（应用数学专业论文）格值直觉模糊粗糙集模型研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 摘要 格值直觉模糊粗糙集模型是直觉模糊粗糙集模型的推广 格值直觉模糊粗糙集不 仅能够描述直觉模糊性 还能刻画不可比较性 关于直觉模糊粗糙集的研究 目前已 有的方法大多是用特殊的蕴涵算子构造直觉模糊粗糙近似算子 并讨论近似算子的结 构与性质 本文研究格值直觉模糊粗糙集模型及其性质 在已有研究结果的基础上 构造了格值直觉模糊粗糙近似算子 讨论了近似算子的公理化描述方法 通过引入格 上的直觉模糊蕴涵算子 讨论近似算子的结构和相关性质 具体取得了如下的研究成 果 1 讨论了格值三角模的基本性质 借助格值三角模建立了格值直觉模糊粗糙集 模型 给出了相关粗糙近似算子的基本性质 并给出了近似算子的公理化描述方法 2 借助剩余格上的乘积运算及蕴涵算子 建立了基于剩余格的格值直觉模糊粗 糙集模型 并讨论了近似算子的相关性质 本文的研究工作属于粗糙集基础理论研究 推广了相关研究文献的研究成果 对 于粗糙集理论及应用具有一定的理论价值 关键词 直觉模糊集 粗糙集 模糊粗糙集 直觉模糊粗糙集 三角模 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 i 页 暑 皇寡 置 詈墨置詈曼皇皇 孽 i ii l lt 一 盲 葺 皇量詈詈曼曼曼皇寡曩 a bs t r a c t l a t t i c e v a l u e di n t u i t i o n i s t i cf u z z yr o u g hs e ti st h ee x t e n s i o no fi n t u i t i o n i s t i cf u z z y r o u g hs e tm o d e l l a t t i c e v a l u e di n t u i t i o n i s t i cf u z z yr o u g hs e tc a l ld e s c r i b en o to n l yt h e i n t u i t i o n i s t i cf u z z i n e s sb u ta l s ot h e u n c o m p a r a b i l i t y t h ee x i s t i n gr e s e a r c h w o r k so f i n t u i t i o n i s t i c f u z z yr o u g hs e tf o c u s e do nt h ec o n s t r u c t i o n o fi n t u i t i o n i s t i cf u z z yr o u g h a p p r o x i m a t i o no p e r a t o r sb a s e do ns p e c i f i ci m p l i c a t i o no p e r a t o r sa n dt h es t u d yo ft h e s t r u c t u r e so fi n t u i t i o n i s t i cf u z z yr o u g hs e tm o d e l t h ep u r p o s eo ft h i sp a p e ri st os t u d yt h e m o d e l sa n d p r o p e r t i e so fl a t t i c e v a l u e di n t u i t i o n i s t i cf u z z yr o u g hs e t b a s e do nt h er e s u l t so f p r e v i o u sl i t e r a t u r e s i nt h i sp a p e r w ec o n s t r u c tt h el a t t i c e v a l u e da p p r o x i m a t i o no p e r a t o r so f i n t u i t i o n i s t i cf u z z yr o u g hs e t a n dd i s c u s st h ea x i o m a t i cc h a r a c t e r i z a t i o no fi n t u i t i o n i s t i c f u z z yr o u g ha p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s b ye m p l o y i n gt h ei n t u i t i o n i s t i cf u z z yi m p l i c a t i o n o p e r a t o ro nt h el a t t i c e t h es t r u c n l r ea n dp r o p e r t i e so fa p p r o x i m a t i o no p e r a t o ra r ed i s c u s s e d t h ec o n c r e t er e s u l t si nt h i sp a p e rs h o w sa sf o l l o w s i np a r to n e w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so