存在 问 是否与对角阵相似 解 由 及 知 是 的 重特征值 而 即 的对应于 的线性无关特征向量个数 因此 不能相似于对角阵 例 设 求可逆阵 使 求可逆阵 使 解 求 的特征值和特征向量 f A 由 得 知 是 的三重特征值 因 从而知对应于 三重根 的线性无关特征向量只有一个 故 不能相似于对角阵 例 设 且 求 的值 求可逆阵 使 解 则 且 由此得 联立 解得 当 时 由 即 解得 当 时 由 即 解得 令 5 4 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 评析 利用实对称阵不同特征值对应的特征向量正交 故由特征值 特征向量反 求 时 特征向量可利用正交性求出 取可逆阵 则 结果是一样的 可见 或 是不唯一的 但 唯一 例 设 是 阶实对称阵 试求 阶实对称阵 使得 解 是 阶实对称阵 故存在可逆阵 或正交阵 使得 其中 是 的实特征值 故 明理由 是 阶方阵 是常数项不为 的多项式 且 证明 的全部特征 值均不为 设 是 阶矩阵 是 的特征值 是 的对应于 的特征向量 又设 是 的特征向量 是 的对应于特征值 的特征向量 若 证明 正交 即证 设 是三阶矩阵 已知方程组 均有非零解 问 是否相似于对角阵 说明理由 已知 证明 若 必有 若 必有 若 必有 已知 阶方阵 的特征多项式为 则 可