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贾老师高中数学同步辅导班精讲精练教材必修四 目 录第一节 三角函数2第一课时：任意角的概念2第二课时：任意角的三角函数6第三课时：同角三角函数关系10第四课时：诱导公式12第五课时：三角函数的图象17第六课时：正余弦函数的性质及值域19第七课时：正切函数的性质23第八课时：函数的图象与性质25第二节 三角恒等变换30第九课时：两角和与差的正余弦公式30第十课时：简单的三角恒等变换33第三节 平面向量35第十一课时：平面向量的基本概念35第十二课时：平面向量的基本定理40第一节 三角函数第一课时：任意角的概念一、课本知识梳理及理解1.在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？2.任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）3.象限角的定义（轴线角）3.1.能以同一条射线为始边作出下列角吗？210 -150 -6603.2.上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同.3.3.具有相同终边的角彼此之间有什么关系？3.3.1.你能写出与60角的终边相同的角的集合吗？4.什么叫角度制？4.1.角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？4.2.什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？4.3.弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？4.4.角的集合与实数集R之间建立了 一一对应 对应关系。4.5.用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.4.6.在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。（理解推导过程）二、典型例题精讲精练例1：在0到360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）650 （2）-150 （3）-99015练1.终边落在x轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x轴上呢？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？例2:若与240角的终边相同（1）写出终边与的终边关于直线y=x对称的角的集合.（2）判断是第几象限角.练2.若是第三象限角，则-，2分别是第几象限角.例3如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）.练3.（1）第一象限角的范围 。（2）第二、四象限角的范围是 。例4把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）（1） （2）3.5 （3）252 （4）1115练4.填表角度制0456090150180315弧度制若，则为第几象限角？用弧度制表示终边在y轴上的角的集合 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合 例5. 已知扇形半径为10cm,圆心角为60，求扇形弧长和面积已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积练5.1.一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.练5.2.A=,B=则A、B之间的关系为 .三、课堂练习题组A组1.已知A=第一象限角，B=锐角，C=小于90的角，那么A、B、C关系是（ ） AB=AC BBC=C CAC DA=B=C2.下列结论正确的是（ ） A.三角形的内角必是一、二象限内的角 B第一象限的角必是锐角 C不相等的角终边一定不同 D = 3.若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合 为_4.在0到360范围内，终边与角60的终边在同 一条直线上的角为 5.下列说法中，正确的是（ ） A第一象限的角是锐角 B锐角是第一象限的角 C小于90的角是锐角 D0到90的角是第一象限的角6.（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的终边一定相同；（3）终边相同的角有无限多个；（4）终边相同的角有有限多个。上面4个命题，其中真命题的个数是 （ ）A、0个 B、1个 C、2个 D、3个7.终边在第二象限的角的集合可以表示为：（ ）A90180 B90k180180k180，kZC270k180180k180，kZD270k3600且tan0，试问角为第几象限角练2.2.使sincoscos,则的取值范围是_。练5.4.已知集合E=|cossin,0,F=tansin。 求集合EF三、课堂练习题组A组1、函数的定义域是（ ）A， B，C， D ，2、若是第三象限角，且，则是（ ）A第一象限角B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角3、已知点P（）在第三象限，则角在（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4、已知sintan0，则的取值集合为 5、若角终边上有一点，则的值为 （ ）A、 B、 C、 D、以上都不对6、下列各式中不成立的一个是 （ ）A、 B、 C、 D、7、已知终边经过，则 .8、若是第二象限角，则点是第 几 象限的点.9、已知角的终边在直线y = x 上，则sin= ；= 10、设角x的终边不在坐标轴上，求函数的值域.11、(1) 已知角的终边经过点P(4,3)，求2sin+cos的值；（2）已知角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，求2sin+cos的值；（3）已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为34（且均不为零），求2sin+cos的值B组1、若 costan Bcostansin C tansincos Dsintancos2、角（02）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异那么的值为（ ）A B C D或 3、若02，且sin .