（应用数学专业论文）限制与附加信息下未定权益的平方套期保值.pdf

摘要 金融数学是当今数学最重要的应用领域之一 受到国际金融界和应用数学界的高 度重视 它通过建立数学模型 利用数学工具 如随机分析 随机控制 偏微分方程 最优化理论 来揭示金融学的本质 加深对金融市场的了解 它的理论不仅丰富和发 展了现代金融理论 而且也沟通了各个数学分支与金融学之间的联系 对数学的发展 起了推动作用 未定权益的定价和套期保值又是金融数学的一个中心问题 对它的研 究有助于更好的揭示金融市场的规律 防范金融风险 本文主要研究了两类非标准市场 限制信息和附加信息市场 中的平方套期保值 问题以及跳扩散模型下的期权定价问题 分析了不同信息市场的完备性 无套利性 等 价鞅测度之间的关系 讨论了附加信息市场中的均方有效前沿问题 主要内容如下 建立了限制信息市场模型 分析了两类不同信息市场的完备性 无套利性以及极小鞅 测度之间的关系 建立了股票价格的跳扩散模型 在此模型下给出了四种不同情形下的风险最小套期保 值策略 a 无信息成本时完全信息下的风险最小策略 b 无信息成本时限制信息 下的风险最小策略 c 有信息成本时完全信息下的风险最小策略 d 有信息成本 时限制信息下的风险最小策略 在附加市场信息是由有限个不可达未定权益来刻画的模型下给出了混合均方套期保值 策略 研究了均方有效前沿问题 得到了均方有效解的显式表示 在跳扩散模型下 通过测度变换 利用鞅定价方法得到了易于计算的离散最大值期权 与重置期权的定价公式 关键词 限制信息附加信息风险最小套期保值均方最优期权定价 a b s t r a c t m a t h e m a t i c a lf i n a n c ei so n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta p p l i c a t i o na r e a so fm a t h e m a t i e sa n dr e e e i v e sh i 曲a t t e n t i o nf r o mi n t e r n a t i o n a l 矗n a n c ea n da p p l i e dm a t h e m a t i s c o m m u n i t yt o d a yb yc o n s t r u c t i n gm a t h e m a t i c a lm o d e l sa n du s i n gn l a t h e m a t i c a lt o o l s s u c ha ss t o c h a s t i ca i l a l y s i s s t o c h a s t i cc o n t r o l o p t i m i z a t i o n p a r t i a ld i h 色r e n t i a le q u a t i o n s 7m a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c sa n ds oo n m a t l e m a t i c a ln n a n c ea t t e m p t st or e v e a lt h e e s s e n c eo ff i n a n ea n df i n do u tm o r ea b o u t6 i l a 皿c i a lm a r k e t i tn to n l ve n r i c h e sa n d p r o m o t e sm o d e r n 矗n a n c i a lt h e o r y b u ta l s ob u i l d sab r i d g eb e t w e e nm a t h e m a t i c sa n d 矗n a n c e i tp u s h e sa p p l i e dm a t h e m a t i e sa h e a d p r i c i ga n dh e d g i n g 1 0 n t i n g e n tc l a i m s a r ea tt h ec e n t e ro fm a t h e m a t i c a l6 n a n c e r e s e a r c h i n gm a t h e m a t i c a lf i n a n c ei sc o i 卜 d u c i 陀t or e v e a l i n g6 n a n c i a lm a r k e tla wa n dd e c r e a s i n g 矗n a n c i a lr i s k h e d g i n gc o n t i n g e n tc l a i m si nt w on o n s t a n d a r df i n a n c i a lm a t k e t r e s t r i c t e di n f o r m a t i o na n da d d i t i o n a li n f b r m a t i o n a n dp r i c i n go p t i o n su n d e rj u i n p d i