现代数值计算方法习题答案..pdf

现代数值计算方法习题答案 李继云 1 现代数值计算方法习题答案现代数值计算方法习题答案 习习 题题 一一 1 解 根据绝对误差限不超过末位数的半个单位 相对误差限为绝对误差限除以 有效数字本身 有效数字的位数根据有效数字的定义来求 因此 49 10 2 E 0 005 r E 0 0102 2 位有效数字 0 0490 E 0 00005 r E 0 00102 3 位有效数字 490 00 E 0 005 r E 0 0000102 5 位有效数字 2 解 7 22 3 1428 3 1415 取它们的相同部分 3 14 故有 3 位有效数字 E 3 1428 3 1415 0 0013 r E 14 3 E 14 3 0013 0 0 00041 3 解 101的近似值的首位非 0 数字 1 1 因此有 xEr 1 10 12 1 n 5 所以 n 5 4 证 1 1 1 1 1 1 xxx n xEx n xE nn n 11 1 1 1 xE nx xx n x xxx n x xE xE r n n n n n r 5 解 1 因为 204 4721 又 xE xx 47 420 0 0021 0 01 所以 x 4 47 2 20的近似值的首位非 0 数字 1 4 因此有 xEr 1 10 42 1 n 3 所以 x 4 47 6 解 设正方形的边长为x 则其面积为 2 xy 由题设知x的近似值为 x 10 cm 记 y为y的近似值 则 现代数值计算方法习题答案 李继云 2 20 20 2 xExxxxxyE 0 1 所以 xE 0 005 cm 7 解 因为 1 xxnxxE nn 所以nxnE x xx n x xE xE r n n n r 01 0 8 解 9 证 tgtEttgtSSSE t tE gt ttgt S SS SEr 2 2 2 由上述两式易知 结论 10 解 代入求解 经过计算可知第 3 个计算结果最好 11 解 基本原则为 因式分解 分母分子有理化 三角函数恒等变形 1 通分 2 分子有理化 3 三角函数恒等变形 12 解 因为2 0 x 41 1 0 x 所以 00 xx 2 10 2 1 于是有 11 xx 110110 00 xx 10 00 xx 10 22 xx 110110 11 xx 10 11 xx 2 10 类推有 1010 xx 0 22 23 2 0 301 022 123 4 0 所以系数矩阵是对称 正定的 记系数矩阵为 A 则平方根法可按如下三步进行 第一步 分解 A L LT 由公式计算出矩阵的各元素 3 11 l 3 32 21 l 3 6 22 l 3 3 31 l 3 6 32 l 2 33 l 因此 L 2 3 6 3 3 0 3 6 3 32 003 第二步 求解方程组 LY b 解得 Y 3 35 3 6 2 T 第三步 求解方程组 LTX Y 解得 X 0 2 1 T 2 解 首先检验系数矩阵的对称正定性 这可以通过计算其各阶顺序主子式 现代数值计算方法习题答案 李继云 5 是否大于零来判断 11 a 3 0 22 23 2 0 1203 022 323 6 0 所以系数矩阵是对称 正定的 记系数矩阵为 A 则平方根法可按如下三步进行 第一步 分解 A L LT 由公式计算出矩阵的各元素 3 11 l 3 32 21 l 3 6 22 l 3 31 l 6 32 l 3 33 l 因此 L 363 0 3 6 3 32 003 第二步 求解方程组 LY b 解得 Y 3 35 6 6 3 3 T 第三步 求解方程组 LTX Y 解得 X 1 2 1 3 1 T 4 解 对1 i 2 111 ad 对2 i 1 21 t 2 1 21 l 2 5 2 d 对3 i 1 31 t 2 7 32 t 2 1 31 l 5 7 32 l 5 27 3 d 所以数组 A 的形式为 5 27 5 7 2 1 0 2 5 2 1 002 A 求解方程组 LY b 解得 Y 4 7 5 69 T 求解方程组 DLTX Y 解得 X 9 10 9 7 9 23 T 现代数值计算方法习题答案 李继云 6 5 解 1 设 A LU 1 01 000 00 0 0 0 0 0 0 10 01 001 5 4 3 2 l l l l 5 4 3 2 1 0 6 000 000 0 0 0 6 0 0 00 60 06 u u u u u 计算各元素得 5 1 u 5 1 2 l 19 5 2 u 19 5 3 l 19 65 3 u 65 19 4 l 65 211 4 u 211 65 5 l 211 665 5 u 求解方程组 LY d 解得 Y 1 5 1 19 1 65 1 211 212 T 求解方程组 UX Y 解得 X 665 1509 665 1145 665 703 665 395 665 212 T 2 设 A LU 10 01 001 3 2 l l 3 2 1 00 10 01 u u u 计算各元素得 