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三次样条插值(Cubic Spline Interpolation)及代码实现(C语言)样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式，介绍一下三次样条插值的原理，并附C语言的实现代码。1. 三次样条曲线原理假设有以下节点1.1 定义样条曲线是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：a. 在每个分段区间（i = 0, 1, , n-1，x递增），都是一个三次多项式。b. 满足（i = 0, 1, , n ）c.，导数，二阶导数在a, b区间都是连续的，即曲线是光滑的。所以n个三次多项式分段可以写作：，i = 0, 1, , n-1其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。1.2 求解已知:a. n+1个数据点xi, yi,i = 0, 1, , nb. 每一分段都是三次多项式函数曲线c. 节点达到二阶连续d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。插值和连续性：, 其中 i = 0, 1, , n-1微分连续性：, 其中 i = 0, 1, , n-2样条曲线的微分式：将步长带入样条曲线的条件：a. 由(i = 0, 1, , n-1)推出b. 由(i = 0, 1, , n-1)推出c. 由(i = 0, 1, , n-2)推出由此可得：d. 由(i = 0, 1, , n-2)推出设，则a.可写为：，推出b. 将ci, di带入可得：c. 将bi, ci, di带入(i = 0, 1, , n-2)可得：端点条件由i的取值范围可知，共有n-1个公式， 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。 选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。a. 自由边界(Natural)首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即。具体表示为和则要求解的方程组可写为：b.固定边界(Clamped)首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出将上述两个公式带入方程组，新的方程组左侧为c. 非节点边界(Not-A-Knot)指定样条曲线的三次微分匹配，即根据和，则上述条件变为新的方程组系数矩阵可写为：右下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响：1.3 算法总结假定有n+1个数据节点a. 计算步长(i = 0, 1, , n-1)b. 将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程c. 解矩阵方程，求得二次微分值。该矩阵为三对角矩阵，具体求法参见我的上
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