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从近几年高考谈解几“范围”问题的求解策略 江苏省宜兴市丁蜀高级中学 汤文兵 黎明 邮编214221解析几何中的“范围”问题一直是高考中的难点和热点。难在它综合性强、灵活性高，热的是它融众多知识和技巧于一体，深得命题者偏爱。据笔者不完全统计，近十年的全国高考中, 此类问题（包含最值）每年不少于10题，2013年多达19题，更有不少省份每年以这类问题为压轴题。但教学中我们也发现有相当一部分学生因这类题目条件隐晦、变数较多、关系复杂、计算繁琐，往往感到心中无数，甚至有些不知所措，有的学生还由此产生恐惧情绪，造成解题的心理障碍。下面将通过近几年相关高考题的分析来说明，解析几何中“范围”问题的求解其实也是有规可寻、有据可依的。一、构造有关量的不等式, 通过解不等式求范围解几中的范围问题很多是转化为不等式来处理的，常规思路是看到“范围”，马上联想“不等式”，“不等式”从何而来？其依据是什么？由此可知解题的关键是寻找“不等源”。12013新课标全国卷 已知点A(1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线yaxb(a0)将ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A(0，1) B. C . D.解析 ：易得ABC面积为1，1）当直线yaxb分别交边AB、BC于D、E时，由得，又yaxb与x 轴交于，结合图形与， .a0，0b，2）当直线yaxb分别交边AC、BC于D、E时，同理易得点D横坐标，点E横坐标，由）= 得：，故，综上，故答案为B.点评：题设0显然是一个“不等源”，由面积相等将用表示，但仅限于此，只能得到b.故选B.2、2007全国2理在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围解：（1）（2）不妨设由即得设，由成等比数列，得，即由于点在圆内，故 由此得所以的取值范围为点评：按常规思路求得的表达式后需知的范围，“圆内的动点”就成了“不等源”。3、2009全国卷理 如图，已知抛物线与圆相交于、四个点。 （I）求得取值范围；解：（I）将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得（）由题意，方程（）有两个不相等的正根即可.故易得.点评：本题通过联立方程得一新的一元二次方程，由对称性知抛物线与圆相交于四个点等价于该方程有两个不等正根，故两不等正根就是本题的“不等源”。二、构造有关量的函数式, 转化为求函数的值域相当一部分的解几范围问题是转化为求函数的值域，目标函数的得出是关键。4、2011上海文已知椭圆（常数），是曲线上的动点，是曲线上的右顶点，定点的坐标为（1）若与重合，求曲线的焦点坐标；（2）若，求的最大值与最小值；（3）若的最小值为，求实数的取值范围.解： ，椭圆方程为， 左、右焦点坐标为。 ，椭圆方程为，设，则 时； 时。 设动点，则 ，又当时，取最小值， ，解得。点评：本题的（2）、（3）两小题都是用距离公式建立的目标函数，再用配方求最值来处理。5、2011浙江理（第21题图）如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q，若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，依题意x10，y10，y20.设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则. 由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. 则y1+y2=2(k2+b)， y1y2=b2. 方法一： |b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）. 方法二：=|b|=|b|.当b0时，=b=+22；当b0，于是k2+2b0，即k22b.所以=2.当b0时，可取一切正数，的取值范围是（2，+）. 方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.=+=+2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是（2，+）. 点评：本题首先用相似三角形性质将转化为，方法一直接利用基本不等式显得简捷明了，相比之下方法二和方法三则繁了不少。解题时如何选择合适的方法，这取决于各人的领悟和喜好，但多做、多练多订正，纠时反思、错中悟理是必须的，解题能力的形成就是在失败中总结、在挫折中提高的过程。6、2007辽宁理已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆（点为圆心）（I）求圆的方程；（II）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点为，求的最大值和最小值解：（I）圆的方程为（过程略）（II）设，则=在中，由圆的几何性质得，所以，由此可得则的最大值为，最小值为点评：考虑到CE=CF=4，用数量积的定义将转化为是比较自然的，波及到圆上动点引入辅助角也是常规之举三、根据几何直观建立不等关系解几问题本质是一个几何问题，只不过处理问题的手段不同罢了。因此将解析几何中的“范围”问题回归到几何中借助图形直观，采用数形结合是一种积极的思维方法。对于圆、椭圆、双曲线、抛物线等它们的自身都包含了一些不等关系。如椭圆的长轴长大于短轴长，也大于焦距长，双曲线的实轴、虚轴长小于焦距长；它们的离心率都有一定的范围；对于椭圆、抛物线，当点位于其内部或外部时，都满足一定的不等关系。另外，圆锥曲线上的点的横坐标或纵坐标是有界的，因而也可以根据它的有界性建立不等关系。72007江西已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A B C D解：由已知，以F1F2为直径的圆在椭圆内部，故，从而， ，即，故选C。点评：这里充分利用了圆和椭圆的几何特征，由知点M在以F1F2为直径的圆上，总在椭圆内部表明圆半径小于椭圆上的点到原点的最小值：即。8、2009重庆卷理已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ） ABCD【解析】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如图所示，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它部分的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得令由同样由与第二个椭圆由可计算得综上知 点评：本题看似分段函数题，实质是解几问题。利用图形直观，一目了然。9、2010江苏卷在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是_解： 因圆半径为2，由已知圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，的取值范围是（-13，13）。点评：本题考查了圆与直线的位置关系，类似的问题都可转化为圆心到直线的距离来处理。 例如若把本题改为：有且仅有三个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则。例如若把本题改为：有且仅有二个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则。102013重庆卷 已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A5 4 B. 1 C62 D.解析 如图，作圆C1关于x轴的对称圆C1：(x2)2(y3)21，则|PM|PN|PN|PM|.由图可知当C2，N，P，M，C1在同一直线上时，|PM|PN|PN|PM|取得最小值，即为|C1C2|135 4，故选A.点评：圆外一点和圆上一点的距离常转化为圆外一点和圆心间的距离，涉及两个圆的最值作一个关于某直线对称的圆是常规技巧，故|PM|PN|的最小值就变为求|P|PC2|的最小值，