（应用数学专业论文）混沌理论在投资与收益中的应用.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 近年来 混沌理论是经济学界理论与方法研究的重要方向之一 本 文旨在基于中国的房地产市场尚为成熟的背景下 将有限理性动态古 诺模型引入房地产投资中 考虑到房地产投资的复杂性 建立了一个 非线性成本函数下的投资模型 通过对模型的分析 试图为现实中这种 投资行为提供理论参考 使我国的房地产投资更加合理 国民经济平 稳发展 避免金融危机的出现 本文主要包括以下几方面内容 1 对稳定性理论 经济混沌与混沌控制的研究现状作了较为全面 的介绍 2 当前我国经济的快速发展 房地产市场的不成熟而投资的过热 在这一背景下房地产商展开投资竞赛 这不但影响投资过程的稳定性 还会对国民经济造成冲击 3 建立了有限理性双寡头投资博弈的离散动力学模型来描述上述 投资行为 运用稳定性判据并结合现实经济情况对模型不动点的稳定 性进行分析 并且计算出系统的稳定区域 通过计算机仿真模拟出各参 数变化对投资过程稳定性的影响 进而指出投资商为了获取高额利润 而加大投资力度的行为会使系统陷入混沌 4 建立了相同背景下对房地产投资的连续动力学模型 通过对连 续模型和离散模型稳定区域的分析比较 证实了间歇投资是诱发混沌 的根源 该结论对于许多投资行为而言具有现实指导意义 5 连续投资模型是一种理想的状态 而间歇投资的投资商必然会 为了追求最大利润而加大投资力度 但这会产生混沌 进而引发金融 危机 于是文中针对离散投资模型超出稳定区域时所出现的混沌现象 应用直线控制法 成功地实现了对混沌的控制 通过对控制参数的数值 江苏大学硕士学位论文 模拟 得到了参数的变化情况 给出了经济意义下的合理解释 进而 结合我国在这一时期的实际情况提出了抑制混沌的可行方法 关键词 有限理性 博弈 投资模型 混沌 参数扰动 直线控制 江苏大学硕士学位论文 r e c e n t l y c h a o st h e o r yh a sb e e ni n t e n s i v e l ys t u d i e d a n di th a sb e c o m eah o tt o p i c i nt h ef i e l do fe c o n o m i cs y s t e m s t h i sp a p e rp r e s e n t san o n l i n e a rc o s tm o d e lo fr e a l e s t a t ei n v e s t m e n t u n d e rt h ec i r c u m s t a n c e st h a tt h er e a le s t a t em a r k e ti ss t i l li m m a t u r ei n o u rc o u n t r y i n t r o d u c i n gt h eb o u n d e dr a t i o n a l i t yd y n a m i cc o u r n o tm o d e lt or e a le s t a t e i n v e s t m e n ta n dc o n s i d e r i n gt h ec o m p l e x i t yo fr e a le s t a t ei n v e s t m e n t w es t u d yt h e m o d e la b o v ei nd e t a i la n dm a k ear e f e r e n c eo nc h i n e s ee c o n o m y s oa st ok e e pt h e r e f o r m so fs t a t e o w n e de n t e r p r i s e sg o i n gw e l la n dt h en a t i o n a le c o n o m ya f l o a t a n d a v o i dt h ef i n a n c i a lc r i s i s t h em a i nc o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s 1 m a k eac o m p r e h e n s i v ei n t r o d u c t i o no ft h es t a b i l i 哆t h e o r ya n dt h er e s e a r c ho f e c o n o m i cc h a o sa n dc h a o sc o n t r 0 1 2 a tp r e s e n t t h ec h a r a c t e r i s t i co fc u r r e n te c o n o m yi st h a td e v e l o pq u i c k l y t h e r e a le s t a t em a r k e ti ss t i l li m m a t u r ei no u rc o u n t r y u n d e rt h i sb a c k g r o u n d t h er e a le s t a t e e n