f f u s i o nm o d e l s a r ed i s c u s s e d m a r k e tc o m p l e t e n e s s a r b i t r a g e a n de q u i v e n tm a r t i n g d em e a s u r ea t e a n a l y z e di nd i 乳r e n ti n f o r m a t i o nm a r k e t a 1 8 0w ep r e s e n tt h ep r o b l e mo fp c i n ge x o t i c o p o n si nj u m p d i f h l s i o nm o d e l s t h em a i nc o n t e n t sa r el i 8 t e da sf o l l a w s r e 8 t r i c t e di n f o r m a t i o nm a r k e ti sc o n s t r u c t e d t h er e l a t i o n so fm a r k e tc o m d l e t e n e s s a r b i t r a g e m i n i m i z i n gm a r t i n g a l em e a s u r e1 e t r e e ng e n e r a l i n f o 瑚e ra n dr e s t r i c t e di i 卜 f j r m e ra r ep i o v i d e d u n d e rj u m p d i m l s i o nm o d e i s t h ee x p l i c i tf o r m u l ao fr i s k m i n i m i z i n gl l e d g i n gs t r a t e g i p s a r e 百v e na c c o r d i n gt of o u rd i h b r e n tc a s e s t h e s ec a s e sa r ec o m p l e i ca n df r e ei n f o r m a t 沁n c o m p l e t ei n f o r m a t i o nw i t hc o s t r e s t r i c t e da n df r e ei n 矗 r m a t i o n r e s t r i c t e d i n f b r m a t i o nw i t hc o s t i nt h em a r k e tw i t i la d d i t i o n a l i n f o r m a t i o nc h a r a c t e r i z e db yf i n i t en o n a t t a i n a b l ec o n t i i 卜 g e n tc i a i m s m i dm e a n v a r i a n c eo p t i m a l l e d g i n gs t r a t e g yi sf o r i l l l l i a t e d m o r e o v e r m e a n v a r i a n c ce 维 沁n tf r o n t i e rp r o b l e mh 1 i s u s s e d a n dt h es o l u t i t i l fm e a n v a r i a n ee e m r i e n ti sd e d u p i l l b yn l e a s u r ec h a n g ea n dm a r t i n g a l em e t h o d o m p u t a b l ep r i c i n gf o r m u l af o rd i s c r e t e m a x i m u mo p t i o n sa i l dr e s e to p t i o n sa r ef b r n l l i l a t e du n d e rj u m p d i 行h s i o ni n o d e l s k e y w o r d s r e s t r i c t e di n f o r m a t i o n a d d i t i o n a li n f o r i n a t i o n r i s k m i l l l m i z i n gh e d g i n g m e a n v a r i a n c eo p t i m a l p r i c i n go p t i o n s 第一章绪论 金融数学是一门新兴的交叉学科 尽管这门学科产生得的比较晚 但今天金融数 学无疑已经成为数学中最重要的应用领域之一 三十多年前金融数学很少被看作是一 个研究领域 但是在上个世纪七十年代 当布莱克 b l a c k f 肖尔斯 s c h o l p s m 和墨顿 m e r t o n r 把衍生资产的定价和套期保值问题与布朗运动以及i t j 积分联系 起来 一个新的充满活力的学科诞生了 著名的b l a c k s c