fl a t t i c e v a l u e dt r i a n g u l a rn o r m s a n dc o n s t r u c t t h el a t t i c e v a l u e di n t u i t i o n i s t i cf u z z yr o u g hs e tm o d e lb yu s i n gl a t t i c e v a l u e dt r i a n g u l a r n o r m s a n dg i v es o m ep r o p e r t i e so fr o u g ha p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s a n dp r o v i d et h e a x i o m a t i cc h a r a c t e r i z a t i o no fa p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s i np a r tt w o b yu s i n gp r o d u c to p e r a t o ra n ds t r o n gi m p l i c a t i o no p e r a t o ri nr e s i d u a t e d l a t t i c e w ec o n s t r u c tt h el a t t i c e v a l u e di n t u i t i o n i s t i cf u z z yr o u g hs e tm o d e lb a s e do n r e s i d u a t e dl a t t i c e a n dd i s c u s st h ep r o p e r t i e so fa p p r o x i m a t i o no p e r a t o r s t h er e s e a r c hw o r ko ft h i s p a p e rb e l o n g st of o u n d a m e n t a lt h e o r yo fr o u g hs e t t h e r e s u l t so b t a i n e di nt h i sp a p e ra r ee x t e n s i o n so ft h ee x i s t i n gr e s e a r c hr e s u l t s i ti so fc e r t a i n t h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ef o rt h es t u d yo fr o u g hs e tt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o n k e y w o r d i n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e t r o u g hs e t f u z z yr o u g hs e t i n t u i t i o n i s t i cf u z z yr o u g hs e t t r i a n g u l a rn o r n l 西南交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留 使用学位论文的规定 同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授 权西南交通大学可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用 影印 缩印或扫描等复印手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 保密口 在年解密后适用本授权书 2 不保密 使用本授权书 请在以上方框内打 扩 学位论文作者签名 叟该 指导老师签名 詹屯厶 日期 7 j 已弛月fc 日 日期 加他如罗 西南交通大学硕士学位论文主要工作 贡献 声明 本人在学位论文中所做的主要工作或贡献如下 1 建立了基于完备格的由三角模所构造的直觉模糊粗糙集模型 讨论了近似算 子的相关性质 并给出了近似算子的公理化描述方法 2 建立了基于剩余格的直觉模糊粗糙集模型 并讨论了近似算子的相关性质 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是在导师指导下独立进行研究工作所得的成 果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰 写过的研究成果 对本文的研究做出贡献的个人和集体 均己在文中作了明确说明 本人完全了解违反上述声明所引起的一切法律责任将由本人承担 学位论文作者签名 斐琵 日期 加j 呜勺问l l i 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 研究背景和现状 第1 章绪论 1 1 1 研究背景 粗糙集理论是波兰学者z p a w l a k 1 2 3 4 于1 9 8 2 年提出的一种处理不确定性知 识的数学工具 能有效地处数据库中数据的约简 近似分类等问题 