t e r p r i s e sc a l ll a u n c ht h ec o m p e t i t i o n t oi n v e s ti n t ot h er e a le s t a t e w h i c hm a yn o to n l y a f f e c tt h es t a b i l i t yo fp r o g r e s so fi n v e s t m e n t b u ta l s oi n f l u e n c es t e a d yd e v e l o p m e n to f n a t i o n a le c o n o m y 3 t h ed u o p o l yd i s c r e t ei n v e s t m e n tm o d e lw i t hb o u n d e dr a t i o n a l i t yi ss e tu pt o d e s c r i b et h es i t u a t i o nt h a ti n v e s t o r sa th o m ea n da b r o a da r ei n v e s t i n gi ns t a t e o w n e d e n t e r p r i s e sw i t l lt h es t a t e o w na s s e t sg r a d u a l l yw i t h d r a w i n g i ta n a l y z e st h es t a b i l i t yo f t h ef i x e dp o i n t si nt h i sm o d e lv i at h es t a b i l i t yc r i t e r i o no fd i s c r e t e t i m es y s t e ma n dt h e f i n a n c i a l r e a l i t y i na d d i t i o n i tf i g u r e s o u tt h e s t a b i l i t yr e g i o n o ft h e d y n a m i c s y s t e m t h r o u g hc o m p u t e rs i m u l a t i o n t h er e s e a r c hf i n d st h a tt h ec h a n g eo fe a c hf a c t o r m a yi n f l u e n c et h es t a b i l i t yo fi n v e s t m e n t m o r e o v e r i ti n d i c a t e st h a tt h ee x p a n s i o ni n i n v e s t m e n tf o rp r o f i tc a l lm a k es y s t e mf a l li n t oc h a o s 4 t h ec o n t i n u o u ss y s t e m sd y n a m i c sm o d e li se s t a b l i s h e dt od e s c r i b et h ea c to f i n v e s t m e n ti nt h er e a le s t a t ee n t e r p r i s e su n d e rt h es a m eb a c k g r o u n da st h e d i s c r e t e s y s t e mm o d e lm e n t i o n e da b o v e w ea n a l y z ea n dc o m p a r et h ed i f f e r e n c e so fs t a b i l i t y r e g i o nb e t w e e nt h ec o n t i n u o u sa n dd i s c r e t ei n v e s t m e n tm o d e l a tl a s t i ti sp r o v e dt h a t d i s c r e t e t i m ei n v e s t m e n tm a yp l a c eap r e m i u mo nc h a o s a sf a ra sm a n ya c t i o n so f i n v e s t i n g t h i sc o n c l u s i o ni sa p p l i c a b l e 5 o b v i o u s l y t h ec o n t i n u o u s t i m ei n v e s t m e n t i sa ni d e a ls t a t e m o r e o v e r t h i s 江苏大学硕士学位论文 d i s c r e t e t i m ei n v e s t i n gc o u l db r i n go u td e s t a b i l i z a t i o ni nt h ep r o c e s so fi n v e s t m e n