h o l e s 公式使肖尔斯 s c h o l e s m 和墨顿 m e r t o n r 荣获1 9 9 7 年n o b e l 经济学奖并掀起了一场金融革命 使 得金融衍生物得到了蓬勃发展 与此同时金融市场也呈现出高度的不稳定 生与高风险 性 这使得学术界和实业界开始考虑如何评估衍生产品的风险性 如何加强对资产投 资组合的风险管理 正是这种实际需要极大地推动了金融数学的发展 架起了数学与 金融学之间的桥梁 也使得金融数学的研究日趋深入 对金融市场风险分析 预测与 监控起着越来越重要的作用 1 1 未定权益定价和套期保值的发展与研究 未定权益 c o n t i n g e n tc l a i m s 的定价和套期保值是现代金融数学的一个中心问 题 现在已经成为随机积分 随机控制 偏微分方程和最优化理论的一个重要的应用 领域 所谓未定权益 如期权 就是指一切未确定的 或然的 权益 其将来收益是随机 的 不确定的 一个p 时刻的欧式未定权益日的定价和套期保值问题简单的说 就是 在 时刻 未定权益的卖者向未定权益的买者的要价是多少 出售未定权益日后 卖 者要采取何种投资策略才能应付丁一时刻即将到来的随机支付 1 9 7 3 年 布莱克和 肖尔斯用无套利复制的思想给出了欧式看涨期权的的定价公式 其基本原理就是 如 果一个未定权益能够通过一个自融资策略来完全复制的话 那么复制策略的成本就应 当是未定权益的唯一的无套利定价 他们的这种思想随后被h a r r i s o n j m 和p l i s k a s r f 1 7 1 i h q q u m s 和w i l l i n g e r w 3 8 系统地阐述并建立了未定权益分析的两个 基本定理 市场是无套利的当且仅当等价鞅测度存在 市场是完备的当且仅当等价鞅 测度足唯一的 他们强调r 慨率理论和鞅理论的作用 也正是这种随机理沧使得金融 数学得到了充足的发展 他们的一个关键性的结论就是未定权益的价格应当是未定权 第一章绪论 益的期望 但这个期望应当是在等价鞅测度下的期望 在无套利的不完备市场中 由 于存在多个等价鞅测度 而且未定权益的将来收益在各个等价鞅测度下的期望都是无 套利价格 如何在这无穷多个无套利价格中选取一个最合理的价格 这就需要按照某 种优化标准选取特定的鞅测度 通常有三种最优性准则 极小鞅测度 f m e r h 和 s c h w z m 1 0 方差最优鞅测度 s c h w e i z e r m 3 5 最小相对熵鞅测度 川t t e l i i m 1 3 1 由于完备市场就是每个未定权益都可达的市场 则在完备的市场中我们总可以 用一个自融资策略来复制未定权益 因而可以完全对冲未定权益所带来的随机损失风 险 从而未定权益的卖者只要按照这个策略就可以达到完全套期保值 然而市场的完 备性是相当特殊的 大量的市场数据表明实际的金融市场大多是不完备的 既然用一 个自融资策略不能够完全复制不可达未定权益 因而套期者出售未定权益h 后 无 论投入多大成本 也无论采取何种投资策略 总存在一定的风险 就套期保值来说 此时一般有两种途径 一种是放宽约束日 峙 套期保值问题简化为用一个自融资 策略来近似未定权益的问题 当然这种近似依赖于风险度量的选择 于是导出了许多 最优问题 通常有三种主要方法 一种就是上复制策略 寻找一种成本最小的自融资 策略使得其终期财富以概率l 大于日 即上套期 s u p e r h e d g i n g 未定权益日 这个最 小成本也就可以作为未定权益的价格 它最早出现在b e n s a i d b 等 另一种方法 就是f i l l n l e r h 和s o i l d e r n l a m l d 8 1 引入的均方标准 也就是寻找一个自融资策 略使终期财富与未定权益的差的甲方的期望值最小 这种方法的缺点就是不区分终期 财富与未定权益的大小 为寻找最优策略 通常有两种方法 一种是直接利用 2 空 间的投影定理 另一种是通过坐标变换和概率测度变换 将问题转化为能够直接运用 k u n i t a w a t a n a b e 投影定理来解决的情况 当然使用投影定理的关键是要求收益空间 g f 0 是闭的 d e l b a e n f 等 4 给出了收益空间g 7 e 是闭的一个充要条件条 件 对于均方套期保值策略的构造 b o u l e a n n 和l a m b e r t o n d f 3 1 研究丁风险资 产价格是鞅的情形 d u f f i nd 和r i c h a l d s o n mf 6 l 研究s 为一般半鞅的情况 s c h w e i z e r m 3 1 和h i p p 1 8 研究s 是几何布朗运动的情形 s c h w e i 砷rmf 3 3 1 和s c l l i l m 2 剐研究了离散时间框架下的均方套期保值问题 闰海蜂f 4 9 j 研究了指数 半鞅模型f 的套期保值问题 在一般连续半鞅模型下r h p i n l 甜e r t 和s c h w 嘶r m f 25 p h a i i l h 2 2 给出了构造均方最优套期保值策略的方法 然而不连续半鞅的均方 第一章绪论 套期保值策略的构造问题 目前仍是一个悬而未决的问题 为克眼第二种方法的缺点 f 6 1 1 m p