5 1 u 5 1 2 l 5 24 2 u 24 5 3 l 24 115 3 u 求解方程组 LY d 解得 Y 17 5 53 24 115 T 求解方程组 UX Y 解得 X 3 2 1 T 6 证 1 2 相同 因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵 所以雅可比迭代法和相应 的高斯 赛德尔迭代法都收敛 1 雅可比迭代公式 7 10 7 2 7 1 3 2 1 1 kkk xxx 1 4 1 4 1 3 1 1 2 kkk xxx 3 2 9 2 9 2 2 1 1 3 kkk xxx 高斯 赛德尔迭代公式 7 10 7 2 7 1 3 2 1 1 kkk xxx 1 4 1 4 1 3 1 1 1 2 kkk xxx 3 2 9 2 9 2 1 2 1 1 1 3 kkk xxx 2 雅可比迭代公式 现代数值计算方法习题答案 李继云 7 5 4 5 1 5 2 3 2 1 1 kkk xxx 5 2 5 3 5 1 3 1 1 2 kkk xxx 5 11 5 1 5 2 2 1 1 3 kkk xxx 高斯 赛德尔迭代公式 5 4 5 1 5 2 3 2 1 1 kkk xxx 5 2 5 3 5 1 3 1 1 1 2 kkk xxx 5 11 5 1 5 2 1 2 1 1 1 3 kkk xxx 7 1 证 因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵 所以雅可比迭代法和相 应的高斯 赛德尔迭代法都收敛 2 雅可比迭代法 写出雅可比迭代法公式 5 12 5 1 5 2 3 2 1 1 kkk xxx 5 2 1 4 1 3 1 1 2 kkk xxx 10 3 10 3 5 1 2 1 1 3 kkk xxx 取 0 x 3 1 1 T 迭代到 18 次达到精度要求 18 x 3 999 2 999 1 999 T 高斯 赛德尔迭代法 写出高斯 赛德尔迭代法公式 5 12 5 1 5 2 3 2 1 1 kkk xxx 5 2 1 4 1 3 1 1 1 2 kkk xxx 10 3 10 3 5 1 1 2 1 1 1 3 kkk xxx 取 0 x 3 1 1 T 迭代到 8 次达到精度要求 8 x 4 000 2 999 2 000 T 8 SOR 方法考试不考 9 证明 雅可比法的迭代矩阵为 现代数值计算方法习题答案 李继云 8 0 3 2 3 1 001 100 1 ULDBJ 3 2 3 1 01 10 J BI 解得1 J B 所以雅可比迭代法不收敛 高斯 赛德尔法的迭代矩阵为 100 100 100 1U LDM 100 10 10 MI 求得0 21 1 3 则1 M 所以高斯 赛德尔迭代法不收敛 10 证明 雅可比法的迭代矩阵为 0 2 1 2 1 101 2 1 2 1 0 1 ULDBJ 2 1 2 1 11 2 1 2 1 J BI 求得0 1 i 2 5 2 i 2 5 3 则1 J B 所以雅可比迭代法不收敛 高斯 赛德尔法的迭代矩阵为 4 3 4 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 1U LDM 4 3 4 1 0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 MI 求得 2 1 21 0 3 则1 M 所以高斯 赛德尔迭代法收敛 11 证明 当 0 5 a 0 1 1 1 aa aa aa 1 a 2 1 2a 0 所以 A 正定 现代数值计算方法习题答案 李继云 9 雅可比迭代矩阵 BJ 0 0 0 aa aa aa 所以 BJI aa aa aa 2 23 2233 aaaa 所以 2 aBJ 故当 0 5 a 0 5 时 雅可比迭代法收敛 12 解 A max 0 6 0 5 0 1 0 3 1 1 1 A max 0 6 0 1 0 5 0 3 0 8 F A 09 001 025 036 0 0 8426 ATA 3 05 0 1 06 0 3 01 0 5 06 0 34 033 0 33 037 0 AAI T 34 033 0 33 037 0 2 0 71 0 0169 0 所以 max ATA 0 685 所以 2 A 685 0 0 83 13 证明 1 由定义知 xnxxxxxx n i i n i i n i ii ni 11 11 1 1 1 ma xma x 故 xnxx 1 2 由范数定义知 21m a x 2 2 AAAAAAAAA T n TTT 2 11 2 1 2 1 2 2 1 2 1 F n j n i ij n i in n i i n i i Aaaaa 2 21m a x 2 2 1 1 F T n TTT A n AAAAAA n AAA 故 FF AAA n 2 1 现代数值计算方法习题答案 李继云 10 习习 题题 三三 1 解 13 4 xxxf在区间 