ta n d i n d u c ec h a o sb e c a u s eo ft h ee x p a n s i o ni ni n v e s t m e n tf o rp r o f i t t h e r e b yf i n a n c i a lc r i s i s m a yb r e a ko u t t h i sr e s e a r c hs u c c e s s f u l l ya p p l i e st h es t r a i g h t l i n es t a b i l i z a t i o nm e t h o d t oc o n t r o lc h a o s w h i c hm a ya r o u s ew h e nt h es y s t e mi sb e y o n dt h es t a b i l i t yr e o n t h e c h a n g e so fc o n t r o l sp a r a m e t e r sa l eo b t a i n e dt h o u g ht h es i m u l a t i o n h e n c e ap r o p e r e x p l a n a t i o ni sp r e s e n t e d f i n a l l y t h ef e a s i b l es o l u t i o n st oc o n t r o lc h a o sa l eb r o u g h to u t b yo b s e r v i n gt h ec h a n g e so fp a r a m e t e r sa n dt h ec u r r e n ts i t u a t i o n k e y w o r d s b o u n d e dr a t i o n a l i t y g a m e i n v e s t m e n t m o d e l c h a o s p a r a m e t e r p e r t u r b a t i o n s t r a i g h t l i n ec o n t r o l i v 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部 内容或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 保密口 在年解密后适用本授权书 不保密阢 学位论文作者签名 主j 面睬 淘年f 月 日 指导教师签名 栌 岬年 月 珀 独创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独 立进行研究工作所取得的成果 除文中已注明引用的内容以外 本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果 对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明 本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名矗7 习榱 日期 矗洚 月夕易日 江苏大学硕士学位论文 1 1 本课题的研究背景 第1 章前言 房地产业素有朝阳产业之称 同时又是一切经济活动的基础和载体 经济高 速增长的过程必然是以房地产的高速发展为前提和主要内容 伴随着中国房地产业 的发展壮大 作为房地产市场投资主体的房地产企业队伍也迅速发展扩大 市场 竞争日益激烈 研究房地产企业的持续发展问题也逐渐显示出必要性和重要性 但 我国房地产企业还存在很多特点 1 企业经济类型具有多样性 尚未完全建立起 现代企业制度 2 企业众多 市场竞争日益激烈伴随着我国房地产业的发展壮大 我国房地产开发企业队伍迅速扩大 3 企业平均实力弱 市场竞争能力不足 1 企业规模的大小决定了企业的开发经营规模 由于我国房地产企业普遍规模偏小 从而导致了企业整体开发规模较小 2 企业资金实力薄弱 房地产行业属于资金密 集型行业 但我国的房地产企业绝大多数都是基础较差 规模较小 融资能力较 低的 小企业 严重影响了企业的发展规模和速度 3 多数企业土地储备少 只 有少数企业大量 圈地 4 商品房积压日趋严重 许多开发商不堪重负 4 企业 运作不规范 市场信心不足 但随中国房地产业的发展壮大 作为房地产市场投资 主体的房地产企业队伍也迅速发展扩大 市场竞争将日益激烈 而投资作为一种金融行为 它的显著特征之一就是风险性 投资风险的影响因 素很多 各种因素的作用机制错综复杂 所以投资行为面临的风险也是多种多样 的 通常把风险划分为市场风险 信用风险 流动性风险 经营风险和法律风险 蚓 1 市场风险 由于市场的变化 使得金融资产或负债的价值发生变动所带 来的潜在损失的可能性 这里的市场因素包括利率 汇率 证券价格和商品价格等 的变化 而金融资产和负债既包括传统意义上的表内业务 也包括一切金融衍生 品等表外业务 2 信用风险 交易方不愿意或不能履行其合约中所规定的义务 致使受信 方遭受损失的可能性 即违约风险 信用是商品经济发展到一定阶段的产物 并成为 现代经济的一个显著特征 信用风险是金融业面临的主要问题之一 信用风险 利率 风险 