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高考数学专题三平面向量专题三平面向量【知识概要】 一、向量的概念及其运算 1向量：既有大小又有方向的量叫做向量。常用一条有向线段表示向量，的长度表示向量的大小，记为，长度为零的向量，记为。 2平行向量：方向相同或相反的向量。平行向量也叫共线向量，且规定与任一向量平行。ABCab 3向量加法的定义及向量加法的三角形法则。已知向量，在平面内任取一点A，作，则向量叫做与的和，记作，即。规定：（为任意向量）4向量加法的性质（1） 交换律： （2） 结合律： 5向量加法的平行四边形法则 已知向量，在平面内任取一点A，作，则以为邻边的平行四边形ABCD的对角线向量就是。 6向量减法的定义 （1）与向量长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量。 （2）向量加上的相反向量，叫做与的差，记做，即。 7向量的数乘 实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下： （1）； （2）的方向与相同(或与相反(； （3）。 性质：若，则 （1）； （2）； （3）。8共线判定定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得。 二、向量的坐标表示 1平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使；不共线向量叫做平面内所有向量的一组基底。2平面向量的坐标表示如果，其中分别为与轴，轴方向相同的单位向量，则有3平面向量的坐标运算（1） ；（2） ；（3） ；（4） 。4数量积的坐标表示：若，则有5向量平行的判定定理：设，则。6向量垂直判定定理：设，则。 7向量长计算公式 （1）若，则； （2）若点，则。 8三角形不等式 定理：设是任意两个向量，则有。 三、向量的数量积1数量积的定义：设向量与的夹角为，我们将数值称为向量与的数量积记为，并规定，因此得定义式：。 2数量积的运算律 （1）交换律： （2）数乘结合律： （3）分配律： 3数量积的基本性质 （1）垂直条件： （2）同向反向性：与同向，与反向 （3）数量积表示模：；或者 （4）夹角公式：设，则 （5）数量积不等式： 四、向量的应用 1平面几何中的向量问题 向量的运算与几何图形的性质密切相关，向量的运算可以用图形简明地表示，而图形的性质又可以反映到向量的运算上来。 2
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