浙江省温州市瑞安中学高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年浙江省温州市瑞安中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1直线xy+3=0的倾斜角是（）a30b45c60d902两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y1）2=1的位置关系是（）a内含b相交c相切d相离3已知不同直线a，b，l，不同平面，则下列命题正确的是（）a若al，bl，则abb若，则c若，b，则bd若l，l，则4如图，在正方体abcda1b1c1d1中，异面直线a1d与d1c所成的角为（）a30b45c60d905一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（）a1bc2d26点p在直线l：xy1=0上运动，a（4，1），b（2，0），则|pa|+|pb|的最小值是（）abc3d47如图，c=，ac=bc，m、n分别是bc、ab的中点，将bmn沿直线mn折起，使二面角bmnb的大小为，则bn与平面abc所成角的正切值是（）abcd8已知边长都为1的正方形abcd与dcfe所在的平面互相垂直，点p，q分别是线段bc，de上的动点（包括端点），pq=设线段pq中点的轨迹为l，则l的长度为（）a2bcd二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9在空间直角坐标系oxyz中，点a（1，2，2），则|oa|=，点a到坐标平面yoz的距离是10已知直线l1：ax+y6=0与l2：x+（a2）y+a1=0相交于点p，若l1l2，则a=，此时点p的坐标为11某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是个，它的表面积是12在长方体abcda1b1c1d1中，ad=aa1=1，ab=2，点e在棱ab上移动，则直线d1e与a1d所成角的大小是，若d1eec，则ae=13已知圆c：（x2）2+（y+m4）2=1，当m变化时，圆c上的点与原点的最短距离是14在正三棱柱abca1b1c1中，各棱长均相等，bc1与b1c的交点为d，则ad与平面bb1c1c所成角的大小是15已知点p（1，1），圆c：x2+y24x=2，过点p的直线l与圆c交于a，b两点，线段ab的中点为m（m不同于p），若|op|=|om|，则l的方程是三、解答题（本大题共5小题，共74分）16如图，已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为3，m，n分别是棱aa1，ab上的点，且am=an=1（）证明：m，n，c，d1四点共面；（）求几何体amndd1c的体积17设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（ar）（）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（）若l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a的值18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，侧面pad底面abcd，e，f分别为pa，bd的中点，pa=pd=ad=2，dab=45（）求证：ef平面pbc；（）求证：平面def平面pad19如图所示，正方形abcd中，e、f、g分别是ab、cd、ad的中点，将abcd沿ef折起，使fgbg（）证明：eb平面aefd；（）求二面角gbfe的余弦值20如图，已知圆c的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆c与直线y=kx+3相交于a，b两点当时，（）求圆c的方程；（）当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点t，使得atb始终被y轴平分？若存在，求出点t的坐标，若不存在，请说明理由四、附加题（本小题满分15分，实验班学生做）21己知椭圆+=1的离心率为，且它的一个焦点f1的坐标为（0，1）（）试求椭圆的标准方程：（）设过焦点f1的直线与椭圆交于a，b两点，n是椭圆上不同于a、b的动点，试求nab的面积的最大值2015-2016学年浙江省温州市瑞安中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1直线xy+3=0的倾斜角是（）a30b45c60d90【考点】直线的倾斜角【专题】常规题型【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角【解答】解：将已知直线化为，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为30，故选a【点评】本题考察直线的倾斜角，属基础题，涉及到直线的斜率和倾斜角问题时注意特殊角对应的斜率值，不要混淆2两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y1）2=1的位置关系是（）a内含b相交c相切d相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】直线与圆【分析】根据两圆的圆心距大于半径之差，而小于半径之和，可得两圆相交【解答】解：两圆x2+y2=4与（x+1）2+（y1）2=1的圆心距为，它大于半径之差21，而小于半径之和2+1，故两圆相交，故选：b【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系的判定，属于基础题3已知不同直线a，b，l，不同平面，则下列命题正确的是（）a若al，bl，则abb若，则c若，b，则bd若l，l，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】对四个选项进行判断，即可得出结论【解答】解：对于a，若al，bl，则a，b平行、相交或异面，不正确；对于b，若，则，此命题不正确，因为垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