汇率风险等市场风险的一个显著区别在于它在任何情况下都不可能产生意 江苏大学硕士学位论文 外的收益 它的后果就是损失 甚至是巨大的损失 3 流动性风险 是指投资人由于资产负债的流动性而不能及时应对市场的 不确定性以致遭受损失的可能性 由于流动性风险难于量化 且在不同市场条件下 的流动性风险不一样 所以流动性风险可以通过对所需现金流的适当规划 对现 金流缺口设置限制以及多样化和分散化来加以控制 4 经营风险 因不合理的系统 管理失误 失控 欺诈以及人为的错误所 带来的潜在的损失 包括决策风险 财务风险 操作风险 欺诈风险等 规避经营 风险最好的方式是保持系统的高效与廉洁 在强有力的内部控制基础上分清责 权 利以及对可能发生的意外事故提前做好应对准备 5 法律风险 指因交易方不具有法人资格所带来的损失 表现为 持股人状 告遭受巨大损失的公司 经营活动违反了政府的法律与规章制度 如市场的管理 法规 内部交易制度 适应性限制条件等 任何对法规的不正确理解都会导致惩 罚 4 1 2 本课题研究的现状 1 2 1 房地产投资环境的现状 中国入世后 面临啪对我国各行各业的市场影响 中国房地产将迎来新一 轮的发展机遇 中国房地产投资环境也发生了一些变化 w t o 带来的冲击有其利 好的一面 1 投资环境将更为宽松 资金供应更为充裕 2 入世后扩大了房地 产市场的需求 促进了我国房地产设计水平及相关产业产品科技含量的提高 同时 也有不利的一面 国内企业将面对严峻的人才竞争 房地产开发企业面临巨大的竞 争压力 房地产业面临资金的困难 1 2 2 投资及投资策略的研究现状 1 9 5 2 年h a r r y m m a r k o w i t z 发表了著名的论文 p o r t f o l i os e l e c t i o n 标志了 华尔街第一次数学革命的开始 5 这是一篇里程碑性的论文 被公认为 现代投 资学 的开端 当前 对投资的研究主要集中于投资组合1 6 7 1 投资行为 8 9 以及投资 复杂性的研究 对于投资的复杂性问题 t a i s e ik a i z o j i 指出当代理商这种投资者增 加时 资产价格的波动会出现间歇混沌 1 0 1 程国平等构建了一个房地产投资系统动 力学模型 并对其长期演化行为进行了深入研究 同时分析了房地产投资系统出 2 江苏大学硕士学位论文 现混沌现象的动斟1 1 1 陈关荣 汪秉宏等则为同类企业的投资竞赛建立了一个离散 非线性动力学模型 并分析了系统的非线性动力学性质所表现的经济学意义 1 2 投 资策略是提高资产配置和管理效率白臼重要途径 其中 最优投资组合策略是金融数 学研究的热点问题之一 其目的是如何在证券市场上选择一个最优投资策略 使 得终期财富效用最大 目前研究最优投资组合问题的方法通常有两种 一种是利用 随机最优控制问题的h 1 b 方程进行求解 1 3 1 6 1 但是往往会得到一个非线性偏微分 方程 而且方程的显式解较难得到 另一种是用k a r at z a s 等 1 7 引入的鞅方 法处理更为通常的价格模型 僖1 9 l 其显著特点就是放松了h j b 方程的马尔可夫 假设 但是由于最优投资策略以鞅表示定理进行刻画 故显式解仅能在极少数 情形下被写出 因此 对最优投资策略显式解的刻画仍是有待解决的问题 而基金 投资策略大体上可以分为两种 积极投资与指数投资 积极投资是指 基金投资以一 定的调查 研究成本为投资决策提供相应的依据 以期战胜市场获取超额收益的 投资行为 指数投资则是指 依据股票指数的构成按比例进行投资组合 基本上不 进行投资开发管理或调查 研究成本很低的一种投资行为 这两种策略对基金绩效 的影响存在着长期的争论 1 2 3 经济模型研究现状 经济学中的混沌现象在1 9 8 5 年才初次被发现 然而它却对当今西方主流经济 学中的新古典主义和凯恩斯主义产生了巨大的冲击 传统数理经济学方法总是把非 线性问题用线性化方法来近似处理 因而假设非线性系统仍然处于稳定的或优化 的轨道上 但引入非线性动力学方法之后 运动的图象就发生了本质的变化 描述经 济系统的参数变化一旦越过线性稳定区域 就可能发生质变 产生多周期 非周 期的貌似杂乱的复杂运动 即使对于简单的一维或二维的离散系统 宏观的经济增 长也会由于非线性效应产生混沌现象 微观的理性选择也会由于非线性机制导致 不稳定的市场行为 因此许多经济学家纷纷对混沌经济理论与普里高津的非平衡理 论产生了浓厚的兴趣 经济学界掀起一股 混沌热 有经济学家预言 3 0 年代摧 跨了古典经济学 为凯恩斯经济学的兴起扫清了道路 九十年代末的东南亚金融 风暴则动摇了新古典经济学的基础 成为非线性经济学革命的号角 经济理论研究 中 借助数学模型研究经济活动的规律已成为经济学家 管理学家的一种重要方 法 如金融市场中只有少数者竞争的博弈模型 2 0 2 1 1 经济系统的混沌动力学分析一 3 江苏大学硕士学位论文 1 2 2 2 4 财产管理混沌模型 捌等都是这些年来经济学模型研究的学术热点 古诺模型是c o u m o t 于1 9 8 3 年提出的关于产量决策的一个简单的双寡头垄断 模型 至今该模型仍是分析寡占竞争市场中咨厂商生产行为应用最广的模型之一 它是指在寡占市场中 一定数量的生产同质商品的厂商 必须在考虑其它厂商行 为策略的基础上来决定自己的产量 起初对模型的研究主要是针对寡头的博弈行 