r m 和l e u k e r t p f 9 1 提出了不足风险最小套期保值策略 m i n i m i z i n gs i l r t f a l l h 戡l g i n gs t i a 诧g y 标准 寻找一个自融资策略 使得 日一b 用一个损失函数 1 0 s 8 f u n c t i o l l 加权后的期望最小 即如下的优化问题 m mz h 一 f 为一选定的损 失函数 套期保值的另一种途径就是放宽自融资约束 寻找可容许策略 即1 h 使得风险最小 此时一般是以成本过程差的平方的条件期望作为风险度量 即如f 优 化问题 i n i n e g l a 2 乃 o 曼t t 它是由f j l l m e r m 和s o n d e r n l a n n d 8 首次引入并成功地解决了折现价格为局部鞅的市场模型中的套期保值问题 但是 在一般的半鞅模型下 风险最小套期保值策略并不一定存在 所以s c h w z e r m f 2 9 1 又提出了局部风险最小套期保值标准 f j l l m e r h 和s c h w e i z e r m 1 0 证明了局部 风险最小策略存在的充要条件是 存在f s 分解 随着研究的深入 非标准期权的研究特别是各种变异期权的定价研究 带摩擦市 场 如有交易成本 税收 投资约束等等 的期权套期保值 最优投资问题的研究 不对 称信息市场的研究 主要集中在限制信息和初始附加信息市场中平方套期保值和终值 财富效用最大化问题 已经成为当今期权定价和套期保值研究的中心议题 s c h w 毹z c r m 1 3 2 研究了限制信息下的局部风险最小套期保值问题 f r e y r 和r u n g g a l d i e r w j f 研究了风险资产价格仅能在离散的时间点上能够被观测到模型下的风险最小 套期保值问题 p h a m h f 2 3 1 研究了具有不可料漂移的扩散模型下的均方套期保值 问题 成海波f 4 1 讨论了有信息成本时限制信息下的风险最小套期保值问题 1 2 本文的主要工作及结构安排 现实的金融市场中往往是有摩擦的市场 是非标准的 一方面存在某些投资者由 于自身条件的限制 不能象一般投资者那样获得全部的市场信息 比方说那些偏远地 方的投资者有可能不能及时的得到与了解国家的一 些投资政策 建设规划 而一般的 投资者是了解的 他们可能仅仅知道风险资产的价格信息 这就造成了投资者信息不 全另一方面市场中确实存在某些消息灵通人士 他们利用自身的有利条件能够得到 一般投资者所不能够得到的内部信息 比方说证券交易所的工作人员可能知道风险资 产的价格波动的范围 能够比 股的投资者早知道其他人的投资策略等 我们知道市 3 第一幸绪论 场的完备性 市场风险的对冲 套利机会的获取与市场信息是紧密相连的 因而在不同 的信息下来研究金融市场更加贴近金融实践 2 0 世纪8 0 年代以来期权获得迅速的发 展 许多变异期权在满足现实需要的同时也丰富了可用于风险管理的金融工具品种 大量存在于现实的金融市场中 因而对它们的定价研究具有比较重要的现实意义 基于上述需要 本文研究了限制信息与附加信息下的平方套期保值问题以及跳扩 散模型下变异期权 e x o t i co p t i o n s 的定价问题 主要内容有三部分 一 限制信息下 的风险最小套期保值问题 二 附加信息下的平方套期保值问题 三 跳扩散模型下 变异期权的定价问题 具体内容及安排如下 第一章回顾了未定权益定价和套期保值的发展历史和研究现状 第二章研究了限制信息下的风险最小套期保值问题 主要有二部分内容 一是讨 论了限制信息市场的完备性无套利性以及两类不同信息者市场的极小鞅测度之间的关 系 二是在价格过程服从一个跳扩散模型的假设下 讨论了有信息成本和无信息成本 情形下的不同信息者的风险最小套期保值问题 给出了最优策略的明确表达式 第三章研究了有附加信息市场中的均方套期保值问题 在附加市场价格信息由仅 能在初始时刻可交易资产来刻画的模型下 给出了混合均方最优套期保值策略的显式 形式 讨论了均方有效前沿 m e a n v a n a n c ee f f i c i e n tf r o n t i e r 问题 给出了均方有效 解 m e a n v a r t a n c ee 侬c i e n ts o l u t i n 第四章主要讨论跳扩散模型下的定价问题 通过测度变换 利用鞅定价方法给出 了跳扩散模型下的离散最大值期权和重置期权的定价公式 第二章限制信息市场中的风险最小套期保值 本章将讨论限制信息市场中的风险最小套期保值问题 着重给出两类不同信息市 场的无套利性 完备性以及最小鞅测度之间的关系 并在跳扩散过程模型下给出了无 信息成本和有信息成本情形下的不同信息者的风险最小套期保值策略的显式表示 2 1 引言 未定权益的套期保值问题是现代金融数学的中心问题之一 在完备市场中 该问 题已经被完美的解决了 然而在不完备的市场中 总存在不可达未定权益 无论最初成 本有多大 它总不能通过自融资策略来完全复制 任何套期保值策略都存在或多或少 的风险 为比较这些策略 各种优化标准被提出和研究 风险最小套期保值就是其中的 一种 风险最小套期保值标准就是以可容许策略 成本 的条件均方差作为风险度量 由f 6 1 1 m e r i 和s