以_赵爽弦图_为模型的中考试题赏析_朱浩.pdf

初中版 2013 年 12 月 勾股定理是刻画直角三角形特征的一条重要定理 它的发现 验证 应用蕴含着丰富的文化价值 中国古代 的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理 而且很早 就尝试对勾股定理进行了证明 最早对勾股定理进行证 明的是汉代数学家赵爽 他以 弦图 为基本图形 后人 称之为 赵爽弦图 利用出入相补原理证明了勾股定 理 尤其是其中体现出来的 形数统一 的思想方法 更 具有科学创新的重大意义 赵爽弦图 是一种验证勾股 定理的图形 如图1所示 利用它验证勾股定理的主要思 想是 利用两种不同的方法计算同一图形的面积 得到 的结果应该相等 在图1中 以弦为边长的正方形是由四 个全等的直角三角形和一个小正方形组成的 设直角三 角形中较短的直角边长为a 较长的直角边长为b 斜边长 为c 则每个直角三角形的面积为 1 2 ab 中间小正方形的 边长为b a 其面积为 b a 2 然后利用两种不同的方法计 算大正方形的面积可得等式c2 4 1 2 ab b a 2 化简后 即可得到勾股定理 在近几年中考中 以 赵爽弦图 为模 型的一类中考试题屡见不鲜 笔者从 近几年全国各地中考试题中选取具有 代表性的几例与同行分享 不足之处 敬请批评指正 例1 2009年贵州安顺 图2是我 国古代著名的 赵爽弦图 的示意图 它是由四个全等的 直角三角形围成的 在Rt ABC中 若直角边AC 6 BC 5 将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长 一倍 得到图3所示的 数学风车 则这个风车的外围周 长 图3中的实线 是 图 2 C BA 图 3 C E F B A D 解析 如图3所示 由已知易知 DB BF 6 EF 5 所以 DE EF2 DF2 姨 52 122 姨 13 所以这个风车的外围周长为4 DB DE 4 19 76 点评 本题以 赵爽弦图 为背景 通过适当的变化得 到了一个 数学风车 主要考查学生利用勾股定理求直 角三角形边长的能力 只要学生熟悉 赵爽弦图 的特征 及图3的由来 就很容易求出EF 5 DB BF 6 要求DE的 长 只需要找出DE所在的直角三角形 然后利用勾股定 理求出DE的长 从而可得到 数学风车 的外围周长 其 实 利用图3还可以设计出其他数学问题 如求出 数学风 车 的面积 求 DBE的面积等 例2 2010年广西河池 如图4是用4个全等的直角 三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案 已知大正 方形的面积为49 小正方形的面积为4 若用x y表示直角 三角形的两直角边 x y 下列四个说法 x2 y2 49 x y 2 2xy 4 49 x y 9 其中说法正确的是 A B C D 图 4 y x 图 5 C G E B F A D H 解析 如图5 因为大正方形的面积为49 小正方形的 面积为4 所以AB2 49 EF2 4 所以AB 7 EF 2 在Rt ABE中 由勾股定理知 x2 y2 49 故 正确 由EF 2知 x y 2 故 正确 由 x y 2 4知 2xy 4 x2 y2 49 故 正确 由 知 4xy 90 又因为 x y 2 x y 2 4xy 所以 x y 2 x y 2 4xy 4 90 94 所以x y 94 姨 故 不正确 综上所述 正确结果为 故选B 点评 本题主要考查的知识点有勾股定理与完全平 方公式 用含有x y的代数式表示正方形ABCE与正方形 EFGH的面积是解决问题的关键 首先要根据已知得到 x2 y2 49 与 x y 2 4 然后利用完全平方公式即可求出代 以 赵爽弦图 为模型的中考试题赏析 筅江苏省泗阳实验初级中学朱浩 图 1 命题感悟 数 坛 线 在 43 初中版 2013 年 12 月 数式2xy 4与x y的值 例3 2011年浙江温州 我国汉代数学家赵爽为了 证明勾股定理 创制了一幅 弦图 后人称其为 赵爽弦 图 如图6 图7由 弦图 变化得到的 它是用八个全等 的直角三角形拼接而成 记图中正方形ABCD 正方形 EFGH 正方形MNKT的面积分别为S1 S2 S3 若S1 S2 S3 10 则S2的值是 图 7 C G E F T K M N A D B H 图 6 解析 如图7 设CG a CF b 则BF AE DH a BE AH DG b 由此易知 EF FG GH HE a2 b2 姨 MN NK KT MT b a 所以S1 a b 2 a2 2ab b2 S2 a2 b2 姨 2 a2 b2 S3 b a 2 a2 2ab b2 因为S1 S2 S3 10 所以 a2 2ab b2 