为而进行的 2 6 2 7 后来则将该模型拓展为动态的产量重复博弈模型 2 8 0 0 1 并讨论 了模型的动力学性质及稳定性 b i s c h i 等人认为动态古诺模型的建模方法中隐含的 假定 每个参与人都知道其它参与人的产量 每个参与人都知道市场需求函数等 是不现实的 从而提出了参与人根据上期边际利润的局域估计对产量作适当调整 的有限理性博弈模型 近年来关于有限理性的寡头博弈成为研究的热点 b i s c h i 和 n a i m z a d a 研究了一个具有线性成本的有限理性模型 并观察到了动态演化的复杂 现象 3 1 a h m e d a g l z a 以及h a s s a n 把p u u 的模型修改成有限理性条件下的双寡 头博弈模型 并研究其复杂现象 3 2 1 a g i z a 等研究了有限理性多寡头博弈模型 并 观察到了分岔 混沌等复杂现象 3 3 易余胤等人研究了一个具有溢出效应的有限 理性双寡头重复博弈模型 指出寡头的理性决定着寡头重复博弈是否能达到n a s h 均衡 而溢出效应将增加博弈达到n a s h 均衡的可能性州 文献 3 5 l 将有限理性双寡 头博弈模型应用于广告投资中 研究了寡头间的动态演化行为 并且指出当参与 人对市场的反应速度变化过快时 将会出现分岔 混沌等现象 1 3 本课题研究的内容 本文主要研究了在中国房地产市场不成熟的情况下 房地产企业共同投资于 房地产 文章的具体结构如下 第1 章 主要介绍了房地产企业的现状以及经济混沌领域的研究现状 我们所 面对的世界是个演化系统 是极其复杂的 而现实世界的复杂性都源于非线性 正 是对非线性的研究揭开了混沌的序幕 当前我们处于复杂的经济环境中 中国的一系 列改革使我国的经济金融环境更加复杂 那么在如此复杂多变的环境下使得经济平 稳发展成为了至关重要的问题 第2 章 主要介绍了混沌的基本理论 系统稳定性判据以及混沌控制的相关 内容 首先介绍混沌理论 给出了混沌的各种定义 以及由定义引出的混沌的性质 4 江苏大学硕士学位论文 然后介绍了系统的稳定性判据 给出了稳定性的定义 并且列出了连续系统和离 散系统的稳定性判断方法 最后介绍了混沌控制的广义定义 混沌控制的目标以及 混沌控制方法的分类 第3 章 建立了有限理性双寡头投资博弈模型 并对它的稳定性进行了分析 由于我国房地产市场的不成熟 经济高速增长的过程必然是以房地产的高速发展 为前提和主要内容 伴随着中国房地产业的发展壮大 作为房地产市场投资主体的 房地产企业队伍也迅速发展扩大 市场竞争日益激烈 基于这一背景试图把有限 理性博弈模型引入房地产投资中 建立有限理性双寡头投资博弈模型来描述两个 房地产企业的投资行为 并对模型的稳定性以及各参数对稳定性的影响进行了分 析 通过数值仿真 并结合现实情况对该系统的动力学行为进行研究 发现投资调 整率较低的一方会在投资前期获得较低的收益 因此投资方都会竞相提高投资调 整率 加大投资力度 但这会导致系统的不稳定 使得系统从倍周期分岔走向混 沌 第4 章 主要从投资周期与投资风险的角度研究混沌出现的原因 每一个投资 项目都有其固有周期 这是不以人的意志而改变的 当投资的周期与项目的固有 周期不一致时就会发生投资风险 当投资风险达到一定程度后就出现混沌 为了研 究投资周期与项目固有周期的关系 本章将连续投资模型 投资周期不会与项目 固有周期不一致 和离散投资模型 投资周期可能会与项目固有周期不一致 的 稳定域进行比较 证明了间歇投资是诱发混沌的根源 第5 章 应用直线控制法对有限理性双寡头投资博弈模型所出现的混沌态进 行控制 连续投资不会带来投资风险 可是在现实情形下 由于资源的稀缺性以及 投资商流动资金的有限性 往往资金都是分期注入的 但这种离散的情形却会因 为投资周期与项目的固有周期不一致而引发投资风险 同时投资商追求的是利润 最大化 它们必然会为了获得高额利润而加大投资力度 但这会增大投资风险 引发混沌态的产生 出现金融危机 为此本章应用专门为经济系统设计的直线控制 法通过对控制参数的扰动来达到控制混沌的目的 并且根据控制参数的变化情况 找到现实中控制该混沌态的可行方法 5 江苏大学硕士学位论文 第2 章基本概念与基本理论 本章主要介绍在以后各章用到的概念以及基本理论 2 1混沌 人们把在某些确定性非线性系统中 不需附加任何随机因素 由于其系统内 部存在着非线性的相互作用所产生的类随机现象称为 混沌 混沌系统的最大特 点就是在于系统的演化对初始条件十分敏感 因此从长期意义上讲 系统的未来 行为是不可预测的1 3 6 1 混沌一词由美国马里兰大学的博士李天岩 l it y 和他的导师约克 y o r k ej a 于1 9 7 5 年在题为 周期3 意味着混沌 的论文中首先提出的p 7 从定理出发 形成了混沌的专门定义 定理2 1 l 卜y o r k e 定理 设肭是 口 6 上的连续自映射 若艄有3 周 期点 则对任何正整数万 聊有t 周期点 定义2 1 l i y o r k e 混沌定义 闭区间i 上的连续自映射脚 如果满足下 面条件 便可确定它有混沌现象 1 脚的周期点的周期无上界 2 闭区间i 上存在不可数子集s 满足 i 对任意x s y s 当x y 时 有1 1 巴s u p l r 砷一厂 y l o i i 对任意x s ye s 有 受i i l f l 力一 少 l 