o n d e r m a n n d i 8 1 首次引入并成功地解决了折现价格为局部鞅的市 场模型中的套期保值问题 然而他们解决的是无信息成本时完全信息的情形 这当然 只是一种理想的市场模型 现实的金融市场中往往并非如此 一方面有的投资者由于 条件的限制并不能够获得全部的市场信息 另一方面市场信息的获取并不经常是免费 的所以对这种市场的研究更有现实意义 并且早已引起了人们的重视 s c h w e i z o l m 3 2 i 研究了限制信息下的局部风险最小套期保值问题 n e y r 和r m n g g a l d i e r w j 1 1 研究了风险资产价格仅在离散的时间点上能够被观测到模型下的风险最小套 期保值问题 p h a m h 2 3 研究了具有不可料漂移的扩散模型 f 的均方套期保值问 题 w a n g h u n f a 4 0 j 也研究了有支付过程的局部风险最小策略问题 杜立金等 4 2 讨论丁保险合约的局部风险最小套期保值问题 成海波 4 1 讨论了有信息成本时限制 信息下的风险最小套期保值问题 但他并没有给出具体的最优策略本章也将讨论这 个问题 与e 述不同之处在于一1 讨论了两种不同信息者市场的完备性 无套利性 以及最小鞅测度之间关系 2 模型是跳扩散模型 3 在有无信息成本和信息是否 完全的情况讨论丁风险最小套期保值问题 完全的情况讨论丁风险最小套期保值问题 尤其是给出了具体的最优策略表示式 尤其是给出了具体的最优策略表示式 第二章限制信息市场中的风险最小套期保值 2 2 限制信息市场 设 f 2 1f p 是一个完备的带流概率空间 户 五 o c f 0 略集 在上述带流概率空间上定义如下的一个金融市场 设s 是 q f j 户 p 上的局 部有界的d 维半鞅 用它来表示市场中d 种风险资产的价格变化 还假定市场中存在 一种无风险资产 其价格用来b3 表示 为简单起觅 本章中总假定 日1 l 亦即假 定s 是风险资产的折现价格 同样假定市场参与耆的市场投资行为仅基于他所获得 的有效市场信息 用五表示到f 时刻为止普通投资者所获得的有效市场信息 假定 上述市场中除了普通投资者之外还存在另外一类投资者 他们所获得的信息不如普通 投资者那么多 我们称这类投资者为限制信息者或者不完全信息者 更为确切地就是 假定这类信息者所获得的信息不是由芦来表示 而是由一个较小的盯一域流g 来表 示 其中 9 瓯 o t r 芹c 岛c 五 弗 o k t 表示由价格过程s 生成的盯一域流 这类信息者的市场称之为限制信息市场 或者不完全信息市场 注 对9 的假设有明显的合理性 一方面市场中确实存在投资者由于条件的限制 不能象普通投资者那样获得全部的市场信息 他们只能获得有限制的信息虽c 五 另一方面 如果投资者不能获得风险资产以往的价格信息 一般说来不会进行投资 故设 c 鲺也是合理的 2 3 完备性和无套利性 众所周知 市场信息集是构成金融市场的要素之一 信息集 发生改变 市场也 会同时发生变化 在其它情况皆相同的情况下 这种不同信息对市场的完备性 无套 利性有何影响 是一个值得关注的问题 本节将就此展开讨论 对于h 厂 g 我们给出如下的定义和记号 6 第二章限制信息 甘场中的风险最小套期保值 格过程所张成稳定子空间正交 因而也与自身正交 所以有五一而 0 勿是一个 碍可测的随机变量 问题得证 口 2 4 风险最小套期保值策略的构造 本节将假设带流概率空间 q f p 还满足条件 焉屉平凡的 即仅由p 一 和p i 集组成 然后在随机点过程模塑下按有无信息成本分别给出两类不同信息者 的风险最小套期保值策略 2 4 1 模型假设 考虑仅有两种可交易资产的金融市场 假设风险资产的价格过程s 由两部分构 成 一部分在连续不断的上下波动 可用一个布朗运动来表示 另外一部分仅在一些 离散的随机点乃 死 t 上发生跳跃性变化 我们将用一个随机点过程来模 拟 咒表示因一些重大事件发生而引起风险资产价格大幅度突变的时间点 更为精 确具体的 假定s 是如下随机微分方程的解 蝎 一 u 幽一 d 哪 船 1 1 昆 墨 互 其中 是重随机泊松过程 即e o x 过程 珏 s c 一 是有界函数 况 是独立的随 机变量序列 用磊来刻画第n 个突发事件发生时 投资者因股价突变而得到的回报 率 除此之外还将作如下一个技术性的假设 考虑一个适应的马尔可夫过程x 和一个连续函数a 7 丑 兄 它的值域 为盼1 a 2 o a 1 a 2 a 1 沁为常值 除 五 o r 芹 o t 外 还考虑 由 生成的自然仃一域 j o c c t 和由下式定义的滤子 咒f 0 t 丁 五v 仃 o 墨ss 显然爿 含有过程x 的所有将来信息 更进一步地将作如下更为精细的假设 假设1 n 是强度为a 也 驱动过程 d r i v ep r o e s s 为 y 的c o 过程 即 是有 只饨 强度a t 置 的点过程 待别地由点过程理论知1 圭 t j a x 义 r l o 第二章限制信息市场中的风险最小套期保值 是 只咒 鞅 显然 假设1 表明给定状态变量的所有将来信息 足一个条件泊 松过程 其条件强度为a f x c 另外还应当看到 假设1 有比较合理的经济学解 释 a t x t 相应于新的蘑大的经济信息的市场吸收率 假设市场吸收率是由价格外 