a2 b2 a2 2ab b2 10 所以a2 b2 10 3 即S2 10 3 点评 本题巧妙地将 赵爽弦图 与正方形网格相结 合 得到了正方形ABCD 正方形EFGH和正方形MNKT 这三个正方形的面积都与构成弦图的直角三角形的边长 有关 由勾股定理可知 已知直角三角形的两边长即可求 出第三边的长 所以只要设CG a CF b 就可利用勾股定 理表示出FG的长 这也是解决此题的关键之处 然后用 含有a b的代数式表示出三个正方形的面积 结合S1 S2 S3 10可得到关于a b的方程 虽然不能直接求出a b的长 但可求得a2 b2的值 由此即可得出正方形EFGH的面积 这也体现了 设而不求 的解题方法 例4 2011年湖北恩施 2002年在北京召开的世界 数学大会的会标图案是由四个全等的直角三角形围成的 一个大正方形 中间的阴影部分是一个小正方形的 赵爽 弦图 如图8 若这四个全等的直角三角形有一个角为 30 顶点B1 B2 B3 Bn和C1 C2 C3 Cn分别在直线 y 1 2 x 3 姨 1和x轴上 则第n个阴影正方形的面积为 图 8 B1 A1 y 30 O N1 P1 Q1 M1 C1 x B2 A2 N2 P2 Q2 M2 C2 B3 B4 C3C4 A3 A4 解析 设B1 t1 t1 则t1 1 2 t1 3 姨 1 解得t1 2 3 3 姨 1 因为正方形A1B1C1O的边长为t1 所以P1C1 1 2 t1 P1B1 3 姨 2 t1 所以第1个阴影正方形M1Q1P1N1的边长为 3 姨 1 2 t1 2 3 所以第一个阴影正方形的面积为 2 3 姨 姨 2 设正方形A2B2C2C1的边长为t2 则B2 t1 t2 t2 则t2 1 2 t 1 t2 3 姨 1 解得t2 2 3 姨 姨 2 3 姨 1 因为正方形 A2B2C2C1的边长为t2 所以P2C2 1 2 t2 P2B2 3 姨 2 t2 所以第 2个阴影正方形M2Q2P2N2的边长为 3 姨 1 2 t2 2 3 姨 姨 2 所以 第二个阴影正方形的面积为 2 3 姨 姨 4 依次类推 第n个阴影正方形的边长为 2 3 姨 姨 n 其面积 为 2 3 姨 姨 2n 点评 本题将 赵爽弦图 置入到平面直角坐标系中 使 赵爽弦图 与一次函数相结合 构思新颖 设计巧妙 给人以美的享受 求出阴影正方形的边长是解决问题的 关键 因为直角三角形中有一个角等于30 所以阴影正 方形的边长可通过大正方形的边长求得 大正方形的一 个顶点B1 B2 B3 Bn又在一次函数y 1 2 x 3 姨 1的 图像上 顶点B1 B2 B3 Bn的纵坐标恰好等于大正方形 的边长 所以在解题过程中要充分利用含30 角的直角三 角形的性质及一次函数的性质 通过计算阴影正方形的 边长或面积可找出一定的规律 从而使问题得以解决 本 题对学生的要求较高 要正确解决本题 学生要有扎实的 基础知识 较强的分析问题和解决问题的能力 充分考查 了学生的数学素养 命题感悟 数 坛 线 在 44 初中版 2013 年 12 月命题感悟 数 坛 线 在 例5 2011年安徽 如图9 正方形ABCD的四个顶点 分别在四条平行线l1 l2 l3 l4上 这四条直线中相邻两条 之间的距离依次为h1 h2 h3 h1 0 h2 0 h3 0 1 求证 h1 h3 2 设正方形ABCD的面积为S 求证 S h1 h2 2 h12 3 若 3 2 h1 h2 1 当h1变化时 说明正方形ABCD的面 积为S随h1的变化情况 A B l2 l1 C GD H E Fh3 l4 h2 h1 l3 图 1 0 l1 C A D B l2 l3 l4 h3 h2 h1 图 9 解析 如图10 过A作AG l3 分别交l2 l3于点H G 过 点C作CE l2 分别交l2 l3于点E F 1 因为 DAG BAH 90 BAH ABH 90 所以 DAG ABH 同理可得 ABH BCE 所以 BCE DAG 又因为 AGD CEB 90 AD BC 所以 AGD CEB 所以AG CE 即h1 h2 h3 h2 故h1 h3 2 由 1 知 AGD CEB 同理可得 CEB BHA DFC 所以EF FG GH EH h2 DG h1 所以S 4S AGD S正方形EFGH 4 1 2 h 1 h2 h1 h22 h1 h2 2 h12 3 由 3 2 h1 h2 1知 h2 1 3 2 h1 所以S h1 1 3 2 h 1 2 h12 5 4 h12 h1 1 5 4 h1 2 5 2 4 5 又h2 1 3 2 h1 0 h1 0 故0 h1 2 3 所以当0 h1 2 5 时 S随h1的增大而减小 当h1 2 5 时 S取得最小值 4 5 当 2 5 h1 2 3 时 S随h1的增大而增大 点评 本题将正方形与平行线相结合 