，不能确定两平面之间是平行关系；对于c，若，b，则b或b，不正确；对于d，垂直于同一直线的两个平面平行，正确故选：d【点评】本题考查平面的基本性质及推论，解题的关键是有着较强的空间感知能力及对空间中线面，面面，线线位置关系的理解与掌握，此类题是训练空间想像能力的题，属于基本能力训练题4如图，在正方体abcda1b1c1d1中，异面直线a1d与d1c所成的角为（）a30b45c60d90【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】在正方体abcda1b1c1d1中，由d1ca1b，知da1b是异面直线a1d与d1c所成的角，由此能求出结果【解答】解：在正方体abcda1b1c1d1中，d1ca1b，da1b是异面直线a1d与d1c所成的角，a1d=a1b=bd，a1bd是等边三角形，da1b=60，异面直线a1d与d1c所成的角是60故选：c【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养5一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，则该圆锥的高为（）a1bc2d2【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【专题】空间位置关系与距离【分析】设圆锥的底面半径为r，结合圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，求出圆锥和母线，进而根据勾股定理可得圆锥的高【解答】解：设圆锥的底面半径为r，它的侧面展开图是圆心角为120的扇形，圆锥的母线长为3r，又圆锥的表面积为，r（r+3r）=，解得：r=，l=，故圆锥的高h=，故选：b【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征是解答的关键6点p在直线l：xy1=0上运动，a（4，1），b（2，0），则|pa|+|pb|的最小值是（）abc3d4【考点】点到直线的距离公式【专题】直线与圆【分析】求出a（4，1）关于直线xy1=0的对称点为a，|pa|+|pb|=|pa|+|pb|，当p、a、b三点共线时，|pa|+|pb|取得最小|ab|，由此能求出结果【解答】解：设a（4，1）关于直线xy1=0的对称点为a（x，y），则，解得x=2，y=3，a（2，3）|pa|+|pb|=|pa|+|pb|，当p、a、b三点共线时，|pa|+|pb|取得最小|ab|=3故选：c【点评】本题考查动点到两定点的距离的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称性及两点间距离公式的合理运用7如图，c=，ac=bc，m、n分别是bc、ab的中点，将bmn沿直线mn折起，使二面角bmnb的大小为，则bn与平面abc所成角的正切值是（）abcd【考点】直线与平面所成的角【分析】由题意及折叠之前与折叠之后bm与cm都始终垂直于mn，且折叠之前图形为等腰直角三角形，由于要求直线与平面所成的线面角，所以由直线与平面所成角的定义要找到斜线bm在平面acb内的射影，而射影是有斜足与垂足的连线，所以关键是要找到点b在平面abc内的投影点，然后放到直角三角形中进行求解即可【解答】解：c=，ac=bc，m、n分别是bc、ab的中点，将bmn沿直线mn折起，使二面角bmnb的大小为，bmb=，取bm的中点d，连bd，nd，由于折叠之前bm与cm都始终垂直于mn，这在折叠之后仍然成立，折叠之后平面bmn与平面bmn所成的二面角即为bmd=60，并且b在底面acb内的投影点d就在bc上，且恰在bm的中点位置，bdbc，bdad，bd面abc，bnd就为斜线bn与平面abc所成的角设ac=bc=a，则bd=，bn=，dn=，tanbnd=故bn与平面abc所成角的正切值是故选：d【点评】本题考查平面图形的翻折与线面角的问题，应注意折前与折后的各种量变与不变的关系，而对于线面角的求解通常有传统的求作角、解三角形法及向量方法，这个内容是高考中三个角的重点考查内容之一，一般不会太难，但对学生的识图与空间想象能力的要求较高，是很好区分学生空间想象能力的题型8已知边长都为1的正方形abcd与dcfe所在的平面互相垂直，点p，q分别是线段bc，de上的动点（包括端点），pq=设线段pq中点的轨迹为l，则l的长度为（）a2bcd【考点】轨迹方程【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】由题意作出图形，建立空间直角坐标系，设出p、q、m的坐标，由中点坐标公式把p、q的坐标用m的坐标表示，然后利用pq=列式，求出pq中点的轨迹为四分之一圆周，则l的长度可求【解答】解：如图，以da、dc、de所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设p（m，1，0）（0m1），q（0，0，n）（0n1），m（x，y，z），则由中点坐标公式得：m=2x，n=2z ，|pq|=，m2+n2=1 ，把代入得，4x2+4z2=1即0m1，0n1，pq中点m的轨迹方程为轨迹l为在垂直于y轴的平面内，半径为的四分之一圆周l的长度为故选：d【点评】本题考查了轨迹方程，训练了利用空间坐标系求解动点的轨迹，体现了参数思想在解题中的应用，考查了学生的空间想象能力，属难题二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9在空间直角坐标系oxyz中，点a（1，2，2），则|oa|=3，点a到坐标平面yoz的距离是1【考点】点、线、面间的距离计算【专题】计算题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离【分析】根据空间中两点间的距离公式，求出|oa|的值利用点a（x，y，z）到坐标平面yoz的距离=|x|即可得出【解答】解：根据空间中两点间的距离公式，得：|oa|=3a（1，2，2），点a到平面yoz的距离=|1|=1故答案为：3，1【点评】本题考查了空间中两点间的距离公式的应用问题，熟练掌握点a（x，y，z）到坐标平面yoz的距离=|x|是解题的关键，属于中档题10已知直线l1：ax+y6=0与l2：x+（a2）y+a1=0相交于点p，若