0 3 0 4 上034 3 xxf 故 xf在区间 0 3 0 4 上严格单调减少 又0 3 0 f 0 4 0 f 所以方程在区间 0 3 0 4 上有 唯一实根 令 0 4 0 3 1 2 k 4 即应至少分 4 次 取35 0 0 x开始计算 于是有 当 k 1 时 x1 0 35 0 1 xf 隔根区间是 35 0 3 0 当 k 2 时 x2 0 325 0 2 xf 隔根区间是 35 0 325 0 当 k 3 时 x3 0 3375 0 3 xf 隔根区间是 35 0 3375 0 当 k 4 时 x4 0 34375 0 4 xf 隔根区间是 34375 0 3375 0 所以 x 0 3375 0 34375 2 0 341 2 解 4 3 xxxf在区间 1 2 上013 2 xxf 故 xf在区间 1 2 上 严格单调增加 又0 2 f 0 1 f 所以方程在区间 1 2 上有唯一实根 令 1 2 12 k 13 3 即应至少分 14 次 3 解 作图 判断根的数目 找隔根的区间 1 有唯一实根 隔根区间 0 4 收敛迭代公式 4 sincos 1 kk k xx x 2 有唯一实根 隔根区间 1 2 收敛迭代公式 4 log2 1kk xx 4 解 取5 1 0 x的邻域 1 3 1 6 来考察 1 当 x 1 3 1 6 时 32 1 xx 1 3 1 6 x 0 522 L 1 所以 3 2 1 1 kk xx 在 1 3 1 6 上收敛 2 当 x 1 3 1 6 时 2 11 xx 1 3 1 6 x 0 91 L 1 所以 1 1 kk xx在 1 3 1 6 上发散 4 当 x 1 3 1 6 时 1 3 xx 1 3 1 6 所以 1 3 1 kk xx在 1 3 1 6 上发散 取5 1 0 x开始计算 于是有 1 x 1 481448 2 x 1 472705 3 x 1 468817 4 x 1 467047 5 x 1 466243 6 x 1 465876 由于 56 xx 3 10 2 1 故可取 x 6 x 1 466 5 解 方程的等价形式为2 0 5 xx x 迭代公式为 5 1 2 0 kk xx 作函数 5 xy 和2 0 xy的图像 可知其正根区间为 0 5 1 5 当 x 0 5 1 5 时 5 2 0 xx 0 5 1 5 x 0 3 L 1 所以 3 2 1 1 kk xx 在 0 5 1 5 上收敛 取5 0 0 x开始计算 于是有 1 x 0 93114992 2 x 1 0249532 3 x 1 04141516 4 x 1 04419321 5 x 1 0446673 6 x 1 04474582 7 x 1 04475903 8 x 1 0447613 9 x 1 04476123 由于 89 xx 3 10 2 1 故可取 x 9 x 1 04476 6 解 当 x 0 0 5 时 10 2 x ex 0 0 5 x 0 825 L 1 所以10 2 1 k x k ex 在区间 0 0 5 上收敛 取5 0 0 x开始计算 于是有 现代数值计算方法习题答案 李继云 12 1 x 0 10000000 2 x 0 08948290 3 x 0 09063913 4 x 0 09051262 5 x 0 09052647 6 x 0 09052495 由于 56 xx 4 10 2 1 故可取 x 6 x 0 0905 7 解 由于 x 在根5 0 x附近变化不大 5 0 x x ex 0 607 q 迭代 加速公式为 607 1 6 0607 1 11 1 kkk x k xxx ex k 取5 0 0 x开始计算 于是有 1 x 0 5662917 2 x 0 5671223 3 x 0 56714277 由于 23 xx 4 10 2 1 故可取 x 3 x 0 5671 8 解 埃特金加速公式为 kkk k kk k kk kk xxx xxx x xx xx 12 1 2 2 1 3 12 3 1 2 1 1 取5 1 0 x开始计算 于是有 1 x 1 32489918 2 x 1 32471796 3 x 1 32471637 由于 23 xx 4 10 2 1 故可取 x 3 x 1 3247 9 解 对于axxf n 1 n nxxf 因此牛顿迭代法为 11 1 1 1 n k k n k n k kk x a xn nnx ax xx k0 1 2 3 对于 n x a xf 1 1 n x na xf 因此牛顿迭代法为 a x xn n x xf xf xx n k k k k k kk 1 1 k0 1 2 3 现代数值计算方法习题答案 李继云 13 因为 n n a n a 1 所以 对于0 axxf n n k n k n k a n xa xa 2 1 lim 2 1 对于01 n x a xf n k n k n k a n xa xa 2 1 lim 2 1 10 解 13 3 xxxf在区间 1 