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浅析二项分布、泊松分布和正态分布之间的关系 1预备知识1.1二项分布 在同一条件下重复做n次独立试验，每次试验只可能有两种对立的结果:A和A之一，并设在同一次试验中A发生的概率是P (A) = p，0p0是常数，则称X服从参数为兄的泊松分布，记为X一(刃。 泊松分布的重要性质是它的数学期望和方差都等于参数兄。1 .3正态分布 设连续型随机变量x的概率密度为:I(x) _ 1- e 一J27rs(x一月产 2,5-00 x 0，则称溯及从参数为从口的正态分布或高斯分布，记为X一N(u,a2)。 正态分布的概率密度中的两个参数产和a，分别就是该分布的数学期望和方差。特别地，当,t=O,a2 =1时的正态分布.称为标准正态分布，记为X一N(0,1)，标准正态分布的 产密度函数记为(Pkx) -了歹 e2r，-0o x 0，则对任意给定的m，有P夏a戈b(2)事件A在每次试如果辣nPn_。l。一，_一厂飞np(1-p)“戈一nPJnp，一，)_。一np“np(1-p) jllmCP (1一。)一羊。一，、一。,1,2.”冲。一K二_b-np)_。一，)nP(I-P)一np(I-p) 泊松定理的证明见文献【1。由该定理可知，当二项分布b (n, p)的参数n很大，P很小，而兄二np大小适中时，实际中na100，pS0.1，np_10时(见文献21)，二项分布可用参数为兄=np的泊松分布来近似，即C pk (1一PT二ak，.一一几匕k! 只要查一查标准正态分布函数表4o容易得到尸。Xb的相当精确的值。原则上(1)式和(2)式适用于任何给定的p和充分大的n。不过，当p较大或较小时近似效果较差，应用时p最好满足O.15P50.9(参见文献21). At外，文献3还指出，由于我们是用一个连续分布来近似离散分布，在实际应用中.为了减少近似误差.常用 这就是二项分布的泊松逼近。当然n应尽可能地大，否则近似效果往往不佳。 二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件(即每次试验中事件出现的概率p很小)，当伯努利试验的次数n很大时，事件发生的频数的分布。实际表明，在一般情况下，当p0.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例如，当p = 0.01时，甚至”=2时，这种近似程度已经很好了。表1说明了这一情况，其中np = 0.02。 衰，二项分布与泊松分布的比较 Pa戈小。来代替(2)式。(b+0.5一，、厂。一0.5一，、nP(l_p)一(np(l_p)2.3泊松分布与正态分布之间的关系 由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，也可以用正态分布近似。显然，泊松分布和正态分布在一定条件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态通近。 定理3对任意的ab，有 ,jk_一4， 飞，几1 r0乙-石-=了万Ja“ak口几;Y拍尸2去，其中浊a=k C.I Pk (1一P )-k (，)e一”Ik!0 0. 9801 0. 9802 1 0. 0198 0. 0196 2 0. 0001 0. 0002 “一几万不，”-18一兄万。定理3的证明见文献1。2.2二项分布和正态分布之间的关系 定理2设随机变里X。一b (n, pX0p1, n=1,2,则对于任意x，有lim Xn -npn-am np(1-p)丹Jr瓮-Zdt00 2;r一、 定理2就是概率论中著名的棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，它的证明见文献【27。该定理表明，当n充分大时，二项分布可用正态分布来近似，即二项分布的正态逼近。例如， P Xn、卜心，(1一，)n_和P毛a、Xn、b-E CRpkqn-kx#。充分大时计算是十分困难的。根据定理:，nsk0，则对任意给定的m，有P夏a戈b(2)事件A在每次试如果辣nPn_。l。一，_一厂飞np(1-p)“戈一nPJnp，一，)_。一np“np(1-p) jllmCP (1一。)一羊。一，、一。,1,2.”冲。一K二_b-np)_。一，)nP(I-P)一np(I-p) 泊松定理的证明见文献【1。由该定理可知，当二项分布b (n, p)的参数n很大，P很小，而兄二np大小适中时，实际中na100，pS0.1，np_10时(见文献21)，二项分布可用参数为兄=np的泊松分布来近似，即C pk (1一PT二ak，.一一几匕k! 只要查一查标准正态分布函数表4o容易得到尸。Xb的相当精确的值。原则上(1)式和(2)式适用于任何给定的p和充分大的n。不过，当p较大或较小时近似效果较差，应用时p最好满足O.15P50.9(参见文献21). At外，文献3还指出，由于我们是用一个连续分布来近似离散分布，在实际应用中.为了减少近似误差.常用 这就是二项分布的泊松逼近。当然n应尽可能地大，否则近似效果往往不佳。 二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件(即每次试验中事件出现的概率p很小)，当伯努利试验的次数n很大时，事件发生的频数的分布。实际表明，在一般情况下，当p0.1时，这种近似是很好的，甚至n不必很大都可以，这点从比较二项分布与泊松分布的概率分布表也可以看出。例如，当p = 0.01时，甚至”=2时，这种近似程度已经很好了。表1说明了这一情况，其中np = 0.02。 衰，二项分布与泊松分布的比较 Pa戈小。来代替(2)式。(b+0.5一，、厂。一0.5一，、nP(l_p)一(np(l_p)2.3泊松分布与正态分布之间的关系 由定理1和定理2可知二项分布既可以用泊松分布近似，也可以用正态分布近似。显然，泊松分布和正态分布在一定条件下也具有近似关系，下面的定理说明泊松分布的正态通近。 定理3对任意的ab，有 ,jk_一4， 飞，几1 r0乙-石-=了万Ja“ak口几;Y拍尸2去，其中浊a=k C.I Pk (1一P )-k (，)e一”Ik!0 0. 9801 0. 9802 1 0. 0198 0. 0196 2 0. 0001 0. 0002 “一几万不，”-18一兄万。定理3的证明见文献1。2.2二项分布和正态分布之间的关系 定理2设随机变里X。一b (n, pX0p1, n=1,2,则对于任意x，有lim Xn -npn-am np(1-p)丹Jr瓮-Zdt00 2;r一、 定理2就是概率论中著名的棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，它的证明见文献【27。该定理表明，当n充分大时，二项分布可用正态分布来近似，即二项分布的正态逼近。例如， P Xn、卜心，(1一，)n_和P毛a、Xn、b-E CRpkqn-kx#。充分大时计算是十分困难的。根据定理:，nskb由于戈一nPInP(1-P)近似服从N(0,1)或等价地Xn近似服从以np,np(1-P)，于是可以近似地用正态分布来计算上述概率，即P毛Xn=*=心，(1一，)”一 如前文所述，二项分布的泊松近似和正态近似各自适用的条件是不同的。当P很小时，即使n不是很大，用泊松分布近似二项分布，已经相当吻合。但是在这种倩形下，用正态分布去近似二项分布，却会产生较大的误差。直观上也可以想象得到，p很小，n又不大，则np =几一定不会很大。由定理3可知，正态分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近似被泊松分布十分逼近的二项分布。 在”充分大，P既不接近于0也不接近于1时(实际上最好满足0.1 S p S 0.9)，用正态分布去近似二项分布，效果就较好。 表2是用泊松分布与正态分布去近似二项分布b (