利用三角函数线，得到的取值范围是（ ）A（，） B（0，） C（，2） D（0，）（，2）4、依据三角函数线，作出如下四个判断：sin =sin；cos（）=cos； tantan ；sin sin 其中判断正确的有 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个5、若角的正弦与余弦线的长度相等且符号相同，那么角的值为（ ）A. B. C.或 D.以上都不对6、用三角函数线判断1与的大小关系是（ ）A、1 B、1 C、=1 D、0)与y=cosx图象间关系吗？练1.2函数y=sin2x与y=sinx的图象之间有何联系？你能推广y=sinx(0)与y=sinx图象间关系吗?例2： 用“五点法”画y=sin() 的简图三、课堂练习题组1、函数 (a0)的定义域为（ ）AR B. C. D.-3,32、在0,2上,满足的x取值范围是( ).A. B C. D.3、 用五点法作的图象.4结合图象，判断方程的实数解的个数.5、观察正弦函数的图象，以下4个命题：（1）关于原点对称 （2）关于x轴对称 （3）关于y轴对称 （4）有无数条对称轴，其中正确的是 （ ）A、（1）、（2） B、（1）、（3） C、（1）、（4） D、（2）、（3）6、对于下列判断：（1）正弦函数曲线与函数的图象是同一曲线；（2）向左、右平移个单位后，图象都不变的函数一定是正弦函数；（3）直线是正弦函数图象的一条对称轴；（4）点是余弦函数的一个对称中心.其中不正确的是 （ ）A、（1） B、（2） C、（3） D、（4）7、（1）的图象与的图象关于_对称；（2）的图象与的图象关于_对称.8、（1）把余弦曲线向_平移_个单位就可以得到正弦曲线；（2）把正弦曲线向_平移_个单位就可以得到余弦曲线.9、由函数如何得到的图象？10、画出的简图，并说明它与余弦曲线的区别与联系.11、画出的简图，并说明它与正弦曲线的区别与联系.12、.结合图象，判断方程的实数解的个数.第六课时：正余弦函数的性质及值域一、课本知识梳理及理解1.1.自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念函数周期性.1.2.对周期函数概念的理解注意以下几个方面：（1）是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值，仍在定义域内且使等式成立.（2）周期是常数，且使函数值重复出现的自变量的增加值.（3）周期函数并不仅仅局限于三角函数，一般的周期是指它的最小正周期.2.1在同一直角坐标系中作y=sinx,y=cosx (xR)的图象，观察它们的图象，你能得到一些什么性质？分别列出y=sinx, y=cosx xR的图象与性质2.2.观察y=sinx, y=cosx xR图象，探求y=sinx, y=cosx的对称中心及对称轴.2.3.正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.2.4.结合图象解题是数学中常用的方法.二、典型例题精讲精练例1: 求下列函数的周期：（1）； （2）练1.求 的周期例2.:求下列函数的最大值及取得最大值时x的集合(1) (2) （3）若 （4）若例3.判断下列函数奇偶性（1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=x-sinx练3、判断下列函数的奇偶性： ； ： ： 例4 .求的单调增区间练4（1）求的单调增区间（2）求的单调增区间（3）求的单调增区间例5.求下列函数的值域（1） （2） （3）（4） （5）练5.1.已知的定义域为0，函数的最大值为1，最小值为-5，求a,b的值.练5.2.已知，其中，当自变量x在任何两个整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k的值.三、课堂练习题组A组1、求下列函数的周期：(1)正弦函数的周期是_.(2)正弦函数的周期是_.(3)余弦函数的周期是_(4)余弦函数的周期是_.2.函数的周期是,则=_.3.若函数是以为周期的函数，且,则_.4.函数是不是周期函数？若是，则它的周期是多少？5、是周期函数吗？如果是,则周期是多少？6、函数（c为常数）是周期函数吗？如果是，则周期是多少？7、已知函数（1）求最小正整数，使函数周期不大于2；（2）当取上述最小正整数时，求函数取得最大值时相应的值.B组1、函数,时自变量x的集合是_2、将,从小到大排列起来为：_.3、函数的奇偶数性为（）.A.奇函数B.偶函数 C既奇又偶函数 D.非奇非偶函数4、函数，其单调性是（ ）.A.在上是增函数，在上是减函数B. 在上是增函数，在 上分别是减函数C.在上是增函数，在上是减函数D. 在上分别是增函数，在上是减函数6、设，则三角函数的定义域是（ ）A、 B、 C、 D、7、在上是增函数，又是奇函数的是（ ）A、 B、 C、 D、8、已知函数，其定义域是 .9、已知函数，则其单调增区间是 ；单调减区间是 。10、若的最小值为-6，求a的值.11、 求下列函数的单调增区间：（1）; （2）12、已知，试比较与的大小13、求函数的周期、单调区间和最值.第七课时：正切函数的性质一、课本知识梳理及理解1.作正切曲线简图的方法：“三点两线”法，即 和直线及，然后根据周期性左右两边扩展.2.正切函数的定义域是，所以它的递增区间为二、典型例题精讲精练例1求的定义域及周期 练1.（1）求的定义域(2)、函数的周期为（ ）.A B C D例2、根据正切函数图象，写出满足下列条件的x的范围： 练2、求函数的定义域与值域，并作图象.例3、求函数的单调区间。三、课堂练习题组1、在定义域上的单调性为（ ）.A在整个定义域上为增函数 B在整个定义域上为减函数C在每一个开区间上为增函数D在每一个开区间上为增函数2、下列各式正确的是（ ）.A BC D大小关系不确定3、函数的定义域为（ ）.A B D且4、直线(a为常数)与正切曲线为常数，且相交的两相邻点间的距离为（ ）.A B C D与a值有关5、函数的最小正周期是（ ）A、 B、 C、 D、6、函数的定义域是（ ）A、且 B、且C、且 D、且7、下列函数不等式中正确的是（ ）.A B C D第八课时：函数的图象与性质一、课本知识梳理及理解11. 