2 上 0 1 f 0 2 f 033 2 xxf 06 xxf 又因为0 2 2 ff 所以收敛且以2 0 x作初值 取2 0 x 用牛顿迭代法 1 3 12 33 13 2 3 2 3 1 k k k kk kk x x x xx xx 计算得 1 x 1 8889 2 x 1 8794 3 x 1 8794 由于 23 xx 3 10 2 1 故可取 x 3 x 1 879 11 解 设Cxxf 3 则 2 3 xxf xxf6 牛顿法迭代公式为 2 3 1 2 1 k kk x C xx k0 1 2 3 当0 x时 0 xf 0 xf 当0 x时 0 xf 0 xf 因此 对于0 C 当 3 0 Cx 时 0 0 0 xfxf 牛顿序列 k x收敛到 3 C 当 0 3 0 Cx 时 0 2 3 3 2 0 3 2 0 2 0 3 3 2 0 2 03 1 xC x xC C x Cx Cx 所以 3 1 Cx 因此 从 1 x起 牛顿序列 k x收敛到 3 C 对于0 C 当0 3 0 Cx时 0 0 0 xfxf 牛顿序列 k x收敛到 现代数值计算方法习题答案 李继云 14 3 C 当 0 3 0 Cx 时 0 2 3 3 2 0 3 2 0 2 0 3 3 2 0 2 03 1 xC x xC C x Cx Cx 所以 3 1 Cx 因此 从 1 x起 牛顿序列 k x收敛到 3 C 当0 C时 迭代式变为 k k k kk x x x xx 3 2 3 2 3 1 该迭代对任何Rx 0 均收敛 但收敛速度是线性的 取1 0 x开始计算 于是有 1 x 1 66666667 2 x 1 23111111 3 x 1 48053039 4 x 1 44323083 5 x 1 44225024 6 x 1 44224957 7 x 1 44224957 由于 67 xx 6 10 2 1 故可取 x 7 x 1 442250 12 解 令xxxfsin1 取0 0 x 1 1 x开始计算 经过 4 次计算可以得到 x 4 x 0 51098 现代数值计算方法习题答案 李继云 15 习习 题题 五五 1 解 2211002 xlxfxlxfxlxfxL 3 7 2 3 6 5 12 12 1 1 4 21 11 2 1 3 0 2 xx xxxx 2 解 332211003 xlxfxlxfxlxfxlxfxL 123 2 1 0 2 1 3 2 3 3 2 1 3 2 1 2 xxxxxxxxx 6 2 1 2 3 2 3 3 3 2 1 xxxxxxxxx 3 解 332211003 xlxfxlxfxlxfxlxfxL 1214 0 直接代入数据 因较复杂 省略 4 证 1 当 2 中的0 k时 即可得结论 2 函数 k x及 0 xlx i n i k i 均为被插值函数 k x的关于互异节点 i x的不超过n次 的插值多项式 利用插值多项式的唯一性可知结论 5 证 以ax 和bx 为插值点 建立 xf的不超过一次的插值多项式 0 1 ab ax bf ba bx afxL 应用插值余项公式有 max max 2 1 2 1 1 bxaxfbxaxfxLxf bxabxa max 8 1 2 fab bxa 因此可得结论 现代数值计算方法习题答案 李继云 16 6 解 选4 1 0 x 5 1 1 x 6 1 2 x为节点 计算得 54 1 6 1 54 1 5 1 54 1 4 1 54 1 2102 lflflfL 6 15 1 4 15 1 6 154 1 4 154 1 837 1 6 14 1 5 14 1 6 154 1 5 154 1 602 1 94472 1 5 16 1 4 16 1 5 154 1 4 154 1 121 2 7 解 332211003 xlxfxlxfxlxfxlxfxL 369 2 3 10 3 36 6 3 20 9 6 3 6 3 xxxxxxxxx 3242346323 162 1 23 xxx 8 解 略 9 证 设 xgxfxF 101nn xxxxxxx 将差商 均差 用函数值表示 则有 n j jn jj n j jn j n x xgxf x xF xxxF 0 1 0 1 10 n j jn j n j jn j x xg x xf 0 1 0 1 1010nn xxxgxxxf 取c 0得结论 1 取1 得结论 2 10 证 n j njjjjjj j n j jn j n xxxxxxxx xf x xf xxxf 0 110 0 1 10 现代数值计算方法习题答案 李继云 17 11 解 制造向前查分表 i i x i y i y i y 2 i y 3 0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 17 64 1 15 47 14 32 18 由题意 0 0 x 1 h 当5 0 x时 5 0 0 h xx t 将查分表上部那些画横线的数及5 0 t代入公式 有 875 