的随机因素影响是合理的 又一般来说 市场的吸收率与时间是有关系的 所以假设 了a 五 对时间的依赖性 假设2 x 是一个扩散过程 考虑一个与i i t l 正交的布朗运动w t 一个连续函 数n 和卢使得x 是下列随机微分方程的唯一解 c r x c d 五 出 p x r d i 货 对于独立的随机变量序列 磊 也作如下的假设 假设3 磊 是独立同分布的随机变量序列 共同的分布为v z 与 x 是 独立的并且满足 一1 c 1 2 4 2 7 z d o 2 4 3 口2 z 2 出 2 4 4 注 2 4 2 表明乙是p 一 s 大于一l 由随机指数公式知 这个条件保证了价 格过程s 是严格正的 2 4 3 表明磊的期望为 2 4 4 表明磊是方差有限的随 机变量 在上述假设下 首先考察价格过程的特点 命题2 4 1s 是一个尸一平方可积鞅 证明 首先由随机指数公式有 s 岛e 怠l 磊 n 甚i 1 磊 e 卜晶 e x 默 州s s 一 d 州一 z 2 珏 s s 2 c f s 岛 篷t 1 磊 慨i z u s 一 d 圳一 2 呱s 只一 2 如 岛 篷l 1 磊 嘲 u s 一 d 圳一 u s 只一 2 如 j 0 锄x p 塾 引 唧 卜 删一黔 s 一 其次 我们证明只是一个p 一局部鞅 用p r 表示由纯跳过程r 导出的 o 州 月上的随机测度 且满足 对于任意的 蔓三童 垦型篮皇堕堑主堕旦堕塑丛堡堕墅墨堕 一 1 2 函数w e2 o t r r 都有 i 厂 厂 渑 尸凡 如 出 w u 霸 l r 翊 2 a 5 j0j 一 n 1 由此定义知r 有 尸 五 局部特征 a f 五 如 即定义了一个符号随机测度q 8 q 凡 出 d 2 p 8 d c d z 一 d z a 壮 x r d o 因此对于任何一个使得积分譬 茗1 z i y 如 入 t c 出p n s o 明 兄 r 的可料函数w 都有 露 w u s p d s 出 是一个p 局部鞅 因而有 2 p 8 d s d z q r d sx 出 一v 如 a s x e l 幽 矿 珧 一z e 训 砸川如 名孽r d s d 2 4 6 有限i 2 最后一个等式是因为 2 4 3 所以冗是一个p 局邵轶 为了证明s 是一个平方可积鞅 我们首先来计算r 和5 的平方变差过程 因为曰是二次纯跳过程 由i t 6 公式知 p t 批 碍 z z 纸 善 硝 因为 臆d 忌是局部鞅 而且由胪的定义知 叁辨z e 户胪 吡 tl 二 q r q s x d 如 t 二矛以d m s x s d s z e 如即 卅 小 驯 e e e e r r厶r凡广凡 第二章限制信息市场中的风险最小套期保值 因此可得 肌z 枞 s 珊 卜讽 ze 粕m 删z 是尸局部鞅 故陴 嗣一厶0 2 a s 五 如是一个局部鞅 所以由条件平方变差的定义知 一 r r f 口2 a s x d s j 0 r s s a 2 a s 磁 s 0 5 皇u 2 p s 一 d s j 0 最后我们证明s 确实是一个平方可积鞅 由 o c t 下的定义可知 其中 e s e e 母 咒 玎 厶e f d 厶兰霹薹e e x p z 喜t ge z p c 眠 n w 厶兰霹 ee x p 2 l g 1 磊 lp 眦 n 肛 1 n 0 l l j 致垒e x p 2z 牲 s s s d 川一z 2 珏2 s s d s 由于 磊 是独立同分布的随机变量序列 所以有 e e x p z 喜t sc 磊 垂e c c t 十z 2 c 一2 对于任意的o t 于茎丁 定义随机变量a t 于 r 于 a 亍 兰7 s x 如 故 址岛熹糕婚x p 以 0 1 啪 叉因为a u a 2 i 所以有 厶 s 0 2 e x p 仃2 a 2 t o o 2 4 7 2 4 8 第二章限制信息市场中的风险最小套期保值 又很明显地有e k f 因而可得e s 2 c 所以价格过程的条件f 方变差过程 满足 e s s c e z c r 2 a s 也 霹一u 2 s 只 d s a z e g 幽 所以s 是一个尸一平方可积鞅 命题得证 口 2 4 2 无信息成本时完全信息下的风险最小套期保值 现在讨论前述模型下的套期保值问题 因为市场是不完备的 因而不得不按照一 定的优化标准来处理套期保值问题 在假设1 一3 下 由前一节知s 是一个平方 可积鞅 这将很适合讨论甲 方套期保值问题 本节将讨论无信息成本时完全信息 下 的风险最小套期保值问题 如果用矾 聊分别表示 时刻投资者在风险资产的投资份额和无风险资产的投资 份额 用q 表示到 时刻为止的累积成本 用k 表示投资者在t 时刻的财富值 则 对于任意的信息集 都有如下定义 定义2 4 2 称妒 口 为乒投资策略 如果毋是歹可料的 是乒适应 的且满足e 片毋 d 2 定义2 4 3 2 9 称一个策略为日一可容许的 如果满足吩 h 注 i 由于本章考虑风险最小套期保值问题 所以后面的策略指的都是可容许策 略 i i 由p h a m h 2 2 知吼 k 一哦 并且 秽 v 与 毋 e 相互唯一确定 因此 在本章后续部分将交替使用它们来表示交易策略 定义2 4 4 3 2 j 一策略 秽 v 的了一风险过程r t 秽 e 定义为 r 