在同一坐标系中,画出,的简图.12. 与的图象有什么关系?1.3.结论：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点向左(当)或向右(当)平移个单位长度而得到的.21.与的图象有什么关系?22.结论： 一般地,函数的图象可以看做将函数 的图象上所有的点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变) 而得到的.31.与的图象有什么关系?33.结论： 一般地,函数的图象可以看做将函数 的图象上所有的点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变) 而得到的.二、典型例题精讲精练例11.求函数的振幅,周期,频率,相位,初相,用五点法作出该函数的图象例12 叙述到的变化过程.例13.叙述到的变化过程.练1. 向_平移_个单位得到向_平移_个单位得到向右平移个单位得到,求例2.用多种方法作函数的图象练2.（1）将函数的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向左平移个单位得到的图象，则.（2）把函数的图象向_平移_个单位可得到的图象例3已知函数图象的一个最高点（2，3）与这个最高点相邻的最低点为（8，-3），求该函数的解析式.练3.若函数的最小值为-2，周期为，且它的图象过点（0，），求此函数的表达式。三、课堂练习题组A组1.若将某正弦函数的图象向右平移以后，所得到的图象的函数式是,则原来的函数表达式为（）.A. B. C. D. 2.已知函数在同一周期内，当时,y最大2，当xy最小-2，那么函数的解析式为（）.A. B. C. D. 3. 已知函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，那么已知函数的解析式为（）.A. B. C. D.4.函数的图象，可由函数的图象经过下述_变换而得到（ ）.A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍C. 向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的5、把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，而横坐标不变，可得的图象，则 （ ）A. B. C. D.6、将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到新的函数图象，那么新函数的解析式为 （ ）A、 B、 C、 D、7.把y=sinx的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是（ ）.A. B. C. D. 8.已知函数，在一个周期内，当时，取得最大值2，当时取得最小值-2，那么（）.A. B. C. D. 9.将函数的图象向右平移个单位，所得到的函数图象的解析式是_；将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象的解析是_.10、将函数的图象上所以点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，那么新图象对应的函数值域是 ，周期是 .11、函数的定义域是 ，值域是 ，周期 ，振幅 ，频率 ，初相 .12、用“五点法”列表作出下列函数的图象：（1）； （2）分析它们与的关系.13、函数的图象可由的图象经过怎样的变化而得到？B组1.函数的图象可看作是函数的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（）.A.向右平移个单位B.向左平移个单位 C.向右平移个单位D.向左平移个单位2.函数的图象的对称轴方程为_.3.已知函数（A0，0，0）的两个邻近的最值点为（）和（），则这个函数的解析式为_.4.函数的图象关于y轴对称，则Q的最小值为_.5、把函数的图象向下平移1个单位，再把所得图象上点的纵坐标扩大到原来的3倍，然后再把所得图象上点的横坐标扩大到原来的3倍，最后再把所得的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数是 （ ）A. B. C. D.6、要得到的图象，只需将函数的图象 （ ）A、向左平移 B、向右平移 C、向左平移 D、向右平移7、函数表示一个振动量，其中振幅是，频率是，初相是，则这个函数为 。初相 。8、已知函数的图象最高点为,由此最高点到相邻最低点的，图象与x轴的交点为.求此函数的一个表达式.9、设函数在同一周期内，当时，y有最大值为；当，y有最小值。求此函数解析式.10、函数的最小值为-2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差是,又图象过点（0，1），求这个函数的解析式.第二节 三角恒等变换第九课时：两角和与差的正余弦公式一、课本知识梳理及理解Cos(+)= Cos(-)=sin(+)= sin(-)=tan(+)= tan(-)=sin2= tan2=cos2= (sincos+cossin)= sin(+),其中tan=。二、典型例题精讲精练例1、利用差角余弦公式求的值 练1、已知，是第二象限角，求的值。例2、已知是第四象限角，求的值.练2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、； （2）、； （3）、例3、化简练3、（1）： （2）： （3）：=_例4、已知求的值练4、 已知求的值已知三、课堂练习题组A. B. C. D. A. B. C. D. A. B. C. D.6. 已知求的值 7、若tan q = 3，求sin2q - cos2q 的值。8、已知，求sin2a，cos2a，tan2a的值。9、已知求的值。 10、已知，求的值。第十课时：简单的三角恒等变换一、课本知识梳理及理解例1已知，且在第二象限，求的值。例2： ；例3. 