粗糙集理论的主要思想是利用已知的知识库 将不精确或不确定的知识用已知 知识库中的知识来近似的进行刻画 通过论域上的等价关系 对论域进行划分 把概 念理解为论域的子集合 对带有不确定性的概念 借助由等价关系对论域进行的划分 由所得的划分来近似的表达 并以此作为理论研究的基础 粗糙集理论对知识的这种 理解 使得它与其它的知识表示与知识发现的方法具有本质上的区别 它无需提供问 题所需处理的数据集合之外的任何先验信息 只通过对知识的简化与知识依赖性分 析 由已知数据导出决策规则 也正是由于这一点 使得该理论未能包含处理不精确 或不确定原始数据的机制 因此将粗糙集理论和其他处理不确定或不精确问题的理论 相结合 成为粗糙集理论发展的重要方向 模糊集理论是1 9 6 5 年由控制论专家扎德 z a d e h 首先提出的 它是研究模糊现 象的一种数学方法 该理论获得了迅速的发展 已经成功应用于国民经济的诸多领域 产生了巨大的经济社会效益 模糊集通过对对象关于集合的隶属程度近似描述模糊概 念 在实际应用中 模糊集的隶属函数多是由专家凭经验给出的 往往带有很强的主 观性 而粗糙集的近似算子是从所需处理问题的数据集合中直接获得的 相对比较客 观 因此将粗糙集理论和模糊集理论相结合所形成的模糊粗糙集 恰好集中了两种理 论的优点并且弥补了彼此的局限 因此成了粗糙集理论的一个重要研究方向 随着模糊集理论的发展 人们对z a d e h 模糊集进行了多种形式的推广 其中最有 影响的是a t a n a s s o v 提出的直觉模糊集理论 他在模糊集的隶属函数中添加了一个非 隶属度 这样对模糊性就有了更加细致的刻画 宜觉模糊集理论的为粗糙集理论的扩 充提供了新的方向 即直觉模糊粗糙集模型研究 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 1 1 2 研究现状 粗糙集最初的研究成果多是用波兰文发表的 因此当时没有引起国际学术界的关 注 2 0 世纪8 0 年代末至9 0 年代初 由于该理论在决策分析 模式识别和知识发现等 领域得到成功的应用 引起了世界各国学者的广泛关注 1 9 9 1 年p a w l a k 出版了粗糙集 的第一本专著 3 1 9 9 2 年 在波兰召开了第一届粗糙集理论的国际学术会议 1 9 9 3 年 在加拿大召开了第二届国际粗糙集理论与知识发现研讨会 1 9 9 5 年 国际计算机组织将 粗糙集理论列为新浮现的计算机科学的研究课题 1 9 9 8 年 国际信息科学杂志为粗糙集 理论的研究出了一期专辑 经过许多学者的不懈努力 粗糙集在理论上不断完善 在 应用上不断拓展 得到了迅速的发展 我国对粗糙集理论的研究起步于二十世纪九十 年代初 已经取得很多重要的有意义的研究成果 我国从2 0 0 1 年开始 每年召开以粗 糙集与软计算为主题的全国性学术会议 对于我国的粗糙集与软计算理论及应用研究 起到了很大的推动作用 随着对粗糙集理论研究的不断深入 将粗糙集理论和模糊集理论相结合的模糊粗 糙集理论是粗糙集理论研究的一个重要方向 d u b o i s 和p r a d e 于1 9 9 0 年共同发表的 1 1 1 2 是模糊粗糙集理论的代表性文献 同期对此问题进行讨论的文献还包括 n a k a m u r a 1 9 8 8 2 2 n a k a m u r a g a o 1 9 9 2 2 3 n a n d a 与m a j u m d a 1 9 9 2 2 4 k u n c h e v a 1 9 9 2 2 5 c o k e r 1 9 9 2 2 6 b a n e r j e e 与p a l 1 9 9 6 2 7 b o d j a n o v a 1 9 9 7 2 8 y a o 1 9 9 7 2 9 等 利用模糊集的分解原理 研究者们在p a w l a k 粗糙集理论的基础上对 模糊粗糙集进行了大量研究 在模糊粗糙集理论发展的早期 人们多用取大 取小算子来刻画模糊粗糙集的上 下近似算子 随着理论的发展 人们开始用t 模和蕴涵算子来代替取大 取小算子重 新刻画了模糊粗糙集模型 r a d z i k o w s k a 在文献 1 3 1 4 1 5 中对多种逻辑算子构成的模糊 粗糙集模型进行了深入研究 a t a n a s s o v 1 7 1 8 所提出的直觉模糊集理论是对z a d e h 1 0 模糊集理论的一种推广 随着对直觉模糊集理论深入研究 人们将模糊集理论中相关的概念扩展到直觉模糊集 中 如基于格的直觉模糊集 直觉模糊蕴涵 直觉模糊逻辑 直觉模糊集合间的相似 度 直觉模糊拓扑和直觉模糊集的公理化方法 1 9 3 3 3 4 等 直觉模糊集理论已经成 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 功用于决策分析和模式识别中 将直觉模糊集和粗糙集结合的直觉模糊粗糙集理论是目前的一个研究热点 n a n d a 和m a j u m d a r 3 5 c h a k r a b a r t y 3 6 j e n a 和g h o s h 3 7 分别独立证明了直觉模糊粗糙 集的上 下近似集是直觉模糊集 c o r n e l i e s 3 8 定义了直觉模糊近似空间中的近似算 子 在该定义下的直觉模糊粗糙集是p a w l a k 意义下粗糙集概念的推广 周磊和吴伟志 3 9 用直觉模糊集合的截集构造出直觉模糊粗糙集上 下近似算子 并建立了基于一 般的二元直觉模糊关系下的近似算子的公理化方法 我们注意到 目前关于直觉模糊 粗糙集的研究大多是讨论直觉模糊集的粗糙近似 对于格值直觉模糊集的粗糙近似问 题 相关的研究工作还很少见 1 2 本文研究的目标和内容 本文主要讨论格值直觉模糊粗糙集模型及其性质 借助格值直觉模糊粗糙集模 型 可以更好的描述信息系统中的不确定性及不可比较性 因此 格值直觉模糊粗糙 机模型的研究具有重要的理论意义 1 3 本文的内容和组织结构 首先介绍了经典粗糙集理论 并给出了近似算子的相关性质 介绍了对经典粗糙 集理论模型的某些扩充和发展 如基于一般二元关系的粗糙集模型 模糊粗糙集模型 和基于三角模的模糊粗糙集模型等 其次 通过引入格上的三角模 由格上三角模定义格上的蕴涵算子 由格上的蕴 涵和t 模来构造近似算子 并在完备格和剩余格结构上讨论了近似算子所具有的一些 性质 并初步给出了相应的公理化方法 对于以上内容 本文各章节组织结构如下 第一章绪论 主要介绍课题的研究背景 国内外研究现状和本课题的研究内容 组织结构等 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 第二章经典的粗糙集模型及其推广形式 主要介绍了经典粗糙集模型和近似算子 相关的性质 基于一般二元关系的粗糙集模型 模糊粗糙集模型和基于三角模的模糊 粗糙集模型等 第三章格值直觉模糊粗糙集模型 本章是研究的主体部分 给出了格值直觉模糊 粗糙近似算子的构造方法 并在特殊格结构上讨论了近似算子的相关性质 并初步给 出了相应的公理化方法 最后是对全文的总结 并对下一步的研究工作进行展望 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第2 章p a w ia k 粗糙集模型及其推广 2 1 预备知识 2 1 1p a wia k 粗糙集模型 设u 是我们感兴趣的对象组成的非空有限集合 称为论域 p a w l a k 粗糙集理论将 知识理解对对象进行分类的能力 因而可以通过等价关系描述 设r 是u 上的一个等价关系 u r 叫rl 工 u 表示r 的所有等价类构成的集 合 其中 x 足表示包含元素x u 的r 等价类 叫r 构成对论域的划分 称 r 为一 个p a w l a k 近似空间 简称为近似空间 令z u 当x 能表达成某些r 等价类的并时 称x 是尺可定义的 否则称x 是 r 不可定义的 r 可定义集是论域的子集且它可以通过知识r 精确地定义 r 可定义 集也称作r 精确集 而尺不可定义集也称为r 非精确集或尺粗糙集 粗糙集可以通过 两个精确集进行描述 定义2 1 1 1 设 u r 是近似空间 对于任意x u x 的下近似星 x 与上近似 豆 x 分别定义为 叁 x 石 u i x 尺 x 豆 x x ue x 足r x 囝 集合p 傩月 x 叁 x 称为x 的r 正域 b n 足 彳 豆 x 一星 x 称为x 的r 边界域 n e g 胄 x u g x 称为x 的尺负域 基 x 或p o s r x 是由那些根据知识尺判断肯定 属于x 的u 中元素组成的集合 r x 是那些根据知识r 判断可能属于x 的u 中元素组 成的集合 b n 足 工 是那些根据知识r 既不能判断肯定属于彳又不能判断肯定属于 x 的u 中元素组成的集合 n e g 舟 x 是那些根据知识尺判断肯定不属于x 的u 中元素组 成的集合 定理2 1 1 2 设 u 尺 是近似空间 x u 1 x 为r 精确集当且仅当叁 x 页 x 2 x 为r 粗糙集当且仅当星 x 元 x 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 由近似算子的定义 可以得到下近似集和上近似集的下列性质 定t j 1 2 2 t 1 2 设 u 尺 是近似空间 x u 则 1 墨 x x 尺 r 2 叁 o r o 彩 叁 u r u u 3 x yj 墨 x 星 4 x y r x r y 5 g x u y r x u r 6 垦 x n 聊 墨 x n 墨 7 星 x u y 2 星 x u s r 8 g x n 厂 g x n 尺 9 8 x r x 1 0 r 一z 一星 x 在p a w l a k 近似空间 u r 中 r 是u 上的一个等价关系 这在一定程度上限制了 粗糙集理论的应用范围 为此 人们对粗糙集模型进行了多种形式的推广 以一般二 元关系替代等价关系 可以得到一般二元关系下的粗糙集模型 2 1 2 一般二元关系下的粗糙集模型 定义2 2 5 设u 是非空有限论域 令r 是v 上的二元关系 即r u x u 对于 v 工 y eu 若x r y 则称x 是y 的前继 y 是x 的后继 x 的后继集记为 r x y l x r y 工的前继集记为r r z 抄l 廊 定义2 3 5 1 设u 是非空有限论域 尺 u x u 是u 上任意的二元关系 称a u r 为广义近似空间 对于任意x 量u 石的下近似与上近似分别定义为 x x u l 足 x x 豆 x 工 ul r x r x 囝 若凡 x 亟 x 则称 是关于r 的可定义集 若风 x 堡 x 则称x 是关于r 的 粗糙集 定理2 3 1 5 1 设 是非空有限论域 r u x u 是u 上任意的二元关系 z y u 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 1 星 x 一r s x 墨 x r s x 2 墨 u u r s o 囝 3 r s x u y r s x u r s y 墨 x n y 墨 x n 墨 4 若xsy 则墨 x 星 y r y r y 5 r s n y r s y n 尺s 厂 星 y u 2 墨 r u 垦 厂 定义2 4 f6 令厶h 尸 u p u c z n 个一元算子 gv xeu l h 满足 1 l x h x 2 日 石 三 x 则称算子厶日是对偶的 定理2 4 7 1 若 h p 一p u 是两个对偶的算子 则存在u 上的二元关系r 使 得对于vx u l x 垦 x 与h x r x 都成立的充分必要条件是 vx y u 1 l u 1 u 2 l x n y l x n l y 3 日 囝 o 4 h x u y h x u h y 该定理由文献 7 得到 条件 1 2 是对三进行限制 它们是相互独立的 条 件 3 4 对日进行限制 它们也是独立的 8 同时三与日之间也存在着联系 即 三与日是对偶的 定理2 5 6 设厶h p 一尸 u 是两个对偶的一元算子 1 存在u 上的串行的二元关系尺使得对于vx u l x 墨 x 与 1 4 x r x 都成立的充分必要条件是 囝 0 或i i u u 2 存在u 上的自反的二元关系尺使得对于vx u l x 墨 x 与 i i x r x 都成立的充分必要条件是l x x i i x 3 存在u 上的对称的二元关系尺使得对于vx u l x 墨 x 与 日 x r x 都成立的充分必要条件是日 x x 三 日 x 4 存在u 上的传递的二元关系尺使得对于vx u l x 墨 x 与 h x r x 都成立的充分必要条件是 三 工 l x 或日 日 x h x 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 2 1 3 模糊粗糙集 在以上的粗糙集模型中 知识库中的知识和近似集合都是论域上的经典集合 然 而在实际生活中 涉及的更多的是模糊概念和模糊知识 将粗糙集理论与模糊集理论 相结合 可以得到模糊粗糙集模型 定义2 5 l o 论域u 上的一个模糊集合a 由u 上的一个隶属函数a u 一 o 1 确定 其中4 工 有时用以 x 表示 表示元素x 隶n t 模糊集合a 的程度 若彳 x 0 则 表示x 完全不属于a 若 i x l 表示工完全属于a 若4 x o r l 则称x 依程度a x 属于彳 以下用f 表示论域 上的所有模糊集构成的表示 一般地 模糊集合彳可以表示为 a x 彳 x x u 定义2 6 设 是论域 对于a b f u 1 a 互b a x 彳 x v x u 2 a u b x 彳 x v b x m a x a x b x v x eu 3 a n b x 彳 工 a b x m i n a x b x b u 4 称 彳是彳的补集合 其中 一彳 x l a x 协 u 定理2 6 t 1 0 1 设u 是论域 a b f u 则有 1 交换律 anb bna aub bua 2 结合律 么u b u c a u b u c a n b n c a n b n c 3 分配律 彳u b n c a u 曰 n a u c a n b u c a n b u a n c 4 对偶律 一 4n b 一a u b 彳u b a n b 5 对合律 彳 a 定义2 7 t 设u v 是两个论域 若r 是u v 上的模糊集 则称尺是从u 到矿的 一个模糊关系 特别地 当u v 时 称r 是u 上的一个模糊关系 定义2 8 设u 是论域 若尺是己厂上的一个模糊关系 其隶属函数为r x y 称 尺是 1 自反的 如果对于任意z u 有r x x 1 2 对称的 如果对于任意x y u 有r x y r y x 西南交通大学硕士研究生学位论文 第9 页 3 传递的 如果对于任意x y z u 有 俾 z y r y z r x z 毛u 4 等价的 如果尺是自反的 对称的和传递的 定义2 9 e 1 1 1 2 设 己 尺 是p a w l a k 近似空间 对于u 上的模糊集合么 a 关于 u 尺 的上近似r 彳 和下近似墨 彳 都是u 上的模糊集合 其隶属函数定义为 墨 么 x i n f a y y x 矗 x u r 彳 z s u p a y l y x 月 x u 其中 x r 是元素工在关系r 下的等价类 若叁 么 r a 则称爿是r 可定义的 否则 称彳是模糊粗糙集 可以验证 当a 是经典集合时 上近似r 彳 和下近似星 彳 就退化为p a w l a k 意义 下的上近似和下近似 因此它是p a w l a k 粗糙集的推广 定理2 7 由定义2 1 0 定义的上近似页 么 和下近似星 彳 有下列性质 任意 么 b u 有 1 墨 彳 三a e 尺 彳 2 r a n b r a n 烈曰 r a u b r a u r b 3 r a u b c r a u r 8 r a a b r a n r b 4 星 4 r 4 曼 一a r a 5 尺 r 彳 星 r 彳 r 彳 墨 墨 4 r 墨 彳 墨 彳 6 r u u 尺 囝 0 7 若彳 b 则r a 垦 b r a r b 2 1 4 基于三角模的模糊粗糙集模型 基于三角模的模糊粗糙集模型是上节粗糙集模型的进一步推广 定义2 1 0 t 4 1 设 o 1 若二元函数 i x 满足 1 a0 1 a v a i 2 交换律 a 6 b 0 口 v a 6 i 3 结合律 a 6 圆c a 圆 b c v a b c i 4 单调性 a c b dj a 6 cp d v a b 岛d i 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 则称 是 上的t 模 若满足 2 3 4 和 5 a 0 a v a i 则称 是 上的s 模 定义2 1 1 t 4 1 1 设 是 上连续的t 模 由 诱导的蕴涵算子研 i x i i 定义为 易 口 b s u p ci a c 6 口 b ei 称岛是r 诱导的剩余蕴涵 定理2 8 4 l 设丁是 上下半连续的丁模 对于任意口 b c ei 有 1 a bj 岛 c 口 岛 c b a bj 岛 6 c 岛 口 c 2 岛 口v 6 c 岛 以 c 岛 6 c 3 岛 口 b c 岛 以 b b 口 c 4 岛 口 o t 6 c 岛 6 岛 口 c 5 岛 丁 口 6 c 岛 口 岛 6 c 定义2 1 2 t 1 6 1 设丁是 上的下半连续的三角模 若有限论域u 上的二元模糊关系r 是自反的 对称的 和丁传递 即t r x y r y z r x z v x y z u 的 则称r 为r 模糊等价关系 定义2 1 3 1 3 1 设r 有限论域u 上的t 模糊等价关系 称 u r 是模糊丁近似空间 对于u 上任意的模糊集x x 关于 u r 的下近似星和上近似r 是定义在u 上的一对 模糊集 其隶属函数定义为 星 x x 仝 o a r x y x y x eu r x x y t r x 少 y y x u j 它v 若星 x r x 则称模糊集x 由模糊等价关系尺可定义 否则称 x r x 为模糊 丁粗糙集 定理2 9 t 1 3 1 4 1 5 1 模糊r 近似空间 v r 的下近似垦和上近似页有下列性质 设 x y eu x y ef u 则 1 叁 x x r x 2 墨 星 y 墨 x r r x r x 3 叁 x n y 墨 x n 星 y r x u y r x u r r 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 1 页 4 r y 墨 x 星 y r x r y i 5 星 x u 聊2 堡 石 u 星 r x o r c r x n u 尺 y 6 尺 x 旯 盟x 胄 x 月 2 格值直觉模糊集 本节假设 二 是一完备格 l 0 分别为l 上的最大元和最小元 l l 是 上 的逆序对合算子 即对任意的a t b l a b 时有b a 且a ka 令 e 恐 l x l l x x 2 定义2 1 4 1 刀定义f 五 恐 l x l i x x 2 上的二元关系 为 对任意的 工 五 x 2 y y l y 2 e x y 当且仅当五 y l 且儿 恐 容易验证 f 是完备格 其最大元和最小元分别为1 工 1 0 0 f o 1 r r 的r 上的逆序对合算子 其中对于地 五 艺 r f ix x 2 以下称 是r 上的 标准逆 定理2 1 0 1 7 若上是分配格 则r 是分配格 证明对于任意x y z r 设x 五 x 2 y 乃 y 2 z 毛 z 2 有 i v y z x v ma z i y 2v z 2 五v y la z l x za y 2v z 2 vy 1 八 72 1 恐a y 2 v x 人z 2 x vj a z v z 定理2 1 1 t 1 7 1 9 r 中的 有以下性质 对任意的x 少 r 1 1 r k 0 l 0 r 1 r 2 o x 3 y x v y 且 x v y f x a y 4 x y 车亭y 戈 定义2 1 5 t 1 7 1 刚设u 是非空的论域 称爿 x 儿 x 死 x 卜 u 是u 上的关于r 的直觉模糊集 其中心 u 一三 兀 u l 且对比 u 有以 x 爿 x 称以 x 是x 关于彳的隶属度 形 x 是x 关于a 的非隶属度 西南交通大学硕士研究生学位论文 第1 2 页 以下记u 中全体关于r 的直觉模糊集构成的集合记作f 一伊 u 当 x k 托 x 直觉模糊集退化为格值模糊集 定义2 1 6 t 1 7 1 8 设a b 是u 上的关于r 的直觉模糊集 即a b er 一1 f u 则 1 a b a x b x v x eu 2 a n b x x t g x 乒 x 形 x v 工 工 u 3 a u b x x 乒 x v 声岛 x 乃 x a x x u 4 a g x 彳 x v x eu 5 口 夕 r 五历 x a f 1 帆 u 称丽是常量直觉模糊集 c 6 f c 石 乏工x y y c 一t y fc z 1 l c r 二三 6 1 f 石 2 1 矿 工 y c 一 y 1 f z 21o x 2 3 格上的直觉模糊三角模及其蕴涵 定义2 1 7 t 2 0 1 称r 上的丁模和s 模是对偶的 如果对于协 y er t x yr s x y s x y t x y 定义2 1 8 设 上 r r 是r 上的映射 且 关于第一个变量是单调递减的 关于第二个变量是单调递增的 且满足 i o f 0 f 一1 r i 1 c o c 一0 l i o f 1 f 一l f 砸f l c 一1 c 则称 是r 上的蕴涵 由i 的单调性 x 寸v a r 可得 口 夕 1 r 一1 r o r 口 一1 f 定义2 1 9 2 0 1 设s 是r 上的s 模 是r 上的逆 r 上的s 蕴涵厶 fx l 一r 有如 下形式 i s x s x y x 少 r 定义2 2 0 2 川设r 是f 上的t 模 r 上的由t 模定义的尺蕴涵 r f r 有 7 如下形式 y s u p y ec l r x 力 y x y er 定理2 1 2 2 0 1 设丁是r 上的t 模 r 上的由t 模定义的尺蕴涵 有如下性质 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 3 页 v x y z 1 r x y z 车亭x l r y z 2 i r x y 关于x 单调递减 关于y 单调递增 定义2 2 1 2 1 设尺是u x u 上的关于格r 的直觉模糊集 则称尺为u 上关于格r 的 直觉模糊关系 定义2 2 2 f 2 1 1 设尺 r i f r u x u t 是格r 上的丁模 则称 1 月是串行的 如果对于魄 u 傩v c r x y 1 l 2 r 是自反的 如果对于v x eu r x x lr 3 r 是对称的 如果对于魄 y eu r x y r y x 4 r 是丁 传递的 如果对于觇 z u 炬v u t r x y r y z r 工 z 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 第3 章格值直觉模糊粗糙集模型 3 1 完备格上的直觉模糊粗糙集模型 3 1 1 基于完备格r 的直党模糊粗糙近似算子的性质 定义3 1 若u 是一个非空有限论域 r 是基于格r 的直觉模糊二元关系 则称 u r 是基于格r 的直觉模糊近似空间 定义3 2 设 u 月 是基于格f 上的直觉模糊近似空间 丁是r 上的丁模 s 是丁的 对偶余模 对于任意彳 r i f u a 的上近似集合尺f 彳 与下近似集合r c a 的隶 属函数定义为 尺f 彳 x s u p t r x y 彳 x x u 蚱c 墨f 么 j c i 健n fi s r x y 彳 x 戈 u r e 爿 墨f 彳 称基于格r 直觉模糊粗糙集 若r l 彳 墨r 彳 则称a 是r 上火可定 义集 例取三 o 1 e v x 葺 而 y y l 咒 r 毛 z 2 e o 1 x 0 1 k 乞 1 t x y m a x 0 五 m 一1 m i n 1 x 2 1 一y l y 2 1 一五 工 少 r a i n 1 x 2 咒 m a x 0 五 y 2 1 设 u 尺 是r z z o 1 o 1 l z z 1 上直觉模糊近似空间 其中u 五 恐 r 五 毛 1 0 五 恐 0 6 0 2 恐 五 0 4 0 5 恐 恐 0 7 0 2 设a 五 0 4 0 3 恐 0 8 0 1 r i f w 则有 r c 彳 而 丁 尺 而 五 a x 0 v 丁 r 五 恐 彳 恐 丁 1 0 0 4 0 3 v 丁 0 6 0 2 0 8 0 1 0 4 0 3 r l 彳 而 t r x 2 五 a x vt r x 2 恐 彳 恐 0 5 o 4 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 5 页 故有页 爿 五 o 4 0 3 恐 0 5 0 4 同理可得r c a x l 0 4 0 3 t 0 9 0 定理3 1 设 u r 是直觉模糊近似空间 r a b er z f w 则 1 r l g a 8 c u u 2 若彳 b 则墨f a 墨r b r c a r c b 3 r c a u b r f 么 u 尺f b r c a n b 星r a n 星f b 4 r l a r c a r c a 尺fc 4 5 t a 夕 r f 么 r c t z 彳 r c i r o r 彳 i r o l 显f 彳 证明 1 墨r u x 2 戆 r x y u x 蜮i s r x y l l 电u 1 l 即有r u r r o g 由定义同理可证 2 若彳 曰 即对v x eu 均有么 z b x 故 x 2 赔i s r x y 彳 y i 脂n u f r x y b y 2 b x 月f 彳 z s u pt r x y a y l 一伊 u 是对偶的一元算子 则存在r 上的串行 的直觉模糊二元关系尺 使得对w r 一1 f u 0 彳 8 c 4 和 么 r e a 都 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 0 页 成立的充分且必要条件是对v 口 r 有 1 q 口 口 2 0 口 口 证明必要性 由定理3 2 易证 充分性只需证明炬v u r x y 1 l 取 口 1 0 则 日 1 o x 日 u 1 r g u 2 尚吼 1 r 工 号品r x 少 1 c 定理3 1 0 设0 日f r i f u 一f i f u 是对偶的一元算子 则存在r 上的自 反的直觉模糊二元关系r 使得对w c w u 0 彳 彳 和日f 彳 页f 彳 都 成立的充分且必要条件是 对魄 u 有 1 以 i f 1 f 2 0 巾j l r 咄 1 f 证明必要性可由定理3 3 得到 充分性 只需证j r x x 1l 即可 对于仇 u r x z 0 1 f x 1 f 工 1 r 故r 是自反的 定理3 1 1 设0 日f r 一上f u 一r 一伊 u 是对偶的一元算子 则存在r 上的对称 的直觉模糊二元关系r 使得对w c i f u 0 彳 么 和 么 i r f 彳 都 成立的充分且必要条件是 对慨 u 有 1 1 c y q y l f x 2 州 j l f y 上r 州y 1 f x 证明必要性可由定理3 4 得到 充分性证r z y r y x 即可 由定义有 三0 1 f y r y z 0 y 1 z r x y 故尺是对称的 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 1 页 定理3 1 2 设0 日f r x f u 一f i f u 是对偶的一元算子 则存在r 上的t 传递的直觉模糊二元关系r 使得对w r i f u 0 4 彳 和 4 r e a 都成立的充分且必要条件是 1 墨 彳 h c 彳 2 l c 爿 2 t 彳 证明必要性 可由定理3 5 得到 充分性 对溉 u 在 1 中特别的取 1 a 则 日 日 1 x s u pt r y z s u p t r y z 1 z e u u s u pt r y z r z x 1 f x r y 工 由基于格r 上s 蕴涵所构造的直觉模糊粗糙集的性质可以看出 在该模型下构造 的上 下近似算子满足对偶性 为讨论直觉模糊粗糙集的性质提供了便利 3 2 基于剩余格的直觉模糊粗糙集模型及其性质 定义3 3 t 2 2 2 3 剩余格是一个代数系统 己 v 人 0 一 1 0 其中 1 l v a l 0 是有界格 其中1 与0 分别是格中的晟大元 最小元 2 是l x ljl 的三上的二元运算 对v x y zel 运算 满足 x 0 y y o x x y z x 圆 y o z 1 圆x z x y x o z 当y 3 一 l x l l 是关于0 的剩余运算 满足坛 少 z 三 x o y z 亨x y 争z 若 厶v 人 1 0 是完备格 则称剩余格 厶v h 一 1 0 是一个完备的剩余格 在剩余格 中定义一元运算 1 三一l 觇 l 叫 x 0 定理3 1 3 t 2 2 2 3 若犯 v 0 1 0 是剩余格 则帆 y z 三 1 x 圆y 工人y x y y 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 2 页 2 x 一 y z x y e z z 一 y z yo x 叶z 3 工 y 车净x 争y l 4 工 1 x 5 一善 2 会 飞 6 j y 1 x 少 x p y 4 x 9 少 7 若 l v a 0 一 1 0 是完备的 则有 薯 0 y 薯0 y e ie 全薯 o y 会 圆y e le x 一 a 只 0 y 5 x 乃 i e i c 一 工j 善乃 y 兰 x j 儿 兰五 一y2 全 薯一y 全薯 y 善 薯一少 8 j 一叫 y 一哨 1 石0 y 定义3 4 陶若 厶v a 一 1 0 是剩余格 且协 l 满足x 一x 则称剩余格 厶v a 一 l 0 是正则剩余格 定理3 1 4 2 2 若 厶v a 一 1 0 是正则剩余格 贝j j v x y z l 有 工 叫 y 一哨 吨一y2 y 一工 定义3 5 3 3 1 设r 是定义2 1 4 所定义的格 则 r v a 1 f 0 c 可构成一个剩 余格 而且是完备的剩余格 定义3 6 设 是非空有限论域 r 是基于剩余格 r v 圆 一 1 f 0 l 的直觉模糊 二元关系 则称 厂 尺 为基于剩余格r 的直觉模糊近似空间 简称r 直觉模糊近似空 间 由 2 上的丁模和蕴涵 定义知 它们分别满足 r v 1 工 0 工 中 和 一 的条件 以下针对 r v a t 1 f 0 f 进行讨论 定义3 7 设 u r 为基于剩余格f 的直觉模糊近似空间 对于v a ef z f u a 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 3 页 的上近似豆 么 和下近似星 么 是u 上的直觉模糊集 且对任意的z u r 么 z s u pt r x y 彳 y u 墨r 彳 x i n fi r r x y 爿 少 若星f 彳 露 彳 则称彳是r 上r 可定义集 否则称 星r 么 砭 为基于剩余格的 r 直觉模糊粗糙集 定理3 1 5 设 u 尺 是r 的直觉模糊近似空间 对v a b r 一伊 u 有 1 r c o 囝 星f u u 2 若a b n1 宅c a s 星工 曰 r c a r c b 3 彳 础f 卅 r c a 地r 4 尺f 彳u b r c a u r c b r c a n b 星 彳 n 星 b 5 墨f 彳u b 21 c a u c b r aab 尺r a m s c b 6 基f t a b 墨r 么 a r c b r e 彳 b 证明 1 由上 下近似算子定义知 协 u r 工 s u pt r x y 0 y 0 炬u r c u x x 2 噶 尺 x y 1 f 1 r 即r c o o 墨f u u 2 若彳 b 则对比 u 均有a x b x 由z 模和蕴涵 算子的单调性易知 v 文 u 么 工 2 财 r z y 彳 y i 惟n u f 尺 x y b y 2 b 工 也 么 工 s u p t r x 少 彳 y s u p r g x y b y 也 b x j巨 c 即墨上 4 s 星f b r z a gr f b 3 对于任意x u 有x y 1 x 叫 x o y 1 工一叫 故 地f 工 一i 惺n u f 尺 x y 叫 少 s u p 以俾 x y y 西南交通大学硕士研究生学位论文 第2 4 页 l 目 i 目 e 自目 目 嘲t m 目 e 目 l e j l g 自 s u pt r x y 彳 y r f 4 x y e t 础 卅