秽 e 兰f c 一 j 2 z 下面考虑一个丁一未定权益日 岛 的套期保值问题 由于价格过程的马尔可夫 性 因此可以如下定义 e 阻 曲 矗 兰州t s 卜 h 1 4 第二章限制信息市场中的风险最小套期保值 i t 曲 坼 甘 岛 t q p 2 g 札2 0 s 2 4 9 i a t 五 j 芸阶 f s 1 x 一九 t s x c 如 o f 仇 卵 lk e 日 五 柙一d 何 s t 巩一丽 2 4 1 0 定理2 4 6 设 是积微分方程 2 4 9 的唯一解 则对任意的未定权益h 岛 l 2 j d 都存在唯一的厂一风险最小套期保值策略妒 试矿 2 4 1 1 1 其中 t s c 一 z s s 一 1 z k 一 s s 一 叉 z v d z a s j s d s 证明 因为e 旧 岛 正 兰 s 义t 是c 2 连续函数 由i t 6 公式可知 t s 五 s 0 籼 z t 如 z k d t z k d s z n 州s s j z d x 一 r j z d s x f t f s s x 一 s s 一 盖 一几 s s 一 五 s 0 s 岛 亿只一u 岛s 一 m l 2 届d 孵 豢黼倒篙 第二章限制信息市场中的风险最小套期保值 十胁m s 圳 如 z e 瞰帆 1 刊 剐叫埚一 妒 地 又由p 和口 的关系式 2 4 6 可知 f 厂 只一 1 k 一 觚一 兄 艄如珧 0j 一 陋 s s 一 1 又 一 s s 一 兄 矿 出 如 j0j 一 r 十 陋0 只一 1 一 s 只一 一 d 2 a s x d s 2 4 1 2 又由定义可知矗 f 五 是一个鞅 所以在其分解式中的可料有限变差部分应为o 因而可得危 t s 五 满足积微分方程 2 4 9 此时显然有 九 t x t h o s 0 弱 s 一乱 s 只一 d 州 p d 孵 j 0j o 2i f 佃 s j 0j 一 1 z k 一 s 只一 义 l q r d sxd z 由于此时很难得到日 曲 的k w 分解的具体形式 我们将采用 2 4 1 0 式来求 具体的风险最小套期保值策略 为此必须计算 日 s s s 日 w 1 t o 岛 蜀 z 亿s s 只一 d 孵 上 d h 1 rj 0j 0 ze 瞰蛹 1 刊 砒 蚓以如 蚴 忆只一札 s s 一 d s 2 4 1 3 下面计算 日 月 一 一方面由于r 是纯跳的 w 1 2 是连续的 所以 i i 1 露 t o w 2 r o 另一方面众所周知若9 f u z 鲍 t u z 是五一可料函数则有 l i g s u 曲 幽xd 曲 1 il i 二啦如 曲矿t c t xd 嘞 z 上 一 s s u z d z a s r s a 第 章限制信息市场中的躁l 垒量尘奎塑堡鱼 记袁 兰菇j f s s 一 1 g x 0 一h 5 s s k 9 8 d s 彘 于是有 皿冗 t 豆 z 硐r d s 出 c s 0 x 十z 几只一 一 冀一 d 州 小孵 ze 矿恤珧 i z a j 埚印刊 剐叫埚托凇州m 珊 又由前知条件平方变差过程 s s 露口2 a 一 g 一 霹一u 2 s s 一 d s 所以有 f 玩 瓣 鬣高省黼 it e 阻 曲 五 一 f 五 其中 t 一 x t ej 茗 s s 一 1 z x 一九 s s 一 x z d z 入 s x d s 口 2 4 3 无信息成本时限制信息下的风险最小套期保值策略 本节将考虑无信息成本时限制信息下的风险最小套期保值问题 假设投资者仅只 能获得价格信息芦5 而且信息是完全免费的 他在t 时刻的投资行为只能由有限制的 信息牙 来确定 也就是如下的优化问题 对于一个 萼一可测的随机变量日 寻找一个h 可容许策略眵 秽 使得 5 一风 险最小 对于 q p 上任意的随机过程v 用 芦 矿 或 p 芦 来表示u 在滤子 5 上的可选 或可料投影 扩 声来表示u 在滤予 5 上的可料对偶投影 下面不加证 明地引用s c h w i z m 3 2 中的一个结论 引理2 4 7 f 3 2 如果群一可测的未定权益嚣的 风险最小套期保值策略为 妒 口 y 则日的 一风险最小套期保值策略 口 y 由下式给出 让喘彩 2 l 玩 曰 k 芹 更进一步地 如果 s s 是 5 一可料的 并且t l s s 关于勒贝格测度绝对连续 密 度过程为玑则有t j 谢 1 7 第二章限制信息市场中的风险最小套期保值 定理2 4 8 设未定权益h s l 2 p 且日 曲 的f 一风险最小套期保值策 略为妒 t 飞则h 的 蟠一风险最小套期保值策略9 秽 1 由下式给出 痧 s i 业堕二 型 苎二垫璺二型茎蛀 e 口2 a 2 0 s t 一 譬 一 k e 陋 t k 芹 其中 t k s x 如定理24 6 证明 从f 洲m e r h 和s o n d c r m a n n d 8 可知 财富过程眈 e 阻 曲 歹芋 利用条件期望的性质可得 玩 e e 日 函 五 霄 e m t 五 霄1 下面来找1 用u 表示d s s 关于勒贝格测度的密度过程 即仇 口2 a 置 鲜 群 s s 一 从引理2 4 7 知 痧 警 鬻 旧a 下面确定 2 4 1 6 中的可料投影 对于任意的一个连续函数9 o 卅 兄 