l1l2，则a=1，此时点p的坐标为（3，3）【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【专题】直线与圆【分析】由直线垂直的性质得a1+1（a2）=0，由此能求出a，再由直线l1和l2联立方程组，能求出点p的坐标【解答】解：直线l1：ax+y6=0与l2：x+（a2）y+a1=0相交于点p，l1l2，a1+1（a2）=0，解得a=1，解方程，解得x=3，y=3，p（3，3）故答案为：1，（3，3）【点评】本题考查两直线垂直时直线方程中参数值的求法，考查两直线交点坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用11某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的4个面中，直角三角形的个数是1个，它的表面积是21【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是底边是2，高是2的等腰三角形；底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为1；另两个侧面是等腰三角形，底边长为，腰长为，即可得出结论【解答】解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是底边是2，高是2的等腰三角形，其面积为=2与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为1，故是直角三角形，其面积为=1，另两个侧面是等腰三角形，底边长为，腰长为，其面积为=9表面积是2+1+18=21，故答案为：1，21【点评】本题考查三视图，几何体的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题12在长方体abcda1b1c1d1中，ad=aa1=1，ab=2，点e在棱ab上移动，则直线d1e与a1d所成角的大小是90，若d1eec，则ae=1【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，设e（1，t，0），0t2，分别求出和，由=0，能求出直线d1e与a1d所成角的大小；分别求出，由=0，能求出ae的长【解答】解：在长方体abcda1b1c1d1中，ad=aa1=1，ab=2，点e在棱ab上移动，以d为原点，da为x轴，dc为y轴，dd1为z轴，建立空间直角坐标系，则d（0，0，0），d1（0，0，1），a（1，0，0），a1（1，0，1），c（0，2，0），设e（1，t，0），0t2，则=（1，t，1），=（1，0，1），=1+0+1=0，直线d1e与a1d所成角的大小是90=（1，t，1），=（1，2t，0），d1eec，=1+t（2t）+0=0，解得t=1，ae=1故答案为：900，1【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用13已知圆c：（x2）2+（y+m4）2=1，当m变化时，圆c上的点与原点的最短距离是1【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】求出圆的圆心和半径，再求出|oc|的最小值，用|oc|的最小值减去半径，即得所求【解答】解：圆c：（x2）2+（y+m4）2=1表示圆心为c（2，m+4），半径r=1的圆，求得|oc|=，m=4时，|oc|的最小值为2故当m变化时，圆c上的点与原点的最短距离是|oc|的最小值r=21=1，故答案为：1【点评】本题主要考查点和圆的位置关系，两点间的距离公式的应用，属于中档题14在正三棱柱abca1b1c1中，各棱长均相等，bc1与b1c的交点为d，则ad与平面bb1c1c所成角的大小是60【考点】直线与平面所成的角【专题】计算题；空间角【分析】本题考查的知识点是线面角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过d点做bc的垂线，垂足为e，则de底面abc，且e为bc中点，则e为a点在平面bb1c1c上投影，则ade即为所求线面夹角，解三角形即可求解【解答】解：如图，取bc中点e，连接de、ae、ad，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得ae平面bb1c1c，故ade为ad与平面bb1c1c所成的角设各棱长为1，则ae=，de=，tanade=，ade=60故答案为：60【点评】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：构造作出或找到斜线与射影所成的角；设定论证所作或找到的角为所求的角；计算常用解三角形的方法求角；结论点明斜线和平面所成的角的值15已知点p（1，1），圆c：x2+y24x=2，过点p的直线l与圆c交于a，b两点，线段ab的中点为m（m不同于p），若|op|=|om|，则l的方程是3x+y4=0【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；直线与圆【分析】圆c的方程可化为（x2）2+y2=6，所以圆心为c（2，0），半径为，设m（x，y），运用=0，化简整理求出m的轨迹方程由于|op|=|om|，故o在线段pm的垂直平分线上，可得onpm，由直线垂直的条件：斜率之积为1，再由点斜式方程可得直线l的方程【解答】解：圆c的方程可化为（x2）2+y2=6，所以圆心为c（2，0），半径为，设m（x，y），则=（x2，y），=（1x，1y），由题设知=0，故（x2）（1x）+y（1y）=0，即（x1.5）2+（y0.5）2=0.5由于点p在圆c的内部，所以m的轨迹方程是（x1.5）2+（y0.5）2=0.5m的轨迹是以点n（1.5，0.5）为圆心，为半径的圆由于|op|=|om|，故o在线段pm的垂直平分线上，又p在圆n上，从而onpm因为on的斜率为，所以l的斜率为3，故l的方程为y1=3（x1），即3x+y4=0故答案为：3x+y4=0【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系，直线和圆相交的性质，属于基础题三、解答题（本大题共5小题，共74分）16如图，已