018 6 5 1 5 0 5 0 14 2 5 0 5 0 5 01 5 0 3 N 当5 2 x时 5 0 0 h xx t 将查分表下部那些画横线的数及5 0 t代入 公式 有 375 3518 6 5 1 5 0 5 0 32 2 5 0 5 0 5 04764 5 2 3 N 12 解 制造向前查分表 i i x i y i y i y 2 i y 3 0 1 2 3 1 0 1 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 由于其根在 1 2 之间 故采用牛顿后插公式 计算得 5 1 t 所以5 0 x 现代数值计算方法习题答案 李继云 18 13 证 采用差分的定义来证明 14 解 方法同第11题 15 解 以 1 i x i x和 1 i x为插值节点的插值多项式的截断误差 则有 3 1 11 2 iii xxxxxxfxR 式中 11 ii xx hxx ii 1 hxx ii 1 则 3 4 34 11 4 2 393 1 3 2 6 1 max 6 1 11 h e hexxxxxxexR iii xxx ii 令 53 4 10 39 h e 得 0658 0 h 现代数值计算方法习题答案 李继云 19 习习 题题 六六 1 解 由题意得 24 21 53 42 A 14 6 3 11 b 所以 493 330 AAT 29 73 bAT 又bAAXA TT 所以 4456 0 4555 2 X 2 解 设拟合曲线为一次多项式 xaaxy 1011 计算各元素 8 n 26 15 8 1 i i x 1556 30 8 1 2 i i x 227 145 8 1 i i y 93628 286 8 1 i iiy x 故法方程组为 1556 3026 15 26 158 1 0 a a 93628 286 227 145 解得 916 3 0 a 464 7 1 a 所以916 3464 7 11 xxy 二次多项式拟合曲线与一次多项式拟合曲线类似 略 3 解 设拟合曲线为二次多项式 2 bxay 计算各元素 5 n 5327 5 1 2 i i x 7277699 5 1 4 i i x 4 271 5 1 i i y 5 369321 5 1 2 i ii yx 故法方程组为 72776995327 53275 b a 5 369321 4 271 解得 973 0 a 050 0 b 所以 2 050 0973 0 xy 4 解 经描图发现t和s符合二次曲线 现代数值计算方法习题答案 李继云 20 设拟合曲线为二次多项式 2 ctbtas 计算各元素 6 n 7 14 6 1 i i t 63 53 6 1 2 i i t 6 1 3 i i t 6 1 4 i i t 280 6 1 i i s 1078 6 1 i iis t 6 1 2 i ii st 故法方程组为 63 53 63 537 14 63 537 146 c b a 1078 280 解得 a b c 所以 2 ctbtas 5 略 6 解 对公式 at eII 0 两边取常用对数有 eatIIlglglg 0 令Iulg 0 lgIA eaBlg 则得线性模型 BtAu 计算各元素 7 n 5 3 7 1 i i t 03 2 7 1 2 i i t 8638 0 7 1 i i u 08067 0 7 1 i iiu t 故法方程组为 03 25 3 5 37 B A 08067 0 8638 0 解得 7509 0 A 2546 1 B 得635 5 0 I 889 2 a 所以 t eI 889 2 635 5 7 解 对公式 bx aey 两边取常用对数有 ebxaylglglg 令yulg aAlg ebBlg 则得线性模型 BtAu 计算各元素 现代数值计算方法习题答案 李继云 21 5 n 5 7 5 1 i i x 875 11 5 1 2 i i x 0848 4 5 1 i i y 2645 6 5 1 i iiy x 故法方程组为 875 115 7 5 75 B A 2645 6 0848 4 解得 4874 0 A 2197 0 B 得072 3 a 5057 0 b 所以 x ey 5057 0 072 3 8 解 令Xx ln 则 bXaxy 计算各元素 4 n 178 3 4 1 i i X 60914 3 4 1 2 i i X 4 14 4 1 i i y 9605 12 4 1 i iiy X 故法方程组为 60914 3178 3 178 34 b a 9605 12 4 14 解得 496 2 a 402 1 b 所以xxyln402 149 2 现代数值计算方法习题答案 李继云 22 习习 题题 七七 1 解 利用梯形公式 68394 0 2 1 01 1 0 1 eedxeI x 利用辛普森公式 63233 0 4 6 1 0 2 1 1 1 0 2 eeedxeI x 计算误差 08333 0 12 1 12