霉o i i i 对任意x s 和任一周期点y 有 i m s u p l f 拜 砷一厂 y i o 根据上述定理和定义 对闭区间i 上的连续函数脚 如果存在一个周期为3 的周期点 就一定存在任何正整数的周期点 即一定出现混沌现象 根据l i y o r k e 混沌定义 1 9 8 3 年d a y 认为一个混沌系统应具有如下三种性质 第一 存在所有阶的周期轨道 第二 存在一个不可数集合 此集合只含有混沌 轨道 且任意两个轨道既不趋向远离 也不趋向接近 而是两种状态交替出现 同时任一轨道不趋于任一周期轨道 即此集合不存在渐进周期轨道 第三 混沌 6 江苏大学硕士学位论文 轨道具有高度的不稳定性 1 9 8 9 年d e v a n e yrl 给出了混沌的又一种定义 3 6 1 定义2 2 设x 是一个度量空间 一个连续映射 工 x 称为x 上的混沌 如果 1 厂是拓扑传递的 2 f 的周期点在x 中稠密 3 厂具有对初始条件的敏感依赖性 简而言之 混沌的映射具有不可预测性与不可分解性 但仍有一种规律性这 三个要素 这是因为对初始条件的敏感依赖性 使得混沌系统是不可预测的 又由于 拓扑传递性 使得它不能被细分或不能被分解为两个在 下相互影响的子系统 尽 管如此 但在混沌行为中确实存在着规律性的成分 即有稠密的周期点 除了上述对混沌的定义之外 还有诸如s m a l e 马蹄 横截同宿点 拓扑混合 以及符号动力系统等定义 然而迄今为止 混沌一词还没有公认的普遍适用的数学 定义 3 8 1 2 2 混沌的基本特征 混沌运动是一种不稳定有限定常运动 即为全局压缩和局部不稳定的运动 或除了平衡 周期和准周期以外的有限定常运动 这个定义指出了混沌运动的两个 主要特征 不稳定性 该性质可用l y a p u n o v 指数精确刻画 和有限性 混沌运动 是确定性非线性系统所特有的复杂运动形式 出现在某些耗散系统 不可积 h a m i l t o n 保守系统和非线性离散映射系统中 与其他复杂现象相区别 混沌运动有 着自己独特的特征 主要有 1 有界性 混沌运动是有界的 它的运动轨迹始终局限于一个确定的区域 这个区域称为混沌吸引域 无论混沌系统内部多么不稳定 它的轨线都不会走出混 沌吸引域 从整体来说 混沌系统是稳定的 2 遍历性 混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的 即在有限时间内混沌 轨道经过混沌区域内的每一个状态点 3 内随机性 一定条件下 如果系统的某个状态可能出现 也可能不出现 该系统被认为具有随机性 一般来说 当系统受到外界干扰时才产生这种随机性 7 江苏大学硕士学位论文 一个完全确定的系统 能用确定的微分方程表示 在不受外界干扰的情况下 其运动状态也是确定的 即是可以预测的 不受外界干扰的混沌系统虽然能用确定 的微分方程表示 但其运动状态却具有某些 随机 性 即混沌系统内部自发产生 这种随机性 混沌的随机性和一般随机性是有很大区别的 混沌的内随机性实际就 是它的不可预测性 对初值的敏感性造就了它的这一性质 同时也说明混沌是局部 不稳定的 4 分维性 是指混沌的运动轨迹在相空间中的行为特征 混沌系统在相空间 中的运动轨线 在某个有限区域内经过无限次折叠 而分数维正好可以表示这种 无限次折叠 分维性表示混沌运动状态具有多叶 多层结构 且叶层越分越细 表 现为无限次的自相似结构 5 标度性 是指混沌运动是无序中的有序态 只要数值或实验设备精度足够 高 总可以在小尺度的混沌区内看到其中有序的运动样式 6 普适性 所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同 特征 它不依具体的系统方程或参数而变 普适性是混沌内在规律性的一种体现 2 3 稳定性判据 2 3 1 稳定性的定义 由于大多数非线性微分方程是不可能或很难求出其解的具体表达式 因此必 须要研究在不具体解出方程的情况下判断方程解的稳定性态的问题p 9 1 假设我们所考察的系统可以用以下形式的微分方程来描述 鲁一肌m h 一毛 百d x 2 一 2 t 五 z 盟d t l t 而 屯 写成向量形式为 百d x f o x 2 一1 满足初始条件 x t o sx o 其解设为 x x t t o x 式中石 f 是向量 函数 假设x 0 是方程 2 1 的一个特解 如果x 吵 f 只需要做变换 8 江苏大学硕士学位论文 x x y 则原方程的解x 缈o 就化成了新方程的零解x t 0 下面就讨论 方程 2 1 零解的稳定性 定义2 3 如果对任意给定的占 o 存在万o o s 0 当范数 i i x ol l 8 t o s 均有 l 防 f 气 x o 0 0 只要 l i x ol l 0 不论万 0 如何小 总有一个z o 有 阮i i 气使得 悟o 气 x o l l 占 则称x 0 是不稳定的 2 3 2h a r t m a n g r o b m a n 定理 h a r t m a n g r o b m a n 定理是常微分方程局部定性理论中一个非常重要的结果 柏 这定理是讲在双曲平衡点j 附近 非线性方程 x 厂 2 2 与线性方程 x a x 2 3 有着相同的定性结构 其中a 何仁 这里假定平衡点为原点 否则可以作一个 平移把平衡点移到原点 9 江苏大学硕士学位论文 