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为3，m，n分别是棱aa1，ab上的点，且am=an=1（）证明：m，n，c，d1四点共面；（）求几何体amndd1c的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论【专题】综合题；转化思想；综合法；推理和证明【分析】（）证明：mna1b，即可证明m，n，c，d1四点共面；（）证明几何体amndd1c是一个三棱台，再求几何体amndd1c的体积【解答】（）证明：a1d1ad，a1d1=ad，又bcad，bc=ad，a1d1bc且a1d1=bc连接a1b，则四边形a1bcd1是平行四边形所以a1bd1c在aba1中，am=an=1，aa1=ab=3所以，所以mna1b所以mnd1c，所以m，n，c，d1四点共面（）解：因为平面abb1a1平面dcc1d1，又m，n，c，d1四点共面所以平面amn平面dd1c延长cn与da相交于点p，因为andc所以，即，解得，同理可得，所以点p与点q重合所以d1m，da，cn三线相交于一点，所以几何体amndd1c是一个三棱台，所以【点评】本题考查四点共面的证明，考查求几何体amndd1c的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（ar）（）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；（）若l与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求a的值【考点】直线的截距式方程【专题】直线与圆【分析】（）当直线过原点时，a=2，当直线l不过原点时，由截距相等，得a=0，由此能求出直线l的方程（）由题意知l在x轴，y轴上的截距分别为，由题意知，由此能求出a的值【解答】解：（）由题意知，a+10，即a1当直线过原点时，该直线在两条坐标轴上的截距都为0，此时a=2，直线l的方程为3x+y=0；当直线l不过原点时，即a2时，由截距相等，得，即a=0，直线l的方程为x+y+2=0，综上所述，所求直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0（）由题意知，a+10，a20，且l在x轴，y轴上的截距分别为由题意知，即（a2）2=12|a+1|，当a+10时，解得当a+10时，解得a=4，综上所述或a=4【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线方程中参数a的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线方程的性质的合理运用18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，侧面pad底面abcd，e，f分别为pa，bd的中点，pa=pd=ad=2，dab=45（）求证：ef平面pbc；（）求证：平面def平面pad【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】空间位置关系与距离【分析】（）由中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（）运用余弦定理，可得bd=2，bdad，运用面面垂直的性质定理和判定定理，即可得证【解答】证明：（）连结ac，因为底面abcd是平行四边形，所以f是ac中点在pac中，又e是pa中点，所以efpc又因为ef平面pbc，pc平面pbc，所以ef平面pbc； （）在abd中，因为，dab=45，由余弦定理得：bd=2，所以bdad 因为面pad底面abcd，且面pad面abcd=ad，又bd平面abcd，所以bd面pad因为bd面def，所以平面def平面pad【点评】本题考查线面平行和面面垂直的判定定理的运用，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题19如图所示，正方形abcd中，e、f、g分别是ab、cd、ad的中点，将abcd沿ef折起，使fgbg（）证明：eb平面aefd；（）求二面角gbfe的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）设正方体的棱长为2，证明ef面aebebae，推出eb面aefb（）取ef的中点h，作hobf，垂足为o，连接go，说明goh就是所求二面角gbfe的平面角，在rtgho中，求解二面角gbfe的余弦值【解答】（）证明：设正方体的棱长为2，在rtbgf中，所以efae，efeb，ef面aebadef，ad面aeb，adab所以在rtbgf中，得在aeb中，又ae=be=1ebae又efebeb面aefb（）解：取ef的中点h，则ghef，由（）知，eb面aefb，所以面efcb面aefb，所以gh面efcb，作hobf，垂足为o，连接go，由三垂线定理知，gobf，所以goh就是所求二面角gbfe的平面角在rtgho中，gh=1，所以，所以所以二面角gbfe的余弦值为【点评】本题考查直线与平面垂直的判断，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力20如图，已知圆c的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，圆c与直线y=kx+3相交于a，b两点当时，（）求圆c的方程；（）当k取任意实数时，问：在y轴上是否存在定点t，使得atb始终被y轴平分？若存在，求出点t的坐标，若不存在，请说明理由【考点】圆的标准方程【专题】计算题；直线与圆【分析】（）设圆心c（0，b），b0，则半径r=b，利用勾股定理，建立方程，即可求出b，从而求圆c的方程；（）假设存在点t（0，t），联立方程组，利用韦达定理，结合kat+kbt=0，即可得出结论【解答】解：（）设圆心c（0，b），b0，则半径r=b，则圆心c（0，b）到的距离得b=2或b=4（舍）圆c的方程为x2+（y2）2=4（）假设存在点t（0，t），设a（x1，y1），b（x2，y2）联立方程组得（1+k2）x2+2kx3=0则由kat+kbt=0即2kx1x2+（3t）（x1+x2）=0，6k+2k