（应用数学专业论文）模糊多属性决策方案优先权重的确定.pdf

模糊多属性决策方案优先权重的确定 摘要 模糊多属性决策是现代决策分析的主要研究内容 其主要工作是研究 如何集结模糊信息 确定待选方案的优先权重 本文重点研究基于模糊判 断矩阵确定方案优先权重的方法及其应用问题 主要工作如下 1 基于模糊判断矩阵的元素与方案优先权重的关系 依据人类认识的 一致性 针对应用层次分析法 a h p 确定方案优先权重存在的问题 确定 模糊一致互反或互补判断矩阵元素与方案优先权重的逻辑关系 提出了确 定方案优先权重的新公式 得至i l 一族优先权重向量 所确定的优先权重含 有参数 决策者可以恰当的选择参数 获得较高分辨率的优先权重 增强 了方案排序的说服力 得到几个重要结论 拓展了s a a t y 的层次分析法 基于模糊互补判断矩阵确定方案优先权重的参数方法 依据区间可能度 g 截集的相关理论提出一种新的模糊多属性决策方法 较好地处理了属性值 及属性权重为l r 模糊数的多属性决策问题 2 针对模糊加权平均法的应用局限性 本文基于口截集 区间算子 改进了模糊加权平均法 该方法首先采用口截集技术计算在口水平下方案的 区间综合属性值 然后借助可能度对方案两两比较得到互补判断矩阵 利用 模糊互补判断矩阵确定方案优先权重的参数方法确定该水平下的方案优先 权重 再通过集结各个水平下的权重得到方案排序的优先权重 关键词 模糊多属性决策 优先权重 判断矩阵 排序 一致性 d i 江 e r m 田吼如旺n gt h ep r o r i t yv e c t o r so fa i 臁n 棚 v e sd 睢j 2 z ym u a 哪 ea r r i 江b u i i ed e c i s i o nm 渔k d i g a b s t r a c t f u z z ym u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g f m a d m i sap r i m a r yr e s e a r c ha s p e c ti n m o d e md e c i s i o n m a k i n ga n a l y s i s a n dt h e i ri l l f l i nt a s ki sf o c u so nh o wf u z z yi n f o r m a t i o n g a t h e r i n g e l e c t i o nt od e t e r m i n et h ep r i o r i t yv e c t o r so ft h ea l t e m a t i v e s t h em a i nr e s e a r c h e s o ft h i st h e s i sa r cp r o b l e m so fp r i o r i yv e c t o r so fa l t e r n a t i v e sa n di t sa p p l i c a t i o nb a s e do n f u z z yj u d g m e n tm a t r i xi nf u z z ym u l t i a t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g a c h i e v e m e n t sa 圮a s f o l l o w s 1 i nv i e w o f t h e q u e s t i o n o f a n a l y t i c h i e r a r c h y p r o c e s s a h p n e w l o g i c a l l yr e l a t i o n o f e l e m e n t so ff u z z yp o s i t i v ec o n s i s t e n tr e c i p r o c a la n dc o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i xw i t h p r i o r i t i e sa r cd e t e r m i n a m db a s e do nt h er e l a t i o no fe l e m e n t so ff u z z yp o s i t i v ej u d g m e n t m a t r i xw i t hp r i o r i t i e sa n dt h ec o n s i s t e n c yo fh u m a nt h i n k i n g an e wf o r m u l a ro fp r i o r i t y v e c t o r si sp r o p o s e d i nw h i c ht h ep a r a m e t e ri si n c l u d e d d e c i s i o nm a k e rw o u l dc h o i c e a p p r o p r i a t ep a r a m e t e r sa n da c q u i r ep r i o r i t yv e c t o r sw i mb e t t e rd i s c r i m i n a t i o nw h i c h m a k e st h er a n k i n ga l t e r n a t i v e sw i t hp e r s u a s i o n s e v e r a li m p o r t a n tc o n c l u s i o n sa i o b t a i n e d t h e r e f o r e s a a t y s a f i p i s e x t e n d e d b a s e d o i l t h i s p r o p o s e d m e t h o d b a s e d o i l n e w p a r a m e t e r p r i o r i t i z a t i o i lm e t h o do fp o s i t i v ec o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t r i c sa n d 口 l e v e l sa n di t s o r d e r i n ga n dp o s s i b i l i t y au e wm e t h o do ff m a d m i sp r o p o s e d w h i c hd e a l se f f e c t i v e l y w i t ht h ee l e m e n t si na t t r i b u t ev a l u e sm a t r i xa n da t t r i b u t ew e i g h t sa s u p p o s e da sl r f u z z yn u m b e r s 2 t ot h eq u e s t i o no ff u z z yw e i g h t e da v e r a g e f w a a n di t sa p p l i c a t i o no fl i m i t a t i o n s a m e t h o d o f d e v e l o p i n g f w a i s p r o p o s e d b a s e d o i l t h e o r i e s o f 口 l e v e l s a n d t h ea r i t h m e t i c s o fi n t e r v a l t h e ni n t e r v a ls y n t h e s i sv a l u e so fa i t e m a t i v e su n d e ra l e v e l 雠o b t a i n e db a s e d o nt h et h e o r i e so fa l e v e l sb yu s i n gt h i sd e v e l o p m e n tm e t h o d c o m p l e m e n t a r yj u d g m e n t m a t r i xi sb u i l tb ye m p l o y i n gp o s s i b i l i t yo fi n t e r v a l t h e na p r i o r i t yv t o ri sf o u n db y 瑚i i l g n e wp a r a m e t e rp r i o r i t i z a t i o nm e t h o db a s e do np o s i t i v ec o m p l e m e n t a r yj u d g m e n tm a t l i c s t o t a lp r i o r yv e c t o r so fa l t e r n a t i v e sa r eo b t a i n e db yg a t h e r i n gt h es y n t h e s i sv a l u e s 越 d i f f e r e n ta l e v e l s a n dt h e nt h er a n k i n go rc h o s i n gt h eb e s to fa l t e r n a t i v e s k e y w o r d s f u u z ym u l t i a t u i b u t cd e c i s i o nm a k i n g r e c i p r o c a lj u d g m e n tm a t r i x r a n k i n g c o n s i s t e n c e 广西大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人声明 所呈交的学位论文是在导师指导下完成的 研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有 本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容 除已注明部分外 论文中不包含其他人已经发表过的研究成果 也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容 对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体 均已在论文中明确说明并致谢 论文作者签名t 常哀蜜嘲年 月瑚 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集 保存 使用学位论文的规定 即 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版 并提供目录检索与阅览服务 学校可以采用影印 缩印 数字化或其它复制手段保存论文 在不以赢利为目的的前提下 学校可以公布论文的部分或全部内容 请选择发布时阃 由郐时发布口解密后发布 保密论文需注明 并在解密后遵守此规定 论文作者繇审谶导师躲叫吠中6 月糊 广 r 大掌硬士学位论文 模糊 l 性央蕈方辜优先权 的确定 1 1 论文选题背景及意义 第一章绪论 多属性决策 m u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g m a d m 是多准则决策 m u l t i p l e c r i t e r i ad e c i s i o nm a k i n g m c d l 旧的一个分支 是决策科学领域里一个重要的研究问题 多属性决策的实质是利用已有的决策信息通过一定的方式对一维 有限个 被选方案进 行排序并择优 它主要由两部分组成 1 获取决策信息 2 通过一定的方式对决策 信息进行集结并对方案进行排序和择优 也就是确定方案的优先权重 由于客观事物的复杂性 不确定性以及人类思维的模糊性 模糊多属性决策特别是 对方案优先权重的确定问题是近年来研究的热点问题 模糊多属性决策涉及的范围十分 广泛 已成功的应用于投资决策 项目评估 方案优选 工厂选址 资源分配 投标招 标 经济效益综合评价等方面 因此 研究模糊多属性决策方案优先权重的确定问题具 有重要的现实意义 虽然多属性决策的研究仅有半个多世纪的历史 但作为决策科学的分支 多准则决 策的研究有很久和深厚的历史背景 早期的研究工作者涉及很多学科 如管理科学 经 济学 心理学 市场学 应用统计学 决策学等 l 刃 对于多属性决策的研究始于1 9 5 7 年 当时c h u r c h m a n a c k o f f 和a r n o f f 首次正式利用简单加权法 3 1 处理了 选择企业投 资方针 这样一个m a d a 问题 但随后对m a d a 的研究很长时间都未引起人们的重视 6 0 年代以来 决策理论在实际问题中的应用逐渐广泛起来 1 9 6 8 年m a c c r i m m o n 在总结 多属性决策方法和运用时 继续研究了潜在的有用概念和方法 4 m a c c r i m m o n 关于多 属性决策理论与方法的综述并没有引起太多研究者的注意 多属性决策的研究也仅是在 m c d m 中简单的对待仔朋 绝大部分的研究都在多准则决策上 经典多属性决策研究范 畴主要沿用多属性效用理论 m u l t i a m i b u t eu t i l i t yt h e o r y m 献i t 与级别优先序理论 o u t r a n k i n gr e l a t i o n 进行发展 进入7 0 年代后 多目标决策 群决策 序贯决策 模糊决策以及决策支持系统成为人们研究的重点 随着决策科学的发展以及实际的需 要 多属性决策的研究开始热门起来 到了八十年代初 h w a n g 和y o o n 非常系统地回 顾和总结了前人关于m a d a 的大量研究成果 编辑和出版了第一本m a d a 的专著 m u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n gm e t h o da n da p p l i c a t i o n 明确的将多准则决策问题 分为多属性决策和多目标决策两类 j 到那时 关于多属性决策问题的研究已经有了一 些成熟的方法 例如 当方案的数日太多时用于筛选方案的优选法 连接法和分离法 用于确定属性权重的最小平方法和特征向量法 用于方案排序的最常用的简单加性加权 法和层次加性加权法 按属性权重大小选择方案的字典序法 基于理想解概念的t o p s i s 徭糊多属性决蕈方案优冀取 e 的确定 法l i n m a p 法 此外还有基于估计相对位置的方案排队法 线性分配法 e i 圆c t r e 法 等 半个世纪以来 基于经典多属性决策理论与方法的研究已经比较详尽 然而 还不 能完全解决人们在实际中遇到的多属性决策问题 许多现象不满足排中律 并非是一种 非此即彼的现象 它可能是也可能不是某种特定现象 其定量研究的逻辑基础绝非二值 逻辑 因此 随着研究深入 不确定性多属性决策的研究越来越受到重视 相对与经典的多属性决策理论 不确定性多属性决策是非经典的 它是经典多属性 决策理论上的延伸和发展 模糊多属性决策 f u z z ym u l t i p l ea t t r i b u t ed e c i s i o nm a k i n g f m a d m 是其中的主要类容之一 模糊型决策的产生属于决策问题内部的不确定性 可以说是决策问题的结构不确定性产生的 实用于决策属性值不确定的情形 1 9 6 5 年z a d e h 提出了模糊集合的概念 用隶属函数来刻画元素对集合属于程度的连 续过度性 即元素从属于集合到不属于集合的渐变过程 将经典集合的二值逻辑推广到 区间内的连续性逻辑1 7 模糊集合的提出方便了人们对模糊问题进行定量描述和分析运 算 1 9 7 8 年z a d e h 进一步提出可能性理论用以区别随机和模糊现象的本质不同 使模糊 集合理论的地位得以确立l 硼 并广泛运用于决策领域的许多应用领域 模糊多属性决策 通常可以按先后次序将决策过程归结成两个阶段 9 t 1 田 第一阶段获取决策信息 确定决 策者的偏好 第二阶段将决策者的偏好和属性值集成评价函数 根据最终评定值对方案 排序 由于在模糊环境下 第二阶段产生的最终评定值一般是用模糊数表示的 因此 针 对模糊数排序的决策方法在模糊多属性决策中很重要 自2 0 世纪7 0 年代以来 已经发表 了几十种对模糊集或模糊事物进行比较和排序的方法1 1 i d 7 实际上就是研究模糊数的优 先权重问题 综述性论述可以参见文献 1 5 1 8 一1 9 模糊多属性决策方法侧重点在第一 阶段或者第二阶段 文献 2 0 2 1 对这类的许多方法做了比较详尽的综述 本文重点研 究了模糊多属性决策方案优先权重的确定问题 1 2 目前研究现状分析 1 2 1 层次分析法 a m p 的研究存在的问题 层次分析法 t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s 简称a h p 是美国著名运筹学家t l s a a t y 教授予上世纪七十年代提出来的一种定性与定量相结合的决策方法 在社会 政治 经济 军事 管理等等各个领域中得到了极为广泛的应用 也吸引了众多的学 者对该决策方法作深入的理论研究 是近年来极为活跃的决策理论研究领域 新的研究 成果不断涌现 批捌 近年来 国内外围绕a i p 的研究集中在如下几个方面 在理论方法 2 广 r 夫尊 l 士簟位制 文 啪 属 法蕈方搴嘲 冀氟 h 由确 巴 上有 1 传统a h p 的完善 包括标度系统研究 排序方法研究 保序性研究 一致性 研究等等 2 扩展a h p 的研究 包括模糊层次分析法 f u z z ya h p 简称f a h p 有基 于模糊数的模糊层次分析和基于模糊一致矩阵的模糊层次分析两种 网络层次分析法 n e ta m p 简称n h p 3 a h p 与其它预测决策方法结合 如与对策论 最优化理论 效用理论等之间的关系等等 而在应用领域上 探讨在更广泛的领域如人工智能 效用 理论 成本效益 金融工程 证券市场 风险评价 信用评估等方面的应用 随着研究 的深入发现s a a t y 的层次分析法也存在一些问题 2 2 1 检验判断矩阵是否具有一致性比较困难 检验判断矩阵是否具有一致性需要 求判断矩阵的最大特征根a 看k 是否同判断矩阵的阶数n 相等 若 l h n 则具 有一致性 当阶数n 较大时 精确计算丑 的工作量大 2 当判断矩阵不具有一致性时需要调整判断矩阵的元素 使其具有一致性 这 不捧除要经过若干次调整 检验 再调整 再检验的过程才能使判断矩阵具有一致性 这使得计算工作量繁重 一 3 检验判断矩阵是否具有一致性的判断标准 c r o 称为意的扩展 函数厶足称为蠢的左 右边 当蠢的左 右边厶矗是 线性函数时 赢称为梯形模糊数 这时截集元是一个闭区间 记为忌 4 口 因此梯 7 彩但 一 一 斜r 驯l k 广西 0 壮硬士掌位 玲文辏糊j l l o 袅蕈方尊 优冀取 的确定 形模糊数由四个参数4 口1 a a 2 决定 i 已为 a l 口l a a 2 当4 f a 时 称蠢为三角模 糊数 记为k a a 用抽象运算符号 表示普通的四则运算之一 即 e 一 二 则根据扩张原理 模糊数的四则运算可以被定义如下 定理2 3 设肠 为两个模糊数 对于任意二元运算 r r r 模糊数肠 霄 的隶属度被定义为 心礴 z s u pm i n u 瘟 j 心 y 1 z 3 在实际操作中上述的运算很不方便 砑 费的隶属度的实际确定常在廊 费的岱截集上 进行 依据分解定理 有 露2 盘 1 a m a 2 球 l 口 j i f 材2 a 和再 u f o 1 删v 2 泓q 口 乞 乞 式中m 和肘2 乞分别表示模糊数麝 费的口截集的左 右边界 若 肘 畦 肘 艟 o 由定理2 3 可锝到模糊数四则运算的具体表达式为 1 模糊加法 肘 j l f 以 肘 孵 2 模糊减法 m n l m 一孵 肘 一聪 3 模糊乘法 m 肼 膨 孵 4 模糊除法 肼 卅 肼 贮 孵 2 4 模糊多属性决策的基本概念 决策中常遇到许多界线不清的决策问题 需要处理大量不精确的数据 如果过分追 求数学上的严谨和精密 将会阻碍决策科学的正常发展 决策者在对每一个属性的重要 性程度进行估计时 其认识通常不完全能用一个普通数表示 使用模糊数来表示才能更 好的说明问题 从数据结构上看 模糊属性值矩阵的元素也应该全部或至少部分是模糊 数才有意义 否则就不能称之为 模糊决策 模糊决策是决策要素 g a 准则 方案等 含有模糊性的决策 它们是应用模糊数学 方法来进行量化的决策的方法 具有如下几个基本特征m 1 1 在模糊决策问题中 全部或至少部分决策要素具有模糊性 纂期多j 帽 茸 蕈方赛饯羹取 t 的确定 2 它是一种主要以模糊数学为处理工具的量化决策方法 3 决策结果具有模糊性 但在一定的条件下可以转化为确定性的结果 4 普通决策具有的特征模糊决策也同样具有 多属性决策中的三个术语 属性 a t t r i b u t e 目标 o b j e c t i v e 和准则 c r i t e r i a 准则是对决策事物或现象有效性的某种度量方法 是事物或现象评价豹基础 它在实际 问题中有两种基本的表现形式 即属性和目标 属性是决策事物或现象的某种特征 性 质或效能的具体表现 如产品的成本与价格 汽车的最高时速 城市消费指数等 每一 种属性应该能提供某种衡量其水平高低的方法 目标是决策者对决策事物或现象的某种 追求 如制造商希望获得产品的最大利润 政府希望尽可能地减轻环境污染等 多属性 准则 决策问题可以描述为 给定方案集a t a l a 2 a j 表示每个 方案特征的属性 准则 集c t c l c 2 c j 及决策者对属性 准则 的偏好即权重 矢景w w l w 29 0 9 相应的指标矩阵为 x l 2 毛l 屯 x ij 二2 玉 x z 2 5 在对决策方案的属性指标进行综合评价之前 首先要解决语言类属性指标的量化问 题即所谓标度问题 为了便于对属性指标进行必要的数学处理 国外通常采用m a c c r i i f i m o n 脚3 提出的两极比例方法将定性指标转化为定量指标 其转换方式如下 对收益类属性 0135791 0 最低很低低平均高很高最高 此外还有1 5 标度 1 2 3 4 5 l 1 5 标度 1 5 8 i i 1 5 标 度 1 9 2 5 4 9 8 1 标度 1 历 垢 打 3 等川 这些标度的提出都有一定的背 景和道理 并且标度的刻度等级与自然语言描述即相等 稍微 明显 强烈 极端具有 对应关系 总的来说 用这些标度构造出的判断矩阵可以归类为 互反 和 互补 判 断矩阵 这为确定属性权重的分配提供理论依据 2 5 本章小结 介绍模糊集的定义及基本概念 模糊数及模糊算术 模糊集的分解定理及扩张原理 模糊多属性决策的基本特征 9 广冒夫掌硬士攀位论文 模榭多属性击策方案优先权t 的确定 第三章基于模糊互反判断矩阵确定方案优先权重的参数方法 3 1 层次分析法中方案优先权重的确定方法 在多属性决策中 常见的权重确定方法主要有 1 主观法 它是由决策分析者对 各属性的主观重视程度而进行赋权的方法 其常见的方法主要有 最小平方法 d e l p h i 法 即专家调查法 s a a t y 的层次分析法阳1 a h p 二项系数法嘲 环比评 分法 比较矩阵法 等 由于其中给定的某些数据是由决策者凭主观经验判断两锝 进而最终的结果具有很强的主观性 2 客观法 它是指单纯利用属性指标值来确定 权重的方法 常见的主要方法有 主成分分析法 熵值法 删 多目标规划法 删 基于方案贴近度法脚1 改进理想解法 离差及均差法 等 此后有些学者将主观与 客观相结合 提出组合赋权方法 本节主要讨论s a a t y 的层次分析法权重的确定 s a a t y c 3 的层次分析法确定方案优先权重的主要思想如下 设有备选方案集 a a 依据某一准则c 一方案两两进行重要性比较 确定 的判断矩阵为 a a i la t 2 a l l a2 2 口 l4 2 4 l 4 2 月 4 3 1 其中a o i j l 2 h 表示方案 与方案 比较的相对重要性程度 嘞越大 表示方案 4 比方案a 越重要 定义3 1 设a 嘞 为判断矩阵 若矩阵元素满足以下条件 o i j f l 2 1 吨 l i l 2 1 l l a f j l 2 n 则称a 为正互反判断矩阵 定义3 2 设a 为正互反判断矩阵 若 l o 广霄大掌磺士学位论文辏糊多属性冉蕈方嘉优先权t 9 确毫 嘞2 嚣 f 舭乩2 川 则称a 为一致性判断矩阵 以下为叙述方便 记指标集j i l 2 n 1 s a a t y 提出 当正互反判断矩阵4 为具有一致性判断矩阵时 矩阵a 的元 素与权重矢量w w t w 2 k 7 的有如下逻辑关系 铲鲁 小j 3 3 设多属性决策问题中各个方案的权重矢量为w w j m 嵋 r 依据方案a 与a 的权重比w f i j f 可构造下面权重比的正互反一致性判断矩阵a h m m w 2 w t w i w m 嵋 嵋 其中 矩阵元素嘞 w f w j l 嘞 m 1 1 7 且嘞 a l k 口业 将权重矢量w 右乘矩阵at 则有 a w w i w 1w l w l w t w t w 2 w lw 2 2 w 2 峨 w w tw w 2 w w r m w 2 峨 m w 2 l 3 4 由矩阵理论可知 t l 是a 的唯一非零的也是最大的特征根 记为五 而w 是k 所 对应的特征矢量 在实际搡作过程中 虽然权重矢量w 是未知的 但可以通过两两比较 的方法得到a 的一个估计矩阵a 售 口 被称为判断矩阵 然后求解a 的最大特征 根五0 即求解满足以下用行列式表示的一元多项式的最大根彳乙 k a 吒i 降 吐以 正一l o 3 5 l 心 a m 一卅 辏糊多属 法蕈方案优冀氟 的确定 将求出的最大特征根五二 代入齐次线性方程组 a 一丑幺 w o 3 6 从而解出彳0 对应的特征矢量 i 厂 叫 以 1 3 7 如果判断矩阵a 具有一致性 则缸对应的特征矢量 就是方案集的权重矢量w 一般地 判断矩阵a 未必是正互反且具有一致性判断矩阵 为了达到满意地一致性 使 得除了缸之外 其余特征根尽量接近于零 取其余下n 1 特征根和的绝对值平均作为 检验判断矩阵一致性的指标 c o n s i s t e n c yi n d e x 即 c j 生 二兰 3 8 万一l 一般来说 c j 越大 偏离一致性越大 反之 偏离一致性越小 另外 判断矩阵 的阶数n 越大 判断的主观因数造成的偏差越大 偏差的 致性也就越大 反之 偏差 一致性越小 因此 还必须引入平均随机一致性指标 r a n d o ni n d e x 记为r j 尼j 指 标随判断矩阵的阶数而交 这些r f 值是用随机方法构造判断矩阵 经过多次重复计算 求出一致性指标 并加以平均而得到的 具体数据如表3 1 表3 1 一致性指标 l 阶数 l234567891 0 i r j 000 5 20 8 91 1 21 2 61 3 6l 4 11 4 61 4 9 一致性指标c z 与同阶的随机性一致指标尺 的比值 称为一致性比率 c o n s i s t c n c yr a t i o 记为 c r 专 3 9 用一致性比率c r 检验判断矩阵的一致性 当c r 越小时 判断矩阵的一致性越好 一 般认为 当c r o i e 7 l f z i 梯度特征向量法 g e m 设正互反判断矩阵为a 嘞 其伪互反矩阵为 i 而 脚 其中面 2 m 妻卜 求互的特征向量时 得递推关系式 i n 2 1 w 3 1 3 1 3 由此导出排序向量的方法称为梯度特征向量法 最小偏差法 l d m 咖3 对正互反矩阵a 由下列最优化问题导出的排序 向量的方法称为最小偏差法 f w w i w 口爿w i w 2 1 1 3 1 4 w t l 0 i l 2 打 f w 有唯一的极小点矿 且w 是下列方程组的唯一解 s 兹w2 骞 蚩 n 目标规划法 正p 蚴目标规划法是由b r m 彻提出的 b r y n o n 考虑了人们认识的差 异性 通过引进芷 负偏差露 苟 建立判断矩阵的元素与权重的关系 通过求解下面优化模型 一老善 3 z s 吩 呼d 川 磊 4 k m 量 i l 广 r 大尊 司 士学位论 模糊多属憎法菜方嘉优先权 的确定 j 瓶 荟 1 1 1 唠 i n j 劈 3 g o i ll 卜1 1 1w f i n w j i n 菇一i n 丐 1 n 嘞 i j l 2 儿 确定方案的权重 其中菇 筇为非负实数 模糊偏好法 f p p m i k h a i l o v 认为 如果正互反矩阵a 满足一致性条件 则 一 1 w j w f o f j l 2 n 3 1 7 将上述等式改写成矩阵的形式为 r w 0 3 1 8 其中w w l w 2 峨 7 如果正互反矩阵a 不满足一致性条件 可以采用近似的方法 即r w o 构造优化模型如下 m a x 弘d j r i w s d 町一r j w 町 5 l 2 t 3 1 9 s 0 1 0 s 芦 1 w j l 叶 0 j m l 其中r 是r 的第 行 通过求解上述模型确定方案的权重 其它求解排序向量的方法还 有广义最小偏差法 g l d m 混合最小二乘法 m i s m 二次规划方法 q p m 眦 等 上述都是在s a a t y 的方案权重与判断矩阵的元素的逻辑关系的框架即a o m w 进行的 决策模式单一 研究表明 当判断矩阵a 具有一致性时 最小二乘法 l s m 对数最小二乘法 l l s m 梯度特征根法 g e m 等与特征根法 e m 盼徘序结果一致 但a 不具 有一致性时 会有偏差 这时就要对判断矩阵进行调整 3 2 模糊互反判断矩阵方案优先权重确定的参数方法 引理3 1 若 是单调不减函数 正互反判断矩阵a 为一致性正互反判断矩 阵的条件是 存在正的归一化向量w h w 嘶 o a ej 使得 铲器 3 2 0 1 夫掌司i 士擎位论文模糊多属性a 摹方案优生取t 的确定 矾由吩2 焉得唧2 矧勰2 嚣 舭叱 儿 则a 嘞 为一致性正互反判断矩阵 随着人们对a l p 深入的研究 发现s a a t y 的层次分析法确定属性权重存在一些缺陷 传统的a h p 特征根法 e m 最小二乘法 l s m 对数最小二乘法 l l s m 梯度特征向 量法 g e m 最小偏差法 l d m 模糊偏好法 f p p 目标规划法 l g p 等比较 不难发 现特征根法 e m 最 j 乘法 l s m 对数最小二乘法 l l s l f i 梯度特征向量法 g e m 最小偏差法 l d m 模糊偏好法 f p p 目标规划法 l g p 等得到的排序矢量都是唯一的 而本文提出的模糊互反判断矩阵优先权重分配的参数方法是依据人们思维的一致性 通 过正互反判断矩阵的一致性构造一种衡量方案优先权重矢量的新方法 并且可以根据不 同决策者的需要 通过调整参数提高排序的分辨率 决策是人们对客观事物的评价与选择 为此 判断矩阵的一致性与人类思维的一致 性要吻合 本文依据人类认识的一致性 给出一种新的带参数的排序公式和目标规划方 法确定权重方法 定理3 2 正互反判断矩阵a 为一致性正互反判断矩阵的充分必要条件 是 存在正的归一化向量w w i 7 m o f 且hw j l 使得 k 上 a 母 i j l0 2 1 其中o l 口 1 证明 必要性 令 m 姊酗 显然 心 o i j 且t i 哗 1 从而 3 2 2 1 0 9 一 f 嘞 n 一l o g a i l a o l o g n v q 11 ii t 畸 于是由a 为一致性判断矩阵的定义 有 b s m 一 s 一一刮昭 气 垂 j 密嚣礼s 孑刮哩 嘞 i l i i l v t 百 4 g r 大掣 硕士学位论式模糊 l 曩佳茸 蕈方案优先杠 的确定 因此 声q 昔 f j e 充分性 若a 的元素吻能表示为4 f h 晋 f j e 其中 o i e e t p l 且n m l 例吣昔 筹 篇 卢蜥卺 芦 毒叫 这表明判断矩阵a 具有一致性 由 3 2 1 有 l 省m l 静m 一 这说明选择向量w w l 7 作为评价方案优劣程度的权重向量是合理的 对于同一个判断矩阵a 若保持参数厥 1 不变 则确定优先权重向量 只与一个参数口有关 随着一值的增大可以提高方案优先权重的分辨率 若保持参数 烈口 1 不变 则确定优先权重向量只与一个参数 有关 随着 值的增大可以降低方 案优先权重的分辨率 增强了方案排序的说服力 事实上 设判断矩阵为a 则对于给定的磊 1 令 t o l o g 以f 咄s 撕f z 于是珊印 其中幻1 如果 i 只属 只属 删白 从而毒篙 芦关于占的严格增函数 又因菇 l i m w 吣 e 岛b o q 晒器 l 则增大沲就可以提高方案优先权重的分 辨率 期 糊 属帽 冉蕈方蜜优 t 缸 e 的确 t 对于给定的岛 l 令 堪 卸廿 3 2 5 w e o 其中 l 如果坼 晶 w j o o 则 b s 辱岫s 辱乩s 辱面 从而鬻是关于 的减函数 又因为姆专器2 l y 1 m m w i o 岛 f l d 一 则减小声值 就可以提高方案优先权重 的分辨率 说明通过标度及具有一致性正互反判断矩阵确定的优先权重矢量信息不完 备 这是因为具有一致性正互反矩阵确定的优先权重矢量不是唯一的 参数口 夕是隐 藏在决策过程中决策者的另外两个偏好 忽略这两个偏好意味着决策信息的不完备 因 而 决策的结果日丁能不符合决策者的愿望 例l 有四个备选方案a a a 3 a 决策者按1 由标度进行两两比较并构造正互反判 断矩阵为 r1 76 2 t 肌 1 71 蚓 i 1 2 85 1 试确定最佳方案 解 1 利用特征向量法m 1 求出目的权重 w f l 0 5 0 3 8 0 0 7 4 7 0 0 6 0 6 0 3 6 0 9 7 其中k 4 1 9 2 1 从而c 每詈 6 4 0 僳 i 1 7 1 0 0 0 移6 4 0 0 0 7 2 0 1 7 广 r 夫啦习 士掌位论文 横糊多属憎法蕈方寨优失氟 的确 乞 2 当取p 2 f l 8 1 1 i 寸 得权重为 w 2 s 1 o 1 9 0 9 0 8 7 6 90 5 0 91 1 2 5 4 规范 t l 处理c o w 2 8 1 o 2 9 4 5 0 2 1 6 80 2 1 0 40 2 7 8 3 7 方案排序为 卜 卜 卜 3 当取a 1 0 埘 得权重为 w 1 0 2 1 0 1 9 2 4 o 1 7 4 5 0 1 1 7 0 4 8 0 5 2 r 规范 化处理得w 1 0 3 o 6 6 6 6 0 0 1 1 4 0 0 0 7 7 0 3 1 4 3 方案排序为 卜 卜 卜 从上述例子看出 当口给定时 调整p 值可得到不同分辨率的权重向量 护取值 越大 分辨率越高 当口给定时 调整 值可得到不同分辨率的权重向量 户取值越大 分辨率越低 3 3 目标规划法确定不一致性模糊互反判断矩阵方案的优先权重 由于决策者在实际决策时所给出的互反判断矩阵往往是非一致性的 式 h 昔 j ej 即j g l o g w t l g w j 一般不成立 为此引入偏差函数 气d l o g a a l o g f w k l o g f m i 显然 为了得到合理的排序向量w m r 上述偏差函数值总是越小越好 为此构造下列最优化模型 r a i n z z n i l o g 一l o g m l o g 嵋i p i r 扣 州 加 q 州 叩1 i m o k l 2 n 在上面的模型中 可以认为 每个目标函数乙 k i l 2 抖 k f 希望能达到的期望 值为o 这样 为了方便求解目标最优化模型 引入正负偏差d d 及相应的权 气 i o p i 可以转化为下列目标规划问题 m i n z l k 4 i t ad t l o g 一l o g pw i l o g p 屹一d 一 矗 o n 吡 i i i d t d 雎 0 七 i 1 2 n k i 1 5 广曩 大尊嘎士掌位论3 乞 穰糊多囊 演簟方亲优冀氟 的确定 式中d 是目标函数z i 高于期望值o 的上偏差变d 扯是目标函数乙低于期望值0 的下偏差变量j 屯和气分别是目标函数中d l t 和d k 的权重系数 p 2 是非线性规划问题 直接求解时比较困难 可将之转化为线性规划问题求解 为 此引入变量玉 咒 其中 一l o g s w i 丁l l o g o w j i m l o g s w j 2 l l o g s w i i 则l o g e m 一孔 孔 o 七 i l 2 n k i 考虑到所有的目标函数是公平竞争的 没有任何偏好关系 因此 可以取 气 l i l 2 n k f 这样 o p 2 可以转化为为下列线性目标规划问题 m i n z d n 十d p 3 s j 一只 黾一y l d 一 d l o g 一口 再一乃 0 j l d a d 耻 玉 y f o k i l 2 以k t 由p 3 的解而 y 根据l o g f 坼 而一y j 可以得到w j f f u z z y 判断矩阵 所建立的线性目标规划模型 通过求解该模型 可以得到所需要的方案排序值向量 w 嵋 f 根据啦 i l 2 帕的大小 可以进行相应的方案排序 特别当护 夕 p 时p l 就是对数最小绝对值法 l l a v 嘲 n f l n f w m 嘞也 i 仙h jn 心 l k o l 女 1 2 再 因此 可以认为l l a v 是本文的一个特例 更一般的 口 时 盟 其为传 h 统的s a a t y 的层次分析法 l j t l 广面夫攀礓士掌位论文 纂糊多属性裹蕈方蜜优先缸t 的确定 3 4 应用实例 倒2 高校选择问题 文献 4 4 p 2 6 2 8 预考虑选择三所高校a l a 2 a 相应的 指标为科研c 友好度c 学校生活c 职业培训c 学院师资c 5 传统艺术c 层次结构如图3 i 圈3 i 高校选择问题圉 准则之间重要性程度的两两比较矩阵 p o l4 t 1 4 t i 3i ll 3 1 1 35 t 4i 3i 5t l 5l 51 1 6 iii ll i 培l 在各个准则下方案之间重要性程度的两两比较矩阵p 一p 6 p i z 予 p 户 i 竺t 誓 利用3 1 节所提到的传统的层次分析法所得到的结果如表3 4 表3 4 不同排序方法的比较 方排序方法 案a ne vw l sl l sf p pl g p l0 3 7 70 3 6 70 3 5 30 3 7 0 0 3 7 10 3 2 1 a 2 0 3 6 50 3 7 80 4 1 70 3 7 60 3 9 00 4 5 6 0 2 5 8 0 2 5 40 2 3 1 0 2 5 40 2 3 90 2 2 3 利用本文所提出的方法对方案进行择优 注意到判断矩阵p p p 是完全一致矩 j l 巧l l s l s l p l 2 p 1i 尼3 l 仃 乃 l l t 3 2 j l p r 夫掌 i 士掌位论 乞 模糊多属性击蕈方案优冀取 的确定 阵 选择合适的参数p 口利用公式 3 2 2 计算优先权重 对于其它判断矩阵目标规划求 解优先权重 不同的判断矩阵选择不同的参数 如表3 5 袭3 5 不同的参数 参数 p p lp 1 p l p ip p6 e 8 2 8 51 0 0眈 9 51 0 0 b 5 1 01 52 05 01 0 02 0 0 对于求解得到的优先权重集结得到最终的排序向量 w 爿o 3 4 1 8 0 4 3 1 4 0 2 2 6 8 则方案排序为a2 卜a l 卜a 3 4 5 本章小结 针对决策者给出关于决策方案的互反判断矩阵 本文提出了一种新的方案捧序方法 对于 致性互反判断矩阵利用新的权重确定公式求解 若判断矩阵不一致则通过求解一 个线性目标规划模型来得到方案的排序值 该方法的提出丰富了已有的方案排序方法 可以看到 这个方法还可以推广到具有多个决策者给出模糊判断矩阵的情形 2 l 徭搠多属性决 l 方案优冀取 帕捌i 定 第四章基于模糊互补判断矩阵确定方案优先权重的参数方法 4 1 模糊互补判断矩阵方案优先权重确定的参数方法 关于梗糊互补判断矩阵的研究 一致性和方案优先权重的确定是最为重要的研究阊 题 国内外学者对这个问题进行了广泛的研究 也取得了不少研究的成果 现在的 问题是模糊互补判断矩阵具有一致性 如何确定方案的优先权重 才符合人的认识 下 面讨论这个问题 设决策者对给定的方案集a 如 屯 进行两两比较 得到决策者的偏好信息 由一个矩阵p 毋 c a 表示 其中凡表示方案4 优于方案 的程度 称矩阵p 为 元对比矩阵 其元素既的含义如下嗽嘲 助e o 5 表示方案4 与方案 同样重要 记为4 一 一 o 既 o 5 表示方案 优于方案a i e y 口a 且既越小 越优于 o 5 p 口 1 和4 缸 o 使 得v f j l 2 m 有 助2 a 1 0 9 w f l o g m o 5 4 4 成立 证明 必要性 设p 既 为模糊一致判断矩阵 令 w 万去姜丹 宝石击姜啊 f 1 2 m 4 5 显然m o i 1 2 m m 1 由模糊一致矩阵的定义有 b 坼一 唱 去喜几一去喜n 磊l 荟mc 一乃卜1 瑚m 助一 s 三 乃一 s 这说明模糊一致判断矩阵p 既 的元素毋可以表示为 珊 a 1 0 9 m l o g w j 0 5 充分性 若模糊互补判断矩阵p 巩 一的元素粕 4 1 0 9 w l o g o 5 v i f e l 2 m 贝0 有 乃 a c l o g w 一 o 5 a 1 0 9 m l o g 峨 o 5 卜 口魄 一l o g s w t o 5 o 5 既一如 o 5 即p 凡 是模糊一致矩阵 如果p p 是非一致性模糊互补判断矩阵 可以考虑用下面方法确定各个方案 模期多疆 瞒l 方寨优冀席 t 的确定 的权重 定理4 2 设p 岛 是模糊互补判断矩阵 权重向量w h m 7 由下 面约束规划问题的解确定 mh z z a 1 0 9 嵋一l o g o 5 p 2 l l i l 啊 l w j