导数专题(五)证明题教师版.doc

导数专题（六） 证明题一、课前练习（2014石景山一模理）18（本小题满分13分）（证明、方程的根、问题转化）设函数.（）若，求函数的单调区间；（）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（）过坐标原点作曲线的切线，证明:切点的横坐标为.18（本小题满分13分）解: （）时, ， ， 1分，的减区间为,增区间. 3分（）在区间上是减函数，对任意恒成立，即对任意恒成立， 5分对任意恒成立，令， 7分易知在单调递减，. 8分（）设切点为，切线的斜率，又切线过原点，存在性：满足方程，所以，是方程的根. 11分再证唯一性：设，在单调递增，且，所以方程有唯一解.综上，切点的横坐标为. 13分（2017海淀上学期期末理）19. （本小题满分14分）（零点问题、利用前问结论）已知函数（）若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；（）求的单调区间；（）设函数，求证：当时，在上存在极小值19. （本小题满分14分）解：（）由得.由已知曲线存在斜率为的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数的取值范围. （）由，可得当时，所以函数的增区间为；当时，若，若，所以此时函数的增区间为，减区间为.（）由及题设得，由可得，由()可知函数在上递增，所以，取，显然，所以存在满足，即存在满足，所以在区间上的情况如下：0极小所以当时，在上存在极小值.（本题所取的特殊值不唯一，注意到），因此只需要即可）18（本小题满分13分）已知函数 ，且.（）求的值及的单调区间；（）若关于的方程存在两不相等的正实数根，证明：.18.（本小题满分13分）（）解：对求导，得， 2分 所以，解得. 3分 故，. 令，得.当变化时，与的变化情况如下表所示：00所以函数的单调减区间为，单调增区间为. 5分（）解：方程，即为， 设函数. 6分 求导，得 由，解得，或. 7分 所以当变化时，与的变化情况如下表所示：0 所以函数在单调递减，在上单调递增. 9分 由，得.又因为，所以.不妨设（其中为的两个正实数根）， 因为函数在单调递减，且， 所以. 11分 同理根据函数在上单调递增，且， 可得， 所以， 即 . 13分二、课堂练习（2016东城一模理）（18）（本小题共14分）（利用前问结论）设函数，（）当时，求的单调区间；（）当时，恒成立，求的取值范围；（）求证：当时，（18）（共14分）+解：（）当时，则，则.令得所以 当时，在上单调递减；当时，在上单调递增；当时， 4分（）因为，所以恒成立，等价于恒成立设，得，当时，所以在上单调递减，所以时，因为恒成立，所以 11分（）当时，等价于设，求导，得由（）可知，时， 恒成立所以时，有所以 所以在上单调递增，当时，因此当时， 14分（2016西城一模文）20（本小题满分13分）（利用前问结论放缩） 已知函数，且. （）求的解析式； （）若对于任意，都有，求的最小值；（）证明：函数的图象在直线的下方. 20（本小题满分13分）（）解：对求导，得， 1分 所以，解得， 所以. 3分（）解：由，得， 因为， 所以对于任意，都有. 4分设，则 . 令 ，解得. 5分当x变化时，与的变化情况如下表： 极大值所以当时，. 7分 因为对于任意，都有成立，所以 . 所以的最小值为. 8分（）证明：“函数的图象在直线的下方”等价于“”， 即要证， 所以只要证. 由（），得，即（当且