两个自治微分方程 例如 2 2 和 2 3 两个系统 在原点领域中称为拓扑等价 的 或称为在原点附近有相同的定性结构 如果存在一个同胚映射日 它把包含 原点的开子集 厂映射到包含原点的开子集仉把在u 中 2 2 的轨线映射到在y 中 2 3 f l 向轨线 并保持方向不变 如果同胚日保持时间参数 则系统 2 2 和 2 3 在原 点领域中称为拓扑共轭的 定理2 2 h a r t m a n g r o b m a n 定理 设e 是包含原点的r 的开子集 f c 1 俾 识是非线性系统 2 2 的流 假定 三0 矩阵a d r 0 没有实部为 零的特征值 则存在一个同胚映射日 它把包含原点的开子集u 映射到包含原点的 开子集u 使得对每个石o u 和t e z o 日 吮 o 一e a t h o 也就是日把 2 2 在原点附近的轨线映射至w j 2 3 在原点附近的轨线上 且保持时间 参数 2 3 3 连续系统的稳定性判据 考虑线性方程 2 3 x a x 平衡点x o 这里仍假定平衡点为原点 的稳定性可由a t d f 僻o 的特征值五 的实部的符号来确定 4 1 1 如果a 的所有特征值都满足r e 旯 0 则平衡点x o 是不稳定的 3 如果a 没有正实部的特征值 但有零实部的特征值 则平衡点x o 可能 是稳定的也可能是不稳定的 当零实部的特征值的重数与其特征向量空间的维数相 同时零解稳定 否则不稳定 2 3 4 离散系统的稳定性判据 对于一维离散动力系统 其数学表达式为 瓦 厂以 刀 0 1 2 2 4 这里的 表示一种映射关系 它类似于连续动力系统彳 f x 里的函数 与连续系 统的奇点 平衡点 相对应的概念是离散系统的不动点 而这种不动点就是满足 1 0 江苏大学硕士学位论文 p f p 的点p 即有 一厂 毛 与连续系统的奇点 平衡点 稳定性判据类似 一维离散动力系统 映射 的不动点的稳定性是由式 2 4 右端的j a c o b i 矩阵的特 征值兄的模决定 3 9 1 若 1 系统的不动点不稳定 例一1 的情况 与连续动力系统中特征值具有零实部的情况相似 2 4 混沌控制 2 4 1 混沌控制的定义 由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性 混沌控制就 成为混沌应用的关键环节 人们提出了许多控制混沌的方法 并在大量实验和应用 中得到验证 目前人们对混沌控制的广义认识是 人为并有效地影响混沌系统 使 之发展到实践需要的状态 这包括 1 混沌运动有害时 成功地抑制混沌 2 在混沌有用时 产生所需要的具有某些特定性质的混沌运动 成功地进 行诱导混沌 3 在系统处于混沌状态时 通过控制 产生出人们需要的各种输出 总之 尽可能地利用混沌运动自身的各种特性来达到控制的目的 是所有混 沌控制的共同特点1 4 2 4 5 2 4 2 混沌控制的现状 由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性 特别是对初 始条件极其微小变化的高度敏感性以及不稳定性 长期以来人们觉得混沌是不可 控的 不可靠的 因而在应用领域中总被回避和抵制 但是上世纪九十年代以后 这种传统思想开始被打破 1 9 8 9 年 a h u b l e r 发表了控制混沌的第一篇文章 蛔 1 9 9 0 年 e o t t c g r e b o g i 和j ay o r k e 提出的控制混沌的思想 o g y 控制 产生了 广泛响应1 4 7 随后d i t t o r a u s c o 及s p a n o 三人从实验上验证了o g y 方法的有效 性 以后十几年 混沌控制的研究得到了蓬勃发展 又出现了许多控制非线性系 统中混沌现象的方法 如自适应控制法 4 9 1 系统变量脉冲反馈控制法 5 0 基于采 1 1 江苏大学硕士学位论文 样数据的混沌控制法 5 1 l 等 这一方向迅速成了混沌领域研究的热点 其问 人们提 出的各种控制混沌的方法在光学 等离子体 化学反应 流体 电子回路 人工 神经网络 生物系统等大量实验和应用中得到了验证 5 2 5 6 然而这些混沌控制方法 大多数是针对物理系统设计的 主要用于自然科学和工程中 而在经济系统中 控 制参数在一定范围内是可以调整的 如利率 税率 变动成本 状态变量在一定 范围也是可以控制的 如投资额 产量等 因此经济系统较之于物理系统有其特 殊性 于是2 0 0 0 年和2 0 0 1 年y o n g 和x n 等提出了直线控制法 成功地对某类混沌 经济模型实施了控制1 5 7 巧8 并且证实了这种控制方法不会带来经济的衰减 5 9 目前 混沌控制正在逐步形成系统化的理论体系 混沌控制不仅为混沌应用提供了条件 而且促进了混沌理论和系统控制理论两个方面研究的深入 2 4 3 混沌控制的目标 非线性系统的混沌控制的主要任务归结为 根据不同学科 工程及各种领域 中的实际需要 从理论和实践 实验和工程 两方面 研究如何从多种多样的非 线性系统产生的混沌奇怪吸引子中 按照人们的意愿 获取或转换所需的动力学 行为 为众多领域提供应用的原理 方法和技术基础 混沌控制的目标主要有 1 抑制或消除某些类型的混沌 2 稳定控制在混沌吸引子中所期望的不稳定的周期态 3 通过控制达到新的动力学行为 4 消除多重的混沌吸引子流域 5 