如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记COPa，求当角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.三、课堂练习题组1已知cos（+）cos（）=，则cos2sin2的值为（ ）A BC D2在ABC中，若sinAsinB=cos2，则ABC是A等边三角形B等腰三角形C不等边三角形D直角三角形3sin+sin=（coscos），且（0，），（0，），则等于（ ）A B C D4已知=，且cos+cos=，则cos（+）等于_6已知f（x）=+，x（0，）（1）将f（x）表示成cosx的多项式；（2）求f（x）的最小值7、已知cosa+cos=,sina+sin=,求cos(a-)的值。8.已知，求的值。第三节 平面向量第十一课时：平面向量的基本概念一、课本知识梳理及理解1.1.向量的概念：数学中，我们把这种既有 ，又有 的量叫做向量. 1.1.1.向量的模：1.2.向量有几种表示方法？1.2.1.人们常用 来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.1.2.2.以为起点，为终点的有向线段记作 ，线段的长度称为模，记作.有向线段包含三个要素： 1.2.3.有向线段也可用字母如， ，表示.1.3.几个特殊的向量1.3.1.零向量：长度为 的向量；1.3.2.单位向量：长度等于 的向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 1.4.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量. 若向量，平行，记作：. 因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量1.5.如何理解零向量的方向？1.6.相等向量：长度相等且 的向量叫做相等向量，用有向线段表示的向量与相等，记作：.1.7.相反向量：OABaaabbb2.1.向量加法的三角形法则（首尾相接，首尾连）：已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量_叫做与的和，记作_，即=_=_。这个法则就叫做向量求和的三角形法则。2.2.向量加法的平行四边形法则：以同起点O两个向量，（）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线_，就是与的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。2.3.对于零向量与任一向量，我们规定+=_=_.2.4.向量加法的运算法则： 交换律是：_； 结合律是：_。3.1.相反向量：与 的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是 .如果、是互为相反的向量，那么 ， ， .3.2.向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即是互为相反的向量，那么=_，=_，=_。3.3.已知，在平面内任取一点O，作，则_=，即可以表示为从向量_的终点指向向量_的终点的向量，如果从向量的终点到的终点作向量，那么所得向量是_。这就是向量减法的几何意义. 以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.4.1.一般地，我们规定_是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作，它的长度与方向规定如下：（1）=_; （2）当_时，的方向与的方向相同；当_时，的方向与方向相反，当_时，=。4.2.向量数乘运算律，设为实数。（1）_； （2）_； （3）_；（4）_=_； （5）_；（6）对于任意向量,，任意实数恒有=_。4.3.两个向量共线（平行）的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得 。对此定理的证明，是两层来说明的：其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）接下来看、方向如何：、同向，则，若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.二、典型例题精讲精练例1、如右图，设是正六边形的中心，（1）分别写出图中与， 相等的向量. （2）与相等的向量有哪些？（3）与相等吗？与相等吗？例2如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A. B. C. D. 例3在ABC中，是重心，、分别是、的中点，化简下列两式：；. 例4、计算：； ； .例5：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：例6、已知两个向量和不共线，求证：、三点共线.例7、如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，你能用、表示、吗？ 三、课堂练习题组1判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形当且仅当 一个向量方向不确定当且仅当模为0；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.2.下列说法中错误的是（ ）A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的3把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆4已知非零向量,若非零向量，则与必定 .5已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定 .6.化简 7、若C是线段AB的中点，则=（ ）A、 B、 C、 D、08、已知ABC中，D是BC的中点，则=（ ）A、 B、 C、 D、9、已知正方形ABCD的边长为1，则为（ ）A0 B3 C D10、在矩形ABCD，则向量的长度等于（ ）A B C12 D611、已知|8，|5，则|的取值范围？12、若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC