高中数学试卷双曲线.docx

高中数学试卷双曲线一选择题1已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则APF的面积为（）A B C D2已知双曲线C：（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆 有公共焦点，则C的方程为（）A B C D3已知双曲线（a0，b0）的左焦点为F，离心率为若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A B C D4已知双曲线 （a0，b0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（）A B C D5 若a1，则双曲线 的离心率的取值范围是（）A（，+）B（，2）C（1，）D（1，2）6双曲线的渐近线方程为（）Ay=3x By=x Cy=x Dy=x7已知定点F1(-2，0)，F2(2，0)，N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N对称点为M，线段F1M中垂线与直线F2M相交于点P，则点P轨迹是（）A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆8双曲线(a0,b0)，点（4,-2）在它一条渐近线上，则离心率等于()A. B. C. D9已知双曲线的焦点为（2，0），则此双曲线的渐近线方程是（）Ay=x By=x Cy=x Dy=x10双曲线C：一条渐近线方程为2x+y=0，则C离心率为()A. B.或 C2 D.12 已知双曲线 (a0，b0)离心率为2，则该双曲线渐近线方程为（）Axy=0 Bxy0 Cxy0 D2xy=0二、填空题13已知双曲线 (a0，b0)一个焦点在直线x=6上，其中一条渐近线方程为y=x，则双曲线的方程为_15题14已知双曲线(a0)一个焦点与点(2,0)重合，则a=_15如图F1、F2是双曲线C:(a0,b0)左、右焦点,过F1直线l与C左、右2个分支分别交于点A、B若ABF2为等边三角形，则双曲线离心率为_16过双曲线（a0，b0）的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM（切点为M），交y轴于点P若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率是_二解答题（共6小题）17双曲线3x2-y2=1与直线ax-y+1=0相交于A、B两点（1）求a的取值范围；（2）a为何值时，AOB90（其中O为原点）18双曲线:(a0,b0)，直线l：x+y-2=0，F1，F2为双曲线两个焦点，l与双曲线一条渐近线平行且过其中一个焦点.（1）求双曲线方程；（2）设与l交点为P，求F1PF2角平分线所在直线方程19已知双曲线C：的左右焦点分别为F1，F2（1）若双曲线右支上一点A使得AF1F2的面积为 ，求点A的坐标；（2）已知O为坐标原点，圆D：(x-3)2+y2=r2（r0）与双曲线C右支交于M，N两点，点P为双曲线C上异于M，N的一动点，若直线PM，PN与x轴分别交于点R，S，求证：|OR|OS|为常数20已知动点P到双曲线左、右焦点F1、F2距离之和为4（）求动点P的轨迹E的标准方程；（）若过点F1的直线l交轨迹E于A，B两个不同的点，试问：在x轴上能否存在一个定点M，使得为定值？若存在，请求出定点M与定值；若不存在，请说明理由21已知双曲线C1：(a0,b0)的渐近线方程为y=x，且过点M(,),其离心率为e，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为(0.5e,0)（I）求抛物线C2的方程；（II）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且=12（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ii）过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值答案1解：由双曲线C：x2-y2/3=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y0，则y=3，则P（2，3），APPF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，APF的面积S=0.5丨AP丨丨PF丨=1.5，同理当y0时，则APF的面积S=1.5，故选D2解：椭圆x2/12-y2/3=1的焦点坐标（3，0），则双曲线的焦点坐标为（3，0），可得c=3，双曲线C： x2/a2-y2/b2=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=/2x，可得b/a=/2，即(c2a2)/a25/4，可得c/a=3/2，解得a=2，b=，所求的双曲线方程为：x2/4-y2/5=1故选：B 3解：设双曲线的左焦点F（-c，0），离心率e=c/a=，c=a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=b/ax=x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k=(4-0)/(0+c)=4/c，则4/c=1，c=4，则a=b=2，双曲线的标准方程：x2/8-y2/8=1；故选B4解：双曲线x2/a2-y2/b2=1（a0，b0）的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），可得c=2，b/a，即b2/a23，(c2a2)/a23，解得a=1，b=，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：x2y2/31故选：D 5解：a1，则双曲线x2/a2-y2=1的离心率为：c/a=（1，）故选：C6解双曲线的方程为x2/3-y2=1，将右边“1”换为“0”可得：双曲线x2/3-y2=1渐近线方程为x2/3-y2=0即y=/3x故选D7解：连接ON，由题意可得ON=1，且N为MF1的中点MF2=2点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P由垂直平分线的性质可得PM=PF1|PF2-PF1|=|PF2-PM|=MF2=2F1F2由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线故选：B 8解渐近线方程为y=-a/bx,（4,-2）满足方程2=-a/b4，所以a/b=1/2，又ec/a=故选：B 9解：依题意可知=2a=双曲线的渐近线方程为y=1/ax=/3x故选C10解：双曲线的方程为x2/a2-y2/b2=1 (a0，b0)，双曲线的渐近线方程为y=b/ax，结合题意一条渐近线方程为y=-2x，得 b：a=2：1，设a=t，b=2t，则c=t（t0）该双曲线的离心率是e=c/a=，故选：D11解双曲线x2/5-y2/=1，所以a=，b=2，所以c=3，所以双曲线离心率为：e=c/a=3/5故选B12解：双曲线的方程是x2/a2-y2/b2=1（a0，b0），双曲线渐近线为y=b/ax又离心率为e=c/a=2,c=2a,b=a，由此可得双曲线渐近线为y=即：故答案为：xy0故选：C13解：双曲线x2/a2-y2/b2=1（a0，b0）的一个焦点在直线x=6上，c=6，即62=a2+b2又双曲线x2/a-y2/b2=1(a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，b=a 由解得：a2=9，b2=27故填、x2/9-y2/27=114解：根据题意，抛物线的方程为y2=8x，其焦点在x轴正半轴上，且p=4，则其焦点坐标为（2，0），双曲线x2/a2-y2/3=1(a0)一个焦点为（2，0），即c=2，则有a2+b2=c2=4，又由b2=3，则a2=c2-b2=1，又由a0，即a=1，故填：115解：ABF2为等边三角形，|AB|=|AF2|=|BF2|，F1AF260由双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|=2a又|BF2|-|BF1|=2a，|BF2|=4a|AF2|=4a，|AF1|=6a在AF1F2中，由余弦定理可得：|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2-2|AF2|AF1|cos60，(2c)2(4a)2+(6a)224a6a0.5，化为c2=7a2，ec/a=故填16解：OMPF，且FM=PMOP=OF，OFP=45|0M|=|OF|sin45，即a=c/2e=c/a=故填17解：（1）把直线方程y=ax+1代入双曲线方程得（3-a2）x2-2ax-2=0=24-4a20a（,)且a（2）因为AOB90，所以原点在以AB为直径的圆内，AB中点（a/(3a2)，3/(3a2)圆方程为(xa/(3a2)2+(y3/(3a2)2(1+a2)(244a2)/4(3a2)2(a/(3a2)2+(3/(3a2)2(244a2)/4(3a2)2（1+a2）即4（a2+9）（24-4a2）（1+a2）得1a23所以a(，1)(1，)18解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=x，焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0），双曲线方程为x2-y2=2；（2）x2y22,x+y20P(1.5，0.5)，显然F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k0，kPF11/7，kPF21，于是(|kPF1k)/(1+kPF1k)|(kPF2k)/(1+kPF2k)|k3y0.53(x1.5)3xy40为所求19解：（1）双曲线C：x2/9-y2/4=1的a=3，b=2，c=，设A（m，n），（m0），AF1F2的面积为，可得1/22c|n|=，解得n=，由m2/9-n2/4=1可得m=3/2（负的舍去），则A的坐标为（3/2，）或（3/2，-）；证明：（2）由条件可知M、N两点关于x轴对称，设M（x1，y1），P（x0，y0），则N（x1，-y1），x12/9-y12/4=1，x02/9-y02/4=1，所以x12=9/4（4+y12），x02=9/4（4+y02）直线PM的方程为y-y0=(y1y0)/(x1x0)（x-x0），令y=0得点R的横坐标xR=(x1y0x0y1)/(y0y1)，同理可得点S的横坐标xS=x1y0+x0y1/(y0+y1)于是：|OR|OS|=|(x1y0x0y1)/(y0y1)|(x1y0+x0y1)/(y0+y1)|=|(x12y02x02y12)/(y02y12)|=|1/(y02y12)9/4（4+y12）y02-9/4（4+y02）y12|=|1/(y02y12)9（y02-y12）|=9所以|OR|OS|为常数920解：（）F1、F2是双曲线x2y2/21的左、右焦点，F1(，0)，F2(，0)，动点P到F1、F2的距离之和为4，动点P的轨迹E是以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆，动点P的轨迹E的标准方程为：x2/4+y21；（）当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为yk(x+)，A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0）由x2/4+y21,yk(x+)，得(4k2+1)x2+8k2x+12k240x1+x28k2/(4k2+1)，x1x2(12k24)/(4k2+1)(mx1，y1)(mx2，y2)=（m-x1）（m-x2）+y1y2=(mx1)(mx2)+k2(x1+)(x2+)=(k2+1)x1x2+(k2m)(x1+x2)+3k2+m2=(k2+1)(12k24)/(4k2+1)+(k2m)(8k2/(4k2+1)+3k2+m2=(4m2+8m+11)k2+m24/(4k2+1)由，得(4m2+8m+11)k2+m24/(4k2+1)，(4m2+8m+114)k2+m240对任意kR均成立4m2+8m+1140,m240，解得m9/8，13/64当直线l的斜率存在时，存在定点M(9/8，0)满足条件，此时定值13/64；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：x由x2/4+y21,x-，解得x-,y=0.5或x=-,y=-0.5不妨取A(，1/2)，B(，1/2)对于定点M(9/8，0)，则(9/8+，0.5)(9/8+，0.5)13/64当直线l的斜率不存在时，定点M(9/8，0)也满足条件，此时定值13/64综上可知：存在定点M(9/8，0)满足条件，此时定值13/6421解：（I）由双曲线渐近线方程y=b/ax，则b/a=，即b=a，将M(，)代入椭圆方程：2/a23/3a21，解得：a=1，b=，c=2，双曲线标准方程：x2y2/31，双曲线离心率e=c/a=2，焦点为（1，0）抛物线C2方程y2=4x；（II）（i）证明：设直线AB的方程x=my+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立y24x,xmy+t，整理得：y2-4my-4t=0，则y1+y2=4m，y1y2=-4t，由=12则(y1y2)2/16+y1y2=12，解得：y1y2=-24或y1y2=