实现两个或多个相同动力系统的周期同步 混沌同步及其控制 6 控制混沌吸引子中的非周期态 周期态及其同步的可能应用 2 4 4 混沌控制的分类 针对不同的任务目标 发展不同的控制策略和方法 迄今已经提出各种控制 方法 图2 1 中出示了混沌控制与混沌同步的主要方法及类型 从图可看出混沌控制 方法的多样性迅猛发展的势头 这里强调了线性控制与非线性控制两大类型 也可 以划分为反馈控制与非反馈控制两大类型 6 0 1 江苏大学硕士学位论文 图2 1 混沌控制的主要方法及类型 f 瞎 2 1 m a i nm e t h o d sa n dt y p e so f c h a o sc o n t r o l 1 3 江苏大学硕士学位论文 第3 章一类房地产投资模型的复杂性分析 通常完全理性博弈是基于两个假设 1 每个企业在决策时 都具有完备的信 息 2 每个企业都是基于完全理性进行决策的 在现实中企业之间的博弈是不断进 行的 不可能立即达到n a s h 均衡状态 同时企业掌握的信息都是不充分的 而且 企业决策都是由人做出的 而人由于感知认识能力和语言上限制了所做出的决策 也不可能是完全理性的 只能是有限理性 3 3 3 5 1 现在对房地产的研究大多集中在评 估与预测方面 其中程国平等 1 1 将动态经济增长方程引入房地产投资中并建立了 系统动力学模型 对系统的稳定性给出一定的分析 同时在传统的古诺模型中 假 设其成本函数是线性的 对于房地产投资开发的复杂性 非线性成本函数会更符 合现实 本章主要研究以下几个方面内容 首先将非线性成本函数下的有限理性动态古 诺模型引入房地产投资中 建立了房地产投资模型 然后运用非线性理论对模型 的奇点进行稳定性分析 最后对各参数的变化对系统稳定性的影响做了初步的探 讨 3 1 模型的建立 假设寡头市场上有两房地产投资企业a b 投资开发同一类型的房地产 且满 足以下要求 在一个周期内 企业的房产销售量等于企业房产的投资开发量 即达到产销 平衡 企业的投资开发发生在离散的时间周期n 0 1 2 3 x 表示第i 家企 业在单位时间内投资开发房地产的数量 c 1c 盔 i 1 2 代表企业开 发生产的成本函数 其中c 表示第i 家企业的固定成本 噍代表该企业的单位房产 开发生产的变动成本 第n 期的价格p 是由总生产量q 玎 五 珂 恐 栉 通过 p p q a 6 q 的逆需求函数决定的 这里口 b 均为正的常数 口表示市场上该 房地产的最高价格 每个企业的战略空间是选择投资开发房地产的数量 利润是 支付 则第i 家企业在第n 期的税前利润模型为 1 4 江苏大学硕士学位论文 乃瓴 刀 x q x t a o q 一q d i 1 2 3 1 第i 家企业在一个期间的边际利润为 掣 口一b q 一魄 以 一2 4 毛o i 1 2 3 2 d 舷 由于现实中每个企业并不具有完全的市场信息 也不可能完全预测未来的市 场变化情况 因而他们的决策往往基于部分信息而做出 本文假设企业是基于上 一期的边际利润的基础上做出有限理性调整 如果企业认为第n 期边际利润为正 则他将会在第n 1 期增加投资量 反之如果边际利润为负 他就会减少投资量 于是可得到第f 家企业在第n 1 期的房地产投资量 而 n 1 而 功心薯q 掣 i 1 2 3 3 d t 其中 是一个正的常数 表示第i 家企业的投资调整率 于是我们可以由 3 2 和 3 3 得到房地产企业的投资模型 x z 1 五 z q 五 刀 旦竺掣 x z n 1 吃 刀 吃吃 胛 曼至掣 3 q 3 2 模型分析 在系统 3 4 中令五o 1 一x a n x d n 1 ix 2 0 可以得到它的四个均衡点 毛 o 互 o 万a 耐 最 赤 o 马 万丽a b i 丽2 a d 2 乒 a b 2 a 4 b 2 4 6 嘎 6 吃 一b 2 显然 e o 置 e 2 为有界均衡 e 3 为n a s h 均衡 很容易证明其为两企业边际 利润为零时所对应的点 即n a s h 均衡点 下面研究这些均衡点的局部稳定性 并 给出经济学解释 首先我们求出 3 4 式的j a c o b i n 矩阵 即 f 1 a c t b a l x l x 2 3 b a l x l 一4 儡五 6 q 五 1 l b a 2 x 2l a a 2 一咄 x 2 3 b a 2 x 2 4 a 2 d 2 x 2 j 江苏大学硕士学位论文 3 2 1 有界均衡e e 1 e 2 是不稳定点 在有界均衡e o 处 j a c o b i n 矩阵为 一心 1 三口 它的两个特征值为a l a 晓x 五 1 a a 2 a 表示该房地产的市场最高价格 q 为企业a b 的投资调整率 很显然a 1 如 1 所以该点不稳定 这与现 在我国的房地产市场是吻合的 我国现在整个经济增长的潜力 市场的空间很大 而且这几年房地产的增长基本属于正常 在中国经济普遍投资比较低迷 总需求不 足的情况下 房地产的需求和房地产的投资支撑了中国经济很大一块 而且抓住通 货紧缩时期 房地产在经济结构中的比重大大提高了 优化了产业结构 房地产在中 国今后几十年的发展潜力是无穷的 而我国政府也正在积极的解决住房问题 在有界均衡点e 处j a c o b i n 矩阵为 jt1 口 竺生0 1 2 p d 2 丽 a b a 2 1 一口口2 2 p d 2 z 它