x 兄 月定 义过程四兰9 f s 一 五 首先计算 一 声 四 ost 丁 考虑条件期望刀 w 碍 众 所周知它有一个右连续形式y 而且除了过程 发生跳的时间点矗外 y 还是连续 的 由r o i l g e 溉l 和w i l l i a m s d 2 6 i 知y 与 5 w 是无区别的 用 5 w 表示 h 8 w 1 的左连续形式 因为重随机泊松过程 是拟左连续的 且对每一个 停时1 有 m o 因而对每个停时r 都有 扣芦 w 扣尹 驴 t 由可选预报的定义知对每个 矸 0 5 t 17 1 停时7 下列等式成立 e 职1 e 和 3 w l 1 结合上述两式可得对于每个可料停时r 都有 f 畔l k p 芦 w 一1 i 第二章限制信息市场中的风险最小套期保值 由于 5 一是 芹 r 适应和左连续的过程 当然是可料的 因而 p 8 叼 一 和可料投影 p 尹 啤是无区别的 所以由 24 1 6 得 二 e s t 一 t a 一 y t 5 t 2 s 一 九t 曩 一 e a 2 a t 五 踞 瑾u 2 t 一 砭 一 一 e t 一 五 s u 2 t 一 翟 e 口2 a f y 十l 2 t s 一 j 譬 一 所以定理成立 口 注 利用非线性滤波理论 我们可以计算出条件期望e b t x s 耳 从而得到 最优策略 详情参看n e y r 和r m n g g a l d i e r w j 1 2 2 4 4 有信息成本时完全信息下的风险最小套期保值策略 现在考虑有信息成本的情形 也就是说投资者要知道市场信息 必须支付一定 的费用 这一节考虑有信息成本时完全信息下的套期保值问题 除了价格过程s 服 从假设 2 4 1 外 假设还存在一个增过程b b o 呸nb 6 s d 厶 其中 l 三t t 是一个强度为f t 的泊松过程 6 f 是一个非负有界函数 我们用增 过程b 鼠 o c t c r 来刻画投资者的累积信息成本 并且假定厶与泊松过程j v 不同 时发生跳跃 因而陋 t o 由于信息获取是有成本的 因此 时刻的财富k 应该 是投资者在f 时刻支付完信息成本后所拥有的财富 从而 州2d q 执d s f 一慨 眦1 7 1 g c k 一矗口 d 鼠 夙 g o 则此时定义策略 秽 g 的风险过程为 r t t c e 习一g 2 五 rr e 翰一k f 一 d s u b r b t 2 五1 2 41 8 j 引理2 4 9 4 1 给定b 若策略 秽 p 是 一风险最小的 则其一定是均值自融 资 m e a ns e l f 6 n a t l p 的 下面给出一个有关风险最小套期保值策略的结论 本质上来源于成海波f 4 1 1 1 9 第二章限制信息市场中的风险最小套期保值 引理2 4 1 0 4 1 设累积信息成本过程为b 了1 一未定权益为日 l 2 只乃 若 日 正0 的k w 分解是 h b t v 掌t h lo t d s t m t 则日的厂一风险最小套期保值策略为p d 0 其中 差 州蹦 推论2 4 1 1 设风 e 阻 岛 五 则在定理条件下 策略为妒 0 d 其中 fo 瓣 1 反 e 阻 b 五 一砖毋 d 2 4 1 9 2 4 2 0 日的 一风险最小投资 证明 由 2 4 1 9 可得 e 日 b r 艿 馏7 骨 仇d 舰 p n s 2 4 2 1 j0 2 4 2 1 式两边同时与s 做条件平方变差 由于m 与s 正交 结论得证 口 接下来 把注意力放在如何求出风险最小套期保值具体表示式 由于价格过程s 和累积信息成本过程b 的马尔可夫性 因此可以如下定义 e 日 s b r 五 圭 t s t 五 工t 为便于数学处理 按照惯例约定 是c 印连续函数 首先假设下列积微分方程 24 2 2 的有唯一解 i 趣 口k s t 产 f s s m 8 s 义 1 一矗 s x l f 卢2 十a f x 詈陋 s 1 十 x l 一 0 只x 工 d 2 o 2 42 2 l z s x r l 了1 厅 s b r 定理2 4 1 2 设h 是积微分方程 2 4 2 2 的唯一解 则对任意的未定权益日 岛 l 2 p 都存在唯一的 风险最小套期保值策略妒 毋 c 玩 瓣 糯高裂釜器喾 r t x l 碗d 瓯 第二章限制f 寿息市场中的风险最小套期保值 其中 r 厂 f s x l 陋 s s 1 x l 一7 s s 一 l 出 a s x d s j oj o 证明 用p 表示由泊松过程上产生的一个由下式 2 42 3 定义的随机测度 对 于任意的函数w n f o 丁 r 都有 厂 s p l 矗 j 0 f 24 2 3 1 兀是l 发生第几个跳的时间 由点过程理论可知还可以定义一个随机测度铲 铲 巩 圭p d t 一f t 出 2 42 4 因此对于任何一个使得积分启 w u t j f t 出p ns 有限q o 7 r 的可料函 数w 都有 矗 u s 矿 d s 是一个p 一局部鞅 因为e 阻 s 丁 b 五 圭 x l c 是c 1 2 2 1 2 连续函数 由i t 6 公式可知 又r l t 5 i x z t d s z d 乙 z d 殳 z n r d l t 又f l o 岛 x o o d s k d x d s d l j