主要考查全等 三角形的性质和判定 二次函数的性质 初看此题 感觉 无从下手 其实图中隐藏着 赵爽弦图 在解题时若能适 当添加辅助线 即可构造出 赵爽弦图 联想到 赵爽弦 图 的特点 也可为本题提供解题思路 这也是本题的难 点之所在 因此 在教学中 一定要关注图形模型 这些图 形模型的通性通法在解决中考试题时有着重要的导向作 用 唯独有偶 2012年滨州市中考试题中也出现了与此 类似的问题 不同的是将平行线l1 l2 l3 l4间的距离都变 为1个单位长度 但其本质并没有改变 由于图形中已 有 赵爽弦图 的影子 这在一定程度上降低了试题的 难度 例6 2012年山东滨州 如图11 l1 l2 l3 l4是一组平 行线 相邻两条平行线间的距离都是1个单位长度 正方 形ABCD的4个顶点A B C D都在这些平行线上 过点A作 AF l3于点F 交l2于点H 过点C作CE l2于点E 交l3于点 G 1 求证 ADF CBE 2 求正方形ABCD的面积 3 如图12 如果四条平行线不等距 相邻的两条平 行线间的距离依次为h1 h2 h3 试用h1 h2 h3表示正方形 ABCD的面积S A B l2 l1 C G D H E Fh3 l4 h2 h1 l3 图 1 2 G H E F C A D B 图 1 1 l1 l2 l3 l4 解析 1 在Rt AFD和Rt CEB中 因为AD BC AF CE 所以Rt AFD Rt CEB 2 因为 ABH CBE 90 ABH BAH 90 所以 CBE BAH 又因为AB BC AHB CEB 90 所以 ABH BCE 同理可得 ABH BCE CDG DAF 所以S正方形ABCD 4S ABH S正方形HEGF 4 1 2 2 1 1 1 5 3 由 1 知 AFD CEB 故h1 h3 由 2 知 ABH BCE CDG DAF 所以S正方形ABCD 4S ABH S正方形HEGF 4 1 2 h 1 h2 h1 h22 2h12 2h1h2 h22 例7 2013年北京 阅读下面材料 小明遇到这样一个问题 如图13 在边长为a a 2 的 正方形ABCD各边上分别截取AE BF CG DH 1 当 AFQ BGM CHN DEP 45 时 求正方形MNPQ 的面积 小明发现 分别延长QE MF NG PH 交FA GB HC 45 初中版 2013 年 12 月命题感悟 数 坛 线 在 ED的延长线于点R S T W 可得 RQF SMG TNH WPE是四个全等的等腰直角三角形 如图14 请回答 1 若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正 方形 无缝隙 不重叠 求这个新的正方形的边长 2 求正方形MNPQ的面积 3 参考小明思考问题的方法 解决问题 如图15 在等边 ABC各边上分别截取AD BE CF 再分别过点D E F作BC AC AB的垂线 得到等边 RPQ 若S RPQ 3 姨 3 则AD的长为 C P R Q A BE F 图 1 5 C P S W R M N Q A D B T H E F 图 1 4 C P M N Q AD B E F 图 1 3 G G D H 分析 1 四个等腰直角三角形的斜边长为a 故其拼 成的正方形的边长为a 2 如图14所示 正方形MNPQ的面积等于四个虚线 小等腰直角三角形的面积之和 据此可求出正方形 MNPQ的面积 3 参照小明的解题思路 对问题做同样的等积变 换 如图16所示 三个等腰 RGF PDH QEI的面积 和等于等边 ABC的面积 故阴影三角形的面积等于三 个虚线等腰三角形的面积之和 由此列方程可求出AD的 长 图 1 6 G I H C P R Q A B E F 图 1 7 解 1 如图14 由已知易知 AR BF SB CG DH CT AE DW 所以RF SG TH EW AB a 所以拼成的新的正方形的边长为a 2 由 1 易知 S RQF S SMG S HNT S EPW a2 又因为S正方形ABCD a2 所以S正方形MNPQ S RAE S SBF S GCT S DHW 4S RAE 4 1 2 1 1 2 3 如图16 分别延长RD PE QF 交CA AB BC的延 长线于点G H I 可得 RGF PDH QEI是三个全等 的等腰三角形 将这三个等腰三角形拼成一个新的三角形 无缝隙 不重叠 则这个新的三角形的边长与等边 ABC的边长 相等 所以S RGF S PDH S QEI S ABC 所以S RPQ S ADG S BEH S CFI 3S ADG 3 1 2 3 姨 2 AD2 33 姨 4 AD2 又因为S RPQ 3 姨 3 所以 33 姨 4 AD2 3 姨 3 解得AD 2 3 点评 本题重